1. Teorema Fundamental del C´ alculo

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Vamos a considerar dos clases de funciones, definidas como integrales de otras funciones Z t f (x)dx F (t) = a

donde f : R −→ R, y Z F (t) = f (x, t)dx A

donde f : Rn × R −→ R El primer tipo de integrales son las integrales indefinidas, y tienen para la integral de Lebesgue un comportamiento similar al teorema fundamental del c´alculo demostrado para la integral de Riemann. El segundo tipo de funciones se llaman integrales param´etricas, y estudiaremos condiciones para determinar la continuidad y la derivabilidad de F (t). Z b Z La notaci´on f (x)dx corresponde a f (x)dx si a ≤ b, y como en la integral de Riemann a [a,b] Z b Z a de funciones de una variable, si a > b se entiende f (x)dx = − f (x)dx a

b

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Teorema (Fundamental del C´ alculo). Sea I un intervalo real, y sea f : I −→ R una funci´on Zintegrable t f (x)dx Lebesgue en I Sea a ∈ I fijo, y definamos la funci´on F (t) = a

para todo t ∈ I. Entonces F es continua en I. Adem´as, si f es continua en un punto t0 ∈ I entonces F es derivable en t0 y F 0(t0) = f (t0) Demostraci´on: I (Saltar al final de la demostraci´on) Sea b ∈ I fijo, b > a, y vamos a ver que F es continua en b. Sea {sk }k una sucesi´on en I que converja a b, y consideremos las funciones caracter´ısticas χ[a,sk ] (x) Si x ∈ [a, b), como sk → b, existe alg´un k0 tal que para todo k ≥ k0 se tiene sk > x, y por tanto χ[a,sk ] (x) = 1 = χ[a,b) (x) Y si x 6∈ [a, b], tambi´en como sk → b, existe k1 tal que para todo k ≥ k1 se tiene sk < x y por tanto χ[a,sk ] (x) = 0 = χ[a,b) (x) k

Es decir, χ[a,sk ] (x) −→ χ[a,b) (x) para todo x ∈ I excepto quiz´a para el punto b Sea entonces fk = f χ[a,sk ] • fk son funciones medibles, por ser producto de funciones medibles.

• Para todo x ∈ I, x 6= b, se tiene lim fk (x) = f (x)χ[a,b) (x) k

• |fk (x)| ≤ |f (x)| para todo x ∈ I y para todo k. Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Como f es integrable por hip´otesis, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada a la sucesi´on fk , y tenemos Z Z Z f χ[a,b) = lim fk = lim f χ[a,sk ] k

I

E

k

I

es decir Z f χ[a,sk ] = lim F (sk )

F (b) = lim k

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

I

k

por tanto F es continua en b. La segunda parte de la demostraci´on se puede hacer de forma an´aloga a la del teorema fundamental del c´alculo para la integral de Riemann. Sea t0 tal que f es continua en t0 . Entonces dado  > 0 existe δ > 0 tal que si t ∈ I y |t − t0 | < δ, entonces |f (t) − f (t0 )| < , o equivalentemente, si t ∈ I y |t − t0 | < δ, se tiene f (t0 ) −  < f (t) < f (t0 ) + 

Si t ≥ t0 se tiene entonces Z t (f (t0 ) − )(t − t0 ) ≤ f (x)dx ≤ (f (t0 ) + )(t − t0 ) t0

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

y si t ≤ t0 se tiene Z (f (t0 ) − )(t0 − t) ≤

t0

f (x)dx ≤ (f (t0 ) + )(t0 − t) t

Rb Ra En cualquier caso (poniendo a f = − b f ) Rt f (x)dx ≤ (f (t0 ) + ) (f (t0 ) − ) ≤ t0 t − t0 o equivalentemente Rt f (x)dx − ≤ t0 − f (t0 ) ≤  t − t0 si t ∈ I y 0Z < |t − t0 | < δ t Como f (x)dx = F (t) − F (t0 ), tenemos que si t ∈ I y 0 < |t − t0 | < δ, t0

F (t) − F (t0 ) − f (t0 ) ≤  t − t0

es decir, F (t) es derivable en t0 , y F 0 (t0 ) = lim

t→t0

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

F (t) − F (t0 ) = f (t0 ) t − t0

J(Volver al enunciado)



Ejercicio: Demostrar la primera parte del teorema cuando b ≤ a

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Observaci´on: Si f no es continua en ning´un punto, la segunda mitad del teorema no tiene sentido. Sin embargo uno de los teoremas importantes de la teor´ıa de integraci´on es que de hecho F 0 (s) = f (s) en casi todo punto, tanto si f es continua como si no. Pero esto no podemos demostrarlo ahora.

2. Integrales Param´ etricas

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Vamos a estudiar ahora algunas aplicaciones a las llamadas “integrales param´etricas”. Consideramos una familia de funciones dependientes de un par´ametro real t ∈ I ⊆ R, del tipo ft (x, y) = sen(t(x2 + y 2 )) para x ∈ E ⊆ Rn . Esta familia de funciones se puede describir como una funci´on en E × I f : E × I −→ R (x, t) −→ f (x, t) = ft (x) de modo que para cada valor de t ∈ I tenemos una funci´on de varias variables f (., t) : E −→ R x −→ f (x, t)

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Y tambi´en para cada x ∈ E tenemos una funci´on real de una variable real f (x, .) : I −→ R t −→ f (x, t) Llamamos integral param´etrica a la funci´on F : I −→ R definida por Z F (t) = f (x, t)dx E

cuando esta integral existe Para este tipo de funciones se pueden demostrar los dos teoremas siguientes, sobre continuidad y derivabilidad. Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema (Continuidad de las integrales param´ etricas). Sea I un intervalo real, E ⊆ Rn un conjunto medible – Lebesgue, y f : E × I −→ R verificando: a) Para cada t ∈ I, la funci´on f (., t) es medible Lebesgue, y existe una funci´on g : E −→ R integrable Lebesgue tal que para todo t ∈ I |f (x, t)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ E b) Para casi todo x ∈ E, la Zfunci´on f (x, .) es continua en I Entonces la funci´on F (t) =

f (x, t)dx es continua en I E

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

Demostraci´on: I (Saltar al final de la demostraci´on) En primer lugar, F est´a bien definida, ya que la condici´on (a) nos asegura que para todo t ∈ I la funci´on f (., t) : E −→ R es integrable. Para probar que F es continua, sea a ∈ I fijo, y sea {tk }k una sucesi´on de puntos de I que tienda a a. Por la condici´on (b), existe un subconjunto Z ⊆ E con m(Z) = 0, tal que para todo x ∈ E \ Z las funciones f (x, .) : I −→ R son continuas. Entonces, si x ∈ E \ Z, se tiene k f (x, tk ) −→ f (x, a). Es decir, la sucesi´on de funciones {f (., tk )}k tiende a la funci´on f (., a) en

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

cada punto de E \ Z. As´ı pues, tenemos una sucesi´on de funciones medibles, {f (., tk )}k∈N , que converge en casi todo punto de E a una funci´on f (., a), y que verifican para todo k ∈ N que |f (x, tk )| ≤ g(x) para casi todo x ∈ E, con g una funci´on integrable en E. Aplicando el Teorema de Convergencia Dominada, Z Z f (x, a)dx = lim f (x, tk )dx E

k

E

es decir, F (a) = limk F (tk ). Por tanto F es continua en a. J(Volver al enunciado)



Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

Teorema (Derivaci´ on bajo el signo de integral). Sea I un intervalo en R, E ⊆ Rn un conjunto medible – Lebesgue, y f : E × I −→ R verificando: a) Para todo t ∈ I la funci´on f (., t) es medible en E, y existe t0 ∈ I tal que f (., t0) es integrable en E b) Para casi todo x ∈ E la funci´on f (x, .) es de clase C 1 en I c) Existe g : E −→ R integrable–Lebesgue en E tal que para todo df t ∈ I y para casi todo x ∈ E se tiene | (x, t)| ≤ g(x) dt Z Entonces la funci´on F (t) = f (x, t)dx es de clase C 1 en I, y E

JJ

II

J

I

F 0(t) =

Z E

df (x, t)dx dt

Demostraci´on: I (Saltar al final de la demostraci´on) Primero vamos a ver que F est´a bien definida, es decir, que las funciones f (., t) son integrables.

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . .

Por (b), existe un conjunto Z0 ⊆ E con m(Z0 ) = 0, tal que las funciones f (x, .) : I −→ R son de clase C 1 para todo x ∈ E \ Z0 . Por (c), existe un conjunto Z1 ⊆ E con m(Z1 ) = 0 y tal que para todo x ∈ E \ Z1 se tiene df (x, t) ≤ g(x) dt para todo t ∈ I donde g es una funci´on integrable. Sea t0 ∈ I tal que f (., t0 ) es integrable, seg´un se indica en el enunciado. Y sea t ∈ I otro punto de I, fijo. Para todo x ∈ E \ (Z0 ∪ Z1 ), podemos aplicar el teorema del valor medio a f (x, .) en [t0 , t], de modo que f (x, t) − f (x, t0 ) =

Integrales Param´ etricas

df (x, µ)(t − t0 ) dt

para alg´un µ ∈ [t0 , t], luego JJ

II

J

I

df |f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (x, µ) |t − t0 | dt ≤ |f (x, t0 )| + g(x)|t − t0 | y la funci´on f (., t0 ) + g(.)|t − t0 ) es integrable en E. Por tanto f (., t) es integrable.

df (., t) son medibles, para cada t ∈ I dt Sea t ∈ I fijo; sea hk → 0, y definamos las funciones gk (., t) : E −→ R Veamos ahora que

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

gk (x, t) =

f (x, t + hk ) − f (x, y) hk

Las funciones gk (., t) son medibles, por ser cociente de funciones medibles, y para todo x ∈ E \Z0 df df k se tiene gk (x, t) −→ (x, t) Por tanto (., t) es medible (l´ımite en casi todo punto de una dt dt sucesi´on de funciones medibles) Y por u´ltimo veamos que F es derivable y que se verifica Z df 0 F (t) = (x, t)ds E dt calculando esta integral. Las funciones gk (., t) verifican |f (x, t + hk ) − f (x, t)| |h | k |hk | df ≤ (x, µ) dt |hk | ≤ g(x)

|gk (x, t)| =

Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

para todo x ∈ E \ (Z0 ∪ Z1 ) Aplicando el Teorema de Convergencia Dominada, Z Z F (t + hk ) − F (t) df (x, t)dx = lim gk (x, t)dx = lim k k hk E dt E luego efectivamente F es derivable, y adem´as Z df 0 F (t) = (x, t)dx E dt Que F es de clase C 1 se deduce del teorema anterior. J(Volver al enunciado)



Ejercicios: 1. Se define la funci´on Gamma de Euler como Z ∞ e−x xt−1 dx Γ(t) = Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

0

para t > 0. Comprobar que Γ(t) est´a bien definida, y es una funci´on continua en t ∈ (0, ∞) (Sugerencia: para aplicar el teorema de continuidad, considerar I un intervalo cualquiera [a, b] con a > 0) Comprobar tambi´en que para todo t > 0, Γ(t + 1) = tΓ(t), de d´onde se deduce que para todo n ∈ N, Γ(n + 1) = n! Demostrar que Γ es infinitamente diferenciable y que para cada n ∈ N Z ∞ (n) Γ (t) = xt−1 (log x)n e−x dx

Teorema . . .

0

Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

2. En los siguientes casos comprobar que φ est´a bien definida, y calcular φ0 (t): Z

1 2

2

ln(x + t )dx; t 6= 0

a) φ(t) =

Z

0

Z c) φ(t) = 0

π

ext sen xdx x

1

xt − 1 dx (t > −1) ln x

b) φ(t) = 0

∞

te−tx dx

Z d) φ(t) = 0

3. Calcular las integrales siguientes, derivando con respecto al par´ametro:

Z a) Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I

0

∞

1 − e−tx dx (t > −1) xex

Z b) 0

π/4

ln(1 + t cos2 x) dx (t ≥ 0) cos2 x

BIBLIOGRAFIA: Kennan T. Smith, “Primer of Modern Analysis”. Springer-Verlag (1983) J.A. Facenda - F.J. Freniche, “Integraci´on de funciones de varias variables”. Ed. Pir´amide (2002) Funciones definidas por integrales. Derivaci´ on bajo el signo de integral

Teorema . . . Integrales Param´ etricas

JJ

II

J

I