Principio de Huygens y por qué necesitamos instrumentos de formación de imágenes. Un instrumento sencillo de formación de imágenes: la cámara estenopeica. Principio de formación de imágenes utilizando lentes. Cuantificando lentes: aproximación paraxial y aproximación matricial. “Enfocando” una lente: condición de formación de imágenes. Aumento. Analizando sistemas ópticos más complicados (multielementos): - puntos y superficies principales - condiciones generales para la formación de imágenes a partir de la formulación matricial
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El principio del camino mínimo
∫ n ( x , y , z ) dl
es seleccionado para minimizar esta integral de “camino”, comparada con otros caminos alternativos
(también llamado principio de Fermat) Consecuencias: la ley de la reflexión y la ley de la refracción MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-2 2
La ley de la refracción
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Haces de rayos
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Principio de Huygens
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Por qué se necesitan sistemas de formación de imágenes • Según Huygens, cada punto de un objeto dispersa la iluminación incidente en forma de onda esférica. • A unas micras de distancia de la superficie del objeto, los rayos que emergen de todos los puntos del objeto se entrecruzan, impidiendo la localización de los detalles del objeto. • Para localizar de nuevo los detalles del objeto se debe encontrar un método para reasignar (“enfocar”) todos los rayos que emergieron de un único punto del objeto a otro punto en el espacio (la “imagen”). • Esta última función es el núcleo de la disciplina de Formación de imágenes ópticas.
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La cámara estenopeica
• La cámara estenopeica impide el paso al espacio imagen de todos los rayos procedentes del objeto, excepto a uno ⇒ se forma una imagen (es decir, cada punto en el espacio de la imagen corresponde a un único punto del espacio del objeto). • Lamentablemente en este instrumento se desaprovecha la mayor parte de la luz. • Asimismo, la luz se difracta si tiene que atravesar pequeños estenopes, como veremos más adelante. La difracción introduce efectos para los que todavía no contamos con las herramientas necesarias para cuantificarlos. MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-7 7
La lente: el instrumento principal para la formación de imágenes
Según la ley de Snell, la superficie curvilínea hace que los rayos se curven proporcionalmente a su distancia desde el “eje óptico”. Por lo tanto, el frente de onda divergente se vuelve convergente en el lado derecho (de salida). MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-8 8
Analizando lentes: trazado paraxial de rayos
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Aproximación paraxial /1 En la óptica paraxial utilizamos ampliamente las siguientes expresiones aproximadas (1er orden de Taylor): •
sen ε ≈ ε ≈ tan ε
cos ε ≈ 1
1 1+ ε ≈ 1+ ε 2 donde ε es el ángulo subtendido entre un rayo y el eje óptico, y es un número pequeño 1 rad ). El rango de validez de esta aproximación se extiende generalmente hasta (ε ∼ 10-30º, dependiendo del grado de precisión deseado. Esta aproximación se conoce también como “óptica de Gauss”. Observe la suposición de existencia de un eje óptico (es decir, ¡una alineación perfecta!).
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Aproximación paraxial /2
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Ejemplo: una superficie esférica, traslación + refracción + traslación
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Traslación + refracción + translación /1
Rayo de comienzo: ubicación x0 dirección α0
x1 = x0 + D01α 0 Traslación a través de la distancia D01 (dirección +): α1 = α 0 x1′ = x1 Refracción en una superficie esférica positiva: n ( n − n′) ′ = + x1 α α 1 ′ ′ n nR
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Traslación + refracción + traslación /2
x2 = x1 + D12α1′ Traslación a través de la distancia D12 (dirección +): α 2 = α1′
Combinadas:
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Traslación + refracción + traslación /3
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Convenciones de signos para la refracción • La luz viaja en dirección de izquierda a derecha. • Un radio de curvatura es positivo si la superficie es convexa hacia la izquierda. • Las distancias longitudinales son positivas si apuntan hacia la derecha. • Las distancias laterales son positivas si apuntan hacia arriba. • Los ángulos del rayo son positivos si la dirección del rayo se obtiene rotando el eje +z en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo agudo.
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Formación de la imagen en el eje
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Aumento: lateral (fuera del eje), angular
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Transformación del objeto-imagen
x2 = mx x0
α2 =
1 x0 + mα α 0 f′
Transformación (paraxial) del trazado de rayos entre los puntos del objeto y de la imagen
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Imagen de un objeto puntual en el infinito
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Formación de la imagen de un objeto puntual en el infinito
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Formulación matricial /1
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Formulación matricial /1
Refracción por superficie esférica
Traslación a través de un medio uniforme
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Traslación + refracción + traslación
n′α 2 traslación refracción de traslación nα 0 = de D de D x x 01 0 12 curv. R del rayo 2
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Lente delgada
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La potencia de las superficies • La potencia positiva curva los rayos “hacia dentro”
• La potencia negativa curva los rayos “hacia fuera”
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La potencia en la formulación matricial nfueraα fuera M 11 M 12 ndentroα dentro = x M M x fuera 22 dentro 21
(Curvatura de los rayos) = (Potencia) x (Coordenada lateral)
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Potencia y distancia focal
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Elementos gruesos/compuestos: puntos (superficies) focal y principal
Nota: en la aproximación paraxial, las superficies focal y principal son planas (es decir, planares). En realidad son superficies curvas (¡pero no esféricas!). El cálculo exacto es muy complicado. MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-29 29
Distancias focales para elementos gruesos/compuestos
EFL: (Effective Focal Length) distancia focal efectiva, o simplemente “distancia focal”. FFL: (Front Focal Length) segmento focal frontal. BFL: (Back Focal Length) segmento focal posterior. (FP: punto focal; PS: fuente puntual) MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-30 30
PSs y FPs para lentes delgadas
• Los planos principales coinciden con las superficies de cristal (combinadas). • Los rayos se curvan precisamente en el plano de la lente delgada (= superficies de cristal combinadas y PP). MIT 2.71/2.710 09/10/01 wk2-a-31 31
La trascendencia de los planos principales /1
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La trascendencia de los planos principales /2
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Condición de formación de imágenes: trazado de rayos
• El punto de referencia está ubicado en la intersección común a todos los rayos que emergen del correspondiente punto del objeto. • Se puede realizar directamente el trazado del rayo principal y de los dos rayos que atraviesan los dos puntos focales.
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Condición de formación de imágenes: forma matricial /1
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Condición de formación de imágenes: forma matricial /2
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Condición de formación de imágenes: forma matricial /3
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Aumento lateral
(asumimos que se satisface la condición de formación de imágenes)
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Aumento angular
(asumimos que se satisface la condición de formación de imágenes)
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Condiciones generalizadas de formación de imágenes
imagen
matriz del sistema
Potencia: Condición de formación de imágenes: Aumento lateral: Aumento angular: