• OBJETIVO El objetivo fundamental es el de familiarizarse con el manejo de lentes sencillas (convergente y divergente) para ello se hallaran sus distancias focales. • INTRODUCCION TEORICA Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas (generalmente esféricas). Por lo tanto, una onda incidente sufre refracciones al pasar a través de la lente. Consideramos lentes delgadas, es decir, lentes cuyo espesor es muy pequeño comparado con los radios. Combinando la formula de Descartes para una lente delgada: 1/f`= 1/s´− 1/s = (n −1)(1/r1 −1/r2) Siendo n el índice de refracción de la lente y r1 y r2 los radios de curvatura de la lente. Ahora bien, combinando esta ecuación con la de constructor de lentes: 1/f´= (n − 1)(1/r1 − 1/r2) Se obtiene la distancia focal de una lente: 1/f´= 1/s´− 1/s Donde f´ es la focal de la lente y s y s´ son las distancias frontales objeto e imagen respectivamente. Si f´ es positiva, la lente se llama convergente y si es negativa divergente. Los rayos principales para una lente divergente y una lente convergente son los siguientes. Como trabajaremos con lentes delgadas (espesor pequeño) podemos admitir que los planos principales coinciden en uno solo, y por tanto, también coinciden los puntos nodales. Además, debido a que en una lente de las dos focales son iguales y de signo contrario, un foco estará a la derecha y el otro a la izquierda de la lente, ya que el plano principal, sin gran error, puede considerarse que coincide con la posición de la lente, a partir de la cual se cuentan las distancias s y s´ del objeto e imagen. Este punto, origen de coordenadas, es a la vez el centro óptico de la lente. MÉTODO Y RESULTADOS MEDIDA DE LA FOCAL DE LENTES DELGADAS CONVERGENTES En primer lugar vamos a medir la distancia focal de dos lentes delgadas convergentes por diversos métodos y vamos a proceder a la comparación de los mismos para decidir cuál es el más adecuado o cuáles son las ventajas e inconvenientes que presenta cada uno. 1. Método de autocolimación En este primer método vamos a disponer sobre el banco óptico una lente convergente, un objeto iluminado y un espejo. 1

El método se basa en que todos los rayos de luz que atraviesan una lente convergente partiendo desde el foco objeto de la misma salen de la lente paralelos al eje óptico. Si disponemos un espejo tras la lente, perpendicular al eje óptico, los rayos se reflejaran en éste y tras atravesar de nuevo la lente convergerán en el objeto. En nuestro caso, no disponemos de un objeto puntual sino de una diapositiva que colocamos perpendicular al eje óptico. Si movemos la lente e inclinamos un poco el espejo, en un cierto lugar observaremos como se forma la imagen del objeto al lado del mismo y con el mismo tamaño que éste. Se observa que al variar la distancia del espejo a la lente la imagen no varía. Tenemos pues el objeto colocado en el plano focal objeto y por tanto la distancia del objeto a la lente es la distancia focal de la lente. RESULTADOS a. Calcular la focal de las lentes A y B. 1.Para la lente A tomamos los siguientes valores directos de la distancia focal: f'(cm

9.4

9.3

9.5

9.3

9.3

9.3

Encontramos que la focal se encuentra en un intervalo que oscila entre 9.3 y 9.5 cm. Hallando la media de los valores y la desviación típica y teniendo en cuenta el error de precisión (0.2)cm obtenemos finalmente el valor para la focal: f'=(9.4±0.2)cm Hemos tomado para el error el más alto entre precisión y desviación típica. 2.Hacemos lo mismo con la lente B: f'(cm)

13.8

13.7

13.8

13.8

13.7

13.6

Realizando los mismos cálculos que en el caso anterior: f'=(13.7±0.2)cm b.Se nos pide que repitamos las medidas girando las lentes 180º, es decir, cambiando la cara de la lente por la que la luz incide por primera vez. 1. Volvemos a tomar medidas para la lente A y en este caso los valores son: f'(cm)

8.9

8.9

9

9

8.9

9

El valor de la focal de la lente no es el mismo que obtuvimos en el caso anterior. El valor de la focal en este caso es: f'=(9.0±0.2)cm 2. En la lente B nos encontramos con que el valor de la focal tampoco es el mismo: f'(cm)

14.3

14.2

14.1

14.1

14.2

14.2 2

El valor de la focal es pues: f'=(14.2±0.2)cm Encontramos que tanto en la lente A como en la lente B las distancias focales varían en 0.4 cm cuando las giramos 180º. En un primer momento pensamos que esta diferencia se podía deber a que los radios de curvatura de la lente eran diferentes, para una lente delgada, la distancia focal en función del índice de refracción del material que la constituye y de los radios de curvatura de los dioptrios que la constituyen viene dada por la expresión: 1/f´= (n − 1)(1/r1 − 1/r2) Modificando los radios de curvatura es como se obtienen diferentes focales para las lentes, por tanto las lentes pueden tener radios de curvatura distintos en cada dioptrio, pero al focal que mediríamos sería la misma aunque girásemos la lente 180º. La explicación de este hecho es bastante más sencilla; nosotros medimos las distancias partiendo del supuesto de que la lente se encuentra centrada en el portalentes cuando en realidad no lo está sino que se encuentra desplazada del centro unos 0.4 cm. Teniendo en cuenta que la lente no está centrada, ninguna de las focales obtenidas es la correcta, sin embargo, podemos tomar una focal media entre las dos y aumentar el intervalo de error: Lente A: f'=(9.2±0.4)cm Error relativo=4.3% Lente B: f'=(14.0±0.4)cm Error relativo=3% Como se observa, el mayor error cometido no viene dado por la dispersión de los datos o por la precisión sino principalmente por este último hecho. Podríamos haber intentado medir dónde se encontraba la lente y de esta forma haberlo minimizado. De todas formas, los resultados tienen un error relativo bastante bajo y la probabilidad de que el foco de la lente A se encuentre en un intervalo (8.8−9.6)cm y el de la lente B en (13.6−14.4)cm es muy alta. Este método pues, tiene la ventaja de ser rápido y bastante eficaz además de tener la ventaja de que las medidas efectuadas son todas directas lo que nos evita el ocasional arrastre de errores en los datos obtenidos de forma indirecta. 2.Método objeto−imagen En este segundo método disponemos sobre el banco óptico el objeto iluminado, la lente convergente y una pantalla que nos recogerá la imagen del objeto. Vamos a calcular la distancia focal de la lente mediante la relación de conjugación que nos proporciona el valor de la focal en función de las distancias objeto−lente, s, y lente−imagen, s': 1/f`=1/s´− 1/s Colocamos la lente a una distancia fija del objeto y movemos la pantalla hasta que se nos forma una imagen real a una distancia s' de la lente. Medimos el intervalo en el cual la imagen es nítida. Tendremos pues el valor de s afectado sólo por el error debido a la precisión de nuestro instrumento de medida mientras que s' estará afectada también por un error que viene dado por la dispersión de los datos en el intervalo.

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RESULTADOS a. Calcular la distancia focal. Lente A Realizamos las siguientes medidas directas: 1. s =18.6 cm s=0.2 cm s'= (19.5−20.2)cm s'(medio)=19.85cm s'=0.2cm =0.23 2. s=21cm s=0.2cm s'=(17.5−18.2)cm s'(medio)=17.85cm s'=0.2cm =0.23 3. s=16.5cm s=0.2cm s'=(21.7−22.6)cm s'(medio)=22.14cm s'=0.2cm =0.30 Vemos que el error debido a la dispersión es muy similar al debido al error de precisión, por lo que los valores finalmente son: s (cm)±0.2 s'(cm)

18.6 19.8±0.2

21 17.8±0.2

16.5 22.1±0.3

Una vez tenemos estos valores, calculamos f' con su correspondiente error: 1. f'=(9.59 ± 0.07)cm Error relativo=0.7% 2. f'=(9.63 ±0.07)cm E.r.=0.7% 3. f'=(9.4 ± 0.1)cm E.r=1% El valor medio es: f'=(9.54±0.08)cm E.r=0.8% Para calcular el error hacemos uso de la siguiente fórmula (método de las derivadas parciales): Lente B Los resultados obtenidos para la lente B aparecen a continuación. Los errores de precisión tanto de s como de s' son en todos los casos de 0.2cm. 1. Primera medida. s=21.5cm s'=(40−41)cm s'(medio)=40.5cm =0.32 2.Segunda medida. 4

s=25.5cm s'=(31.8−32.1)cm s'(medio)=31.95cm =0.11 3. Tercera medida. s=27cm s'=(29.4−29.9)cm s'(medio)=29.65cm =0.17 Finalmente: s(cm)±0.2 s´(cm)

21.5 40.5±0.4

25.5 32.0±0.2

27 29.6±0.3

Aplicando la relación de conjugación hallamos el valor de la focal calculando el error como en el caso anterior. 1. f'=(14.0±0.1)cm E.r=0.7% 2. f'=(14.2±0.1)cm E.r=0.7% 3. f'=(14.1±0.1)cm E.r=0.7% El valor medio: f'=(14.1±0.1)cm b. Determinar experimentalmente para que rango de valores de s no se obtiene una imagen real. Teóricamente, ocurriría lo siguiente: Es decir, para s mayor que el valor del foco, se formaría una imagen real invertida que veríamos en la pantalla mientras que para valores de s menores que el valor del foco habría imagen virtual sin invertir que sólo podríamos observar a través de la lente. Comprobamos que se cumplen las predicciones teóricas ya que para la lente A en un intervalo de unos 9(1cm y en la lente B en un intervalo alrededor de los 14cm dejamos de observar la imagen virtual para pasar a ver una imagen real sobre la pantalla. Este es otro método para averiguar dónde se encuentra la focal de una lente convergente ya que la situamos en un intervalo restringido, aunque amplio. 3. Método de Bessel Por último, vamos a calcular la focal de la lente convergente por el método de Bessel para lo cual disponemos en el banco óptico el objeto, la lente convergente y la pantalla a unos 70cm del objeto ya que la fórmula que vamos a aplicar sólo es válida para una distancia objeto−imagen mayor que 4f'. Movemos la lente y observamos si se forma imagen para dos posiciones distintas de la lente; si es así, medimos la distancia entre estas dos posiciones (a) además de medir la distancia objeto−pantalla (D). Aplicamos la siguiente expresión: f´= (D2 − a2)/4D Por una parte sabemos que: 5

1/f´= 1/s + 1/(D−s) 1/f´= 1/(s +a) +1/(D − s −a) De estas dos ecuaciones obtenemos que: s = (Da − a2)/2a Teniendo ahora en cuenta ahora s': 1/f´= 1/s´+ 1/(d − s´) 1/f´= 1/(s´−a) + 1/(D − s´+ a) Obtenemos: s´= (Da + a2)/2a Sustituyendo s y s' en la relación de conjugación y operando se llega a la fórmula dada. RESULTADOS Hacemos las siguientes medidas par la lente B: 1. Primera medida: D=70cm±0.2cm a=D−x−y=30.1cm±0.4cm donde las distancias x e y son las que se indican 2. Segunda medida. D=64cm±0.2cm a=21.8cm±0.4cm 3. Tercera medida. D=59cm±0.2 a=11.2cm±0.4cm Con estos datos calculamos al focal: 1.f´(cm) 2.f´(cm) 3.f´(cm)

14.3±0.1 14.14±0.09 14.22±0.06

En el cálculo de errores hemos aplicado: f´= ¼[(1 + a2*D/D2)2 + (2a*a/D)2]1/2 En lugar de hacer una media ponderada tomamos el valor de la última medida que es el que tiene un error relativo menor, por tanto: 6

f'=(14.22±0.06)cm Error relativo=0.4% Se trata pues de un método muy bueno para medir la focal ya que nos encontramos con un error relativo muy pequeño. Gráficamente se observa porque nos tenemos que restringir a valores de D menores que 4f' para que se nos forme imagen: Comparación métodos Finalmente observamos que el método más rápido y sencillo es el de autocolimación, pero es el que proporciona un error relativo mayor por tanto son más fiables los siguientes dos métodos siendo preferible, según nuestra opinión, el método de Bessel, aunque las medidas sean algo más tediosas, ya que el resultado posee el error relativo más bajo. MEDIDA DE LA FOCAL DE UNA LENTE DIVERGENTE. Para medir la focal de una lente divergente se tiene que hacer uso de un sistema de lentes ya que con una sola lente divergente para cualquier posición de un objeto real se obtendrá una imagen virtual. Para que la imagen que de una lente divergente sea real el objeto deba ser virtual. Es decir, dado un sistema formado por una lente convergente y una divergente, la imagen que de la lente convergente debe servir de objeto virtual para la divergente. Realización experimental Se coloca sobre el banco óptico el objeto bien iluminado y a continuación la lente convergente. Se recoge la imagen bien enfocada I1, en una pantalla y se anota la posición de esta. Sin mover la lente convergente se interpone la lente divergente entre la convergente y la pantalla y se desplaza esta hasta obtener la nueva imagen enfocada I2. Se anota la nueva posición de la pantalla y la de la lente divergente. La distancia focal imagen de la lente divergente viene dada por la relación de conjugación donde s es la distancia de la lente divergente a la primera posición de la pantalla, y s´ la distancia de la lente divergente a la segunda posición de la pantalla. Tal y como muestra la siguiente figura. Datos experimentales Utilizamos el mismo razonamiento que en el método objeto−imagen de la lente convergente, si bien, en este caso las dos distancias frontales s y s´ son positivas y el valor de s vendrá dado por: s=L−d donde d es la distancia entre lentes y L la distancia de la lente convergente a I1 y el error de s vendrá dado por: s = [(d)2 + (L)2]1/2 donde d es el error de la distancia entre las lentes y L es el error de la distancia entre la lente convergente I1. Así pues, resulta: s (cm) 10.5±0.3

s´(cm) 23.4±0.4

f´(cm) −19±1 7

9.5±0.3 12.0±0.3 6.0±0.3

16.5±0.4 30.0±0.4 7.9±0.4

−22±3 −20±1 −25±5

Donde el error de s´ viene dado por el error de enfoque. Como podemos comprobar el error del ultimo valor se dispara, debido a que s y s´ son valores pequeños y similares, así que lo desechamos y comprobamos que para mayores valores de s y s´ el error se hace más pequeño. Sin embargo, estas medidas no resultan factibles debido a la limitación de nuestro banco óptico. Haciendo la media ponderada y la desviación típica obtenemos el siguiente resultado para f´: f´= (−20±2)cm Método de autocolimacion Para determinar la focal de una lente divergente es necesario utilizar, en primer lugar, una lente convergente. Primero habrá que calcular la distancia frontal s´ de la lente convergente y posteriormente intercalar la lente intentando que los rayos salgan paralelos y reboten en el espejo volviendo y formando la imagen junto al objeto. Finalmente la distancia focal de la lente divergente será: f´= −(s´− d) y su error vendrá dado por: f´= [(s)2 + (d)2]1/2 s´(cm) 30.0±0.2 24.6±0.2 28.0±0.2

d(cm) 10.7±0.2 4.5±0.2 8.2±0.2

f´(cm) −19.3±0.3 −20.1±0.3 −19.8±0.3

Siendo el valor medio: f´= (19.7±0.5)cm El inconveniente que posee este método es que para todos los valores el error es el mismo, pero la dispersión es menor ya que se produce un menor error de enfoque y se estima mejor la imagen creada, pues se puede comparar directamente al objeto. COMPARACION DE LA FOCAL DE LENTES CONVERGENTES. Para la lente A se puede formar imagen para una distancia objeto−imagen menor, mientras que para la lente B para esa misma distancia no se forma imagen. Así pues, teniendo en cuenta que esta distancia es mínima cuando vale 4f´ la lente B tendrá una focal mayor que la de A DISCUSION DE LOS RESULTADOS

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La distancia focal de la lente convergente la hemos hallado por tres métodos independientes obteniendo valores similares, lo que indica que tanto estos métodos como los aparatos se pueden considerar óptimos. Sin embargo a la hora de tomar medidas siempre estaba presente un error de enfoque, ya que no se podía fijar un punto exacto donde la imagen estaba nítida y perfectamente enfocada. Hemos intentado que este punto fuera el mas optimo, es decir, el que tuviera menor error de enfoque. Así pues, hemos considerado en primer lugar un valor de s cercano al de menor error relativo de f´ segun el modelo teórico, (esto es 2f´). Sin embargo, debido a que manteníamos fija la distancia s y teníamos el error de enfoque en s´, resultaba mínimo el error para valores mayores de s. Esto es debido a que se produce una mayor aproximación paraxial de los rayos, ya que a mayor distancia s menor es el ángulo de salida de los rayos. Por otro lado estas distancias no pueden ser mucho mayores que la predicha por el valor teórico, ya que el error teórico de f´ se dispara a pesar de disminuir el error de enfoque. A estos errores hay que añadir la deficiencia del ojo ya que no es un detector perfecto, aunque si adecuado, para la practica. De los tres métodos comentados el de Bessel es el que consideramos mas adecuado ya que es el que tiene menos dispersión y el de menor error relativo (del orden del 1%). La limitación del banco óptico nos ha obligado ha tomar medidas en un rango no muy adecuado, lo que hace que ciertos resultados salgan muy dispersos; esto nos ha sucedido en el calculo de la focal de la lente divergente, pero, con todo, la medida se puede considerar valida. Resumiendo, los objetivos de la practica se han alcanzado de una manera adecuada, ya que analizando cualitativamente los resultados parecen correctos. Por ejemplo, la focal de la lente convergente sale positiva y la focal de la divergente sale negativa y los valores numéricos obtenidos coinciden, dentro del margen de error, para cada método independiente. En lo referente al montaje, obviamente se puede mejorar, respecto a la longitud del banco óptico, citado anteriormente, y en el caso del método objeto−imagen haciendo que el objeto sea más puntual (un orificio o una serie de estos) y no una diapositiva, ya que en este caso no necesitamos saber el aumento lateral y el enfoque resultaría mas optimo. CUESTIONES a)Calcular mediante trazado de rayos donde esta la lente y cual es su distancia focal objeto en los siguientes casos, Suponemos, en primer lugar que la lente es delgada y se encuentra centrada en el sistema óptico. Así pues, trazamos un rayo auxiliar (1) que una las flechas del objeto y de la imagen y cuya intersección con el eje del sistema nos proporciona la situación de la lente, dado que este rayo no se desvía en su trayectoria y por tanto intersecciona el eje en el punto nodal de la lente que al ser delgada se encuentra donde esta la lente. Posteriormente, trazamos un segundo rayo (2) paralelo al eje del sistema desde la imagen a la lente y desde el punto de intersección con la lente hasta el objeto; la intersección de este rayo con el eje es el foco objeto (F) y la distancia de este punto a la lente es la distancia focal objeto. Cabe reseñar que para el primer caso la lente es convergente mientras que para el segundo caso se trata de una lente divergente.

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b)Calcular mediante trazado de rayos la imagen en el siguiente caso, indicando que tipo de imagen es. En primer lugar, vemos que el objeto se encuentra en el plano focal objeto, y por tanto todos los rayos que provienen de un punto de este plano saldrán paralelos al atravesar la lente, por la ley de Snell este haz de rayos paralelos al chocar con el espejo saldrán con el mismo ángulo de entrada respecto a la normal del espejo. De esta manera, los rayos volverán a entrar paralelos a la lente y por tanto pasaran por un mismo punto del plano focal objeto que actúa ahora como plano focal imagen de los rayos que van de derecha a izquierda. Así pues, llegamos a la conclusión de que la imagen se encontrara en el mismo plano que el objeto, con lo que solo es necesario que determinemos la dirección que toman dos rayos (a y b) para obtener la imagen (A´ y B´). El rayo (a) que coincide con el eje de la lente chocara con el espejo y volverá a la lente con un cierto ángulo y saldrá de esta párelo, debido a lo anteriormente expuesto, al rayo auxiliar (3) interceptando el plano focal en A´. El rayo (b) saldrá de la lente paralelo al rayo auxiliar (1), rebotara en el espejo y volverá a la lente saliendo paralelo al rayo auxiliar (2), interceptando el plano focal en B´. Finalmente, hay que señalar que la imagen es real, puesto que se puede poner una pantalla para observarla. b)Continúe la trayectoria de los rayos indicados. Para el primer caso, trazamos un rayo auxiliar (1) que pase por la intersección del rayo con el plano focal objeto y por el punto nodal de la lente, como los dos provienen del mismo punto en el plano focal objeto saldrán paralelos. Para el segundo caso, trazamos un rayo auxiliar (1) paralelo al anterior y su intersección con el plano focal imagen nos da la prolongación del rayo que saldrá por la lente divergente, ya que rayos que entran paralelos coinciden en su punto de intersección con el plano focal imagen.

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