Práctica 21

Potencia de lentes delgadas

21. POTENCIA DE LENTES DELGADAS. OBJETIVO Determinación de la distancia focal y de la potencia de lentes delgadas convergentes y divergentes.

MATERIAL (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Banco óptico con regla graduada. Lámpara con fuente de alimentación y cables de conexión. Diapositiva, diafragma circular y difusor (vidrio esmerilado). Lente convergente. Lente divergente. Espejo. Pantalla.

FUNDAMENTO TEÓRICO Una lente es un sistema óptico (un medio transparente) limitado por dos o más superficies curvas refringentes. Esto es, una onda incidente sufre dos o más refracciones al pasar a través de la lente. Las lentes, solas o combinadas entre sí, se utilizan generalmente para formar imágenes por refracción en los instrumentos ópticos, como cámaras fotográficas, telescopios, microscopios, etc. ; pero algunas de sus propiedades son conocidas desde muy antiguo 1. 1

Para una introducción histórica puede consultarse, por ejemplo, la siguiente dirección de internet : http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/Prism301.html

http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

1

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Potencia de lentes delgadas

La lente recibe el nombre de lente delgada cuando su espesor es suficientemente pequeño (en comparación con los radios de curvatura de las superficies limitantes) como para que pueda considerarse que toda la desviación de los rayos que atraviesan la lente tiene lugar en un único plano perpendicular a su eje óptico (el que atraviesa la lente por su centro, perpendicularmente a ella). Hay dos tipos de lentes : convergentes y divergentes . Las lentes convergentes son más gruesas por el centro que por los extremos, mientras que las divergentes son más gruesas por los extremos que por el centro. (En la figura anterior puede observarse el convenio de representación de estos dos tipos de lentes, según sea la dirección de las flechas de sus extremos). Los rayos luminosos tras atravesar una lente convergente se acercan entre sí (es decir, convergen), mientras que si la lente es divergente se separan (divergen); con la excepción de aquellos rayos que pasan por el centro óptico (punto central) de la lente, que no desvian su camino, sea ésta convergente o divergente. 2 Las imágenes generadas por una lente pueden ser reales o virtuales : Una imagen real es aquélla que se forma en realidad, es decir, si se coloca una pantalla en el punto adecuado, se formará sobre ella la imagen del objeto o fuente de luz. Por otro lado, una imagen virtual representa la posición desde la que parece que procede la luz que llega a nuestros ojos a través de la lente. Sin embargo, la luz nunca pasa en realidad por aquella posición y si colocáramos una pantalla no se observaría ninguna imagen sobre ella. Asimismo, la imagen puede ser mayor, igual o menor en tamaño que el objeto luminoso; a la vez que “derecha” o “invertida” respecto a su posición original. A continuación se definen los parámetros que caracterizan la formación de imágenes enlas lentes delgadas: Distancia objeto (s ) (ver por ejemplo la figura (21.2)): Es la distancia entre el objeto luminoso y la lente. Distancia objeto (s' ) (ver por ejemplo la figura (21.2)):

Es la distancia, desde la lente, a la cual se forma la imagen del objeto. Distancia focal (f ) de la lente (ver la figura (21.1)) : Se define la distancia focal f de una lente delgada como la distancia s' a la cual se forma la imagen, a través de la lente, de un objeto que se encuentra en el infinito (s→ ∞ ). En las lentes divergentes, por convenio, el valor de la distancia focal se considera negativo.

2

Puedes acceder directamente en Internet a numerosos “Applets” o simulaciones interactivas para observar y practicar la formación de imágenes en lentes delgadas, como por ejemplo: http://acacia.pntic.mec.es/~jruiz27/lentespejoss/lentes.htm

http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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Potencia de lentes delgadas

La distancia focal, f , y las distancias entre la lente y el objeto, s , o su imagen, s’ , están relacionadas por la ecuación de las lentes delgadas o Ley de Descartes : 1 1 1 = + f s s'

F’

F

[21-1]

F

F’ f 0

Lente convergente

Lente divergente

Figura (21.1). Diagrama de rayos en lentes convergentes y divergentes. El foco objeto (F) (ver la figura (21.1)) : Es el punto F del eje óptico situado a una distancia f delante de una lente convergente (distancia focal ) de forma que los rayos luminosos procedentes de F salen paralelos al eje óptico tras atravesar la lente. Análogamente, cuando un haz de rayos luminosos apunte hacia el punto F situado a una distancia f detrás de una lente divergente, saldrán de ella paralelos al eje óptico de la lente. El foco imagen (F´) (ver la figura (21.1)) : Es el punto F´, situado a una distancia “f´” detrás de una lente convergente donde converge, tras atravesar la lente, un haz de rayos que incide paralelo al eje óptico. Si rayos paralelos al eje óptico inciden sobre una lente divergente, el haz de rayos refractados parece proceder de un punto F´ situado delante de la lente a una distancia f . Potencia (P ) de la lente: Es la inversa de la distancia focal f , cuyo valor en el Sistema Internacional de unidades (es decir, con el valor de f en metros) se expresa en dioptrías. La potencia mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes: a mayor potencia mayor convergencia de los rayos. (Es positiva para una lente convergente y negativa para una lente divergente).

P =1/f

[21-2]

Aumento lateral (A ) de la lente: Es el cociente entre la altura (tamaño vertical) de la imagen y la del objeto. Puede demostrarse que viene dada por la razón entre las distancias de la imagen y del objeto a la lente (s’ y s). El signo de este cociente indica si la imagen es derecha (+) o invertida (-) respecto al objeto.

A = s’ / s http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

[21-3] 3

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Potencia de lentes delgadas

MÉTODO Se estimarán la distancia focal y la potencia de una lente convergente (utilizando en este caso dos métodos diferentes) y de una lente divergente. A.-

Determinación de la distancia focal y de la potencia de una lente convergente. Se compararán los resultados obtenidos por dos métodos distintos:

A.1 : Método de Gauss. Con este método se trata de determinar la distancia focal fc de una lente convergente usando la imagen directa que forma de un objeto (ver la fig. (21.2)). Delante de la lente convergente (LC) se coloca un objeto (O) a una distancia s mayor que su distancia focal. En nuestro caso el objeto es la diapositiva, iluminada por la lámpara. Se situará el difusor (un vidrio esmerilado) entre la diapositiva y la fuente de luz para conseguir una iluminación uniforme del objeto. Debe moverse la pantalla (P) hasta que se observe sobre ella una imagen nítida del objeto. La imagen obtenida estará invertida, pudiendo ser mayor o menor que el objeto, y se encuentra a una distancia s’ de la lente. El valor de la distancia focal fc de dicha lente puede calcularse mediante la relación [21-1]. LC O

s´ F s

P

F´

Figura (21.2). Esquema de la formación de imagen por una lente convergente. La caja que contiene la lámpara tiene una marca blanca que indica la posición de la bombilla en su interior (aproximadamente unos tres centímetros y medio por detrás del soporte de la diapositiva). Obsérvese que debemos colocar la caja de forma que la diapositiva (y no la marca) quede a la altura del cero de la regla del banco óptico, pues de esta forma las lecturas de las posiciones de la lente y la pantalla nos proporcionan directamente los valores de s y (s+s’) . Compara la precisión de la regla gradudada del banco óptico con la que, como experimentador, establezcas para determinar el intervalo en el que la imagen está enfocada, tomando la mayor de ellas como incertidumbre de tus medidas directas. Realiza al menos cinco medidas para distintos valores de s y s+s’ , anotándolos en la hoja de resultados experimentales. http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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Potencia de lentes delgadas

Calcula el valor medio de la distancia focal fc (según [21-1]) y de la potencia Pc (según [21-2]) ; y los aumentos A (según [21-3]) correspondientes a la lente convergente. En la hoja de papel milimetrado, representa las distancias a la lente del objeto s en el eje de abscisas y de la imagen s’ en el eje de ordenadas. Une mediante rectas las correspondientes parejas de valores (s, s’) . La intersección de estas rectas es un punto cuya abscisa y ordenada tienen idéntico valor, igual a la distancia focal fc buscada. Calcula el valor obtenido para fc mediante este procedimiento gráfico. A.2 : Método de autocolimación. Este método utiliza un espejo plano para determinar la distancia focal fc de la lente convergente (LC). Ahora, sin retirar el difusor, sustituimos la diapositiva por un diafragma circular (D) de unos 5 mm de diámetro. De la definición de foco objeto se deduce que si colocáramos (como se indica en la figura (21.3)) la lente convergente a una distancia fc del diafragma y a continuación el espejo plano (E), perpendicular al eje de la lente, se formaría sobre el diafragma una imagen nítida del orificio circular de éste, el cual en este caso actúa como objeto. Si la imagen se formara exactamente sobre el orificio, no podríamos verla, por lo que será necesario desplazar ligeramente el diafragma perpendicularmente al eje óptico. Ajustaremos la posición de la lente hasta que la imagen producida por los rayos reflejados en el espejo se forme nítidamente sobre el orificio y del mismo tamaño que éste. La distancia de la lente al diafragma en esa situación será entonces la distancia focal fc .

D f=s

LC

E

Figura (21.3). Montaje para la determinación de la distancia focal por el método de autocolimación. Realiza al menos cinco veces la experiencia colocando el espejo a diferentes distancias del diafragma anotando los valores correspondientes de s en la hoja de resultados experimentales, junto a su incertidumbre como medida directa. Obtén los valores más probables de la distancia focal y de la potencia de la lente. Compara estos resultados con los obtenidos por el método de Gauss. Representa, en la misma hoja de papel milimetrado usada en el método de Gauss, las rectas correspondientes a las nuevas parejas de valores (s, s’) obtenidas por el método de autocolimación (siendo ahora s’ = ∞). Observa si intersectan en las mismas coordenadas obtenidas anteriormente para fc de forma gráfica. http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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B.Determinación de la distancia focal y de la potencia de una lente divergente. Una lente divergente no puede formar la imagen de un objeto en una pantalla. Por ello, para calcular su distancia focal fd, nos ayudaremos de la lente convergente. Sitúa, tal y como se indica en la figura (21.4), la lente convergente (LC) a una distancia del diafragma (D) igual a su distancia focal fc . De esta forma se consigue un haz de rayos paralelos de diámetro d (el de la lente) que, tras atravesar la lente divergente (LD) , se proyectará en la pantalla (P) con una anchura d’ .

D

LD

LC F

B

f Figura (21.4).

C

A B

E d

d´

e P

Esquema de montaje para determinación de la distancia focal de una lente divergente

De la semejanza de los triángulos FAB y FCE se deduce:

fd =

e ⋅d d' − d

[21-4]

En la práctica observarás que el diámetro del círculo obtenido sin la lente divergente es mayor que el diámetro de la lente (que corresponde al de la circunferencia interior marcada en la pantalla P ). Esto es debido a que la fuente de luz no es puntual. Por ello, para reducir la dispersión de los rayos, es aconsejable colocar la pantalla lo más cerca posible de la lente convergente. A continuación, coloca la lente divergente entre la pantalla y la lente convergente (ver Figura 4), y la desplazamos hasta que el círculo luminoso coincida con la mayor de las circunferencias dibujadas en la pantalla P , cuyo diámetro es d´ = 2d . En esta situación, la distancia entre la pantalla y la lente divergente, según [21-4], será igual a la distancia focal de ésta :

fd = e

[21-5]

Realiza la experiencia al menos cinco veces (variando la posición de la pantalla). Anota tus medidas en la hoja de resultados experimentales junto a sus correspondientes incertidumbres de medida directa, y determina la distancia focal fd y la potencia Pd de la lente divergente. http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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Nombre: Curso : Fecha :

Apellidos : Grupo : Letra de prácticas :

DATOS EXPERIMENTALES APARATO DE MEDIDA Regla graduada del banco óptico :

Precisión (unidades)

Nota: Para estimar las incertidumbres de las medidas directas de esta práctica, hay que tener en cuenta no sólo la precisión de los aparatos utilizados sino también la del propio experimentador al determinar cuándo está enfocada la imagen. Rellena las siguientes tablas indicando siempre las unidades, y expresando las medidas directas realizadas en concordancia con su incertidumbre correspondiente. (El cálculo de las incertidumbres indirectas lo realizarás más adelante). A.1: LENTE CONVERGENTE: MÉTODO DE GAUSS.

Precisión

Incertidumbre de la medida directa : O-LC (s) O-P (s+s’)

1

2

3

4

5

6

s' A fc (En unidades S.I. y con el signo correspondiente): Potencia Pc :

fc

A.2: LENTE CONVERGENTE: MÉTODO DE AUTOCOLIMACIÓN.

D-LC (s)

1

2

3

4

5

6

(En unidades S.I. y con el signo correspondiente): fc

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Potencia Pc :

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A.1 y A.2 : LENTE CONVERGENTE: MÉTODO GRÁFICO. Representa con la escala y las unidades convenientes, las rectas correspondientes a las parejas de valores (s, s’) obtenidas por el método de Gauss y por el de autocolimación. Determina gráficamente el valor más probable (en el S.I.) de fc y Pc .

Valor gráfico de fc: B:

Potencia Pc :

LENTE DIVERGENTE. Precisión Incertidumbre de la medida directa : 1

2

3

4

5

6

D – LD D–P e (En unidades S.I. y con el signo correspondiente): Distancia focal fd

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Potencia Pd

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Potencia de lentes delgadas

Nombre: Curso : Fecha :

Apellidos : Grupo : Letra de prácticas :

RESUMEN DE RESULTADOS. A.1 : LENTE CONVERGENTE (MÉTODO DE GAUSS). Suponiendo que el objeto siempre esté exactamente colocado en el cero de la regla del banco óptico, y teniendo en cuenta tus incertidumbres de medida directa, calcula las incertidumbres de medida indirecta ∆s’, ∆fc y ∆Pc , sólo para aquél par de valores (s, s’) de tu serie de medidas que tenga el menor módulo de s. Incertidumbre de medida directa, ∆ s = Incertidumbres de medidas indirectas: FÓRMULAS GENÉRICAS CALCULADAS ∆ s’ ∆ fc

∆ Pc Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo de los valores esperados y sus incertidumbres indirectas (sin redondearlos).

Rellena la siguiente tabla con los resultados convenientemente redondeados: MEDIDA INDIRECTA

VALOR

Incertidumbre

(VALOR ± Incertidumbre) unidades S.I.

s' fc Pc http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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A.2 : LENTE CONVERGENTE (AUTOCOLIMACIÓN). Suponiendo que el diafragma siempre esté exactamente colocado en el cero de la regla del banco óptico, y considerando sólo la incertidumbre de medida directa al enfocar la imagen devuelta por el espejo, calcula las incertidumbres de medida indirecta para el valor medio de fc , ∆fc, y para el de la potencia, ∆Pc .

Incertidumbre de medida directa: ∆ s = Incertidumbres de medidas indirectas : FÓRMULAS GENÉRICAS CALCULADAS ∆fc

Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo del valor esperado de la distancia focal media y su incertidumbre indirecta sin redondeos.

Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo del valor esperado de la potencia y su incertidumbre indirecta sin redondeos.

Rellena la tabla con los resultados convenientemente redondeados: MEDIDA INDIRECTA

VALOR

Incertidumbre

(VALOR ± Incertidumbre) unidades S.I.

fc Pc

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B : LENTE DIVERGENTE . Suponiendo que las posiciones tanto del diafragma (D) como la de la lente convergente no estén afectadas de error, y que las posiciones de la lente divergente (LD) y de la pantalla (P) estén afectadas por las incertidumbres de medida directa derivadas del proceso experimental, calcula las incertidumbres de medida indirecta para el valor medio de la distancia focal, ∆fd , y para el de la potencia, ∆Pd . (Ten en cuenta el convenio de signos para lentes divergentes). Incertidumbre de medida directa: ∆ (D-LD) = ∆ (D-P) = Incertidumbres de medidas indirectas: Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo de la incertidumbre indirecta ∆e:

Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo del valor medio esperado de la distancia focal, fd , y el de su incertidumbre indirecta, ∆fd, sin redondearlos.

Desarrolla en el siguiente espacio en blanco el cálculo del valor esperado de la potencia y su incertidumbre indirecta, sin redondeos.

Rellena la tabla con los resultados convenientemente redondeados: MEDIDA INDIRECTA

VALOR

Incertidumbre

(VALOR ± Incertidumbre) unidades S.I.

fd Pd

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CUESTIONES. 1. En un ojo humano que goce de vista normal, los rayos luminosos provenientes de un objeto situado en el infinito llegan al cristalino, una lente convergente que forma justo en la retina una imagen real, de menor tamaño e invertida (hecho que se compensa por mecanismos cerebrales que hacen que cualquier imagen sea vista correctamente). Como la distancia de la imagen al cristalino viene dada por la medida del globo ocular, el cristalino varía su curvatura para acomodarse a la buena percepción de las imágenes, aumentando su convergencia para poder proyectar sobre la retina un objeto que se halle muy cercano.

¿Para la visión cercana, aumenta o se reduce la distancia focal del cristalino?. _____________________________________________________________________ 2. ¿Qué tipo de lentes son las lupas de aumento? ¿Y las que se usan para corregir la visión de un ojo miope, donde los rayos se cortan delante de la retina? ¿Por qué? (Busca lentes de estos tipos si es necesario) _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. En el método de Gauss, ¿cómo es la imagen resultante con respecto al objeto, real o imaginaria, derecha o invertida ? ¿Es constante el aumento lateral A calculado de la lente convergente? ¿Qué ocurre con s’ y A cuando s= 2 f? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 4. ¿Qué método de los que has experimentado te parece mejor para conocer la potencia de una lente convergente? ¿Por qué? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 5. ¿Qué errores de medida directa has tenido en cuenta en la determinación de la potencia de la lente divergente? ¿Qué otro tipo de errores crees que no se han considerado en el cálculo de su incertidumbre indirecta? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac21.pdf

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