LEXIQUE DE MATHEMATIQUES FRANÇAIS-ESPAGNOL POUR L’EXAMEN DU SABER 11.(version 1)

Auteurs : Maria Beatriz ROCHA et Abderrazak SOUHAIL professeurs au lycée Louis Pasteur de Bogota. Mails : [email protected] et [email protected]

INTRODUCTION Madame, monsieur, chers parents, chers élèves Depuis quelques temps nous avions constaté que nos élèves avaient des difficultés non pas au niveau de la compréhension des concepts du Saber 11 examen qui permet l’entrée aux universités colombiennes, mais plutôt à celui du vocabulaire spécifique aux Mathématiques et des notations du système d’enseignement colombien. Pourtant la majorité d’entre eux poursuivent leurs études en Colombie quitte même à suivre plus tard un double cursus avec une université française. La fécondité universelle du langage mathématique ne devrait pas être occultée par la syntaxe de la langue de support qu’elle soit française ou espagnole : c’est pour cela que nous avons rédigé ce document. Ce lexique a été certes conçu pour aider nos élèves dans leur préparation à l’examen du « Saber 11 », mais aussi dans un souci d’élargir leurs connaissances. Nos élèves étant bilingues, seules quelques notions essentielles ont été traduites en français. Nous savons déjà, à cause de la forte demande exprimée par nos élèves que ce document bien qu’il soit perfectible va être d’une grande utilité. Ce sera avec beaucoup d’attention que nous répondrons à vos remarques, conseils, critiques et suggestions. Cette première version du « Lexique de Mathématiques Français-Espagnol pour l’examen du Saber 11 » est le fruit d’un travail collaboratif de deux enseignants : Mme Rocha ancienne élève du lycée Louis Pasteur, qui connaît bien le système colombien et moi-même professeur de Mathématiques du système français également au lycée Louis Pasteur de Bogota. Nous poursuivrons ce travail passionnant pour améliorer les contenus et la présentation : notre unique vecteur étant la réussite de tous. Bonne lecture et bonne chance !

Quelques notations mathématiques dans les deux systèmes français et colombiens.

Algunas notaciones matemáticas en los dos sistemas francés y colombiano.

Système français Droite (AB) Intersection (AB) Parallélisme Demi-droite

Systèma colombiano Recta (CD) =

Segment Distances AB et semblables Angles L’angle géométrique de sommet B Mesure de l’angle : ou mes( Deux angles semblables Deux angles de même mesure Triangle Le triangle de sommets A,B et C, est ABC Intervalles de

Rayo Segmento

AB Angulos

ou m

Triangulo

Intervalos de

LES NOTIONS ESSENTIELLES POUR LE SABER11- SOLIDES SOLIDOS

Poliedro - Polyèdre Un poliedro es un sólido delimitado por regiones del plano. Un poliedro es tridimensional. Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes.

Aplicaciones 1-Contar el número de caras, de vértices y de aristas del poliedro de la figura mostrada a la izquierda. 2-Verificar la siguiente relación: Número de caras + Número de vértices = Número de aristas+2.

Resolución: La siguiente figura muestra un poliedro limitado por diferentes tipos de polígonos.

El poliedro tiene las siguientes caras: -El triángulo -Los cuadriláteros: -El pentágono: El poliedro tiene en total 6 caras. Los vértices del poliedro son:

El poliedro tiene en total 8 vértices. El poliedro tiene las siguientes aristas:

El poliedro tiene en total 12 aristas. 2-Se verifica que: Elementos de un poliedro: -Cara: Es cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Face -Arista: Es cada uno de los lados de las caras Arête

Número de caras + Número de vértices = Número de aristas+2.

. Esta relación que conoce como la relación de Euler.

-Vértice(sommet d’une face ) : Es un vértice de una cara -Ángulo diedro (angle dièdre) : Es el ángulo formado por dos caras con una arista en común.

Formule d’Euler (Leonhard Euler 1707-1783) pour un polyèdre convexe quelconque S = nombre de sommets F= nombre de faces A=nombre d’arêtes S+F=A+2

Angle dièdre : on appelle angle dièdre la portion de l'espace comprise entre deux plans qui se coupent et qui, limités dans un sens par leur intersection, sont indéfinis dans l'autre sens. Des considérations analogues à celles que nous avons développées plus haut permettent de considérer un angle dièdre comme une quantité mesurable. L'arête d'un dièdre est l'intersection des plans qui lui servent de limites, ces plans eux-mêmes sont ses faces.

-Ángulo poliedro: Es el ángulo formado por tres o más caras con un vértice en común. Angle solide ou polyèdre : on appelle angle solide la portion de l'espace comprise entre plus de deux plans passant par un même point et limités à leurs intersections successives. Ces intersections sont ce que l'on appelle les arêtes de l'angle solide. Le point commun à tous ces plans, qui est aussi un point par lequel passent les arêtes, est le sommet de l'angle polyèdre ; les portions de plans qui forment l'angle polyèdre limité aux arêtes sont ce que l'on appelle les faces de ce polyèdre. Les dièdres formés par les faces sont les dièdres de l'angle solide.

-La Diagonal: Es el segmento que une dos vértices no pertenecientes a la misma cara. Definición: El área total (superficie) de un poliedro, se halla sumando las áreas de cada una de las caras del poliedro.

Poliedros regulares Polyèdres réguliers Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes(de même mesure ). Sus ángulos diedros son congruentes entre sí, asi como sus ángulos poliédricos.

Aplicaciones 1-Identificar cada uno de los siguientes patrones con su poliedro respectivo.

Existen exactamente cinco poliedros regulares que son: Ce sont les 5 solides de Platon  El tetraedro (le tétraèdre régulier) El tetraedro es un poliedro regular que tiene 4 caras. Cada cara es un triángulo equilátero 

El hexaedro o cubo (l’hexaèdre régulier ou cube) El hexaedro o cubo es un poliedro regular de 6 caras. Cada cara es un cuadrado.



EL octaedro ( l’octaèdre régulier) El octaedro es un poliedro regular de 8 caras. Cada cara es un triángulo equilátero.



El dodecaedro (Le dodécaèdre régulier) El dodecaedro es un poliedro regular de 12 caras. Cada cara es un un pentágono regular.



El icosaedro (L’icosaèdre régulier) El icosaedro es un poliedro regular de 20 caras. Cada cara es un triangulo equilátero.

Resolución: Con el patron a), se puede formar el tetraedro. Con el patron b), se forma un hexaedro (cubo) con tapa. Dibujo:

2-Suponga que una empresa construye cajas de cartón de acuerdo al patrón b. Suponga que las pestañas del patrón son trapecios con base menor igual a 1,5 y altura igual a 0,5. Hallar la expresión algebraica que permita determinar la mínima cantidad de material requerido para hacer una caja de este tipo.

Resolución: Para saber la mínima cantidad de cartón requerido se calcula el área total del patrón.

El área de cada una de las 7 pestañas se calcula según la formula:

El área de un cuadrado se calcula según la formula:

Entonces la expresión que permite determinar la mínima cantidad de cartón requerido es:

Prisma Prisme Es un poliedro limitado por dos polígonos congruentes en planos paralelos denominados bases, y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases.

Aplicaciones 1-La siguiente figura muestra un prisma recto. Determinar la superficie del siguiente prisma.

Dibujo:

En este prisma se tiene que:

Le triangle ABC est isométrique au triangle DEF Definición 1: Altura La altura de un prisma es el segmento perpendicular que une los planos que contienen las bases. Definición 2: Prisma oblicuo(prisme oblique) Un prisma es oblicuo cuando los ángulos formados por las caras laterales y las bases, tienen una medida diferente de 90

Definición 3: Prisma recto (prisme droit) Un prisma es recto cuando los ángulos formados por las caras laterales y las bases, tienen una medida igual a 90 . Es decir, que las aristas laterales coinciden con la altura del prisma como en el caso del prisma mostrado en la columna de la derecha.

Resolución: Sabemos que la superficie de un poliedro, es igual a la suma del área lateral (la suma de las áreas de las caras laterales) y el área de las dos bases(la suma de las áreas de las bases). El siguiente prisma tiene 4 caras laterales y dos bases. Por ser este, un prisma recto, las caras laterales son rectángulos. Las bases son también rectángulos. Hallamos primero el área de las caras laterales (el área lateral), sabiendo que la fórmula del área de un rectángulo es: largo ancho. Cada una de las dos caras laterales y tiene un área de: cm2 Las dos caras laterales restantes tiene cada una un área de: cm2 El área lateral es: cm2 El área de cada una de las dos bases es: cm2 El área total de las bases es: cm2

Por lo tanto, la superficie del prisma se puede determinar mediante la siguiente expresión:

cm2

Paralelepípedo Parallélépipède rectangle

Aplicaciones 1-¿Cuántas diagonales tiene el siguiente paralelepípedo?

Un paralelepípedo es un prisma, cuyas bases son paralelogramos.

Resolución: Las diagonales del paralelepípedo mostrado en la figura anterior son las que se dibujan a continuación:

El paralelepípedo tiene en total 4 diagonales.

Pirámide Pyramide Una pirámide es un poliedro que tiene como base un polígono cualquiera. Las aristas laterales se unen en un solo vértice, llamado el vértice de la pirámide. Las caras laterales de una pirámide son triángulos. Dibujo:

Definición: Altura La altura de una pirámide es, desde el vértice de la pirámide, el segmento perpendicular a la base. En el caso de la pirámide de la figura, la altura corresponde al segmento segment

Aplicaciones

1-El poliedro de la siguiente figura es una pirámide truncada. Es decir, se obtuvo cortando la pirámide por un plano paralelo a la base y separando la parte que contiene al vértice. Si el área de la base de la pirámide es de 12 cm2, calcule el área de la sección (la intersección del plano de corte con la pirámide).

Sea Sea

el área de la base. el área de la sección.

Sabemos que la sección obtenida es un polígono semejante al polígono de la base, por lo tanto los lados correspondientes de los dos polígonos son proporcionales. La razón de semejanza es igual a . Por lo tanto

. cm2

Cilindro Cylindre El cilindro es un sólido de revolución que se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje fijo llamado eje de revolución.(Axe de révolution) Dibujo:

Aplicaciones 1 Calcule el área total de un cilindro cuyas bases son circunferencias de radio r y cuya altura es igual a h. Resolución: Consideremos el cilindro sin las dos bases. El sólido obtenido, al desdoblarlo resulta en un rectángulo con ancho, el valor de la circunferencia y largo el valor de la altura del cilindro. La superficie lateral de un cilindro es equivalente a la superficie del rectángulo. Dibujo:

Definición 1: Eje(Axe) El eje es la recta fija alrededor de la cual gira la otra recta. Definición 2: Generatriz (génératrice) La generatriz de un cilindro es la recta que se gira alrededor del eje de revolución. Definición 3: Base La base de un cilindro es cada uno de los círculos congruentes entre si, ubicados en planos paralelos. Definición 4: Altura La altura de un cilindro es la distancia entre las dos bases.

El área lateral de un cilindro cuya base es un circunferencia de radio r y cuya altura es igual a h se determina mediante la siguiente expresión algebraica.

El área total es entonces el área lateral más el área de las bases. Como las bases son dos círculos congruentes., el área de las bases se calcula multiplicando el área de una base por 2.

Luego,

Cono Cône de révolution

Aplicaciones

El cono es un sólido de revolución que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Dibujo:

El sólido representado por la siguiente figura es un cono truncado. Es decir, se obtuvo cortando el cono por un plano paralelo a la base y separando la parte que contiene al vértice. Para calcular el área lateral del cono truncado, es suficiente con identificar la figura que se obtiene al desdoblarlo. Qué tipo de figura es? 2-Dar una fórmula general para calcular el área lateral de un cono truncado.

Definición 1: Eje Es el cateto alrededor del cual gira el triangulo Definición 2: Generatriz Es la recta que genera el cono, es decir la hipotenusa Definición 3: Base La base es el círculo formado por el cateto La base es un círculo de radio

.

. Resolución: Si se desdobla el cono truncado de base menor, un círculo de radio r, base mayor, un círculo de radio R, y altura h, se obtiene un trapecio como se muestra en la siguiente figura:

Definición 4: Altura La altura de un cono es la distancia del vértice a la base.

El área del trapecio es: El área lateral de un cono truncado con radio menor , radio mayor y altura es: .

Aplicaciones Se denominan paralelos, las circunferencias obtenidas al cortar la esfera por un plano perpendicular al eje de revolución. Por el centro de la esfera pasa exactamente un plano perpendicular al eje de revolución. La circunferencia obtenida es lo que se denomina El Ecuador. Dada una esfera de radio , determinar la expresión algebraica que permita determinar la longitud del Ecuador. Dibujo:

Resolución: El Ecuador resulta ser una circunferencia de radio . Por lo tanto su longitud es

Volumen Volume

Cada cuerpo geométrico o sólido ocupa un cierto espacio. A

Aplicaciones 1-Dado un cilindro de radio , y de altura , y un cono de radio y altura ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono y el del cilindro?

este espacio ocupado se le asocia un valor único positivo que es el volumen. La unidad principal de medida del volumen es la unidad lineal elevada al cubo. Por ejemplo, el metro cúbico (m3).

Tener en cuenta las siguientes fórmulas:

Existen varias fórmulas de medición de volúmenes para diferentes tipos de sólidos.

Resolución:

Ejemplo 1: El volumen de un prisma esta dado por la fórmula siguiente

El volumen del cono en función de es: = El volumen del cilindro en función de

es:

Ejemplo 2: La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es: Por lo tanto la razón entre volumen del cono y el volumen Teniendo en cuenta la fórmula anterior, calcular el volumen en m3 de una pirámide que tiene como área de base 30 dm2 y altura 5m. Sea el volumen de la pirámide. Sabemos que 1 dm = 0,1 m. Por lo tanto 1dm2=0,1 x 0,1=0,01 m2. Se deduce entonces que 30 dm2=30X0,01m2=0,3 m2

del cilindro es: . Lo que significa que el volumen del cono es un tercio el volumen del cilindro. El volumen del cilindro es el triple del volumen del cono.

0,5 m3

Capacidad Capacité Existe una diferencia muy sutil entre el concepto de capacidad y el concepto de volumen. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa

Aplicaciones 1-Una piscina tiene largo de 10m, ancho de 5m y profundidad de 1,8 m. a)Calcule el volumen de la piscina suponiendo que se puede

que es suficiente para contener a otra u otras cosas; Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. La unidad principal de medida de la capacidad es el litro (l). Entre el concepto de capacidad y el concepto de volumen existe una equivalencia que se basa en la relación entre la unidad de capacidad y el dm3 en donde: 1l = 1 dm3

representar como un paralelepípedo recto. b) Cuántos litros de agua son necesarios para llenar la piscina? Resolución:

Teniendo en cuenta tabla de las unidades de capacidad y la tabla del sistema métrico decimal, realizar las siguientes conversiones. a) 15 decilitros en cm3 b) 2 mililitros en m3 Tabla unidades de capacidad Kl

hl

dal

9

l 1 0, 0

dl 5 0

cl

ml

0

2

-Para convertir los valores anteriores dados en unidades de capacidad a las unidades de volumen pedidas, primero convertimos cada uno de los valores a litros, que es como convertirlos a dm3. Luego, convertimos los valores en dm3 en las unidades de volumen que se están pidiendo. Al representar los valores en la tabla, nos damos cuenta que: -15 decilitros (dl) equivalen a 1,5 litros es decir a 1,5 dm3 -2 mililitros (ml) equivalen a 0,002 litros es decir 0,002 dm3

Tabla de unidades de longitud

La piscina al tener la forma de un paralelepípedo recto, se deduce que: Tanto las caras laterales como las bases son rectángulos. El área de la base es entonces m2 La altura es igual a 1,8 m Por lo tanto el volumen es, según la fórmula del volumen de un prisma: m3.

Para conocer el número de litros necesarios para llenar la piscina, se deben de convertir las unidades de volumen en unidades de capacidad teniendo en cuenta la equivalencia: 1l = 1 dm3 Sabemos que 1dm=0,1m por lo tanto 1dm3=0,001 m3. Luego 90 m3 equivalen a 90 000 dm3. Es decir, 90 000 litros. Se necesitan 90 000 litros para llenar la piscina.

km

hm

Dm

m 0,

dm 1 1

cm 0

mm

1dm3= 1dm X 1dm X 1dm = 10 cm x 10 cm X 10 cm=1000 cm 3 Por lo tanto, 1,5 dm3(15 decilitros) es igual a 1500 cm3. 1 dm3=0,1 m X 0,1m X 0,1 m=0,001 m3 Por lo tanto, 0,002 dm3(2 mililitros) es igual a 0,000002 m3