LEY DE WIEDEMANN−FRANZ 1.− INTRODUCCIÓN TEÓRICA La razón de la conductividad calorífica K a la conductividad eléctrica para la mayoría de los metales es proporcional a la temperatura T, siendo el factor de proporcionalidad L igual para todos los metales: K/ =L*T Esto es debido a que se supone que la parte más importante del flujo calorífico, cuando existe gradiente de temperatura T, es transportada por los electrones de conducción. El metal puede representarse en forma de una caja llena de electrones libres para los cuales son válidas las leyes de la teoría cinética de los gases. Para que el metal fuera eléctricamente neutro se consideraba que contenía también la cantidad correspondiente de partículas más pesadas (iones), cargadas positivamente, en reposo. Se suponía también que los electrones estaban distribuidos según la función de distribución de Fermi−Dirac:

f=(m/h)3 1/4(exp[mv −Ep/KbT]+1) en la que m es la masa de los electrones y v su velocidad. De acuerdo con esta distribución, los electrones tienen a la temperatura T todos los valores posibles de las velocidades, con la particularidad de que, en ausencia de fuerzas exteriores, todas las direcciones de las velocidades son equiprobables y varían continuamente a causa de los choques con las partículas cargadas positivamente. No tendremos en cuenta las interacciones de un electrón con los otros en los intervalos entre choques. Para calcular la conductividad eléctrica vamos a suponer que durante el tiempo unidad un electrón experimenta choques con una probabilidad de 1/ donde es el tiempo de relajación o tiempo de recorrido libre del electrón. En cada choque el electrón sólo varía la dirección de su velocidad. En el tiempo el electrón recorre la distancia entre dos choques, igual al recorrido libre medio: <>=v Si los extremos opuestos del metal se someten a una diferencia de potencial que cree en cada punto del metal un campo eléctrico de intensidad E, el electrón, bajo la acción de una fuerza F=eE tendrá entre dos choques un movimiento uniformemente acelerado. Después de cada choque la velocidad del electrón puede tener cualquier dirección, con lo que la aportación a la velocidad media en la dirección del campo es: =(eE/m) La densidad de corriente a la que da lugar es, según la ley de Ohm: j= E Al calcular la conductividad calorífica se supone que, si existe gradiente de temperatura, los electrones de un choque a otro recorren las mismas distancias, iguales al recorrido libre medio, antes de transmitir su exceso de energía térmica a los átomos. Aplicando al gas electrónico las representaciones de la teoría cinética de los gases, obtenemos para la conductividad calorífica:

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K=2 (Db2T/9h)(3n/4)2/3 Y para la conductividad: =2/3e2(/h)(3n/4)2/3 El cociente entre los dos da: K/=(/3)(Kb/e)2T=LT donde L=2.45e−8 W/K2 es el número de Lorenz. En la realidad la relación K/ resulta ser una magnitud constante sólo a temperatura ambiente y a temperaturas más altas no depende de la clase de metal ni de T. En la región intermedia esta relación depende de la clase de metal y de la temperatura, ya que la conductividad calorífica en esta región no varía tan deprisa como puede esperarse por la ley de Wiedeman−Franz. La desviación de la ley de Wiedeman−Franz se debe a que el recorrido libre medio correspondiente a la conductividad eléctrica y calorífica, en general, son distintos, y no iguales como se supone en la teoría. Son iguales con exactitud bastante grande únicamente a temperaturas altas. El comportamiento de la conductividad calorífica es el siguiente: K=nKb<>T/3mvf En la fórmula anterior sólo depende de T el recorrido libre medio, que viene determinado por la dispersión de los electrones en los fonones y disminuye cuanto más denso es el gas fonónico. A temperaturas altas (T>> h) el tiempo de relajación va como 1/T y por tanto también . Por consiguiente, K=cte, es decir, la conductividad calorífica no depende de la temperatura. A temperaturas bajas (T<
3.MONTAJE Y REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA: a)Medida de la conductividad térmica. Para medir la conductividad térmica utilizamos una barra de un metal desconocido. En uno de sus extremos tenía enrollada una resistencia que actuaba como calentador por efecto Joule: al hacer circular por ella una intensidad desprendía una cantidad de calor que se puede calcular. Junto al calentador había un termómetro de platino para medir la temperatura del foco caliente y en el extremo opuesto había otro termómetro para medir la temperatura del foco frío, tal y como se indica en el esquema. El sistema se introduce en un contenedor de nitrógeno líquido, para enfriarlo y poder tomar medidas desde la temperatura de ebullición del nitrógeno, 77.3K, hasta la temperatura ambiente. Los termómetros consisten en una resistencia de platino, que varía con la temperatura de una forma conocida. Conociendo la intensidad que los atraviesa y midiendo la diferencia de potencial entre sus extremos podemos calcular la resistencia en todo momento. Las resistencias de platino tienen un comportamiento lineal con la temperatura, de modo que si realizamos el calibrado para dos temperaturas distintas podemos obtener la expresión que nos de la temperatura para cada diferencia de potencial: T=a+b*R ó T=A+B*V donde R=resistencia y V=diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia de platino. b)Medida de la conductividad eléctrica. Disponíamos en este caso, de una resistencia del mismo material que l barra anterior. Se le hacía pasar una intensidad de corriente de valor conocido y medíamos la diferencia de potencial que se establecía para cada temperatura. La resistencia estaba colocada en la misma caja que la barra para poder introducirla en el nitrógeno líquido y poder medir su valor en un rango de temperaturas similar al anterior. Disponíamos también de otra resistencia de platino para medir la temperatura del hilo a la vez que la diferencia de potencial. c)Medida de las intensidades. En una caja de resistencias teníamos el siguiente montaje: Rt es una resistencia que pusimos para estabilizar el valor de la intensidad. Debía ser lo suficientemente grande como para evitar variaciones grandes de la intensidad al bajar la temperatura. Como veremos, no se consigue estabilizarla del todo, quizá porque usamos un rango muy grande de temperaturas. Las resistencias RVIH , RVical y RVIT servían para calcular lsa intensidades: Ih = intensidad que circulaba por el hilo. Ical = intensidad que circulaba por el calentador. It = intensidad de los termómetros. En la figura siguiente se pueden ver todas las intensidades. Midiendo el valor de todas las resistencias, la diferencia de potencial entre sus extremos y aplicando la ley de 3

Ohm (V=I*R) obtenemos las intensidades. Consideramos que las intensidades se mantenían constantes a lo largo de la experiencia, sin embargo, como veremos más tarde, pudimos comprobar que no era estrictamente cierto. d)Procedimiento. NOTA: Al final de la práctica se explica como se han hallado los errores. El procedimiento que seguimos es el que a continuación detallamos: en primer lugar, realizamos el calibrado a temperatura ambiente; a continuación, introdujimos la caja con la barra y el hilo en el contenedor de nitrógeno y calibramos a 77.3K. Conectamos el calentador y medimos los voltajes. Para que la temperatura del conjunto fuese aumentando comenzamos a subir la caja, retirándola del nitrógeno líquido y dejándola en vapor, cada vez más alejada hasta llegar a la temperatura ambiente. Para realizar las medidas, tuvimos que optar por el método de deriva, debido a que era necesario esperar un largo tiempo para que se estabilizase la temperatura (de hecho, en los únicos momentos en que esta permaneció constante fue dentro del nitrógeno y fuera de él). −Calibrado de los termómetros: conocíamos la temperatura ambiente mediante un termómetro instalado en el laboratorio y la temperatura de ebullición el nitrógeno, de forma que midiendo los voltajes en esos dos casos podemos calcular los parámetros a y b de la recta T = a + bV. A partir de este momento para medir la temperatura de cada termómetro utilizamos los datos de los voltajes. A pesar de que en principio se suponía que los tres termómetros tenían el mismo comportamiento, realizamos el calibrado de cada uno por separado. De esta forma observamos que, aunque muy similares, los parámetros de los distintos termómetros no eran iguales. Una vez realizado el calibrado, pasamos a medir las distintas resistencias RVIH RVIcal RVIT, además de medir los voltajes entre sus extremos, para poder calcular las intensidades que atravesaban el hilko, el calentador y las resistencias de platino, respectivamente. A continuación, al mismo tiempo que íbamos subiendo la caja con la barra y el hilo, fuimos midiendo los voltajes de los termómetros VFF (foco frío), VFC (foco caliente), VTB (temperatura base), y el voltaje del hilo, VH. Para calcular la conductividad térmica usamos la ley de propagación del flujo de calor: Q=K*"T donde Q = flujo de calor y K = conductividad térmica. Q=W/S con W=Ical2 * Rcal = potencia disipada y S = superficie transversal de la barra (véase la figura). El gradiente de temperatura viene dado por: "T=(TFC − TFF)/l donde l = longitud de la barra. Tanto Rcal como l como la sección del hilo son datos que nos eran proporcionados. 4

Para hallar la conductividad eléctrica usamos que: = 1/ = l/(RS) siendo aquí s la sección del hilo. El número de Lorentz lo calculamos a partir de L = K/(T) Para eso representamos frente a Tbase y K frente a (TFF + TFC)/2 y luego comparamos sus valores. Tenemos dos posibilidades: *Hacerlo punto a punto, para cada valor de la conductividad térmica. *Usar los ajustes de las gráficas El segundo método sólo se puede usar en caso de que los valores se ajusten bien a una curva. BARRA1: Calibrado a temperatura ambiente: VFF =102.7 ± 0.1 mV VFC=101.6 ± 0.1 mV VTB=102.7 ± 0.1 mV VH=20.7 ± 0.1 mV T= 17.4 ±1C = 290.6 ±1 K Calibrado a 77.3K VFF =19.5 ±0.1 mV VFC=19.5 ± 0.1 mV VTB=19.8 ± 0.1 mV VH=6.8 ± 0.1 mV Resistencias RVIH=10.4 (medido con el polímetro 10.1 ± 0.1 ) RVIcal=1.01 (medido con el polímetro 1.5 ± 0.1 ) RVIT=100 (medido con el polímetro 99.2 ± 0.1 ) Voltajes VVIH=850 ± 1 mV VVIcal=267 ± 1 mV VVIT=95 ± 1mV Conectamos el calentador y medimos los voltajes en deriva. Tuvimos que hacerlo así porque el contenedor era 5

demasiado bajo, de forma que el sistema no quedaba bien aislado del medio y no alcanzaba un valor estable de temperatura, aumentaba casi continuamente. A continuación mostramos los datos obtenidos para los voltajes: VFF(mV) ± 0.1 102.7 19.5 43 60.4 67.5 75.2 79.4 86.3 90 91.1 95 105.7

VFC(mV) ± 0.1 103 19.5 43.1 62.9 70 77.7 81.8 88.6 92.2 93.4 97.2 107.9

VH (mV) ± 0.1 20.7 6.8 10.8 12.7 13.9 15.4 16.2 17.5 18.3 18.5 19.3 21.2

VTB (mV) ± 0.1 102.7 19.8 43.4 54.7 61.7 69.7 74.3 81.7 85.6 86.7 90.8 101.1

Los datos sobre la barra y el hilo, tomados de la hoja presente en el laboratorio, son los siguientes: Barra: S=1.96e−1 cm2 l=3 cm Rcal= 49 Hilo: S=1.96e−3 cm2 l=80 cm A partir de los datos experimentales a la temperatura ambiente y a 77.3K realizamos el calibrado de la temperatura: T= a + bV Para el foco frío: a = 27.3 ± 0.7 K b = 2.561 ± 0.007 K/mV Para el foco caliente a = 27.5 ± 0.8 K b = 2.564 ± 0.008 K/mV Para la temperatura base

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a = 26.4 ± 0.7 K b = 2.572 ± 0.007 K/mV Intensidades: IH=81.73 ± 0.79 mA Ical=264.36 ±26.27 mA IT=0.95 ± 0.01 mA La intensidad del calentador tiene un error muy grande porque la resistencia es muy pequeña y tiene mucho error. Va a hacer que el error en la conductividad sea muy grande. Con los datos obtenidos del calibrado vamos a calcular las temperaturas para cada voltaje. Tabla de valores de voltajes y temperaturas: VFF(mV) ± 0.1 TFF(K)

VFC(mV) ± 0.1 TFC (K)

102.7 19.5 43 60.4 67.5 75.2 79.4 86.3 90 91.1 95 105.7

103 19.5 43.1 62.9 70 77.7 81.8 88.6 92.2 93.4 97.2 107.9

290.22±1.68 77.23±1.09 137.39±1.26 181.93±1.38 200.11±1.43 219.82±1.48 230±1.51 248.24±1.56 257.7±1.59 260.53±1.59 270.51±1.62 297.90±1.7

291.17±1.88 72.41±1.21 137.83±1.40 188.51±1.56 206.69±1.62 226.40±1.68 236.90±1.71 254.31±1.77 263.52±1.79 266.59±1.80 276.32±1.83 303.71±1.92

VTB (mV) ± 0.1 102.7 19.8 43.4 54.7 61.7 69.7 74.3 81.7 85.6 86.7 90.8 101.1

TB(K) 290.3±1.68 77.25±1.09 137.9±1.26 166.94±1.34 184.93±1.39 205.49±1.45 217.31±1.48 236.33±1.53 246.35±1.56 249.18±1.56 259.72±1.59 286.19±1.66

Para la conductividad térmica tenemos que: K = Ical2Rcall/[S(TFC−TFF)] La resistividad eléctrica la calcularemos como: = RS/l = VHS/(lIH) A continuación presentamos la tabla de valores con el voltaje la resistividad y la conductividad: VH (mV) ± 0.1 20.7 6.8 10.8

K (W/mK) 5519±1114.1 30661.1±7157.5 11916±2314.3

(m*10−10) 6.21±0.31 2.04±0.3 3.23±0.3

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12.7 13.9 15.4 16.2 17.5 18.3 18.5 19.3 21.2

794.4±158.7 794.45±158.7 794.4±158.8 825.8±151.3 861.2±172.1 898.1±179.4 862.6±172.4 898.1±179.8 899.7±179.8

3.81±0.31 4.17±0.31 4.62±0.31 4.86±0.31 5.25±0.31 5.49±0.31 5.55±0.31 5.79±0.31 6.36±0.32

Como se puede ver en las tablas, los primeros datos de K aparecen muy desviados del resto, esto se debe a que en esos momentos, la temperatura del foco caliente era idéntica a la del foco frío; bien porque el calentador estaba apagado (como ocurre antes de introducir la caja en el nitrógeno) bien porque aún no ha calentado lo suficiente para que lo podamos medir. Puesto que la conductividad térmica no tiene un buen comportamiento, como se puede ver en la gráfica, en lugar de ajustarla a una curva y usar el ajuste para calcular el número de Lorenz, lo que haremos será calcularlo punto a punto. Para eso primero ajustamos la resistividad a una recta, calculamos los coeficientes del ajuste y luego obtenemos la resistividad para cada uno de los valores de la temperatura media para la que conocemos la conductividad térmica. En la gráfica de esta página podemos ver el ajuste de la resistividad a una recta. A continuación mostramos la gráfica de la conductividad térmica Los datos que obtuvimos para el número de Lorenz son los siguientes K (W/mK) 5519±1114.1 30661.1±7157.5 11916±2314.3 794.4±158.7 794.45±158.7 794.4±158.8 825.8±151.3 861.2±172.1 898.1±179.4 862.6±172.4 898.1±179.8 899.7±179.8

(m*10−10) 6.21±0.31 2.04±0.3 3.23±0.3 3.81±0.31 4.17±0.31 4.62±0.31 4.86±0.31 5.25±0.31 5.49±0.31 5.55±0.31 5.79±0.31 6.36±0.32

L(W/K2 *10−9) 1.89±7.04 1.81±6.19 1.87±6.82 1.79±5.24 1.68±5.05 1.79±4.89 1.85±4.69 1.91±5.08 2.00±5.25 1.92±5.03 2.00±5.20 2.00±5.12

TB(K) 290.3±1.68 77.25±1.09 137.9±1.26 166.94±1.34 184.93±1.39 205.49±1.45 217.31±1.48 236.33±1.53 246.35±1.56 249.18±1.56 259.72±1.59 286.19±1.66

Como puede observarse en la tabla anterior, el número de Lorenz no permanece constante, y se encuentra un orden por encima de su valor real, que es 2*10−8, esto, no es de extrañar, ya que el error de cada valor es muy grande, lo que hace que los resultados obtenidos no sean muy fiables. Entre las causas de error podemos mencionar: −Al medir en deriva a veces desde que empezábamos a tomar datos hasta que terminábamos cambiaba el valor de alguno de los voltajes. 8

−Utilizamos los valores teóricos para la resistencia del calentador, así como para las secciones y longitudes de los hilos. Además, la resistencia varía con la temperatura, con lo que conlleva un error el considerarla constante a lo largo de la práctica. Por esta razón , tampoco las intensidades son constantes. BARRA2: Repetimos el montaje que habíamos realizado en la parte anterior con la nueva caja. Los datos que obtuvimos el primer día no nos parecieron lo suficientemente fiables, por lo cual optamos por repetirla, siendo esta la razón de que se encuentren dos tablas de datos del laboratorio. Los datos sobre la barra y el hilo, tomados de la hoja presente en el laboratorio, son los siguientes: Barra: S=3.85e−1 cm2 l=3 cm Rcal= 70.5 Hilo: S=1.96e−3 cm2 l=47 cm Calibrado a temperatura ambiente: VFF =103.2 ± 0.1 mV VFC=103.1 ± 0.1 mV VTB=102.9 ± 0.1 mV VH=3.3 ± 0.1 mV T= 17.3 ± 0.1 C = 290.5 ± 0.1 K Calibrado a 77.3K VFF =19.6 ±0.1 mV VFC=19.8 ± 0.1 mV VTB=19.8 ± 0.1 mV VH=0.6 ± 0.1 mV Resistencias RVIH=10 ± 0.1 RVIcal=1.1 ± 0.1 RVIT=100 ± 0.1 Voltajes VVIH=96.4 ± 0.1 mV VVIcal=89.5 ± 0.1 mV VVIT= 84.8 ± 0.1mV

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A continuación conectamos el calentador y medimos los voltajes de los tres termómetros y del hilo. Los valores que obtuvimos fueron los siguientes: VFF(mV) ± 0.1 19.6 58.4 64.8 73.7 78.4 80.5 84.9 87.5 92.4 94.5 105.3 107.3 103.2

VFC(mV) ± 0.1 19.8 58.6 64.9 73.8 78.5 80.6 85 87.6 92.5 94.6 105.3 107.3 103.1

VH (mV) ± 0.1 0.6 1.4 1.6 1.9 2.1 2.1 2.3 2.4 2.6 2.6 3.0 3.1 3.3

VTB (mV) ± 0.1 19.8 46.6 52.7 61.7 66.5 68.6 73.5 76.2 82 84.1 95.8 97.5 102.9

A partir de los datos experimentales a la temperatura ambiente y a 77.3K realizamos el calibrado de la temperatura: T= a + bV Para el foco frío: a = 27.3 ± 0.6 K b = 2.551 ± 0.006 K/mV Para el foco caliente a = 26.6 ± 0.5 K b = 2.563 ± 0.005 K/mV Para la temperatura base a = 26.5 ± 0.6 K b = 2.574 ± 0.006 K/mV Intensidades: IH=89.5 ± 1.1 mA Ical=84.8 ± 7.48 mA IT=0.96 ± 0.01 mA

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Tabla de valores de voltajes y temperaturas: VFF(mV) ± 0.1 TFF(K)

VFC(mV) ± 0.1 TFC (K)

19.6 58.4 64.8 73.7 78.4 80.5 84.9 87.5 92.4 94.5 105.3 107.3 103.2

19.8 58.6 64.9 73.8 78.5 80.6 85 87.6 92.5 94.6 105.3 107.3 103.1

77.3±0.97 176.24±1.21 192.56±1.24 215.25±1.30 227.24±1.33 232.59±1.34 243.81±1.36 250.44±1.38 262.94±1.41 268.29±1.42 295.83±1.49 300.93±1.50 290.48±1.47

77.29±1.14 176.58±1.05 192.70±1.08 215.48±1.13 277.50±1.15 232.88±1.16 244.14±1.18 250.79±1.19 263.33±1.17 268.7±1.23 296.09±1.28 301.20±1.29 290.46±1.27

VTB (mV) ± 0.1 19.8 46.6 52.7 61.7 66.5 68.6 73.5 76.2 82 84.1 95.8 97.5 102.9

TB(K) 77.3±0.98 146.08±1.14 161.73±1.17 184.82±1.23 197.14±1.26 202.53±1.27 215.1±1.30 222.03±1.31 236.91±1.35 242.3±1.36 277.32±1.43 276.69±1.44 290.46±1.47

Para la conductividad térmica tenemos que: K = Ical2Rcall/[S(TFC−TFF)] La resistividad eléctrica la calcularemos como: = RS/l = VHS/(lIH) A continuación presentamos la tabla de valores con el voltaje la resistividad y la conductividad: VH (mV) ± 0.1 2.1 2.1 2.3 2.4 2.6 2.6 3.0 3.1 3.3 3.3

K (W/mK) 203.25±60.44 179.80±57.35 161.20±62.15 141.66±57.38 133.57±65.64 119.87±56.29 114.02±55.10 179.80±64.84 173.14±56.24 2337.9±521.32

(m*10−10) 4.29±1.21 4.74±1.21 4.74±1.32 5.19±1.38 5.42±1.49 5.9±1.49 5.9±1.72 6.77±1.78 6.99±1.89 7.45±1.89

En las gráficas siguientes observaremos el comportamiento de la conductividad térmica frente a la temperatura media (Tff − Tfc)/2. Por la misma razón que en el caso anterior, usaremos el mismo procedimiento para calcular el número de Lorenz, es decir, punto a punto. También representaremos la resistividad frente a la temperatura, al igual que en el caso anterior, para luego pasar a presentar los resultados obtenidos en una tabla.

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A continuación mostramos la tabla de valores en los que mostramos la temperatura media, la resistividad la conductividad y el número de Lorenz K (W/mK) 203.25±60.44 179.80±57.35 161.20±62.15 141.66±57.38 133.57±65.64 119.87±56.29 114.02±55.10 179.80±64.84 173.14±56.24 2337.9±521.32

(m*10−10) 4.29±1.21 4.74±1.21 4.74±1.32 5.19±1.38 5.42±1.49 5.9±1.49 5.9±1.72 6.77±1.78 6.99±1.89 7.45±1.89

L(W/K2 *10−10) 4.71±27.64 4.32±25.10 3.77±25.28 3.41±23.14 3.26±25.18 2.98±21.72 2.77±21.67 4.38±27.59 4.37±26.26 81.63±410.26

TB(K) 184.82±1.23 197.14±1.26 202.53±1.27 215.1±1.30 222.03±1.31 236.91±1.35 242.3±1.36 277.32±1.43 276.69±1.44 77.3±0.98

Los valores obtenidos para el número de Lorenz son compatibles con el valor teórico dentro del error. Sin embargo el error es muy grande, lo que hace que sean poco fiables los resultados. Al contrario que en el apartado anterior, en el que obteníamos un valor prácticamente constante, ahora obtenemos datos bastante dispares, sin poder mencionar una causa justificada. Las causa de error son, prácticamente, las mismas que en el apartado anterior, volvemos a mencionar: −El considerar las intensidades constantes cuando en realidad varían −El utilizar los valores teóricos para la resistencia del calentador, pero pudo haber variado con la temperatura. −El tomar los datos en deriva. APÉNDICE: CÁLCULO DE ERRORES. Para calcular los errores hemos utilizado las reglas usuales de propagación de errores: −Para una suma (o una resta) el error es la suma de los errores. −Para un producto o un cociente se suman los errores relativos. Cuando representamos gráficamente la resistividad frente a la temperatura, por ejemplo, usamos el ajuste por mínimos cuadrados para calcular los errores de los parámetros del ajuste. Cuando usamos la recta ajustada para calcular los valores de la resistividad para valores intermedios de la temperatura el error que le pusimos lo calculamos por propagación de errores, teniendo en cuenta los errores de la pendiente b y del parámetro a que obtuvimos mediante el ajuste. Laboratorio de Sólido Ley de Wiedemann−Franz − 1 −

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