Física 3 – ECyT – UNSAM 2015 Clases 3 y 4 Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss

Introducción al electromagnetismo Docentes: Diego Rubí Salvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3 1

Ley de Gauss








Clase 3 Revisión de los visto Campo Eléctrico Concepto de flujo de un campo vectorial Ley de Gauss- Ley fundamental Aplicaciones 2

Leyes básicas

Ley de Coulomb

– Gauss Las cargas

F = Ke

q1 ⋅ q 2 d

2

eléctricas se atraen o repelen

Ley de Gauss

Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados 3

1

Leyes básicas Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

A Ley de Inducción de Faraday – Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión

4

Propiedades de las cargas Conservación de la carga Cuantización de la carga Ley de Coulomb

F12 = ke

q1 ⋅ q2 1 q1 ⋅ q2 = d2 4πε 0 d 2

Principio de superposición La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo

5

Comparación entre las Fuerzas

Eléctricas y Gravitacionales.





Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo. Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

Fe = ke

q1 ⋅ q2 r

2

Fe = G

m1 ⋅ m2 r2

 Semejanzas en r2 semejanzas en los productos  Diferencias en las constantes  Diferencias en los signos.

mAmB y qAqB 6

2

Comparación entre las Fuerzas

Eléctricas y Gravitacionales Átomo de hidrógeno K=8.99 109 N/m2c2 G=6.67 10-11 N/m2kg2 Me=9.11 10-31 kg Mp=1.67 10-27 kg e= 1.6 10-19C








Fe(N)= Fg(N)= Fe/Fg=

Fe = k

q1 ⋅ q2 r2

Fe = G

m1 ⋅ m2 r2

8.2 10-8 N Las interacciones 3.6 10-47 N Eléctricas son

Muchísimas más fuertes 4.4 x 10-40 que las gravitatorias 7

Superpoción Lineal de las Fuerzas Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será

r r r r Fa = Fab + Fac + Fad + .. =

∑ i

kq a q i r r ai r ai2

o escrita de la siguiente forma:

r Fa =

1

∑

4πε 0

i

qa qi r rai rai3

Principio de superposición r r r r ETotal = ∫ dE = ∫ k 3 dq r

r r q r ETotal = ∑Ei = ∑k 3i ri r i i i

8

CAMPO ELÉCTRICO Campo

Eléctrico;

Fuerza por unidad de carga que se ejerce en

un punto P de espacio sobre una carga de prueba

q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUAL Q Q0 Q0, carga de prueba

F =

1 Q ⋅ q0 4πε 0 r 2

r E=

1

Q rˆ 4πε 0 r 2

r r F E= q0

r r F = q0 ⋅ E 9

3

Líneas de Campo Eléctrico Idea introducida por Faraday. Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo. El número de líneas por unidad de área, es proporcional a la intensidad del campo. Dan una idea grafica de la dirección e intensidad del campo 10

Fotocopias e Impresoras Láser Fotocopiadora

Impresora Láser El cilindro se carga

La imagen reflejada descarga selectivamente

El tonner se pega en la zona cargada

Cilindro Fotosensible

Plano simetría

11

Líneas de campo Plano simetría

Plano simetría

Dipolo eléctrico Dos cargas positivas 12

4

Simetría


Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido en el plano de simetría de una distribución de cargas E

E

+

+

+

+

Plano de simetría

+

Plano de simetría

13

Líneas de campo en esferas y planos Plano simetría

Esfera con carga negativa

Plano positivo Simetría esférica

Simetría planar

14

Principio de superposición Permite calcular el campo creado por una distribución de cargas

→

E = k e ∑i

r qi r dq (r ) r r = k ⋅ r i e ∫ ri3 r3

SUMA VECTORIAL

Distribuciones Continuas: densidades de carga :

Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3} Superficial

σ =dQ/dA, {C/m2}

Lineal λ =dQ/dL, {C/m}

15

5

Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado,

r dE =

λ=Q/2π.a

dE =

Ex =

1 dq rˆ 4πε 0 r 2 1 λadθ 4πε 0 r 2 dEx

θ

dE x =

Q, a

1

λadα

4πε 0

r2

dE

cos θ

Simetría

1 λa cosθ 2π 1 λa cosθ 1 Q⋅ x dα Ex = = 4πε0 (a 2 + x2 )3/ 2 ∫0 2ε 0 (a2 + x 2 )3/ 2 4πε0 (a2 + x162 )3/ 2

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.

dE x =

1 dQ ⋅ x 4πε 0 (a 2 + x 2 )3 / 2 σ =Q/πR2

Ex

dE x =

Ex =

1 σ ⋅ 2π ⋅ a ⋅ da ⋅ x 4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2

 x σ ⋅ x R a ⋅ da σ  1 − =  2ε 0 ∫0 (a 2 + x 2 )3 / 2 2ε 0  R 2 +17x 2 

Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado de radios R∞

E x = Lim R →∞

x σ  1 − 2ε 0  R2 + x2

  

Ex

Ex =

σ 2ε 0

El campo es contante

18

6

Campo entre dos placas paralelas -----------------σ Ex = 2ε 0 Superposición ï σ Ex = 2ε 0

Ex = 0

-----------------Ex =

++++++++++++++++ Ex = 0

++++++++++++++++

σ ε0

El campo uniforme confinado entre las placas

19

Resumen de Campo Eléctrico













El Campo Eléctrico es un campo vectorial. Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica. Simetrías e Es una propiedad del punto Para calcular el campo de una distribuciónr → q r dq ( r ) r Superposición E = k e ∑i 3i ri = ke ⋅ ∫ r r r 3 i Densidad de carga: λ,σ, ρ Campo de un Dipolo: p=q.d Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.

r r E // F

20

Concepto de Flujo Flujo ≈ Lat. Fluxus ≈ Fluir, manar. El flujo de un campo de velocidad está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo. Q=dVdt=

v.dt A

v

= A.v.dt/dt Q=A.v.

7

Concepto de Flujo Caudal = volumen del

Q=dV/dt=

liquido que para en la unidad de tiempo.

= A.v.dt/dt

v.dt

Q=A.v. A

v A

v.dt

θ A’ A=A’.cos θ

Q=A.v=A’.v.cosθ v

r r Q = A⋅v

FLUJO o descarga de un líquido dV = (v.dt ) ⋅ A = dΦ v ⋅ dt r r Φv = v ⋅ A = v ⋅ A

r r Φ v = ( v cos θ ) A = v ⋅ A

r r Φ v = ∫ v ⋅ dS

23

Definición de Flujo Campo Vectorial





La “cantidad” líneas de campo que atraviesan una superficie imaginaria S. Si r tenemos un campo vectorial, B ( x, y, z ) podemos en general definir un flujo que pasa por una superficie S, asociado a dicho campo, definido por:

r r ΦB = ∫∫B ⋅ dS

r B ( x, y , z )

r B ( x, y , z )

S

8

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”
Unidades de Flujo E= N-m2/C


r r Φ E = ∫∫ E ⋅ dS S

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida ε0

Flujo Eléctrico- Ley de Gauss E




Si la superficie encierra una carga Q0

E E

Q0

r r 1 dS 1 1 Φ E = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ = dS S 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 ∫∫ S S E r r 1 Q0 Q0 2 El flujo eléctrico encerrado Φ E = ∫∫ E ⋅ dS = 4πr = S ε0 4πε 0 r 2 por una superficie cerrada r r Q es igual a la carga neta ∫∫SE ⋅ dS = ε 0 encerrada dividida ε0 0

Carl Friedrich Gauss 1777-1855

El cálculo de la órbita de Ceres en 1801, como entretenimiento, nombrado en 1807 director del Observatorio Astronómico de Göttingen

Matemático, astrónomo y físico alemán. Contribuyó significativamente en muchos campos, teoría de números análisis matemático, geometría diferencial,  geodesia,  magnetismo óptica. "el príncipe de las matemáticas" "el matemático más grande desde la 27 antigüedad"

9

Flujo de campo

ε0Φ(S1)= +q ε0Φ(S2)= -q ε0Φ(S3)= 0

r

r

ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0Φ E = qneta S

28

Ley de Gauss y Conservación de cargas


Para un campo vectorial A cualquiera

r r

∫∫ A.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros) S

r r i=dq/dt i = ∫∫ J .dS

J J Q

s

Conservación de la carga

dQ dt

=

−

∫∫

r r J .d S

J

J

s

29

Ley de Gauss del magnetismo



No hay polos magnéticos aislados Si B es campo magnético

r r

∫∫ B.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros) S


Como no hay polos magnéticos aislados




Esta es ley de Gauss del magnetismo

r r

∫∫ B.dS = 0 S 30

10

La ley de Gauss La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.

r r q Φ E ≡ ∫∫ E.dS = in

ε0

La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

Superficies Gaussianas Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.

r r q Φ E ≡ ∫∫ E.dS =

r r Φ E ≡ ∫∫ E.dS =0

ε0

Ley de Gauss- Ley de Coulomb


De la ley de Coulomb sabemos que:

r E =


1 4 πε

q 0

r

2

rˆ

Por la simetría del problema:

ΦE =

r

r

∫∫ E ⋅ d S = ∫∫ E ⋅ dS S

Φ E = E ∫∫ dS = E 4 π ⋅ r


Ley de Gauss

r r dS // E

2

Φ E = q /ε0

r dS

33

11

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa? Sólo es útil para situaciones donde hay simetría. Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección. Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie). 34

Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular campos






La Ley de gauss es de validez universal Es “útil” para calcular campo E, cuando por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección. Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Ejemplo- Hilo delgado de carga Este problema tiene Simetría cilíndrica.

• Tomamos una superficie Gauussina como se ve el la figura. • La carga encerrada es q=λl r • Sobre las tapas Φ E=0, pues dS es r dS perpendicular a E r r • Sobre la cara lateral dS es paralelo a E • Por lo tanto 2π

Φ =

∫ EdS 0

= E ⋅ 2π ⋅ r =

E= λl ε o Er =

1 λ 2πε 0 r 1

λ

2πε o r

rˆ

12

Ley de Gauss- Campo de una placa plana

r

r

q

∫∫ E ⋅ dA = ε

E=

o

σ 2ε

q

EA =

εo

E2A =

σA εo

σ

E=

2ε o

37

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga

a

Radio

r>a

r

r r Φ E = ∫ E ⋅ dS = ∫ E.dS = E.∫ dS

a

S

S

S

2

Φ E = E.4π ⋅ r = Q / ε 0 1 Q ⋅ 4πε o r 2

E( r > a ) =

1/r2 a

r

Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga Radio E r

a

a

r