Álgebra y Geometría Analítica

Prof. Gisela Saslavsky

Polinomios Introducción. Nociones básicas Los conjuntos de números Q, IR y C verifican siempre que la suma y el producto de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto, es decir la suma o producto de racionales es racional, de reales es real y de complejos es compleja. Además, en ellos existe inverso para la suma e inverso para el producto (se puede restar y dividir sin salirse del conjunto). A los conjuntos con este tipo de características se les denomina cuerpos (a los conjuntos de arriba se les dice cuerpos conmutativos pues el producto es conmutativo, ab = ba) y se usan como conjuntos de números (o escalares) asociados a otros elementos: los polinomios, las matrices, los vectores, . . . . Definición: Se llama polinomio en la indeterminada X y con coeficientes en un cuerpo conmutativo IK, a toda expresión formal del tipo siguiente: a0 + a1X + a2X2 +… + anXn; siendo a0 , a1 , . . . , an elementos de IK Los números a0 , . . . , an son los coeficientes del polinomio, y cada sumando aiXi se llama el término de grado i o monomio de grado i del polinomio. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada X con coeficientes en IK lo denotamos por IK[X]: IK[X] ={a0 + a1X + … + anXn :

i ai IK}

Nosotros trabajaremos generalmente con IK = IR ó IK = C (y alguna vez con IK = Q). Así: IR[X] es el conjunto de los polinomios reales (con coeficientes reales), C[X] es el de los polinomios complejos (con coeficientes complejos), Q[X] es el de los polinomios con coeficientes racionales, . . . La letra X no representa ningún valor, no es una variable ni una incógnita: es solo un soporte para el exponente (el polinomio es una expresión formal). En otras palabras lo realmente significativo del polinomio, es la sucesión ordenada de sus coeficientes . Así: 3 + 8X - 9X2

(3; 8;-9; 0; 0;…)

8X - 9X2 + 3

(3; 8;-9; 0; 0; …)

Álgebra y Geometría Analítica 3 + 8X2+ 9X5 X 12

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(3; 0; 8; 0; 0;9; 0; 0; …)

(0; 1; 0; 0; 0; …) (12; 0; 0; 0; 0; …)

Para abreviar la escritura de todos los términos se usa la notación de sumatoria P(X) = a0 + a1X + … + anXn = (por convenio, X0 = 1) Definición: Sea P(X) un polinomio; diremos que P(X) tiene grado n, y lo denotaremos por gr(P) = n, cuando n es el mayor exponente de la X que tiene coeficiente distinto de 0. Los polinomios de grado cero son de la forma P(X) = c, con c IK y c

0. Al polinomio cero,

P(X) = 0, no se le asigna ningún grado. Definición: Diremos que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de cada término son iguales. Ejemplo: Encontrar a, b, c, tales que 3X + 5X2 + 12X4 = (a + 1)X + 5X2 + 2cX4 + (2a + b)X6 . Igualando coeficiente a coeficiente se obtiene el sistema de ecuaciones:

Resolviendo: a = 2, c = 6, b = -4

Operaciones en IK[X] Para P(X) = 3 + 6X2 - 5X4 y Q(X) = 2 - 8X - 6X2 + 7X6 , se tiene P + Q = 5 - 8X - 5X4 + 7X6 Podemos comprobar que gr(P + Q) = máx{gr(P); gr(Q)} = máx{4; 6} = 6.

Podemos comprobar que gr(P . Q) = gr(P)+ gr(P) = 4 + 6 = 10 Observaciones:

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El neutro de la suma es el polinomio cero P(X) = 0 y el neutro del producto es el polinomio 1, P(X) = 1. El inverso para la suma: de P(X) es (-1)P(X) = -P(X). No hay inversos para el producto: si el polinomio P(X) = X tuviera un inverso Q(X), tendría que ocurrir que P(X)Q(X) = 1. Pero entonces 0 = gr(1) = gr(P + Q) = 1 + gr(Q) = 1. Se cumplen las propiedades asociativas y distributivas. Si P(X) 0 y P(X)Q(X) = 0, entonces Q(X) = 0. Si P(X) 0 y P(X)Q(X) = P(X)R(X), entonces Q(X) = R(X).

Division euclídea de polinomios. Divisibilidad y factorización El conjunto IK[X] tiene en muchos aspectos una profunda semejanza con el conjunto Z de los enteros (algebraicamente tienen la misma estructura, ambos son anillos conmutativos). Así que cuando repases divisibilidad y factorización en IK [X] podés pensar en lo que ya sabés de estas operaciones en Z. Definición: Dados P(X) y Q(X) con Q(X)

0, existen dos únicos polinomios C(X) y R(X) tales

que: P(X) = C(X) . Q(X) + R(X), siendo R(X) = 0 ó gr(R) < gr(Q). Si R(X) = 0, se dice que Q(X) divide a P(X) y se escribe Q(X) I P(X). También se dice que Q(X) es un factor de P(X) Nota: El método de división de polinomios debe ser repasado por los alumnos. Los polinomios constantes, de grado cero, dividen a todos los polinomios y el polinomio cero es múltiplo de cualquiera. Definición: Un polinomio P(X) de grado n > 0 se dice reducible en IK[X] si existen Q(X) y C(X) polinomios no constantes de IK[X] tales que P(X) = Q(X)C(X). También se dice que Q(X) puede factorearse en IK[X]. Si no es reducible en IK[X], se dice irreducible en IK[X]. Observaciones:     

Si Q(X) y C(X) reducen a P(X), entonces 0 < gr(Q) < gr(P) y 0 < gr(C) < gr(P). En consecuencia, los polinomios de grado 1 son siempre irreducibles. Las constantes no se consideran irreducibles. Un polinomio es o no irreducible en IK[X]. Así, X2 + 1 es irreducible en IR[X] mientras que no lo es en C[X], pues X2 + 1 = (X - i)(X + i). Si Q(X) I P(X), entonces kQ(X) I P(X), para todo k IK. Por esta razón suele trabajarse con divisores mónicos.

Teorema: Todo polinomio P(X)

IK[X] admite en IK[X] una descomposición única en la forma

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Raíz de un polinomio Dado un polinomio P(X) = a0+a1X+…+anXn

IK[X] y α

IK, denotaremos por P(α ) al resultado

de efectuar en IK los cálculos: a0 + a1α + … + anαn . Definición: Se dice que α Teorema: α

IK es una raíz del polinomio P(X)

IK[X] si P(α) = 0.

(X - α) I P(X).

IK es raíz de P(X)

Demostración: Siempre podemos dividir P(X) entre X - α y su división entera es P(X) = C(X) (X - α) + R(X) donde R(X) = 0 ó gr(R(X)) < gr(X - α) = 1, es decir R(X) es cero ó es una constante distinta de cero IK y tenemos que: P(X) = C(X) (X - α) + r , luego P(α) = C(α) (α - α) + r = r .

luego R(X) = r

Como P(α) = r se puede concluir que P(α) = 0

r=0

P(X) = C(X) (X - α)

(X - α) IP(X)

Corolario: Un polinomio, de grado mayor que 1, irreducible en IK[X] no tiene raíces en IK. Nota: El resultado inverso “si no tiene raíces en IK entonces es irreducible en IK[X]" no es cierto. Por ejemplo, en IR[X], el polinomio X4+5X2+4 = (X2+1)(X2+4) es reducible, pero no tiene raíces en IR. La condición “de grado mayor que 1" se debe a que los polinomios de grado uno aX+b son siempre irreducibles y siempre tienen una raíz. Definición: Diremos que α P(X) = (X - α)m Q(X) con Q(α)

IK es una raíz de multiplicidad m del polinomio P(X)

IK[X], si

0.

Lema: Sea P(X) = Q(X)R(X). Si α

IK es raíz de P(X) con multiplicidad m y Q(α)

0 (no

es raíz de Q(X)), entonces α es raíz de R(X) con multiplicidad m. Teorema: Un polinomio de grado n posee, a lo sumo, n raíces (contadas con sus multiplicidades). Demostración: En efecto, si P(X) tiene r raíces α1 , α2 , . . . , αr , de multiplicidades respectivas m1 , m2 , ...,mr , entonces P(X) = (X - α1)m (X - α2)m ... (X - αr)m Q(X), por el Lema anterior. Luego 1

2

r

n = gr(P(X)) = m1 +m2 + ... +mr + gr(Q(X)), por lo que el número de raíces , m1 +m2 + ... +mr , es a lo sumo n.

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Factorización de polinomios de coeficientes complejos El siguiente resultado será utilizado sin demostración (no es elemental): Teorema fundamental del Algebra: Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado mayor o igual que uno posee al menos una raíz compleja. Consecuencias:   

Un polinomio de grado n tiene n raíces en C (contadas con sus multiplicidades). Todo polinomio de grado n > 1 se descompone en producto de n factores de C[X] de grado 1. Los únicos polinomios irreducibles en C[X] son los de grado 1.

Ejemplo: 4X2 - 8X + 13 tiene dos raíces en C: (1 + i) y (1 - i) Se descompone en producto de dos factores de C[X] de grado 1: 4X2 - 8X + 13 = 4(X - (1 + i))(X - (1 - i))

Factorización de polinomios en IR[X] Puesto que IR está incluído en C, un polinomio de IR[X] puede mirarse como perteneciente a C[X], y descomponerlo en factores lineales en C[X]. Ahora bien, estos factores puede que no pertenezcan todos ellos a IR[X]. Nota: Los polinomios de grado 2 del tipo (X-α)(X- ) con α no real, son irreducibles en IR[X]. Teorema: Sea P(X) un polinomio real. Si α es una raíz compleja (y no real) de P(X), entonces el conjugado de α también es raíz de P(X), y con la misma multiplicidad que α. Teorema: Todo polinomio de coeficientes reales y grado mayor o igual que 1 se descompone, en forma única, en IR[X] como producto de factores irreducibles de grado 1 o de grado 2. P(X) = an(X - α1)m ... (X - αr)m (X2 + c1X + d1)n ... (X2 + ctX + dt)n 1

r

1

t

donde αi IR son las raíces reales, y los coeficientes reales de los polinomios de grado 2 se obtienen con cj = -(fj + ) y dj = fj , de las raíces fj y

complejas de P(X).

Corolario: Un polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.

Factorización de polinomios de coeficientes racionales Sea P(X) un polinomio con coeficientes racionales, P(X) Q[X]. Entonces, tomando un múltiplo común a todos los denominadores de sus coeficientes, m, el polinomio P*(X) = mP(X) tiene todos sus coeficientes enteros, y tiene las mismas raíces que P(X).

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En consecuencia, basta estudiar las raíces de un polinomio de coeficientes enteros: Teorema (Criterio de Gauss): Sea P(X) = a0+a1X+...+an-1Xn-1+anXn un polinomio con ai a0. an

Z,

i,

0 . Entonces,

1.- Si P(X) posee una raíz α 2.- Si P(X) posee una raíz α = (La expresión de α =

Z, entonces α I a0 . Q, entonces p I a0 y q I an .

debe estar simplificada al máximo, es decir, mcd(p; q) = 1.)

Nota: La utilidad del teorema estriba en que se puede construir una lista de candidatos a raíces y luego comprobar si cada uno de ellos es o no raíz del polinomio. Ejemplos: Hallar las raíces racionales del polinomio P(X) = 7X4 +

X3 +

X2 - 20X - 3.

Buscamos las raíces racionales de Q(X) = 4P(X) = 28X4 + 95X3 + 41X2 - 80X - 12. Como 12 = 223, sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 y los negativos -1, -2,-3, -4, -6 y -12, éstas son las posibles raíces enteras de Q. Comprobamos si Q(1) = 0, si Q(2) = 0, si Q(-1) = 0, etc. Si lo hacemos usando la división por Ruffini, tenemos además la descomposición del polinomio. Se tiene Q(X) = (X + 2)(28X3 + 39X2 - 37X - 6) Buscamos ahora las raíces de Q1(X) = 28X3 + 39X2 - 37X - 6, y la lista de posibles raíces enteras se reduce a 1, 2, 3 y 6 y se tiene Q(X) = (X + 2)2(28X2 - 17X - 3) Buscamos ahora las raíces de Q2(X) = 28X2 - 17X - 3, y la lista de candidatos enteros se reduce a y

1

3. Ninguno de ellos es raíz, por lo que buscamos las raíces fraccionarias:

Como 28 = 227, sus divisores positivos son 1, 2, 7, 4, 14 y 28. Las posibles raíces racionales de Q2 son: y se tiene Q(X) = (X + 2)2(X + 1/7)(28X - 21) Luego la descomposición final es: Q(X) = 28(X + 2)2(X + 1/7 )(X – 3/4). Nota 1: Por supuesto, como el polinomio Q2 es de grado 2, es más fácil y sencillo obtener sus raíces de la manera habitual, usando la resolvente de segundo grado.

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Nota 2: Usando el criterio de Gauss también podemos trabajar desde el principio con la lista de candidatos racionales, en vez de hacerlo primero con los enteros. 2) Hallar el polinomio real cuyos ceros (raíces) son 1, 1, y –4 + i

Saber las raíces determina el polinomio a menos de una constante: P(x) = k (x-1) (x-1) (x- [-4-i] ) (x- [-4+i] )

conjugados 3) Hallar todas las raíces y factorizar el polinomio P(x) = x4 – 8x3 + 64x – 105 en polinomios irreductibles en C[X] y en R[X] Usando el criterio de Gauss obtenemos que -3 y 7 son raíces de P Luego: P(X) = Q(X). (x – 7) (x + 3) Aplicando el algoritmo de división (o usando dos veces Ruffini) obtenemos Q(X) = x2 – 4x + 5 Usando la resolvente de segundo grado: X12 = Entonces hay dos raíces complejas 2 + i, 2 – i (que son conjugadas) Por lo tanto, las cuatro raíces de P(X) son 2 + i, 2 – i, 7,- 3 Se factoriza el polinomio en R[X]: x4 – 8x3 + 64x – 105 = (x – 7) (x + 3) (x2 – 4x + 5) Se factoriza el polinomio en C[X]: x4 – 8x3 + 64x – 105 = (x – 7) (x + 3)(x – (2 + i)) (x – (2 – i))