Los métodos de cálcul o de Heaviside y sus aplicaciones ma s Importantes po r Francisco Martínez Gonzalez Ingeniero de Telecomunicació n Diplomado de la E . S. E . de París, Licenciado en Ciencia s

El nombre de Oliver Heaviside (nacido en Camdem el 18 de Mayo d e 1850) merced a su famosa capa de la alta atmósfera, sobre la que descansan las modernas teorías de la propagación de las ondas electromagnéticas, es hoy de todos bien conocido ; no obstante, el malogrado hombre d e ciencia no alcanzó esa popularidad creando en la rama de la electricida d los conceptos impedancia, reactancia, inductancia, etc . ; siendo el prime ro que criticó la errónea idea que hasta entonces se tenía del papel de l a autoinducción en los conductores telefónicos, dando la importante condición del llamado cable sin deformación; e introduciendo en las investigaciones matemáticas métodos de cálculo tan sorprendentes como los qu e nos ocupan, en los cuales se desborda su genio creador de tal modo qu e bien puede enorgullecerse la Patria de Newton de contarle entre su s preclaros hijos . Rendir, por tanto, homenaje a la memoria de este sólido pilar en qu e descansa la madeja constitutiva del actual sistema nervioso del mundo e s una obligación moral de toda revista que basa en la técnica de la electricidad sus actividades principales . Además, estos métodos, por su fecundidad y útil colaboración par a el conocimiento y cultivo de la telecomunicación eléctrica, constituyen u n principio de doctrina cuya difusión lleva al propio tiempo aparejada un a importante labor didáctica, principalmente porque este hombre original , que consideraba las matemáticas como una ciencia experimental, public ó sus trabajos sin la adecuada deducción que los privara de su carácte r empírico, y también a causa de las lagunas existentes en nuestra bibliografía sobre el particular, y aún en buena parte de la extranjera . Rd-2 (1 .°)



J?u&ddad RADIOELEC FR1CIDAD, positivo valor de la España de Franco, es e l vehículo cumbre para desarrollar este doble propósito que el articulista s e propone, aspirando tener a tal fin, favorable acogida por parte de est a publicación que está siempre dispuesta a colaborar en nobles empeños empeños .

Ecuación integral de Carso n

Para llegar a la deducción y conocimiento de las llamadas «reglas d e Heaviside» entre las que se encuentra el famoso «teorema de expansión » hemos de establecer primeramente la «ecuación integral de Carson» y s u «resolvente de Wagner-Bronwich» . Consideremos para ello la ecuación diferencial lineal, de coeficiente s constantes an --

L

dn

--

1

dy tn_~ + . . . + a, d t +

d n—1 an–1

ao

donde 1 (t) es la función unidad, que es cero para todo valor negativo d e 1 y uno para los valores positivos de dicha variable . Basta definirla por l a relación ~a-+oo i

1 (t)

e '~t

1 2

- ~ - d i,

~

siendo

a > 0 - ►0

a—ao i

puesto que eligiendo para cerrar el contorno de integración la semicircun ferencia de diámetro a ± oo i situada en el semiplano de la derecha d e dicho diámetro cuando t sea menor que cero, y la situada en el semiplan o de la izquierda cuando t sea positivo, siendo entonce s e~r

0

a lo largo de dicha semicircunferencia, la integral tiene como valor e l resíduo correspondiente a los puntos singulares del integrando, comprendidos en cada recinto, o sea cero y uno respectivamente . Supongamos ahora que las condiciones iniciales so n dy j/ (7~

t

d2 y d

12

dn-1 y . . .

din - 1

(2 )

para t< 0 Resulta entonces que multiplicando ambos miembros de la ecuació n Rd-2 (1 .°)



diferencial propuesta por e- pt e integrando entre cero e infinito nos encon tramos con términos de la form a .cO

0

e -pt 'Y yd t d /In

en su primer miembro, los cuales niediante una reiterada integración po r partes pueden escribirse

'

cc

( p C,

in ),m

—pt d e dt

dy=pm

con lo cual la (1) se convierte e n

"

[(Ir, P +

an-t

pn-t

- f--. .. . a, p

í'o

GO

+ ao] C

-p t

oo

jo

y (t) dt

e

e-pt y(t)dt--==Z(P)

,

~ 0

ey (t) d t

1 P

teniendo presente que 1 (t) e-0 d t — p

-t

0

Es decir, que tenemos la relación integral debida a Carso n

o Z (P)

0

e-pt v (t) d t . . .

(3)

entre la función desconocida y (t) y un polinomio Z (p) resultante de sustituir en el primer miembro de (1) las derivadas de los distintos órdene s por una potencia de p igual al orden de cada una de ellas . La función 9(P)__PZ1(P

)

se designa con el nombre de determinante y la y (t) con el de generatriz . Resolvente

de

Wagner

Bronwich

r_ d z z ' \

1

Supongamos, para seguir adelante, que la función determinante y (p) es holomorfa en el semiplano R e (p) > a, siendo a real y positivo (R e — parle real) . El teorema de Cauchy nos 0 permite escribir, integrando a lo largo del con torno C de la figura 1, y para todo punto p del interior del mismo 1

(P)



C-z

(z) _p

d z,

1 1

$

4

,/ - C 1 Fig . 1 Rd-2 (1 .•)



y en la hipótesis de que cuando p crece indefinidamente, la integral . a l o largo del semicírculo tiende a cero (*) result a 1 (P)

( ---d z z— p oo i

27c i

Por otra parte, s i Re(p)> R e (z) se tiene la identidad —t(p—z ) o

e

cit-

(4 )

p— z

que llevada a la última igualdad nos permite escribir : x+oo i etZ'f (z) dz , x—co i

.ao

p(P)=

2

9(z)dz x - }- oo i

e

dt

2 i

o

e –pt dt '.

o

y por comparación con la ecuación integral de Carson, resulta : Y (t)

2

•a+ co i e tz 9 (z) d z

i

(5 j

Estamos ahora en condiciones de deducir las famosas reglas d e cálculo . Desarrollo de la función generatriz y (t) en serie de potencia s (1 . 8 regla de Heaviside )

«Si la función determinante 9 (p) es desarrollable en serie de potencias negativas de p, se puede desarrollar la función generatriz y (t) e n (*)

Sucede si para valores de p superiores a una cierta cuantía,

(P) CMp

(p) es tal qu e

R . . .(~3>1 )

ya que en el semicírculo e s

z-- a+p(cos h-+-isett d) -= + p e l °

dz

(z — x)id H

y la integral en dicho semicírcul o

(z) dz

sc z— p Rd-2 (1 .°)

(f))dO