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Los números naturales 1 De los 12 estadios alemanes donde se disputaron los partidos del mundial de futbol 2006, el de Berlín es el de mayor capacidad de espectadores: 74 176. a. Si las entradas estaban agrupadas en talonarios de 1 000 unidades, ¿cuántos talonarios completos se necesitaron para la venta de las localidades? ¿Cuántas entradas sobraron? b. Si las entradas estaban agrupadas en talonarios de 100 unidades, ¿cuántos talonarios completos se necesitaron para la venta de las localidades? ¿Cuántas entradas sobraron? 2 En el número 74 176, el primer 7 que aparece, leyendo de izquierda a derecha, ¿cuántas unidades representa? ¿Y el segundo 7? 3 La tabla de la derecha muestra la capacidad de cada uno de los 12 estadios del mundial 2006. a. Construyan una tabla ordenando los estadios según su capacidad, en forma creciente. b. Redondeen las capacidades a las unidades de mil. c. Redondeen a las decenas de mil y calculen mentalmente cuántos espectadores entran en los doce estadios al mismo tiempo. 4 Una empresa de turismo compró 17 talonarios de 10 entradas para el partido inicial del mundial, jugado en Munich. ¿Alcanzaron las entradas para sus 159 clientes? ¿Cuántas faltaron o sobraron?

Estadio

Capacidad

Berlín

74 176

Colonia

46 120

Dortmund

59 000

Frankfurt

48 132

Gelsenkirchen

53 804

Hamburgo

51 055

Hannover

44 652

Kaiserslautern

41 170

Leipzig

44 199

Munich

66 016

Nüremberg

41 926

Stuttgart

54 267

5 Representen en la recta numérica los números obtenidos en la actividad 3, punto b.

40 000

50 000

6 Escriban un número natural que cumpla con las siguientes condiciones: que tenga cinco cifras distintas; que su redondeo a las unidades de mil sea 29 000; que su cifra de las centenas sea 7; que su cifra de las decenas sea menor que 3. ¿Hay un único número que cumple con las condiciones, o más de uno? 1

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El sistema decimal y los números romanos 7 Realicen la descomposición decimal de los siguientes números. a. 43 078 c. 305 775 e. 31 884 972 b. 125 366 d. 4 023 441 f. 80 019 8 Copien en sus carpetas y completen los lugares en blanco. a. 35 485 = 3 x 10 000 + 3 x 1 000 + + 4 x 100 + 8 x 10 + 5 b. 473 100 = + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 + 10 x 9 En la caja del banco hay 538 billetes de $100, 1 345 de $10 y 796 monedas de $1. Escriban una cuenta que permita calcular cuánto dinero hay en la caja y luego realicen el cálculo. 10 Actividad resuelta Descompongan el número 3 257 de tres formas distintas, por 10, 100, 1 000 o 10 000. Solución: 3 257 = 3 x 1 000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 7 3 257 = 32 x 100 + 5 x 10 + 7 3 257 = 3 x 1 000 + 25 x 10 + 7 11 Descompongan los siguientes números de tres formas distintas. a. 3 784 c. 33 433 e. 4 194 b. 56 812 d. 50 000 f. 87 654 12 Escriban en números romanos o en cifras, según corresponda. a. 48 = c. 174 = e. 380 = b. LXV = d. XXIV = f. CDLVII = 13 En el año 2004 se realizaron los Juegos Olímpicos en la ciudad de Atenas. Fueron los XXVIII Juegos Olímpicos modernos. ¿Cuántos Juegos Olímpicos se habían llevado a cabo hasta ese momento, en la era moderna? 14 Descubran los números romanos que están mal escritos, y escríbanlos correctamente. — a. XIII c. XVIIII e. XMLXXXIII b. XDIII d. CI f. CCCIV

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Conteo 15 ¿Cuántos números capicúa (se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda) de dos cifras hay? 16 ¿Cuántos números capicúa de tres cifras hay entre 721 y 889? 17 En un juego se arrojan una moneda y un dado. ¿Cuántos resultados posibles hay? Escriban todos los resultados. 18 En un juego se arrojan un dado rojo y uno verde. ¿Cuántos resultados posibles hay? Escriban todos los resultados. 19 En una pequeña ciudad, las patentes de los autos tienen una vocal y un número del 0 al 9. ¿Cuántos autos pueden patentarse?

Sugerencias para estudiar Estrategias de conteo En muchos casos, tenemos que contar elementos de un conjunto. Si estos elementos son muchos, y parecidos entre sí, es muy común que nos olvidemos de alguno, o repitamos otro. Para evitar eso, es importante elegir un procedimiento adecuado. Por ejemplo, si quisiéramos dibujar todas las banderas de dos franjas diferentes, disponiendo de cuatro colores para elegir (amarillo, blanco, rojo y verde), sería conveniente seguir estos pasos:

Paso 1. Consideramos todas las banderas que

Paso 2. Elegimos otro color para la franja supe-

tengan la franja superior amarilla. Para la franja in-

rior, por ejemplo el rojo. Para la franja inferior

ferior podemos usar el blanco, el rojo y el verde.

nos quedan el blanco, el amarillo y el verde.

Paso 3. Luego elegimos el blanco para la franja

Paso 4. Finalmente, solo quedan el verde pa-

superior, y quedan el rojo, el amarillo y el verde

ra la superior y el blanco, el amarillo y el rojo

para la inferior.

para la inferior.

Por lo tanto, pueden dibujarse 3 x 4 = 12 banderas diferentes.

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Actividades integradoras 20 Julieta debe pagar $3 847. Muestren tres formas distintas de sumar esa cantidad utilizando solo billetes de $100 y de $10, y monedas de $1. ¿Hay más posibilidades?

21 La tabla de abajo muestra la cantidad de usuarios de Internet entre los años 1998 y 2004, en la Argentina: Usuarios (en miles)

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

700

1 200

2 400

3 500

4 000

5 200

7 000

a. ¿Cuántos usuarios se registraron durante 1998? b. ¿Cuántos usuarios se registraron durante 2002? c. ¿Cuántos usuarios más hubo en 2001 respecto de 2000? 22 Redondeen a las centenas los radios de los siguientes planetas del sistema solar y luego ubiquen los resultados en una recta como la de abajo.

0

Planeta

Radio (en km)

Mercurio

2 439

Venus

6 052

Tierra

6 378

Marte

3 398

1 000

( en km)

23 ¿Cuál es el menor número romano que puede escribirse utilizando una sola vez cada uno de los siguientes símbolos: I, V, X, D?

24 ¿De cuántas formas distintas se pueden llenar los casilleros

con I, V, X,

D? ¿Corresponden todas las formas a números romanos? ¿Por qué?

25 El redondeo de un número a las decenas es 870. ¿Cuál puede ser ese número? Es-

870

criban todas las posibilidades.

26 ¿Cuál es el mayor número que, al ser redondeado a las centenas, da como resultado 1 300?

27 ¿Cuál es el menor número que, al ser redondeado a las centenas, da como resultado 1 700?

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Para hacer con mate El descomponedor numérico El siguiente es un juego por equipos de 4 o 5 integrantes cada uno. No es necesario que todos los grupos tengan la misma cantidad de miembros. Cada equipo debe elegir un vocero. Antes de comenzar el juego, debe establecerse el puntaje necesario para ganar. Para participar en este juego, además de los equipos, debe haber un coordinador. Necesitan un bolillero con bolitas numeradas del 0 al 9 y tarjetas como las que se muestran a continuación: Multiplicaciones por:

Multiplicaciones por:

Multiplicaciones por:

10, 100 y 1 000

10 y 100

10 y 1 000

Para jugar, se sigue este procedimiento.

Paso 1. Se mezclan las tarjetas y se las coloca boca abajo sobre una mesa. El coordinador o coordinadora elige una tarjeta y copia en el pizarrón la instrucción, para que todos puedan leerla.

Paso 2. El coordinador o coordinadora saca sucesivamente 4 bolillas del bolillero. Al sacar la primera bolitas, anota el número en el pizarrón. Esta primera bolita debe ser distinta de cero. En caso de que haya salido el cero, debe repetir la operación hasta que extraiga una bolita con un número entre 1 y 9. Luego coloca la bolilla otra vez en el bolillero y realiza 3 extracciones más, de manera que pueda formar un número de 4 cifras.

Paso 3. En cuanto quede escrito el número, cada equipo deberá descomponerlo siguiendo las instrucciones de la tarjeta. Se puede sumar como máximo un múltiplo de 10, un múltiplo de 100 y un múltiplo de 1 000. Ejemplo: salen la tarjeta amarilla y los números 5, 5, 3 y 4. Debe descomponerse el número 5 534 utilizando sumas de múltiplos de 10 y de 1 000. Deben escribir: 5 x 1 000 + 53 x 10 + 4 (0 x 1 000 + 553 x 10 + 4).

Paso 4. El vocero del grupo levanta la mano y el coordinador o coordinadora lo anota por orden hasta que todos los equipos hayan terminado.

Paso 5. Los integrantes de cada grupo escriben en el pizarrón sus resultados. Cada respuesta correcta tiene un puntaje según el orden en que completaron el paso 3. Por ejemplo, si juegan 5 equipos, cada respuesta correcta vale 5, 4, 3, 2 o 1, respetando el orden en que terminaron. Si la respuesta es incorrecta, el equipo no suma puntos. Gana el equipo que alcanza o supera el puntaje establecido al comienzo.

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El baúl matemático ¿Avispas que cuentan? Algunos científicos opinan que ciertos cierta cantidad de orugas vivas, de las que pájaros e insectos son capaces de contar.

se alimentarán las larvas al nacer. Misterio-

Uno de los casos más asombrosos es el de samente, la madre sabe si cada huevo que las avispas Eumenus, una especie en la que

puso va a ser un macho o una hembra. Si el

el macho es bastante más pequeño que la huevo es un macho, le lleva 5 orugas; si es hembra. La avispa madre deposita sus hue-

una hembra, le lleva 10.

vos en celdas y provee a cada huevo de una

Los sistemas de numeración El sistema de numeración posicional fue creado y utilizado por los antiguos sumerios, un pueblo que vivió hace aproximadamente 6 000 años. Estas ideas fueron luego olvidadas, hasta que los hindúes, hace unos 1 500 años, reformularon el sistema. También se debe a los hindúes la incorporación del número cero.

Las computadoras y los sistemas de numeración El sistema de numeración en base 2 o binario es un sistema posicional que utiliza dos símbolos para representar los números: el 0 y el 1. Los números naturales representados en este sistema se ven de la siguiente manera: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, ...

Un triángulo de sumas 0, 1, 2, 3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

10,

11,

12,

13, ... Completen los círculos con los nú-

El sistema binario es el que utilizan las computadoras para realizar meros del 1 al 9, de manera que la susus operaciones. Las computadoras, en su memoria principal, almace- ma de los números de cada lado del nan información en celdas de memoria. Para identificar estas celdas, la triángulo sea 20. computadora les asigna nombres que se representan mediante una lista ordenada de ceros y unos, es decir de dígitos binarios. La palabra bits deriva del inglésbinary digits, que significa “dígitos binarios”. Una lista de 8 bits se denominabyte.

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