Matematica II

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Analisis Matemático

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LOS NÚMEROS REALES a.- Definición:

R=Q U I

b.- Propiedades: Densidad: Es el conjunto de los números Reales es un conjunto dentro de dos números reales, que significa que entre dos números reales existe siempre un número Real. c.- Gráfica: En la recta Real

Origen Sentido (+) Unidad de Medida

d.- Conjuntos Especiales de números Reales: INTERVALOS: Los conjuntos más sencillos dentro de los números reales son los intervalos que se definen de la siguiente manera: 1º- Intervalo Abierto de extremos a y b con a, b ε R y a < b (a, b) = { x ε R / a < x < b } 2º- Intervalo Cerrado de extremos a y b con a, b ε R y a < b

[a, b] = { x ε R / a ≤ x ≤ b } 3º- Intervalo Semiabierto a derecha de extremos a y b con a, b ε R y a < b

[a, b) = { x ε R / a ≤ x < b } 4º- Intervalo Semiabierto a izquierda de extremos a y b con a, b ε R y a < b

(a, b] = { x ε R / a < x ≤ b } 5º- Intervalos Infinitos • • • •

(a,+∞] = { x ε R / x > a } [a,+∞] = { x ε R / x ≥ a } (-∞, a] = { x ε R / x < a } [-∞, a] = { x ε R / x ≤ a }

6º - La Recta Real puede también expresarse en la notación de intervalo de la siguiente manera (-∞,+∞) e.- Entorno de un Punto: Es un intervalo abierto que contiene a dicho punto o sea (a, b) entorno de X0 ⇔ a < X0 < b Por lo general se considera entorno simétricos . En ellos X0 es llamado centro de entorno y la cantidad 2

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b−a   = r es llamado Radio del Entorno  2  ENTORNO REDUCIDO: Es un entorno de dicho punto, sin considerarlo al mismo Notación:

ε (X ) Entorno Cualquiera ε (X ) Entorno Simétrico ε * (X ) Entorno Reducido 0

R

0

R

0

f.- Desigualdades: Es el conjunto de los Nº Reales tiene la propiedad de ser un conjunto ordenado lo que significa que: Dados a y b ∈ R se verifica una y solo una de las tres posibilidades ab

Tricotomía

Las siguientes expresiones reciben el nombre de Desigualdades ab a≥b Postulado de Orden: Los postulados de orden, sirven para realizar operaciones con las desigualdades: Sean a, b y c ∈ R I. II. III. IV.

Si Si Si Si

a 25 caso B

x ≤ 25

25 - x = - 2 + 2x - x - 2x = - 2 – 25 - 3x = -27 x=9

caso B

x > 25

- 25 + x = - 2 + 2x - 25 + 2 = 2x – x -23 = x Absurdo

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FUNCIONES

Producto Cartesiano: Sean A y B de dos conjuntos, se llama producto cartesiano de A xB a la totalidad de pares ordenados tales que la primera componente pertenezca al conjunto A y la segunda componente pertenezca al conjunto B o sea : AxB =

{(x,y)/ x ∈ A

∧ y∈B

}

Propiedades: El producto cartesiano no es CONMUTATIVO AxB ≠ BxA Gráfica de un Producto Cartesiano: Es conocida la correspondencia 1 a 1 entre los planos ordenados de nºR y los puntos en los planos. Usando este concepto graficaremos el producto cartesiano de la siguiente manera: Si el par (x, y) ∈ AxB ⇒ P(x, y) ∈ a la gráfica de AxB. Relación: Sean A y B dos conjuntos determinaremos con ello el producto cartesiano de AxB. Considerando el par x, y ∈ a AxB y llamaremos P(x, y) a una proposición referida a x, y, dichas proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. Luego una Relación R es un subconjunto del producto cartesiano de AxB formado por todos los pares de (x, y) a AxB para ello la proposición dada es verdadera

R ⊂ AxB R = {(x, y) / P(x, y) es verdadera} son aquellos que cumplen la relación Dominio de un Relación: Es un conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación DR = {x ∈ A / (x, y) ∈ R} Rango o Imagen de una Relación: Es un conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación. IR = {y ∈ B / (x, y) ∈ R} Gráfica de una relación: La gráfica de una Relación está formada por los puntos P de las coordenadas (x, y) pertenecientes al plano que tienen las siguientes propiedades: P(x, y) ∈ Gráfica ⇔ (x, y) ∈ R Relación Inversa: Dada la Relación R contenida de AxB se define la relación Inversa de la siguiente manera: R-1 = {(x, y) / (x, y) ∈ R} R-1 ⊂ BxA Ejemplo: a.- Dados los conjuntos A = {x ∈ Z / -2 ≤ x< 4}

A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3}

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B = {x ∈ Z / x2 = 4}

B = {-2, 2}

1º ) Determinar el producto cartesiano de AxB . 2º ) La relación R = {(x, y) ∈ AxB / x e y sean nº Impares}. 3º ) Indicar el dominio, la imagen, la gráfica y la Relación inversa.

Desarrollo: 1º ) AxB =

(-2, -2);(-1, -2);(0, -2);(1, -2);(2, -2);(3, -2);(-2, 2);(-1, 2);(0, 2);(1, 2);(2, 2);(3, 2)

2º) R1= ∅ 3º) DR = ∅

IR = ∅

R-1 = ∅

MAGNITUD VARIABLE O SIMPLEMENTE VARIABLE Es aquella que asume diferentes valores numéricos, Las variables por lo general se representan con las últimas letras del abecedario (x, y, z). Constantes: Es aquella que tiene solo un único valor, las constantes se indican con las primeras letras del abecedario a, b, c. Función : A menudo es posible encontrar ejemplos en los cuales aparece una relación funcional entre dos o más factores. Por ejemplo la formula del A = π ⋅ r2 es tal que a variaciones del radio producen variaciones en el área (A) lo que implica que los valores de A dependen de los valores que asume el radio. Sean A y B dos conjuntos: Una función f de A en B ( f: A→B) es una particular relación del producto cartesiano de A x B que tiene la propiedad de Unicidad y la Condición de Existencia . Analíticamente lo podemos expresar: ∀ x ∈ A ∧ y ∈ B ⁄ (x, y) ∈ f

Condiciones: 1º.

(x1, y1) ∈ f 2º

Si

⇒

(x2, y2) ∈ f

1 2 3

y1 = y2

3 4 5

Notación de Función 1º)

f: A → B x → y = f(x)

2º)

f =

(x, y) ∈ A x B ⁄ y = f (x)

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DOMINIO, CODOMINIO, RANGO O IMAGEN DE UNA FUNCION Supongamos tener una función definida de la siguiente manera. f: A → B x → y = f(x)

Dominio de una f: Son todos los elementos de A

⇒Df=

x ∈ A ⁄ y = f (x) = A

Cf =

y ∈ A ⁄ y = f (x) = B

Codominio de una f son todos los elementos de B Llamado conjunto de llegada.

If =

y ∈ A ⁄ y = f (x) = ⊂ B

Imagen de una f son todos los elementos de B Llamado conjunto de llegada.

o también

Df =

x ∈ A ⁄ (x, y) ∈ f = A

Gráfica de una Función:

Por ser una función particular su gráfico es posible realizarlo mediante puntos en el plano (gráficos y continuas) Criterio de Gráficos: Forma de identificar una función: Dado el siguiente gráfico para saber si ella representa una función se debe trazar una paralela al eje y e verificar que dicha paralela corte al gráfico en un solo punto.

Forma de Determinar el dominio de una Función: Una vez que se ha verificado que la gráfica es una función para obtener su dominio se proyecta la curva sobre el eje de las abscisas. Forma de determinar la imagen de la función: Idem al anterior pero proyectando, sobre el eje de las ordenadas. VALOR NUMÉRICO DE LA FUNCIÓN Cuando la variable independiente (x) toma valores del dominio la función x = a es siempre posible determinar su correspondiente valor llamado imagen que será: x = a ⇒ y = b = f(a) Luego a este último se lo llama valor numérico de la función en (a) Ejemplos: Dadas las siguientes funciones. 8

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a ) y = f(x) = 2x2

b ) y = f(x) =

c ) y = f(x) = | x |

d)y=

x + 3 si x ≠ 1 -4 x2-25

e ) y = f(x) =

-3 si x < 1 1 si 1 ≤ x < 2 4 si x > 2

si x = 1

f ) y = ln(x+5)

. 1º) Indicar el dominio de las funciones. 2º) Graficar las funciones a, b y e. 3º) Calcular los siguientes valores numéricos

f (5) f (4) f (5)

para la función a) para la función d) para la función e)

Función creciente y decreciente

Sea f una función definida de la siguiente manera: f: (a,b) -
R x -
y=f (x) 1) Decimos que f es creciente en el intervalo (a,b) ⇔ ∀ x1 x 2 ∈ ( a, b ) x1 < x 2 ⇒ f (x1) ≤ f ( x 2 ) NOTA: En la anterior función solo se cumple que: f (x1) < f ( x 2 ) cuando la función es estrictamente creciente.

2) Decimos que f es decreciente en el intervalo (a,b) ⇔ se cumple lo contrario de lo anterior ∀ x1 x 2 ∈ ( a, b ): x1 < x 2 ⇒ f (x1) ≥ f ( x 2 ) NOTA: Si en la anterior definición solo se presenta que: f (x1) > f ( x 2 ) decimos que la función es estrictamente decreciente. 9

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Función Implícita y Explícita

Una función que esta dada se dice que es explícita o de la forma implícita cuando la relación que vincula a x e y esta resuelta o no para una de las variables.

Explícita: y = f (x)

Ejemplo y = 3x + 9

Implícita: f (x,y) = 0

Ejemplo 5x + 9y – 8 = 0

Función Inversa

Dada la función f, decimos que g es la inversa de f si (f o g ) (x) = (g o f ) (x) = x . La inversa de la función f, se denota por f –1 . Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Ejemplo: Hallar la función inversa de y = f(x) = x2 Para ello encontramos la función g(x)= √ x mediante pasaje de términos de la función f(x) y luego comprobamos la condición: (f o g ) (x) = (g o f ) (x) = x de la siguiente manera: f(g(x) ) = [ g(x)]2 = [√ x ]2 = x Análogamente g(f(x) ) = [ f(x)]2 = √x2 = x como observamos las funciones f(x) y g(x) son iguales por lo tanto son funciones inversas.

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Gráficamente:

Estudio de algunas funciones elementales Función Lineal: Una función lineal es una función: f : R --
R dada por f(x) = a x + b que en lo sucesivo indicamos por y = a x + b

La gráfica de una función lineal es una recta: Casos particulares y=ax+b

a≠0

a≠1

y=ax

a= 0

y=x

Si b = 0

a=0

y=0

a≠1

y=ax+b

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a≠0 Si b≠ 0

a=0

y=x+b

a=0 y=b

Función Cuadrática: Se llama función Cuadrática a la función polinómica de segundo grado: Es decir, una función Cuadrática es una función dada por : F : R -
R X -
f(x) = a x2 + b x + c donde a , b , c ∈ R y a ≠ 0 La gráfica de la función recibe el nombre de Parábola. Sus dos ramas son simétricas con respecto a una recta, dicha recta recibe el nombre de eje de simetría de la curva.Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría y se denota con V(x0; y0 )

Análisis de una función Cuadrática f(x) = a x2 + b x + c

Si b=c= 0

b=0

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El vértice de la parábola pasa Por el origen de coordenadas Y la función es: y = a x2

El vértice de la parábola pasa por la ordenada al origen y la función es: y = a x2 + c

El eje de simetría de las funciones esta dado por x = x0 El vértice por V ( x0 ; y0 ) Las raíces por x1 y x2 Formula para encontrar las raíces:

x = −b + b 2 − 4ac

Función polinómica de grado 3 Se llama función cúbica a la función polinómica de tercer grado: Es decir, una función cúbica es una función dada por : F : R -
R X -
f(x) = a x 3 +b x2 + c x +d donde a , b , c ,d ∈ R y a ≠ 0 La gráfica de la función recibe el nombre de Parábola cúbica.

Caso particular: y= a x3 Dominio: Df = R

Función exponencial Se llama función exponencial a la función dada por : f : R -
R X -
f(x) = a x donde “ a “ es una constante positiva distinta de 1

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Todas las curvas están incluidas en el semiplano positivo respecto del eje X. El eje X es asintota de cada una de las curvas. Todas las curvas cortan al eje Y en el punto de coordenadas P ( 0; 1 ) Función logarítmica: Una función logaritmo de base a donde: y = loga x ⇔ ay = x su gráfica es la siguiente donde el dominio son todos los números reales positivos.

Sus dos ramas son simétricas con respecto a una recta, dicha recta recibe el nombre de eje de simetría de la curva.-

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DEFINICIÓN



Limite



INTUITIVA



RIGUROSA

LIMITE LATERALES

 LIMITES INDETERMINADOS







TIPOS

CONTINUIDAD

DISCONTINUIDAD

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Limite de una función Para las siguientes funciones: a)

y = f(x) = 3x +2

b) y = f(x) = x2 - 1 x - 1

2x si x ≠ 1 c)

y= f(x) = 0 si x = 1

a) Determinar el dominio b) Estudiar que sucede en el punto x0 = 1 c) Graficar las funciones y estudiar que sucede con la función para puntos próximos de x0 = 1 Luego del análisis se llega a la definición intuitiva de límite.Definición Intuitiva de Limite: Sea f una función definida en un entorno del punto x0 (pudiendo estar o no definido). Decimos que limite de una función cuando x-
x0 es igual a un numero real “l” ( lim f(x) = l ) si al aproximarse “x” al “x0” por derecha o por izquierda el valor de y = x-
x0 f(x) se acerca e incluso puede llegar a ser igual a “l”.Definición rigurosa de límite: Lim f(x) = l ↔ ∀ ξ > 0 ∃, δ > 0 / ∀ x E Df y x ≠ x0 que cumple con la distancia (x,x0 ) 0 ∃, δ > 0 / ∀ x E Df ∧ 0 < | x – x0 | < δ
| f(x) - l | < ξ Ejemplo: Demostrar que: lim x – 4 = 2 x
6 ↔ ∀ ξ > 0 ∃, δ > 0 / ∀ x E Df ∧0 < | x – 6 | < δ
| x - 4 - 2 | < ξ |x - 6 | 0

Límites notables lim Cx = C * 0 = 0 x
0

lim Cx = C * ∞ = ∞ x
∞

lim C/x = C / 0 = ∞ x
0

lim C / x = C / ∞ = 0 x
∞

lim x/C = 0/C = 0 x
0

lim x / C = ∞ / C = ∞ x
∞ 17

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Limites indeterminados b) ∞/∞ g) 00

Del tipo: a) 0/0 e) 0∞ f) 1∞

los otros c) ∞ - ∞ d) 0 . ∞ se estudiaran en las unidades posteriores.

Nuestro estudio se basara en las del tipo 0/0 y ∞/∞ Laas indeterminación del tipo 0 / 0 : para salvar este tipo de indeterminación tendremos que realizar una revisión de los sigientes contenidos: b) Factoreo c) Ecuación de 2º grado d) Factorización de trinomios e) Regla de Ruffini f) Teorema del Resto . g) Racionalización Ejemplos de los temas mencionados anteriormente Utilizando Factoreo 1º Caso: Factor Común lim 2x2 - 4 x = 2 x ( x x
0 x

- 2 ) = 2 ( x – 2 ) = -4 x

3º Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto: lim x2 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) 2 = ( x – 1 ) = 0 (x - 1) x
1 x - 1

5º Caso: Diferencia de Cuadrado lim x2 - 25 = ( x - 5 ) (x + 5 ) = ( x + 5 ) = 10 (x - 5) x
5 x - 5 6º Caso: Binomio Homogenio lim x5 - 32 = ( x - 2 ) (x4 + 2 x3 + 22 x2 + 23 x + 24 )=(x4 + 2 x3 + 22 x2 + 23 x + 24 )=80 x
2 x - 2 (x - 2) Ecuación de 2º grado: lim x2 + x - 6 = (x - 2 )*(x + 3) = (x+3)=5 (x - 2) x
2 x - 2 C.A. x1 = 2 x =−b+ b −4ac 2

2a

= x2 = -3

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Límite utilizando racionalización lim x - 2 = ( x - 2 ) (√x + √ 2 ) = ( x - 2 ) (√x + √ 2 ) = (√x + √ 2 ) = 2 √ 2 x
2 √x - √ 2 (√x - √ 2 ) (√x + √ 2 ) (√x)2 – (√ 2 )2 Limite utilizando la regla de Ruffini o el teorema del resto. lim = (x3 - 5 x2 + 7 x - 2 ) = ( x2 - 3 x + 1) (x - 2) = x
2 x-2 (x - 2) 1

-5

7

-2

1

2 -6 -3 1

2 0

2

c(x) = x2 - 3 x + 1 Indeterminación del tipo ∞ / ∞: Si f(x) es una función racional, se dividen numerador y denominador de la fracción por la variable elevada a la mayor potencia que tenga en la expresión. Los posibles casos se resumen como sigue:

lim P(x) = ∞ = x
∞ Q(x) ∞

∞ , si el grado de P(x) > grado de Q(x) 0, si el grado de P(x) < grado de Q(x) K si grado de P(x) = grado de Q(x) p siendo K y p los coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x)

Ejemplo: lim (3x4 - 2 x + 1 ) = 3 x
∞ (7x4 + x2- 5 x + 2) 4 Primer Limite fundamental: lim sen (x) = 1 x
0 x lim tg(x) = 1 , x
0 x Ejemplo: : lim x
0

, lim x = 1, x
0 sen (x) lim (x) x
0 tg(x)

= 1,

sen ( 2 x )= lim 2 . sen ( 2x ) = lim 2 . lim sen ( 2x ) = 2 . 1 = 2 x x
0 2x x
0 x
0 2x

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Segundo límite fundamental Definiendo los límites: x

Ejemplo: lim 1 + 1 x
∞ x

=e

; lim x
0

(1 + x)1/x = e

Entonces, la indeterminación 1∞, se resuelve por reducción mediante operaciones. 3x

Ejemplo: lim 1 + 3 x
∞ x lim x
∞

1+ 3 x/3

15x/3

=

= (1∞ ), hacemos las siguientes transformaciones algebraicas.

lim x
∞

1+

3 x/3 15 = e15 x/3

FUNCION CONTINUA Una funcion continua es tal que su grafica es una curva continua que no presenta salto ni interrupciones. Funcion continua en un punto: Sea f definida en un entorno de x0 Y f es continua en x0
∀ ξ > 0 ∃, δ > 0 / ∀ x E Df ∧ 0 < | x – x0 | < δ
| f(x) - l | < ξ Dada la semejanza entre esta función y la de limite podemos enunciar la definición de continuidad en un punto de la siguiente manera: 1) ∃ f(x0 ) F es continua en x0 ⇔ 2) ∃ lim f(x) = l ( finito) x
x0 3) ∃ f(x0 ) = l (finito) DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN: Si una de las tres condiciones enunciadas en la definición segunda no se cumple, entonces se dice que f tiene en x0 una discontinuidad o bien que f no es continua en x0. Puede a su vez ser evitable o no evitable. La discontinuidad será o se dirá evitable aunque no se cumpla las condiciones 1 y 3 pero se cumple la 2. En este caso redefinir la función de la siguiente manera: *

f(x) si x = x0 f(x) = l

si x = x0

Ejemplo : f(x) = x2 - 9

si x

=3

x - 3 20

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*Funcion redefinida:

f(x) =

x2 - 9 si x = 3 x - 3 6 si x = 3

Teorema del valor intermedio Si f es continua en [a;b] y K es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe un punto C , interior al intervalo [a;b] , donde la función alcanza el valor K. Sea f continua en [a;b] y f(a) 〈 K 〈 f(b) . Debe probarse que ∃ C ∈ (a;b) / f(c)= K

Realizar grafico

Teorema de Bolzano Si f es una función continua en el intervalo [a;b] y f(a) .f(b) 〈 0, entonces existe un punto C, interior al intervalo, donde f(c)= 0

Realizar grafico

Teorema de Weierstrass Primer teorema: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a;b] , entonces f está acotada en dicho intervalo. o sea, f continua en [a;b] ⇒ f acotada en [a;b]

Segundo teorema: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a;b] , entonces dicho intervalo máximo y mínimo absoluto o sea, f continua en [a;b] ⇒ f acotada en [a;b]

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DEFINICIÓN



DERIVADAS LATERALES



PROPIEDADES



REGLAS OPERATIVAS DEL CALCULO DIFERENCIAL

Derivada



DERIVADAS





ELEMENTALES



COMPUESTAS



ORDEN SUPERIOR



IMPLICITAS

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL



DIFERENCIALES

Derivada de una función 24

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Incremento de una variable: Sea f una función tal que esta definida de la siguiente forma: f : Dominio ⊆ R
R x
R Estudiaremos a continuación como varia la función ante una variación. Para ello definiremos en 1º lugar lo que es el incremento de una variable. El incremento de una variable, cuando esta pasa de un lugar a otro es la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la variable. Traducido esto a las variaciones independientes y dependencias de la función. Supongamos que x (variable independiente) x1
x2 ∆ x = x2 - x1 x1
y1 = f (x1 ) x2
y2 = f (x2 ) ∆ y = f (x2 ) - f (x1 )

Signo de los incrementos

Resumiendo tenemos∆ x puede ser + o - y uno nulo, mientras que ∆ y puede ser positivo, - y nulo de esta manera cuando la función y = f(x) es tal que la V i x se incrementa en un valor ∆ x
la función sufre también un incremento ∆ y. Su cociente entre ∆ y / ∆ x se lo indica con el nombre Razón Promedio de Cambio y el límite de este cociente cuando la V i o Razón Instantánea de cambio. ∆ y razón promedio de cambio o cociente incrementado ∆x lim ∆ y razón instantánea de cambio ∆ x
0 ∆ x Cambio de notación: Llamemos x a x1 ∆ x = x2 - x x
y = f (x ) x2
y2 = f (x2 ) ∆ y = f (x2 ) - f (x ) Luego la razón promedio de cambio en el intervalo cerrado [ x , x +∆ x] será ∆ y = f ( x + ∆ x) – f (x ) ∆x ∆x 25

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y la razón instantánea de cambio es:

lim ∆x

∆ y = f ( x + ∆ x) – f (x ) ∆x ∆x

Función Derivada La función que expresa la derivada de una función y = f(x) para todo valor x, se denomina función derivada y se representa por y´, f´(x) o df /dx •

f´(x) se calcula hallando f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x − − > 0 ∆x

lim

en un punto genérico x. • La derivada de f´(x) se llama derivada segunda; se representa por f´´(x) . La derivada de f´´(x) es la derivada tercera; y así sucesivamente, Se designa por f n (x) la derivada de orden n. Ejemplo : Hallar la derivada de la función: f ( x) = x 2 ---
f´( x ) = lim ∆ y = f ( x + ∆ x) – f (x ) ∆ x
0 ∆ x ∆x f´( x ) = lim ∆ y = ( x + ∆ x)2 - x 2 ∆ x
0 ∆ x ∆x f´( x ) =

lim ∆ y = x2 +2 x ∆ x + ∆ x2 - x 2 ∆ x
0 ∆ x ∆x

f´( x ) = lim ∆ y = ∆ x (2 x + ∆ x) ∆ x
0 ∆ x ∆x f´( x ) =

2x

Nota 2 : si lo que deseamos calcular es el valor de la función derivada en un punto x0 f´(x0) = lim f (x0 + ∆x) - f (x0) ∆x
0 ∆x Notación: Dada la función y= f(x) existen diferentes notaciones para indicar la función derivada respecto de x. Y ´ = f´( x ) = dy/ dx = D f(x) Derivadas Laterales: La derivada por la izquierda de la función f(x) en x = a se define como f ´( x − ) =

lim ∆x → 0+

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

es decir, h tiende a cero, siendo h < 0 Análogamente se define f´(a+):

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f ´( x + ) =

lim ∆x → 0+

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

Propiedad Una función es derivable en un punto si sus derivadas laterales existen y son iguales. EJERCICIO : Calcular la derivada de la función: 2 x – 1 si x < 3 f (x ) = 8–x

si x > 3

Teorema de la derivación y continuidad Si f es una función derivable en x0
f es continua en x0. Es recíproco no es cierto o que sea continua en x0 no implica que sea derivable en x0 o en términos geométricos hay cuevas que no tiene tangentes. H.- f derivable en x0 T.- f continua en x0 (probar) D.- si f es derivable en x0
∃ f(x0 ) = lim f (x0 + ∆x) - f (x0) ∆x
0 ∆x EJERCICIO: Dada la siguiente funcion demostrar el teorema: x si x ≥ 0 f (x ) = - x si x < 0 Reglas. Operaciones de Cálculos Diferencial Vamos a ver a continuación de que manera afecta en un proceso de variación a las distintas operaciones algebraicas que puede realizarse entre dos o mas funciones.(suma, resta, producto, cociente, potencia, radicación, etc.) Teorema Nº 1 : Derivada de la forma de dos funciones. Sean f y g dos funciones para los cuáles existen f´ y g´ . Definamos la función H (x) = f(x) + g (x)
h´(x) = f(x) + g (x)

´

= f´ (x) + g´ (x) T

Definición: La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de dichas funciones siempre y cuando ellas existan. Observación 1: Este teorema puede generalizarse para un número finito de funciones. Observación 2 : El teorema es válido para una suma algebraica de funciones. Teorema Nº 2 : Derivada del producto de dos funciones Sean f y g dos funciones para los cuáles existen f´ y g´. Definimos la función: 27

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H(x )=.f (x). g(x)
h´ (x) = f(x) . g (x)

1

= f´ (x) . g (x) + f(x) . g´ (x) T

Definición: La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada del primer factor por el 2º sin derivar mas el primer factor por el segundo factor derivado. Teorema 3: La derivada de un cociente de dos funciones Sean f y g dos funciones para los cuáles f´ y g´ . definamos la función H(x )=.f (x)/ g(x)
h´ (x) = f(x) / g (x) 1 = f´ (x) . g (x) - f (x) . g´ (x) [g(X)]2

T

Definición: La derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador por el denominador al cuadrado. Derivada de algunas funciones elementales Teorema Nº 1: Derivada de función constante. Sea f(x) = C -
f ´ (x) = 0 Definición: La derivada de la función constante es igual a cero. Teorema Nº 2: Derivada de función Identidad. Sea f(x) = x -
f ´ (x) = 1 Definición: La derivada de la función identidad es igual a 1.-

Teorema Nº 3 : Derivada de una constante por la variable independiente. Sea f(x) = C x -
f ´ (x) = C Definición: La derivada de la función constante por la variable independiente es igual a la constante.

Teorema Nº 4: Derivada de una constante por una función de x Sea h(x) = Cf(x) -
h ´ (x) = C . f ´(x) Definición: La derivada de una constante por una función de x es igual a la cte, por la derivada de la función que depende de x. Teorema Nº 5: Derivada de una Raíz cuadrada Sea f(x) = √ x -
f ´ (x) = 1 2 √x Teorema Nº 6 . Derivada de una función Potencia. Exponente entero positivo. 28

Analisis Matemático

Sea f(x) = xn

Profesor : Arturo Alancay

-
f ´ (x) = n . x n - 1

Derivada de una función compuesta. Dada la función y = f(x) y u = g(x) , sabemos que bajo ciertas consideraciones generales ∃ y = f [ g(x) ]. Nuestro propósito es determinar la derivada de dicha función o sea y = f [ g(x)´ ] Teorema: Sea g una función derivable en x0 y sea f derivable en g(x0) entonces la función compuesta f(g) es derivable en x0 y para ello la siguiente regla “ llamada regla de la cadena “ y´ = f [ g(x) ]´ = f ´[g (x)] . g ´(x) Ejemplo: Sean f (x) = √ x

y g(x) = cos(x3–2) hallar la derivada de f[g(x)] por lo tanto:

f[g(x) ] = √ cos(x3 –2) ⇒ f ´[g(x) ] = 1 . 3 √ cos(x –2)

[- sen(x3 –2)] . 3 x2

Calculo de algunas derivadas Derivada del logaritmo natural: Sea f(x) = lnx

-
f ´ (x) = 1 / x

Derivada logarítmica: Consideraremos la función y = f(x) apliquemos ln a ambos miembros de la ultima igualdad obtenemos: Ln y = ln f(x) 1/y . y´ = ln f(x)´ y´= y . ln f(x)´ remplazando se tiene: y´= f(x) . ln f(x)´

Derivada de la función exponencial: Caso a:

y = ex Ln y = [ln ex] [Ln y]´= [x ln e]´ 1/y . y´ = 1 y´= y y´= ex

Caso b:

y = ax Ln y = [ln ax] [Ln y]´= [x ln a]´ 1/y . y´ = ln a y´= y . ln a 29

Analisis Matemático

Profesor : Arturo Alancay

y´= ax ln a

Derivada de funciones trigonométricas Función

Función derivada

Y = sen x Y = cos x Y= tg x Y= cotg x Y = sec x Y = cosec x

Y´ = cos x Y ´= - sen x Y´= sec2 x Y ´= - cosec2 x Y ´= sec x . tg x Y´ = -cosec x . cotg x

Derivada de una función definida implícitamente: Suponemos que f(x,y) = 0 define a y como función implícita de x. Consideraremos la función x + y – 1 = 0 explicitando y en términos de x diremos y = 1 – x tal que su derivada y´= -1 Consideremos la función x2 y + y2 – sen y + tg x = 0 en este caso no es posible explicitar “y” en términos de “x” .Luego no se puede determinar la derivada. Luego para resolver este problema debemos derivar implícitamente. En dicha derivación se debe tener en cuenta que “y” es función de “x” y por lo tanto derivar como función compuesta: [x2 y]´ +[ y2 ]´ –[ sen y]´ + [tg x]´ =( 0)´ 2 x .y + x2 y´ + 2 y . y´ - cos (y). y´ + sec2 x = 0 y´[ x2 + 2 y – cos(y) ] = ( - sec2 x – 2 x y ) y´ = ( - sec2 x – 2 x y ) [ x2 + 2 y – cos(y)] Derivada de una superior Dada la función y=f (x) bajo ciertas consideraciones es posible determinar la derivada de dicha función: f´(x) =

lim f (x + ∆x) - f (x) ∆x
0 ∆x

Luego es posible determinar la derivada de esta función o sea f´(x)de siguiente manera:

[f´(x)]´ =

lim ∆x
0

f (x + ∆x) - f (x) ∆x

´

30

Analisis Matemático

Profesor : Arturo Alancay

Si este ultimo limite existe, la expresión dará la derivada segunda de la función respecto de “ x “, también llamada derivada de orden dos de f respecto de “ x “. La notación usada para ello es y” = f “(x) = d2y / dx 2 Podemos repetir este proceso una y otra vez hasta llegar a determinar la derivada de orden “ n” de la función f con respecto de “x” siendo definida de la siguiente manera yn = f n(x) = dny / dx n Interpretación geométrica de la derivada Sea y = f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea C la gráfica de la función ,consideraremos sobre la curva en un punto Po de coordenadas [ x0 ; f(x0) ] ∈ C, un punto fijo y tomando también un punto Qo [x0 + ∆x ; f( x +∆x) ] ∈ C móvil. Tracemos por Po y Qo la recta secante a la curva por Po y Qo.

Llamemos α al ángulo formado entre la secante por Po y Qo y la dirección positiva del eje ox Consideremos el punto Qo móvil; al tender Qo a Po este ocupa la posición Q´o y Qo´´, etc. ,determinando diferentes rectas secantes. Cuando Qo tiende a Po (∆x-
0) por lo tanto la recta secante se convierte en recta tangente en Po. Luego podemos definir a la recta tangente en Po como la posición limite de la recta secante por Po y Qo cuando Qo -
Po. Conclusión: La derivada de una función en un punto de x0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto Po [x0 , f(x0)] f´(x0 ) es un numero finito --


y – y0 = y´(x0 ) . ( x – x0 )

Si f´(x0 ) no es un numero finito -
x = x recta vertical f´(x0 ) es un numero finito --
Si

y – y0 = -

1. ( x – x0 ) y´(x0 ) f´(x0 ) no es un numero finito -
x = x recta horizontal

Ejemplo: hallar la ecuación de la recta tangente y normal al gráfico de y = x 2 + 5 en el punto (2;9)

31

Analisis Matemático

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Aplicando la formula se tiene: y – y0 = y´(x0 ) . ( x – x0 ) para ello se encuentra primero la derivada de la función: y´= 2 x y el valor numérico de y´(2) = 4 reemplazando en la formula se tiene: y – 9 = 4 . ( x – 2 ) y= 4 x – 8 + 9 y= 4 x + 1 Recta tangente en el punto P(2;9) Aplicando la formula para la recta normal: y – y0 = reemplazando los valores se tiene: y–9= -

1.

1 4

( x – x0 ) y´(x0 ) (x–2)

y

= - 1x–1 +9 4 2

y

= - 1 x + 17 recta normal P (2;9) 4 2

Aplicación física de la derivada Consideremos una recta r con un sistema de absisas de origen O y un punto movil P . Sea f la funcion que describe el movimiento del punto P sobre la recta r tal que para cada instante t, f(t) es la distancia s= OP . Esta funcion f se llama ley de movimientos y sus valores dan el camino recorrido en el tiempo t. Por ejemplo, sea f: t → t2 -3t Si t = 0 es f(t) = 0 , y en el punto se encuentra en el origen. Para t = 1 es f(t) = -2 , y el punto se ha desplazado hacia la izquierda del origen Para t = 3 es f(t) = 0, y el punto miovil se encuentra nuevamente en el origen , etc El movimiento rectilineo del punto P puede representarse gráficamente de la siguiente manera:

Cuando el movil pasa de la posición A a la posición B, la variación en la posición del punto es f(4) – f(3) = 1 ≠ 0 . El cociente entre ambos es la velocidad media en el intervalo [3;4] . Interesa también conocer la velocidad del movil en un instante determinado, por ejemplo, para t = 4. Para ello se puede considerar intervalos de tiempo cada vez mas pequeños. Se define a la velocidad instantánea en el instante t = 4 como el limite de la velocidad media en el intervalo que contienen al punto 4 en su interior. es decir f (t ) − f (4) v 4 = lim 4 t−4 2 t − 3t − 4 En nuestro ejemplo v 4 = lim 4 = lim 4 (t + 1) = 5 t−4 La velocidad en cualquier instante t se obtiene, entonces, derivando la función f . Es decir , v(t) = f¨(t) = 2t – 3. 32

Analisis Matemático

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La velocidad se anula si t= 1,5 , es decir el cuerpo esta en reposo. En el grafico se observa que en ese instante cambia el sentido del movimiento. La aceleración en un instante puede definirse, de manera similar, como la derivada segunda de f en el instante t considerado, o como la derivada de la velocidad en ese instante. Es decir a(t) = f´´(t) = v´(t) . en nuestro ejemplo a(t)= f´´(t)=v´(t) = 2, es decir, para todo t , la aceleración es constante

33

Analisis Matemático

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MAXIMOS Y MINIMOS Función creciente y decreciente: Una función f(x) es creciente en un punto x = x0 cuando dado un h positivo e infinitamente pequeño, se verifica: f ( x0 – h ) < f(x 0) < f ( x0 + h ) . Análogamente, f(x) es decreciente en un punto x = x0 cuando, dado un h positivo e infinitamente pequeño se verifica: f ( x0 – h ) > f(x 0) > f ( x0 + h ) . Si f´(x0 ) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = x0 y si f´(x) < 0, es decreciente en dicho punto. Cuando f´(x0 ) = 0, diremos que es estacionaria en el punto x = x0

En la figura , la funcion y = f(x) es creciente en los intervalos a < x < r y t < x < u , decreciente en el intervalo r f (x) en el enotrno 0 < | x – r | < δ . En estas condiciones, y = f(x) tiene un maximo relativo en x = r . En la mismafigura f ( t ) es un minimo relativo de la curva puesto que f( t ) < f (x) en el enotrno 0 < | x – t | < δ . Por lo tanto , y = f(x) tiene un minimo relativo en x = t. En el punto S se unen dos arcos descendente y, por consiguiente, en el no habrá ni maximo ni minimo relativo. Para determinar los maximos y minimos relativos de una funcion f(x) continua se pude seguir los siguientes pasos. 1) 2) 3) 4)

Hallar la derivada primera e igualarla a cero. Resolver la ecuacion f´(x0 ) para calcular los valores criticos. Determinar la zona de crecimiento o decrecimiento con los valore criticos. Detrminar los signos de la derivada en cada uno de los intervalos anteriores. Si f´(x) pasa de + a - , tiene un maximo Si f´(x) pasa de - a + , tiene un mimino Si f´(x) no cambia de signo,no tiene ni maximo ni minimo en el punto x0 34

Analisis Matemático

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CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Un arco de curva y= f(x) es cóncava si en cada uno de los puntos está situado por encima de la tangente. Es decir, la pendiente f´(x) aumenta y f´´ (x) > 0. Un arco de curva y= f(x) es convexa si en cada uno de los puntos está situado por debajo de la tangente. Es decir, la pendiente f´(x) disminuye y f´´ (x) < 0. PUNTO DE INFLEXION Es un punto en el cual la curva pasa de concava a convexa o viceversa. Ver el grafico los puntos B,Sy C son de inflexion. Para determinar la concavida , convexidad y el punto de inflexion se deben seguir los siguientes pasos: 1) Determinar la derivada segunda e igualarla a cero. 2) Resolver la ecuacion de f´´(x) = 0, para calcular los valores criticos. 3) Para cada uno de los valores criticos x = x0 Si f´´ (x) < 0 , el arco es convexo Si f´´ (x) > 0 , el arco es concavo 4) Luego se determina el punto de inflexion. Por ejemplo: Dada la siguiente funcion: y = x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4 calcular: a) b) c) d) e) f)

Punto crítico. Zona de crecimiento y decrecimiento. Punto máximo y mínimo. Concavidad de la función. Punto de inflexión. Graficar.

INTEGRALES La función primitiva: 35

Analisis Matemático

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Henos visto como, dada una función se puede hallar su derivada. Ej: D.x3 = 3 x3 Ahora nos planteamos el problema inverso dada la función derivada, hallar la función de la cuál proviene , es decir: Dada la función y = f(x) ( función derivada) Hallar F(x) tal que F(x) = f(x) (1) Esta función F(x) se llama antiderivada o primitiva de f(x). Ej: Primitiva de 1 es 1n.x pues D.1n.x = 1 x x Primitiva de x3 es – x4 pues D.x4 = 4x3 = x3 4 4 4 Primitiva de sen.x es = cos.x pues D.(-cos.x) = sen.x Primitiva de sec2 es = tg( x)

pues

D.tg.x = sec2x

Función Primitiva se llama también integral indefinida, y se indica:

F(x)= ∫ f(x) dx

(2)

Integrado El símbolo ∫ , que podemos traducir como “función cuya diferencial es”, y que se lee integral, proviene de una deformación de la inicial S de suma. Si en la expresión (1) multiplicamos ambos miembros por dx.: F(x) = f(x) dx = f(x) .dx el primer miembro de esta igualdad es el producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente, es decir la diferencial de la función, así: dF(x) = F(x) . dx Integrando ambos miembros de esta igualdad: d ∫ F (x) = ∫ f(x) dx por carácter recíproco ∫ f(x) . dx = d. ∫ F(x) (3) Si observamos las expresiones (2) y (3) los primeros miembros son iguales por lo tanto los segundos también lo son: F(x) = d ∫ F(x) Es decir que el signo diferencial destruye, siempre y cuando lo precede.d (cos.x) = cos.x TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL: Si bien una función derivable tiene una única derivada, el problema recíproco, de hallar la primitiva de la función, tiene infinitas soluciones. En efecto, si tenemos por ej.:

d

x3+ c

siendo c una constante cualquiera

3 d x3+ d c

3x2 + 0

=

3 De modo que no solo x 3 es la primitiva de x 2 , sino que también lo son todas las funciones: x3 + c 3 3 x3 + 1 ; 3

x3 - 3 3

;

x3 +π etc. 3

En general, si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es:

36

Analisis Matemático

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F(x) + c Expresión general de la integral indefinida de f(x) d(x). Pues :

[ F(x) + c ]

= F´(x) + c´ = f(x) + 0 = f(x)

∫ f(x) dx = F(x) + c Esta constante arbitraria c , se llama constante de integración.Ejemplo: Destinación de la constante de integración: Hallar la ecuación de las curvas para los cuales la pendiente es igual a la raíz cuadrada de las abscisas, y entre estas la que pasa por el punto P(1;1) Solución: Sea la ecuación de la curva : y = f(x) La pendiente o la derivada de F´(x) =√ x = x1/2 por lo tanto : F(x) = ∫√ x dx = ∫x1/2 dx =

y=f(x) =

2 3/ 2 x 3

2 3/ 2 x + c luego la ecuación de la curva que pasa por P(1;1) es: 3

2 3/ 2 1 + c ⇒ c = 1/3 Valor de la constante de integración y remplazando en la función se tiene : 3

1=

y=f(x) =

2 3/ 2 x + 1/3 Ecuación de la curva que pasa por P(1;1) 3

Integrales inmediatas: La tabla de derivada o de diferenciales de las funciones elementales nos permiten formar una tabla de integrales inmediatas. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

x n +1 +c n +1

1)

∫

2)

∫ x dx = x + c

x n dx =

0

x2 +c 2 n dx 2 x = +c x

∫

x dx =

4)

∫

5)

dx = ln | x | +c x ax a x dx = ln x

∫ ∫ e dx = e + c ∫ sen( x)dx = − cos( x) + c

3) 4)

6) 7)

∫

x

x

37

Analisis Matemático

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∫ cos( x)dx = sen( x) + c dx ∫ cos ( x) = tg( x) + c

8) 9)

2

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

dx

∫ sen ( x) = − cot g ( x) + c ∫ sec( x) tg( x)dx = sec( x) + c ∫ cos ec( x) cot g ( x)dx = − cot g ( x) + c ∫ tg( x)dx = − ln | cos( x) | +c ∫ cot g ( x)dx = − ln | sen( x) | +c ∫ sec( x)dx = ln | sec( x) + tg( x) | +c ∫ cos ec( x)dx = ln | cos ec( x) − cot g ( x) | +c dx x ∫ a − x = arcsen( a ) + c 2

2

18)

∫

19)

∫

20) 21) ∫ 22) ∫

2

dx

= arcsen( x ) + c 1 − x2 dx 1 x = ( ) arctg( ) + c x2 + a2 a a dx = arctg( x) + c x2 + 1 dx = ln | x + x 2 + a 2 | +c 2 2 x −a dx 1 x−a = ln | | +c 2 2 x +a 2a x+a

∫

Integrales de una suma algebraica de funciones:

∫ [ f ( x) + g ( x) + h( x(dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx + ∫ h( x)dx La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de cada una de las funciones. Por ejemplo: I 1=

∫

(e x + sen x − x 2 )dx = e x − cos x −

x3 +c 3

Método de integración por sustitución: Este método consiste en efectuar un cambio de variable para obtener una integral inmediata o mas sencilla; una vez resuelta la integral se retorna a la primitiva variable.Por ejemplo: I=

∫

∫

sen( x) cos( x)dx = udu =

u2 1 + c = sen 2 ( x) + c 2 2

Cambio de variable: u=sen(x) du= cos(x)

38

Analisis Matemático

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Método de integración por parte: Sean u y v dos funciones de x : es decir u=f(x) y v=f(x) tenemos que : d(u.v) = (u´ . v + u .v´) dx es decir d(u.v) = u´ . v dx + u .v´ dx d(u.v) = v du + u .dv ∴ carácter recíproco de una igualdad v du + u .dv = d( u . v ) despejando u . dv se tiene: u .dv = d( u . v ) - v du integrando cada mienbro ∫u .dv = ∫d( u . v ) - ∫ v du ∫u .dv = u . v - ∫ v du Formula de la integracion por parte Es decir la integral de una funcion por la diferencial de otra es igual a producto de ambas funciones menos la integral de la funcion ya integrada por la diferencial de la otra.Por ejemplo:

∫ x.e dx x

realizamos la sustitucion de u = x du = dx ∫dv =∫ ex dx v= ex + c1

Reemplazando los valores en la integral dada se tiene:

∫ xe dx = x..e − ∫ e dx como la última integral es inmediata se reuelve la integral dada como ∫ xe dx = x..e − e + c x

x

x

x

x

x

Integrales de funciones racionales : Si se quiere integrar el cociente de dos funciones polinomicas y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, primero debe efectuarse la división: x4 1 x4 x3 x2 Por ejemplo: = ( x3 − x2 + x − 1 + )dx = − + − x + ln | x + 1 | +c x +1 x +1 4 3 2

∫

∫

Por regla de Ruffini se tiene: 1 0 0 0 0 -1

-1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 = R

c(x)= x3 – x2 + x – 1 Al efectuarse la division de dos polinomios llegamos a un polinomio cociente y el resto, sobre el divisor, da origen a una funcion racional. En ella, el grado del numerador es inferior en una unidad, por lo menos, al grado del denominador. En le ejemplo anterior, dicha expresion pudo integrarse inmediatemente.

39

Analisis Matemático

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En otros casos se debe descomponer en fracciones simples, como se indicará a continuación: Se ha visto que al efectuar la division resulta: f ( x) R( x) = c( x) + y grado de R < grado de g o r = 0 g ( x) g ( x) La integral c(x) es inmediata, ya que c(x) es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinomicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.El paso basico en este metodo de integracion es la DESCOMPOSICION DEL COCIENTE DE FRACCIONES SIMPLE, para lo cual deben hallarse primero las raíces del polinomio correspondiente al denominador. En algebra se demuestra que cualquier polinomio de coeficiente reales puede expresarse como producto de polinomos. Se presentan cuatro casos según que las raices sean reales o imaginarias simples o multiples. En todos los casos consideraremos solamente la integración de funciones racionales propias, es decir, de funciones racionales en las que el grado del numerador e menor que el grado del denominador. Vamos a estudiar los dos primeros casos :

1er. Caso: Las raices del denominador son reales y simples( el denominaror se expresa comoel producto de dos factores) Ejemplo:

∫x

2

1 dx = (1) −x−6

Las raices del denominador son x1= 3 y x2= -2 Luego x2 – x – 6 = ( x – 3 ) . ( x + 2 ) y la expresión (1) admite la descomposicion en fracciones simples: 1 A B = + 2 x − x−6 x−3 x+2 Falta calcular el valor de A y B Para ello sacanos comun denominador en el segundo mienbro:

1 A( x + 2) + B( x − 3) = x − x−6 ( x − 3).( x + 2) 2

igualando numeradores se tiene: 1

= A(x + 2) + B(x –3)

La expresion anterior debe verificarse para cualquier valor de x. Por lo tanto, se procura elegir valores de x que simplifiquen los calculos Si x=2

⇒ 1 = A (-5)

Si x= 3 ⇒ 1 = B 5 Luego la integral es :

y A = -1/5 y B = 1/5

∫x

2

1 1 dx = −x−6 5

1

1

1

1

1

∫ x − 3 − 5 ∫ x + 2 = 5 ln | x − 3 | − 5 ln | x + 2 | +c

Segundo Caso: Las raices del deniominador son reales y multiples(el denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos) 40

Analisis Matemático

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Por ejemplo:

∫

x2 − x + 4 dx = ( x − 1) 2 .( x − 2)

La descomposición en fraciones simples exige que: x2 − x + 4 A B C = + + 2 2 ( x − 1) .( x − 2) ( x − 1) ( x − 1) x − 2 Sacando minimo comun denominador en el segundo miembro, e igualando los numeradores, queda: x2 – x + 4 = A ( x – 2 ) + B ( x – 1 ) A ( x – 1 )2

Si x= 2 ⇒ 6 = C . 1

y C=6

Si x = 1 ⇒ 4 = A ( -1)

y A=-4

Se nesecita otra ecuacion para encontrar B. Como no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los calculos. Si x=0 ⇒ 4 = - 2 A + 2 B + C . Reemplazando A y C por los valores ya obtenidos, es 4 = 8 + 2 B + 6 ⇒ B = -5 Luego se remplaza en la integral y se resuelve:

∫

x2 − x + 4 1 1 1 dx = −4 dx − 5 dx + 6 dx 2 2 ( x − 1) .( x − 2) ( x − 1) x −1 x−2

∫

x2 − x + 4 1 4 dx = −4 − 5 ln | x − 1 | +6 ln | x − 2 |= − 5 ln | x − 1 | +6 ln | x − 2 | +c 2 2 ( x − 1) .( x − 2) ( x _ 1) x −1

∫

∫

∫

∫

Integrales definida La integral definida es un medio eficas de obtener por su intermedio el calculo de areas limitadas por curvas, longitudes de arcos, volumenes, trabajos, velocidades,espacios,etc. Es decir que nos permite definir numericamente los resultados de una integracion. lim Su formula de aplicación es: ∆xi → 0

n

∑ i =1

b

f ( xi )∆xi =

∫ f ( x)dx = I a

Propiedades de integrales definidas:

Primero: El factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida: Así por ejemplo: Si

k = cte tenemos:

b

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a

Segundo: La integral definida de varias funciones expresadas como suma algebraica es igual a la suma algebraica de integrales de los sumandos. 41

Analisis Matemático

b

∫

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b

[ f ( x) + g ( x)dx =

a

∫

b

∫

f ( x)dx + g ( x)dx

a

a

Tercero: Por tres números arbitrarios se verifica la igualdad siguiente: b

∫

c

f ( x)dx =

a

∫

b

f ( x)dx +

∫ f ( x)dx

a

siempre que c ∈[a , b ]

c

Cuarta: Esta propiedad expresa que en el segmento [a,b], la integral definida que tiene por limites de integracion a y b como inferior y superior respectivamente, al intervenir el orden de estos nos queda como expresion: b

∫

a

∫

f ( x )dx = − f ( x)dx

a

b

Regla de Barrow

Si F(x) es una función primitiva de la función continua f(x), es válida la siguiente formula: b

∫ f ( x)dx = F ( x) |= F (b) − F (a) a

Ejemplo: 2

∫ 1

 x 3  23 13 8 1 7 x 2 dx =   |= − = − = 3 3 3 3  3 3

Resolver las siguientes integrales aplicando la regla de Barrow: −1

2

∫

x 3 dx =

∫

4

( x 3 + 1)dx =

−5

0

∫ (3x

3

+ x 3 )dx =

30

Area entre dos curvas

Si se desea hallar el area del recinto comprendido entre los graficos de dos funciones continuas, basta efectuar la resta de las areas correspondientes.

b

A=

∫ a

b

[ f ( x) − g ( x)dx =

∫ a

b

∫

f ( x)dx − g ( x)dx a

42

Analisis Matemático

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Por ejemplo : hallar el area encerrada por las funciones: y(x) = x + 2

g(x)= 4 – x2

1

A=

∫

−2

b

( x + 2) − (4 − x 2 )dx =

∫

( x − 2 + x 2 )dx =

a 33

x2 x3 9 − 2x + |= 2 3 2

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Analisis Matemático

Profesor : Arturo Alancay

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Analisis Matemático

Profesor : Arturo Alancay

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