Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores En la técnica existen cantidades como Longitud, Área, Volumen, Temperatura, Presión, Masa, Potencial, Carga eléctrica que se representan por un número real. A estas cantidades se les denomina MAGNITUDES ESCALARES. Otras magnitudes como el desplazamiento, la velocidad, el campo eléctrico, la fuerza se deben representar mediante un vector (módulo, dirección y sentido) y se denominan MAGNITUDES VECTORIALES. Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

2. EL CONJUNTO R Dentro del conjunto  de los números reales están  Números Naturales  : 0,1,2,3,  Números Enteros  : , 3, 2, 2,0,1,2,3, a   Números Racionales  :  : a, b   , b  0  b   Números Irracionales: No expresables como cociente de dos números enteros. Ejemplos:

2  1,41 ; e  2,71 ;   3,14

Recta Real: La recta en la que se representa los números reales.

a si a  0 a si a  0

Valor absoluto: a  

 Abierto:  a, b    x   : a  x  b  Cerrado:  a, b    x   : a  x  b

Intervalos: 

Los intervalos pueden ser semiabiertos o semicerrados.

Manuel Hervás Maldonado

1

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Distancia entre dos números reales: d (a, b)  b  a El conjunto  ,d  es un Espacio métrico.

3. EL CUERPO R

Se define la Suma habitual entre números reales a, b, c   Con las propiedades:

1. Asociativa: a   b  c    a  b   c

  2. Neutro  0 : a  0  0  a  a  Grupo aditivo  3. Opuesto  a : a  (a)  0  (a)  a 

4. Conmutativa: a  b  b  a Grupo aditivo abeliano Se define el Producto habitual entre números reales a, b, c   Considerando la Suma (+) y producto    de números reales:

1. Asociativa: a   b  c    a  b   c   2. Distributiva del   respecto  +   Anillo  a  b  c    a  b    a  c   3. Unidad 1: a 1  a  1  a Anillo Unitario 1 1 1 4. Inverso  : a   1   a . El 0 NO tiene inverso a a a    ,  que cumple estas propiedades es un CUERPO. Si además tiene la conmutativa a  b  b  a el Cuerpo es conmutativo.

Manuel Hervás Maldonado

2

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

4. EL ESPACIO VECTORIAL R3 A partir del conjunto de los números reales vamos a formar el conjunto producto cartesiano 3       que está formado por la terna de números reales  x1 , x2 , x3  . El primer elemento x1 es la primera componente, el segundo x2 es la segunda y el tercero x3 la tercera. Es IMPORTANTE el orden en que figuran los elementos.

Igualdad: Dos ternas son iguales si lo son sus componentes  x1  x1 '  x1, x2 , x3    x1 ', x2 ', x3 '   x2  x2 ' x  x ' 3  3

Operaciones: Suma Se consideran las ternas

 x1, x2 , x3 

del conjunto  3 . Vamos a

denominar vector a cada terna de  3 .

a , b  R3 a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) . realizar a  b se suman componente a componente: Sean

los

vectores

a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ) Ejemplo: a  2i  3 j  k , b  i  2 j  k  a  b  3i  5 j  2k Las propiedades de la SUMA de vectores son: a , b  R3 1. Conmutativa: a  b  b  a 2. Asociativa: a   b  c    a  b   c 3. Neutro: a  0  0  a  a 4. Opuesto: a  (a )  0  (a )  a

Manuel Hervás Maldonado

3

Para

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Producto por escalar

Sea el vector a  (a1, a2 , a3 ) y el escalar (número real) k  .

ka  (ka1, ka2 , ka3 ) Ejemplo: a  (2,3,1)  3a  (6,9,3) Las propiedades del producto por escalar son: a , b 3 y k , h  5. Distributiva respecto a la suma de vectores: k (a  b )  ka  kb 6. Distributiva respecto a la suma de escalares: (k  h)a  ka  ha 7. Asociativa respecto al producto por escalar: k (ha )  (kh)a 8. El 1 es neutro para el producto por escalar: 1 a  a El conjunto de ternas de  3 con las operaciones SUMA y PRODUCTO POR ESCALAR que verifica los ocho axiomas anteriores se dice que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo  o bien que es es un  -espacio vectorial de dimensión 3 . Conviene distinguir entre la terna  x1 , x2 , x3  3 que es un vector y las componentes de la terna x1, x2 , x3  que son los escalares.

4. EL ESPACIO VECTORIAL Rn Se generaliza todo lo anterior de  3 al conjunto  n         formado por las n-plas

 x1 , x2 ,, xn   

n

n

en las que los elementos

xi  ; i  1...n son números reales y x   x1 , x2 ,, xn  es un vector. De forma análoga se definen la Suma de vectores:

a  b  (a1  b1 , a2  b2 ,, an  bn ) y el producto de vector por escalar (número real).

ka  (ka1 , ka2 ,, kan ) Como en  n con dichas operaciones se verifican los 8 axiomas anteriores, se dice que es un  -espacio vectorial de dimensión n. Manuel Hervás Maldonado

4

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

5. VECTORES GEOMÉTRICOS Concepto de vector fijo Un vector AB es un segmento orientado en el que se debe distinguir: Origen A

B

Extremo

Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por A y B. Sentido: Viene indicado por la punta de la flecha. Módulo: Es la longitud del segmento. Si coinciden el origen A y el extremo B el vector resultante AA  0 es el vector nulo. Al conjunto de los vectores fijos del espacio se denomina F 3 .

Equipolencia Dos vectores fijos, no nulos, con igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación se dice que son equipolentes. La interpretación geométrica es que la figura que resulta con dos vectores equipolentes es un paralelogramo.

Vector libre La equipolencia es una relación de equivalencia ya que posee las propiedades Reflexiva, Simétrica y Transitiva. La equipolencia por tanto agrupa en clases de equivalencia a todos los vectores fijos de F 3 . En cada clase se encuentran los vectores fijos equipolentes con uno dado (por ejemplo con el vector AB ). Cada clase queda representada por uno cualquiera de ellos, por ejemplo por el vector AB , que se denomina Representante de la clase y se suele expresar por una letra minúscula u  AB . Pues bien un vector libre es cada una de las clases de equivalencia y queda identificado por el vector representante u . Al conjunto cociente que es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia, es decir el conjunto de los vectores libres del espacio, se denomina V 3 .

Manuel Hervás Maldonado

5

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Propiedad fundamental Si u es un vector libre de V 3 y O un punto cualquiera del espacio, existe un único vector fijo con origen en O, representante de la clase de equivalencia.

Operaciones: Suma Dados dos vectores libres a , b V 3 se denomina SUMA al vector que se obtiene del modo siguiente: Se toma un punto arbitrario O del espacio. Con este origen se lleva el vector a  OA y donde termina la flecha se lleva a continuación el vector b  AB . Pues bien uniendo el origen O con el extremo B se obtiene el vector suma que se representa a  b  OB . Observar que se verifica la regla del paralelogramo: Si con el mismo origen O se llevan los vectores a y b el vector suma resultante a  b es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados ambos vectores a y b .

Producto de escalar (número real) por vector Dado un vector libre a V 3 y un número real k  (no nulo) el producto k  a es también un vector libre que tiene  Módulo: k  a  Dirección la dirección de a  Sentido el mismo que a si k  0 y el opuesto si k  0

k  0 Si k  a  0   o bien a  0

Manuel Hervás Maldonado

6

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

6. ESPACIO VECTORIAL ABSTRACTO

Sea ( K ; , ) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se denominan escalares (habitualmente se usa  ) y ( E; ) un conjunto, cuyos elementos se denominan vectores, dotado de la operación interna SUMA: Sean los vectores a, b  E a  (a1, a2 ,, an ) , b  (b1, b2 ,, bn ) . Para realizar a  b se suman componente a componente:

a  b  (a1  b1 , a2  b2 ,, an  bn ) Se define la operación externa Producto de escalar por vector: Sea el vector a  (a1, a2 ,, an ) y el escalar k  K .

ka  (ka1, ka2 ,, kan ) Se dice que E es un espacio vectorial sobre K o también un K  espacio vectorial si cumple los 8 axiomas: x, y, z  E ,  ,   K 1) Asociativa: x  ( y  z )  ( x  y)  z 2) Neutro: x  0  x  0  x . 3) Simétrico: x  ( x)  0  ( x)  x . 4) Conmutativa: x  y  y  x . 5) La ley externa es distributiva respecto a la suma de vectores:   ( x  y)    x    y . 6) La ley externa es distributiva respecto a la suma de escalares: (   )  x    x    x . 7) La ley externa es asociativa: ( )  x    (  x) . 8) El 1 actúa como neutro para la ley externa: 1  x  x . Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial sobre si mismo.

Ejemplos de espacios vectoriales:  Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial sobre si mismo.  Los conjuntos  , 2 , 3 ,,  n con suma de n-plas y producto de vector por escalar, son R-ev.

Manuel Hervás Maldonado

7

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

 El conjunto de los números complejos con la suma de complejos y producto por un número real es también espacio vectorial sobre R.  El conjunto de los vectores libres con la suma de vectores y producto por escalar es un espacio vectorial.  El conjunto de los polinomios de grado  n con la suma de polinomios y producto de polinomio por escalar es espacio vectorial.  El conjunto de las matrices m  n con la suma de matrices y producto de matriz por escalar es espacio vectorial.  El conjunto de las sucesiones de números reales con suma de sucesiones y producto de sucesión por escalar es espacio vectorial.  El conjunto de las funciones reales continuas definidas en un intervalo con las operaciones suma de funciones y producto de función por escalar es espacio vectorial. No son espacios vectoriales:  El conjunto de los puntos de una recta del plano que no pase por el origen. Porque no incluye el (0,0)  El conjunto de polinomios de grado  n . Porque la suma puede no ser polinomio de grado  n .  El conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 que no son invertibles. Porque la suma puede ser una matriz regular (invertible).

1 0  A1    0 0  Singular

Manuel Hervás Maldonado

0 0  A2    ; 0 1  Singular

8

1 0  A1  A2    0 1  Regular

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

7. Combinación lineal.

Un vector v es combinación lineal de p vectores u´1 , u2 ,..., u p  si se puede expresar:

v  a1u1  a2u2    a pu p

siendo a1 , a2 ,, a p  números reales, denominados coeficientes de la combinación lineal. El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, lo que se interpreta geométricamente diciendo que es paralelo a todos los vectores del plano.

Ejemplos: Sean los vectores a  (2,2,2) , b  (1,1,1)  a  2b Dados a  (5,7) , b  (1,1) , c  (2,3) . Expresar a como combinación lineal de los otros dos:   2  5   1 Es decir a  b  2c  (1,1)   (2,3)  (5,7)     3   7   2  

8. Subespacio vectorial Un subconjunto S de V que mantiene las citadas propiedades se dice que es un subespacio vectorial de V. Se caracteriza por ser un subconjunto NO VACÍO, pues al menos tiene el vector 0 , además la suma de dos vectores de S es un vector de S y se mantiene el producto por escalar: Las condiciones que debe cumplir S para ser subespacio vectorial de V son  S   (No vacío)  u, v  S  u  v  S (Cerrado para la suma)    K , u  S   u  S (Cerrado para el producto por escalar). Estas condiciones se agrupan: a , b  S ; k , h  R  k a  hb  S indicando que cualquier combinación lineal de dos vectores de S también pertenece a S Manuel Hervás Maldonado

9

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Los conjuntos

0

y V son subespacios vectoriales de V que se

denominan triviales (o impropios), siendo los demás subespacios propios. Ejemplos de subespacios: 1. El conjunto de las matrices simétricas de orden n es un subespacio vectorial del conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma de matrices y producto por escalar.

A1 , A2  Asimetrica

 A1  A2 

t

At  A

 A1t  A2t  A1  A2

  K , A1  Asimetrica

t  A1    A1t   A1

2. El conjunto de las matrices singulares de orden 2 NO es subespacio del conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 con la suma de matrices y producto por escalar. Ya que la suma de dos matrices singulares puede ser una matriz regular.

1 0  A1    0 0  Singular

0 0  A2    ; 0 1 

1 0  A1  A2    0 1 

Singular

Regular

3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen es un subespacio del espacio vectorial R 2 (plano).

S  ( x, y)  R 2 / x  y  0 ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de un vector de la recta por un escalar es un vector de la recta. 4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen NO es un subespacio del espacio vectorial R 2 (plano).

S  ( x, y)  R 2 / x  y  1 ya que no contiene al vector 0  (0,0) .

Manuel Hervás Maldonado

10

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

9. Subespacio engendrado

Sea C  u1 , u2 ,, u p  un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. El subespacio engendrado por C es el formado por todas las combinaciones lineales:

  L(C )  a1u1  a2u2    a pu p : ai  R  . i 1.. p   Se dice que u1 ,u p  es un sistema generador del subespacio. Ejemplo. Encontrar el valor de a para que el vector u  (3, a,3) pertenezca al subespacio engedrado por u1  (1,4,3), u2  (2,1,0) . Solución: Para que u pertenezca al subespacio engendrado por u1 , u2 debe ser combinación lineal de ambos.

(3, a,3)   (1,4,3)   (2,1,0)

  2  3     1 4    a    a5   1 3  3   Un sistema generador de un subespacio puede tener algunos vectores que a su vez sean combinación lineal de otros del conjunto Ejemplo. Comprobar si los vectores pertenecen al subespacio engendrado por

v  (4,0,2) , w  (2,0,2)

A  u1  (1,1,1), u2  (1,0,1), u3  (2,2,2) . Solución: Para que los vectores v y w pertenezcan al subespacio S engendrado por los vectores del conjunto u1 , u2 , u3 deben ser, respectivamente combinación lineal de los tres vectores. Hay que observar que se verifica u3  2u1 (combinación lineal).

v  (4,0,2)   (1,1,1)   (1,0,1)   (2,2,2)

Manuel Hervás Maldonado

11

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

    2  4     2  0  Sistema incompatibe v  S     2  2  w  (2,0,2)   (1,1,1)   (1,0,1)   (2,2,2)     2  2     2  0  Sistema compatible w  S     2  2  pero al ser indeterminado, existen infinitas soluciones   2 ;   2 debido a que u3  2u1 .

10. Dependencia e independencia lineal. Sea C  u1 , u2 ,, u p  un conjunto de vectores

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si se verifica

a1u1  a2u2    a pu p  0  a1  a2    a p  0 todos los coeficientes son nulos. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si se verifica

a1u1  a2u2    a pu p  0  ai  0 Todos los coeficientes no son nulos y por tanto un vector al menos es combinación lineal de los demás. La condición necesaria y suficiente para que 2 vectores sean paralelos es que sean linealmente dependientes.

11. Rango de un conjunto de vectores es el número máximo de vectores linealmente independientes.

12. Base y Coordenadas Plano R2: Dos vectores e1, e2  son una BASE del plano vectorial

 e1 , e2  son linealmente independientes.  Cualquier vector del plano se puede expresar como combinación lineal de estos dos vectores.

Manuel Hervás Maldonado

12

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Siendo los coeficientes de esta combinación lineal (a1 , a2 ) las COORDENADAS del vector en dicha base.

v  R2

v  a1e1  a2e2

En coordenadas cartesianas se suele utilizar una base ortonormal, cuyos vectores son unitarios y ortogonales que se denomina base canónica y se representa i, j siendo sus coordenadas i  (1,0) , j  (0,1) . Ejemplo: v  2i  j  v   2,1 siendo su módulo: v  22  12  5 . Para obtener un vector unitario en esta dirección se dividen las v 2 1 i j coordenadas del vector por su módulo. u   v 5 5

Espacio R3

Tres vectores e1 , e2 , e3 son una BASE del espacio

 e1 , e2 , e3 son linealmente independientes.  Cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de estos tres vectores.

Siendo los coeficientes de esta combinación lineal (a1, a2 , a3 ) las COORDENADAS del vector en dicha base.

v  R3 v  a1e1  a2e2  a3e3 En coordenadas cartesianas se suele utilizar una base ortonormal, cuyos vectores son unitarios y ortogonales dos a dos que se denomina base canónica y se representa por i, j, k siendo sus coordenadas i  (1,0,0) , j  (0,1,0) , k  (0,0,1) . Ejemplo: v  i  2 j  2k ; v  12  22  22  9  3 . El vector unitario en esa dirección será u 

Manuel Hervás Maldonado

13

v 1 2 2  i j k v 3 3 3

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Espacio Rn Una base B  e1, e2 ,, en  de  n es un conjunto de n vectores que pertenecen al espacio vectorial  n y que verifican a) Los n vectores ei ; i  1..n son linealmente independientes b) Los n vectores ei ; i  1..n forman un sistema generador de  n . En una base B  e1, e2 ,, en  de  n un vector v  n se expresa:

v  Rn

v  a1e1  a2e2    anen

siendo a1, a2 ,, an  las coordenadas del vector en la base B. En un espacio vectorial hay una infinidad de bases, aunque las coordenadas de un vector en una cierta base son únicas.

13. Dimensión de un espacio vectorial Es el número de vectores de una base. Un espacio vectorial es de dimensión finita si existe un sistema generador finito.

14. Cambio de Base Vamos a realizar el cambio de base en el plano vectorial  2 . Sea B  i, j la base canónica y otra base B '  u1  2i  j ; u2  i  j

2 Dado un vector que en B’ se expresa: vB '  2u1  u2  vB '    .  1 Hallar sus coordenadas en la base canónica  3 v  2u1  u2  2  2i  j    i  j   3i  3 j  vB     3

2 1    1 1

 u1, u2    i, j  

P

2 1  La matriz P    es la matriz de cambio de base B  B ' en la  1 1 que las coordenadas de los vectores de la nueva base B’ van escritas por columnas. Las coordenadas del vector vB en la base B (canónica) se pueden calcular de forma matricial

Manuel Hervás Maldonado

14

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

2 2 1  2  3  2 1   2   i , j  i , j              ;   1  1 1  1 3  1 1  1

 u1, u2  

P

P

Nuevas

3   3  Antiguas

También es posible conociendo las coordenadas del vector vB  3i  3 j en la base canónica B  i, j obtener sus coordenadas en la nueva base B '  u1, u2  , para lo cual basta despejar los vectores i, j en función de u1 , u2

 u1  u2 i u1  2i  j   3 por lo que  i   u2  i  j   u1  2u2 j  3

j    u1

1 3 u2   1  3 P

1  3   2   3  1

2  u  u   u  2u2  v  3i  3 j  3 1 2   3 1   2u1  u2  vB '   1  3   3    Se podrían calcular matricialmente las coordenadas del vector v en la base B’ (nueva)

i

3 j      u1 3

1 3 u2   1  3 P

1  1   2  3 3 3  u u   1 2  ;  2  3  1  1   3 3  1

 a11 a12 x  1       a21 a22 n En general en  :      xn   Antiguas  an1 an 2

   

P

1  3   3  2    2  3  1  Antiguas Nuevas 3  1

a1n  ' x  a2 n   1    x   P  x '    '  i i1n i   xn  ann  Nuevas

Matriz de Cambio de Base

En esta matriz de cambio de base las columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base. Cambio de coordenadas:

 xi 

 P  xi ' ;

Antiguas

Manuel Hervás Maldonado

Nuevas

15

 xi '  P 1  xi  Nuevas

Antiguas

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

15. Norma Sea V un R-ev. Se denomina NORMA sobre V a la aplicación

 :V    tal que x V se le asocia un número real no negativo x que cumple las condiciones: 1. x  0 Sólo 0 si x  0 2.    x V 3. x, y V

x    x

x y  x  y

Al R-ev V ;   se denomina Espacio vectorial normado Ejemplos de Norma: Sea x  ( x1, x2 ) 2  Se asigna x  x12  x22 . Norma euclídea.  Se asigna x  x1  x2 .

 Se asigna x  sup  x1 , x2  . En el R-espacio vectorial C 0 de las funciones continuas en el  1 : C 0  R que a toda intervalo  0,1 se define la aplicación función continua f del espacio vectorial se asocia la siguiente integral : f  f

1

  f ( x) dx se trata de una Norma. 1 0

Dos normas son equivalentes si definen la misma topología: La condición necesaria y suficiente para que dos normas  y  ' sean equivalentes es que existan dos constantes k1 y k2 tales que

k1 x  x '  k2 x

x V

En un espacio vectorial de dimensión finita todas las Normas que se definan sobre él son equivalentes.

Manuel Hervás Maldonado

16

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

16. PRODUCTO ESCALAR

Sea V un K  ev se denomina PRODUCTO ESCALAR a la aplicación    :V  V  K que al par de vectores  x, y  V 2 se hace corresponder un escalar  x  y   K que cumple los axiomas:

 x  x   0 . Sólo 0 si x  0 2. Simetría (Conmutativa): x V  x  y    y  x  3. Homogénea (Asociativo el escalar): k ( x  y )   (kx )  y    x  (ky )  1. Positividad: x V

4. Distributiva respecto a la suma de vectores: x, y V ;   x  y   z    x  z    y  z 

Un K  ev V ;()  en el que se ha definido un producto escalar es un espacio Prehilbertiano. En el caso de ser finito dicho espacio vectorial se denomina EUCLÍDEO. La norma:  :V    tal que x V se asocia x  ( x  x ) se denomina Norma asociada al producto escalar. Se utiliza en Física para calcular el módulo de un vector: x  x12  x22  xn2 .

Producto escalar en R3

En el espacio vectorial R3 se da la base B  e1 , e2 , e3 

u  u1e1  u2e2  u3e3 Dados dos vectores  v  v1e1  v2e2  v3e3  u  v   u1e1  u2e2  u3e3    v1e1  v2e2  v3e3  =

 u1v1  e1  e1   u1v2  e1  e2   u1v3 e1  e3  +  u2v1  e2  e1   u2v2  e2  e2   u2v3 e2  e3  + u3v1  e3  e1   u3v2  e3  e2   u3v3  e3  e3 

Que se puede expresar matricialmente  (e1  e1 ) (e1  e2 ) (e1  e3 )  v1   ; u  v  ut G v v   u  v    u1, u2 , u3   (e1  e2 ) (e2  e2 ) (e2  e3 )  2     (e  e ) (e  e ) (e  e )  v  2 3 3 3  3   1 3 A la matriz de productos escalares de los vectores de la base se denomina Matriz de Gram, siendo (ei  e j )  gij .

 (e1  e1 ) (e1  e2 ) (e1  e3 )   g11 G   (e1  e2 ) (e2  e2 ) (e2  e3 )    g 21     (e  e ) (e  e ) (e  e )   g 2 3 3 3   1 3  31

Manuel Hervás Maldonado

17

g12 g 22 g32

g13  g 23   g33 

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

La matriz de Gram es simétrica ya que (ei  e j )  (e j  ei )  gij  g ji Si la base es normal (vectores de la base unitarios): (e1  e1 )  (e2  e2 )  (e3  e3 )  1 Si la base es ortogonal: (e1  e2 )  (e1  e3 )  (e2  e3 )  0 Si la base es ortonormal (vectores de la base unitarios y ortogonales: (e1  e1 )  (e2  e2 )  (e3  e3 )  1 ; (e1  e2 )  (e1  e3 )  (e2  e3 )  0 . La matriz de Gram es la UNIDAD y entonces el producto escalar se realiza coordenada a coordenada.

 v1  u3  v2   u1v1  u2 v2  u3v3    v3 

(u  v )   u1 u2

Otra forma de definir el producto es calar:

(u  v )  u v cos

; cos  

u  v 

El producto escalar será positivo o negativo según que

u v

 sea agudo u obtuso.

  El producto escalar es nulo si los vectores son ortogonales ya que cos    0 . 2

Ejemplo Físico: Trabajo de una fuerza es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. W  ( F  d )   F  cos   d

17. PROYECCIÓN ORTOGONAL B A



C

B´ Sean los vectores u  AB ; v  AC . La proyección ortogonal de u sobre v es el segmento AB´= u cos . El vector proyección tiene de módulo u cos y dirección la del vector v . Se suele decir que para proyectar ortogonalmente un vector u sobre otro v se multiplica escalarmente u por el unitario en la dirección v . En general el vector proyección ortogonal es u ' 

Manuel Hervás Maldonado

18

(u  v ) v

2

v

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

18. PRODUCTO VECTORIAL u  u1i1  u2 j  u3k Dados dos vectores  v  v1i  v2 j  v3k El producto vectorial se expresa

i j k u v u  v  u1 u2 u3 ; u  v  u v sen  sen  u v v1 v2 v3 El producto vectorial de dos vectores es un vector que se obtiene de la forma indicada que tiene dirección perpendicular al plano de los vectores u y v y sentido el del sacacorchos que gira de u a v . Es decir el triedro de los vectores u , v y u  v es directo. Propiedades u  0 ; v  0 1) u  v  0   Proporcionales 2) Anticonmutativa: (u  v )  (v  u ) .

3) Homogénea: k (u  v )   (ku )  v   u  (kv )  4) Distributiva respecto a la suma:  u  (v  w)   (u  v )  (u  w)

5) No asociativo:  u  v   w  u   v  w ya que el primero está en el plano u y v y el segundo en el plano de v y w.

Área del paralelogramo B

C



A

u  AD

B´

D

; v  AB

BB ' u v sen   u v v

Altura del paralelogramo = BB´

;

BB '  v sen

Area del paralelogramo = u  v  u v sen Ejemplo físico: Momento de una fuerza con relación a un punto que muestra la capacidad de giro en el punto. m  OP  F .

Manuel Hervás Maldonado

19

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

19. PRODUCTO MIXTO u  u1i1  u2 j  u3k  Dados tres vectores v  v1i  v2 j  v3k w  w i  w j  w k 1 2 3  El producto mixto es el producto escalar

u1  u  v   w  u2 u3

v1 v2 v3

 u  v   w que se expresa w1 w2 w3

Si el triedro formado por los tres vectores es directo como también lo es el formado por u , v y u  v el producto mixto será un número positivo. Además la proyección de w sobre u  v es la altura del paralelepípedo construido sobre los vectores dados y como u  v es el área del paralelogramo de la base, el producto mixto resulta en este caso igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores u , v , w como aristas. Si no son 0 ninguno de los tres vectores, la anulación del producto mixto es condición necesaria y suficiente para que el vector w sea coplanario con u , v . Un caso particular que conviene resaltar es cuando dos vectores son colineales, es decir uno es combinación lineal del otro. Si uno cualquiera de los vectores se multiplica por un número el producto mixto queda multiplicado por dicho número

Manuel Hervás Maldonado

20

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

20. DISTANCIA Sea E un conjunto cualquiera. Se denomina DISTANCIA d definida sobre E a toda aplicación d : E  E    tal que a la pareja de elementos  x, y  de E se le asocia un número real no negativo que verifica las condiciones x, y, z  E 1. d ( x, y)  0  x  y Axioma de Separación 2. d ( x, y)  d ( y, x) Axioma de Simetría 3. d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) Desigualdad Triangular Ejemplos: En R: d f ( x, y)  x  y Distancia fundamental

d1 ( x, y )  x1  y1  x2  y2  1 2  x  ( x1 , x1 )  2 2 2 En R :  d 2 ( x, y )  ( x1  y1 )  ( x2  y2 )  euclídea  y  ( y1 , y2 )  d 3 ( x, y )  sup  x1  y1 , x2  y2   Todo conjunto (E,d) dotado de una distancia es un Espacio métrico. El conjunto (R,df) es la Recta Real. Todo esto se generaliza para Rn. En el espacio Euclídeo Rn (con producto escalar) se verifica 1. Norma o Longitud de u: u  (u  u )  u12  u22 un2 2. Distancia entre u y v: d (u, v)  u  v  (u  v)  (u  v)

d (u, v)  (u1  v1 )2  (u2  v2 )2    (un  vn )2 3. Dos vectores son ortogonales si (u  v)  0 4. Si tres vectores son coplanarios el producto mixto es 0.

Manuel Hervás Maldonado

21