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MATEMÁTICAS BÁSICAS
J
2 4(2 ) 7{{3XS)) + 2 + 2 + 2 2 {3XS) 2 (3XS) 2 {3XS)
+
2
2(2 S)
16 60
+
lOS 60
=
72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1
191
60
'ectangular de 32Sm de largo por 180m de ancho, ros para ponerle alambrado. ¿Cuántas estacas hay
48 24 12 6
go como a lo
2 2 2 2 3 3 1
3 2
Luego 72
=2
Luego 48
= 24 3
3
Así que el m.c.m. de 72 y 48 es 2 4 3 2 = 144 . Como la rueda mayor tiene 72 dientes, para "recorrer" 144 dientes debe dar 144 = 2 72
•
vueltas (y la pequeña 144 = 3 vueltas) . 48 Como la rueda mayor da 10 vueltas por minuto, entonces para dar 1 vuelta gastará
. de ellos.
I
10
de
minuto, y para dar 2 vueltas empleará 2 minutos; esto es, 2 (60) = 12 segundos. 10 10 Por lo tanto, cada 12 segundos coinciden los dientes de las dos ruedas con la posición original.
FACTORIZACIÓN y ECUACIONES POLINÓMICAS Casos más comunes de factorización 1. ax + ay = a{x + y) -
2. X2 - / =(x -yXx+y) (Ver figura 1)
3.
4. x 2 - 2xy
X2 +2xy+/ ={X+y)2 S. x 2 +{a+b)x+ab={x+ ; (x+ ) 7. x 3 +3x 2 y+ 3xy 2 +y3 ={x+y? 9. x 3 - y3 = (x - yXx 2 + xy + / )
y2 = {x
- y)2
(Ver figura 2)
6. acx 2 +(ad + bc) x + bd = (ax + bXcx + d) 8.
1
x3_ 3x 2y+3x/_y3 ={x-y? 2 10. x 3 +y3 =(x+yXx - xy+/)
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p(x) k .... . , . . ............ .
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2
Ejemplo: Comprobar que polinomio p(x) en la fo
Y
x
x
FIGURA 1
Solución:
FIGURA 2
p(-2)=(-2)3
p(K) . Por el teorema del cual es el cociente de la
Polinomios y Teorema del factor Sea
p( x) = a o + a ¡x + ... + a nX n
a o' a ¡ , ..., a n E R (a n
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un
polinomio
de
grado
n con coeficientes
O).
Sea rER. Si p(r)=O, es decir, si a o +a¡r+ ... +anr n =0, r se dice una raíz real de
.
,
p(x) . Es claro que si x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) factoriza en la fonna Luego q(x)=x2-x+1
p(x)=(x - r)q(x) para cierto polinomio q(x), entonces r es una raíz de p(x). El recíproco de la anterior afinnación también es cierto:
Otra forma de obtener
Teorema del factor: Sea p(x) lm polinomio de grado n, n ~ 1 . Si r es una raíz de p(x), entonces x - r es un factor de p(x), es decir, p(x) se puede factorizar en la fonna:
A continuación se mu x - r:
Sea p( x) = ax 3 + bx 2 + p(x)= (x - r )q(x) p(x siendo q(x) un polinomio de grado n-l. En efecto or el algoritmo de la división existe un polinomio q(x), de grado n - 1 , Y una constante k tales que p(x) = (x - r)q(x) +~ Luego q(x) = ax 2 + ( donde q(x) es el cociente y k el residuo de la división de p(x) por x - r :
28
J
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p(x)
~
k
q(x)
xy
x
Como k=p(r), entonces si p(r) = O, se tendrá p(x)=(x-r)q(x) . 2
Ejemplo: Comprobar que r = -2 ' es raíz de p(x)=x 3 +x 2 -x+2 polinomio p(x) en la fonna p(x)= (x + 2)q(x).
Y
v
factorizar el
Solución: p(-2)=(-2)3 +(_2)2 - (- 2)+2=-8+4+2+2=0. Luego r=-2 es raíz de
p(K) . Por el teorema del factor p(x) = (x - (- 2))q(x) para cierto polinomio q(x) de grado 2, el cual es el cociente de la división de p(x) por x - (- 2) = x + 2 :
Ix+ 2
x 3 + x J -x+ 2 - x 3 _ 2x J
entes
xJ
2
- X
+1
-x -x+2 x:l + 2x x+2 -x-2
O
roco Otra fonna de obtener el cociente q(x) es empleando división sintética. A continuación se muestra el método a seguir cuando p(x) es de grado tres y se divide por
(x),
x -r:
Sea p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Como p(x) = (x - r )q(x) + p(r), entonces p(x)-p(r)=ax 3 +bx 2 + cx + d-(ar 3 + br 2 + cr + d) =a(x 3 -r3}+b(x 2 -r 2}+ c(x-r) = (x-r)[a(x 2 +xr + r 2}+ b(x + r) + c]
,"
a
=(x-r)[ax 2 + (ar + b)x + ar 2 + br + c] Luego q(x) = ax 2 +"(ar + b)x + ar 2 + br + c, y esto se puede indicar como sigue:
v...
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MATEMÁTICAS BÁSICAS OEfTq:ECA "~F' GOM BlDLlOI
e 2 ar + br
b
a
ar
ar 2+ br + e
ar+b
a
Coeficiente de x de q(x)
Coeficiente de x2 de q(x)
d + br 2 + cr
(x+a}+(-a)= x+[a+(-a)] = x+O=
~
x=
Como ya se dijo, el número b + (- a) se denc
ar 3+ br2+ cr + d
I
T
1
ar 3
-
T
Residuo
T énnino independiente de q(x)
(Lo que está suman • Consideremos la ec dada, se "despeja"
Para el ejemplo anterior:
-1
1(-2) 1+1(-2) =-1
Este esquema de división
2
1(-2)+ 1(_2)2
-1(-2)+1(-2) + 1(-2) 2
2
3
3
2-1(-2)+ 1(-2) + 1(-2) = O
-1+1(-2)+1(-2)= 1
sint~tica
lL
2
se puede,presentar en forma resumida como sigue:
-2
-1 2
-1
1
2
Así que
(Lo que está mu
-2
o
• Consideremos I a :t:. O. Para "de
/'
En este esquema de división sintética, los coeficientes del polinomio cociente q(x) se leen en la última fila y de izquierda a derecha (1 -1 1); O es el residuo de la división.
Ecuaciones polinómicas • Consideremos la ecuación x + a = b con a, b E R. La incógnita x, en la écuación dada, se "despeja" como sigue:
30
Se sigue que si b
~IOAO NACIONAL. DE COLOMBIA
m,
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
SEllE MEDELLIOI'I"r"'CAS
DE 81 ;t~:ECA ..
r.
GOMEl.
(x +a)+(-a)= b+(-a) x + [a + (- a)] = b + (- a)
e 2
ar + br 2
x+O=b+(-a)
d
x=b+(-a)
ar 3 + br2 + cr
ar + br + e q(')
¡
Como ya se dijo, el número b + (- a) se denota b - a , así que x+a=bx=b-á
énnino independiente de q(x)
(Lo que está sumando en un miembro de una ecuación, pasa al otro miembro a restar) • Consideremos la ecuación ax = b con a, b dada, se "despeja" como sigue:
.
E
R ya*- O" La incógnita x, en la ecuación
I I -(ax)= -b a a
b
Ix =
a b x= a
Así que b ax = b x =
\
a
(Lo que está multiplicando en un miembro de una ecuación y es no nulo, pasa al otro miembro a dividir) • Consideremos la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = O donde a, b, c E R y a *- O" Para "despejar" la incógnita x, en esta' ecuación, podemos proceder como sigue:
n
ax 2 + bx + c = O x 2 + b x + c = O
a
a
2 x + b x+ ( b)2 = (b)2 2a 2a a 2 b)2 b -4ac ( x+ = 2a 4a 2 Se sigue que si b 2 - 4ac 2 O, entonces
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c a