GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO.ARTÍCULO ESPECIAL CON MOTIVO DE LA EDICIÓN DEL NÚMERO 700 DE LA REVISTA.

ALGUNOS TEOREMAS OLVIDADOS: BRETSCHNEIDER Y POMPEIU. Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor del IES Blas Infante (Córdoba)

1.- Teorema de Bretschneider (teorema de los cosenos para el cuadrilátero). Sean a, b, c, d los lados sucesivos de un cuadrilátero; m y n, sus diagonales; A y C, dos ángulos opuestos. 2 2 2 2 2 2 Entonces se cumple la relación m n  a c  b d  2abcd.Cos  A  C 

Dem.  Sea el cuadrilátero ABCD, de lados a, b, c y d, y de diagonales m y n. Construyamos en el lado AB y hacia el exterior, el triángulo AKB semejante al triángulo ACD siendo BAK=DCA, ABK=CAD y en el lado AD construyamos el triángulo AMD semejante al ABC, DAM=BCA, ADM=CAB. A partir de las semejanzas correspondientes, obtenemos: AK a a.c AM d b.d =  AK = ; =  AM = c n n b n n ; BK a MD Por otro lado, tenemos que: d = n = d , de donde BK=MD y como además: KBD +BDM = CAD +ABD +BDA +BAC = 180º, es decir el cuadrilátero KBDM es un paralelogramo. Por lo tanto, KM = BD = n. Pero KAM = A +C. Según el teorema de los cosenos para el KAM tenemos:

 a. c 2  b. d 2  a. c   b. d    2 . .cos( A  C) , de donde se obtiene el resultado deseado: n =    m  m  m  m  2

m2 n 2  a 2c2  b2d 2  2abcd.Cos  A  C  Sean a, b, c, d los lados sucesivos de un cuadrilátero; m y n, sus diagonales; A y C, dos ángulos opuestos. Entonces 2 2 2 2 2 2 se cumple la relación m n  a c  b d  2.a.b.c.d. Cos  A  C  .

2.- Teorema de Tolomeo. Sean a, b, c, d los lados sucesivos de un cuadrilátero inscrito y m y n, sus diagonales. Entonces mn  ac  bd Dem.  La afirmación del teorema de Tolomeo es el corolario del teorema de Bretschneider, puesto que para el cuadrilátero inscrito la suma de los ángulos, A+C =180º. Por tanto, tenemos las siguientes relaciones:

m2 n 2  a 2c2  b2d 2  2abcd.Cos  A  C  m2 n 2  a 2c2  b2d2 +2abcd  mn  ac  bd

3.- Teorema de Pompeiu. Sea ABC un triángulo equilátero y M, un punto arbitrario del plano. a) Si M se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo, entonces MA  MB  MC = k (cte) 2

2

2

b) Si M no se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, entonces existirá un triángulo, cuyos lados son iguales a MA, MB y MC.

Dem.  a) Si M pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero ABC de lado l, se tiene que, el segmento mayor MC es igual a la suma de los otros dos. En el caso de la figura MC  AM  MB . Para cerciorarnos de esta afirmación utilícese el teorema de Tolomeo para el cuadrilátero inscrito AMBC.

MC. AB  AM .BC  MB. AC MC.l  AM .l  MB.l MC  AM  MB Aplicando el teorema de los cosenos al triángulo MAB, obtenemos que:

l 2  MA2  MB 2  2MA.MB.Cos120º l 2  MA2  MB 2  MA.MB Por tanto:

MA2  MB 2  MC 2  MA2  MB 2  (MA  MB)2  2(MA2  MB 2  MA.MB)  2l 2 MA2  MB 2  MC 2  2l 2

b1) Si M es un punto exterior al triángulo ABC y MC es el mayor de los segmentos MA, MB, MC, entonces al aplicar el teorema de Bretschneider al cuadrilátero AMBC, obtenemos que:

MC2 .l2  MA2 .l2  MB2 .l2  2.MA.MB.l2 .Cos (AMB  60º ) de donde se tiene que MC  MA + MB, ya que al ser AMB  120º entonces:

1  Cos (AMB  60º )   2.Cos (AMB+ 60º )  2

MC 2 .l2  MA2 .l2  MB 2 .l2 +2.MA.MB.l2 MC 2  MA2  MB 2 +2.MA.MB =(MA+MB) 2 MC  MA  MB

b2) Siendo M un punto interior al triángulo ABC, y además MC el mayor de los segmentos MA, MB y MC, se tendrá que MC  l  MA+ MB. Podemos pues, afirmar que, siendo M un punto cualquiera del plano que determina el triángulo equilátero ABC, y que no pertenezca a su circunferencia circunscrita, las longitudes MA, MB y MC son los lados de un triángulo, pues.

Ahora bien, en el caso de que M sea punto interior al triángulo ABC, este triángulo, llamado triángulo de Pompeiu, puede construirse explícitamente como se sigue a continuación.

Construcción del Triángulo de Pompeiu. Dado el punto M, interior al triángulo ABC, construimos el punto P de modo que sea equilátero el triángulo MPB. Consideramos los triángulos APB y MBC. Observamos en ellos las siguientes relaciones: AB=BC;PB=MB; MBC  60º ABM  ABP Por tanto, los triángulos APB y MBC son similares. En definitiva, AP=MC.

Por tanto, los lados del triángulo AMP son, respectivamente las longitudes MA, MB (=MP) y MC (=AP). Este triángulo es el de Pompeiu.

4.- Triángulo de Pompeiu. Sea ABC un triángulo equilátero y M, un punto interior a dicho triángulo. Sea AMP el triángulo de Pompeiu. a) Los ángulos de dicho triángulo son iguales a BMC  60º , CMA  60º y AMB  60º .

1 3

b) El valor del área S= [AMP] de dicho triángulo es S  [ ABC ]  triángulo ABC.

Dem.  a) En el triángulo AMP,

AMP  AMB  60º , MPA  BPA  60º  BMC  60º , MAP  180º (AMB  60º )  (BMC  60º ) MAP  300º (AMB  BMC )  300º (360º AMC ) MAP  CMA  60º

3 MO 2 , donde O es el circuncentro del 4

b) En el triángulo AMP,

1 AM .MP.sin AMP 2 1  [ AMP ]  AM .MB.sin AMP 2 1  AM .MB.sin(AMB  60º ) 2 1  AM .MB.(sin AMB.cos 60º  cos AMB.sin 60º ) 2 1 1 1 3  . AM .MB.sin AMB  AM .MB.cos AMB 2 2 2 2 1 1 3  [ AMB ]  AM .MB.cos AMB 2 2 2

S  [ AMP ]  S S S S S

Ahora bien,

AM .MB.cos AMB 

AM 2  MB 2  AB 2 2

Entonces

1 3 S  [ AMB]  ( AM 2  MB 2  AB 2 ) 2 8 De forma similar, obtendríamos las expresiones:

1 3 S  [ BMC ]  ( BM 2  MC 2  BC 2 ) 2 8 1 3 S  [CMA]  (CM 2  MA2  CA2 ) 2 8

1 3 3S  ([ AMB]  [ BMC ]  [CMA])  ( AM 2  MB 2  BA2  BM 2  MC 2  BC 2  CM 2  MA2  CA2 ) 2 8 1 3 3S  [ ABC ]  2( MA2  MB 2  MC 2 )  3l 2   2 8 Por la fórmula de Leibniz, que veremos a continuación,

1 | MA |2  | MB |2  | MC |2  3 | MG |2  .( AB 2  BC 2  CA2 ) 3 Ahora bien, ABC es un triángulo equilátero y por tanto, G=O (=Circuncentro). | AB |2  | BC |2  | CA |2  3l 2 Además [ ABC ] 

3 2 l . Así que MA2  MB2  MC 2  3MO2  l 2 y por tanto, 4

1 3 1 3 3 3 2 3S  [ ABC ]  2(3MO 2  l 2 )  3l 2   3S  [ ABC ]  MO 2  l  2 8 2 4 8 3 3 1 3 3S  [ ABC ]  MO 2  S  [ ABC ]  MO 2 4 3 4 Fórmula de Leibniz. En un triángulo ABC, si G es el baricentro de dicho triángulo se verifica para cualquier punto M, la siguiente relación entre las longitudes de los siguientes segmentos:

1 MA2  MB 2  MC 2  3.MG 2  ( AB 2  BC 2  CA2 ) 3

Dem.  Vamos a obtener dicha fórmula usando el lenguaje vectorial. Para ello partimos de la definición de G, baricentro o centroide del triángulo ABC.

GA  GB  GC  0  MA  MG  GA   MB  MG  GB    MC  MG  GC | MA |2  | MB |2  | MB |2  3 | MG |2  | GA |2  | GB |2  | GB |2 2 MG.(GA  GB  GC ) | MA |2  | MB |2  | MB |2  3 | MG |2  | GA |2  | GB |2  | GB |2 ( I ) Ahora bien:

GA  GB  GC  0  (GA  GB  GC ) 2  0 | GA |2  | GB |2  | GC |2 2(GA.GB  GB.GC  GC.GA)  0  AB  GB  GA   BC  GC  GB    CA  GA  GC | AB |2  | BC |2  | CA |2  2(| GA |2  | GB |2  | GC |2 )  2(GA.GB  GB.GC  GC.GA) | AB |2  | BC |2  | CA |2  2(| GA |2  | GB |2  | GC |2 ) | GA |2  | GB |2  | GC |2 | AB |2  | BC |2  | CA |2  3(| GA |2  | GB |2  | GC |2 ) ( II ) Uniendo (I) y (II), obtenemos, por fin:

| MA |2  | MB |2  | MB |2  3 | MG |2  | GA |2  | GB |2  | GB |2 | AB |2  | BC |2  | CA |2  3(| GA |2  | GB |2  | GC |2 ) 1 | MA |2  | MB |2  | MB |2  3 | MG |2  .(| AB |2  | BC |2  | CA |2 ) 3 1 MA2  MB 2  MC 2  3.MG 2  ( AB 2  BC 2  CA2 ) 3 5.- Problema. Dado un triángulo ABC, con baricentro G. a) Prueba que para cualquier punto del plano M se verifica: MA2 + MB2 + MC2  GA2 + GB2 + GC2, obteniéndose la igualdad si y solamente si M=G. b) Sea fijado un número k  GA2 + GB2 + GC2. Halla el L.G. de los puntos M tales que MA2 + MB2 + MC2 = k. Sol: a) Trivial, teniendo en cuenta la Fórmula de Leibniz. b) Fijado un número k  GA2 + GB2 + GC2, entonces para aquellos puntos M tales que MA2 + MB2 + MC2 = k,



tenemos que, teniendo en cuenta la Fórmula de Leibniz 3.MG 2  MA2  MB2 +MC2  GA2  GB2  GC 2



3.MG 2 = k (GA2 + GB2 + GC2) = k’ 0. Por lo que MG2 = k’’ 0, reduciéndose el Lugar a una circunferencia centrada en el Baricentro G.