Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Departamento de Matem´aticas

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

MA3002

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1

Transformada z Inversa La transformada Z inversa de una funci´ on de variable compleja X (z) se define como I 1 X (z) z n−1 dz x(n) = 2πi C

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple C postivamente orientada que encierra el origen y que cae en la regi´on de convergencia (ROC) de X (z). A pesar de la definici´on, es m´as conveniente calcular la transformada Z inversa buscando la se˜ nales que tienen como transformada Z a la expresi´on X (z). Veremos tales m´etodos.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

´todo de Fracciones Parciales Me En la mayor´ıa de las aplicaciones el problema consiste en determinar la transformada Z inversa de una funci´on racional X (z). Es decir, de la divisi´ on entre dos polinomios. El M´etodo de Fracciones Parciales la expresi´ on se convierte en una combinaci´on lineal de transformadas de funciones b´asicas como δ(n), an u(n) y n an u(n). De ser posible tal descomposici´on, entonces es sencillo encontrar la transformada inversa mediante la aplicaci´on de una tabla. En muchos casos, ser´a m´as conveniente primero desarrollar X (z)/z en fracciones parciales, y despu´es despejar X (z) multiplicando por z. Ello porque el caballito de batalla es Z {an u(n)} = z/(z − a) y cuando multipliquemos por z los factores lineales quedar´an a modo.

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´todo Ra ´ pido de Fracciones Parciales I Me Es pr´actico que recuerde el m´etodo r´apido para el c´alculo de fracciones parciales en el caso de t´erminos lineales NO REPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuando z = a NO es un cero de Q(z)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

P(z) A R(z) = + (z − a) Q(z) z − a Q(z)

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z) mediante la f´ormula P(a) A= Q(a)

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´todo Ra ´ pido de Fracciones Parciales II Me Es tambi´en pr´actico que recuerde el m´etodo r´apido para el c´alculo de fracciones parciales en el caso de t´erminos lineales REPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuando z = a NO es un cero de Q(z)

X −1 (z) MFP Ejemplo 1

A B R(z) P(z) = + + 2 2 (z − a) Q(z) (z − a) (z − a) Q(z)

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z) mediante la f´ormula P(a) A= Q(a) mientras que el valor de B se calcula como

Referencias

B=

P 0 (a) − A · Q 0 (a) Q(a)

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´todo Ra ´ pido de Fracciones Parciales III Me Cuando en el denominador se tiene un cero de orden tres: P(z) A R(z) B C = + + + 3 3 2 (z − a) Q(z) (z − a) (z − a) (z − a) Q(z)

X −1 (z) MFP Ejemplo 1

(Se supone que Q(a) 6= 0). Entonces los coeficientes pueden calcularse por las f´ ormulas:

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4

A =

P(a) Q(a)

B =

P 0 (a) − A · Q 0 (a) Q(a)

C

P 00 (a) − A · Q 00 (a) − 2 B Q 0 (a) 2! Q(a)

Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

=

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 1 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z (z − 15 )(z − 14 )

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ejemplo 1 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z (z − 15 )(z − 14 )

Soluci´ on Trabajamos mejor con X (z) 1 A = = 1 1 z (z − 5 )(z − 4 ) z−

1 5

+

B z−

1 4

=

−20 20 + 1 z−5 z − 14

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z − 1/4, P(a) = 1, Q(a) = 1/5 − 1/4 = −1/20 y as´ı A = −20. Para a = 1/4: P(z) = 1, Q(z) = z − 1/5, P(a) = 1, Q(a) = 1/4 − 1/5 = 1/20 y as´ı B = 20. As´ı   z 1 z 1 X (z) = −20· +20· : x(n) = −20 · n + 20 · n u(n) 5 4 z − 15 z − 14

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 1

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

El u ´nico inconveniente ser´a que debemos hacer un poco de aritm´etica para que el coeficiente en la z del denominador sea 1: por ejemplo, en la primera fracci´ on debemos dividir numerador y denominador entre 4, mientras que en el segundo entre 5.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 2 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z2 (z − 12 )(z + 13 )

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa

Ejemplo 2 Calcule la transformada Z inversa de

Departamento de Matem´ aticas

X (z) =

X −1 (z) MFP Ejemplo 1

z2 (z − 12 )(z + 13 )

Soluci´ on Trabajamos mejor con

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

X (z) z A = = 1 1 z (z − 2 )(z + 3 ) z− As´ı X (z) =

3 5

·



3 · 5

Referencias

x(n) =

z z− 12

+

2 5

1 3

·

+

B z+

z z−(− 31 )

1 3

=

3 5

z−

1 2

+

→

 n  n  1 2 1 + · − u(n) 2 5 3

2 5

z+

1 3

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 2

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

El u ´nico inconveniente ser´a que debemos hacer un poco de aritm´etica para que el coeficiente en la z del denominador sea 1: por ejemplo, en la primera fracci´ on debemos dividir numerador y denominador entre 15, mientras que en el segundo entre 10.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 3 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z z = z2 − 2 z + 2 (z − (1 + i))(z − (1 − i))

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Ejemplo 3 Calcule la transformada Z inversa de

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP

X (z) =

z z = z2 − 2 z + 2 (z − (1 + i))(z − (1 − i))

Soluci´ on Trabajamos mejor con

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5

1 − 12 i X (z) A B 2i = + = + z z − (1 + i) z − (1 − i) z − (1 + i) z − (1 − i)

As´ı

Ejemplo 6 Ejemplo 7

X (z) = − 21 i ·

z z−(1+i)

+ 21 i ·

z z−(1−i)

→

Referencias

x(n) =

  1 1 − i · (1 + i)n + i · (1 − i)n u(n) 2 2

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 3 Es un poco m´as enredado, pero no tanto: debemos pensar la expresi´on como: p f1 · f2

X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

En este caso calculamos directamente los coeficientes de las fracciones.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 4 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z2 − 2 z + 2 z2 − 2 z + 2 = 1 7 z 2 − 12 z + 12 (z − 13 )(z − 14 )

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Ejemplo 4 Calcule la transformada Z inversa de

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1

X (z) =

Soluci´ on Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

Ejemplo 2

X (z) A B = + z z z−

Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5

z2 − 2 z + 2 z2 − 2 z + 2 = 1 7 z 2 − 12 z + 12 (z − 13 )(z − 14 )

1 3

+

C z−

1 4

=

24 75 52 − + 1 z z−3 z − 14

As´ı

Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

z z − 75 · → 1 z−3 z − 14  n    n 1 1 x(n) = 24 · δ(n) + 52 · − 75 · u(n) 3 4

X (z) = 24 · 1 + 52 ·

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 4

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Nuevamente debemos hacer un poco de aritm´etica para que el coeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, en la primera fracci´ on debemos dividir numerador y denominador entre 4, mientras que en el segundo entre 3.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 5 Calcule la transformada Z inversa de X (z) = z−

z2
1 2 3

z−

1 2




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Ejemplo 5 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP

z−

z2
1 2 3

z−

1 2




Soluci´ on Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

X (z) z A B C
+
=
2
=
2 + 1 1 1 1 z z−3 z − 12 z−3 z−2 z−3 Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3, P(z) = z y Q(z) = z − 1/2, por tanto

Ejemplo 7 Referencias

A= y B=

P(a) = Q(a)

1 3 1 3

−

1 2

= −2

P 0 (a) − A Q 0 (a) 1 − (−2)(1) = = −18 Q(a) − 16

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´ n) Ejemplo 5 (continuacio Para calcular C : tenemos que a = 1/2, P(z) = z y Q(z) = (z − 1/3)2 , por tanto:

X −1 (z)

1 2

C=

1 2

MFP

−


1 2 3

= 18

Ejemplo 1 Ejemplo 2

As´ı

Ejemplo 3 Ejemplo 4

X (z) = −2 ·

z−

Ejemplo 5 Ejemplo 6

z


− 18 · 1 2 2

z z−

1 3

+ 18 ·

z z−

1 2

y por tanto

Ejemplo 7 Referencias

x(n) =

 n−1  n  n ! 1 1 1 −2 · n − 18 · + 18 · u(n) 3 3 2

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 5

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Nuevamente debemos hacer un poco de aritm´etica para que el coeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, en la primera fracci´ on debemos dividir numerador y denominador entre 3, el segundo entre 9 (pues el factor es 3 y el exponente es 2) y el tercero entre 2.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 6 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

z2 + 1 z 2 (z − 13 )

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa

Ejemplo 6 Calcule la transformada Z inversa de X (z) =

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

z2 + 1 z 2 (z − 13 )

Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales: z2 + 1 B C D X (z) A = 3 = 3+ 2+ + 1 z z z z z (z − 3 ) z−

1 3

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Aplicando los m´etodos de fracciones parciales descritos tenemos que: A = −3, B = −9, C = −30 y D = 30 y por tanto

Ejemplo 7 Referencias

X (z) = −3 ·

1 1 z − 9 · − 30 · 1 + 30 · 2 z z z−

1 3

 n 1 x(n) = −3 · δ(n − 2) − 9 · δ(n − 1) − 30 · δ(n) + 30 · u(n) 3

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TI: Fracciones parciales para el ejemplo 6

Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Nuevamente debemos hacer un poco de aritm´etica para que el coeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, en la primera fracci´ on debemos dividir numerador y denominador entre 3.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Ejemplo 7 Considere una se˜ nal gobernada por la ecuaci´on en diferencias: y (n) = 2 x(n) − x(n − 1) + 3 x(n − 2)+

9 1 y (n − 1) − y (n − 2) 20 20

con condiciones iniciales y (−1) = 3 y y (−2) = 2 para una entrada x(n) = u(n), la funci´ on escal´ on unitario.

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ejemplo 7 Considere una se˜ nal gobernada por la ecuaci´on en diferencias: y (n) = 2 x(n) − x(n − 1) + 3 x(n − 2)+

9 1 y (n − 1) − y (n − 2) 20 20

con condiciones iniciales y (−1) = 3 y y (−2) = 2 para una entrada x(n) = u(n), la funci´ on escal´ on unitario. Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizando las propiedades:

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

z 1 ; Z {x(n − 1)} = z−1 ; Z {x(n − 2)} = Z {x(n)} = z−1 Z {y (n)} = Y (z); Z {y (n − 1)} = y (−1) + z −1 Y (z) = 3 + z −1 Y (z) Z {y (n − 2)} = y (−2) + z −1 y (−1) + z −2 Y (z) = 2 + 3 z −1 + z −2 Y (z)

1 z(z−1)

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ aticas X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

´ n) Ejemplo 7 (continuacio Aplicando en ambos miembros la transformada Z y obtenemos z 1 3 Y (z) = 2 z−1 − z−1 + z(z−1) + 9 1 −1 Y (z)) − 20 (2 + 3 z −1 + z −2 Y (z)) 20 (3 + z

Despu´es de multiplicar por z 2 tenemos:     3 1 5 2 9 z (2 z 2 − z + 3) 2 + z − z + z− Y (z) z Y (z) = z −1 4 20 20 20 De donde:     5 2 1 3 9 z (2 z 2 − z + 3) 2 z+ + z − z z − Y (z) = 20 20 z −1 4 20

Referencias

As´ı:

(2 z 2 −z+3) z−1
9 1 20 z + 20

Y (z) = 2 z z −

+

5 4

z2 −

z− 9 20

3 20




z+

1 20




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´ n) Ejemplo 7 (continuacio Factorizando denominadores:
5 3 z − 20 Y (z) 2 z2 − z + 3 4

+

= z (z − 1) z − 15 z − 14 z − 51 z − 14

Ejemplo 1 Ejemplo 2

de donde:

Ejemplo 3 Ejemplo 4

y (n) =

Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

=

 n 1 20 + 72 − 3  5 n 1 20 + 70 − 3 5

v´alida para , n = 0, 1, 2, . . .

   n   230 1 n 1 13 1 n −2 + 3 4 5 4 4 n 881 1 12 4

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´ n) Ejemplo 7 (continuacio

y (n) = =

 n 20 1 + 72 − 3  5 n 20 1 − + 70 3 5

   n   230 1 n 1 13 1 n −2 + 3 4 5 4 4 881 1 n 12 4

MFP Ejemplo 1

Particular

Con entrada cero

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Estado estable

Ejemplo 7 Referencias

Transitoria

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Referencias

MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

• Cap´ıtulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approach

to Signals and Systems. 2008. John Wiley and Sons. www.wiley.com/go/sundararajan