SISTEMAS LINEALES

Tema 6. Transformada Z

16 de diciembre de 2010

F. JAVIER ACEVEDO [email protected]

TEMA 3 Contenidos.

• Autofunciones de los sistemas LTI discretos. • Transformada Z. Región de convergencia • Relación entre la transformada Z y la transformada de Laplace • Diagrama polos y ceros. Propiedades de la ROC. • Propiedades de la Transformada Z. • Transformada inversa. Descomposición en fracciones simples. Método de la división larga. •Propiedades de los sistemas a partir de la función de transferencia. •Resolución de ecuaciones en diferencias.

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AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI DISCRETO Recuperamos el concepto de autofunción y autovalor visto para sistemas LTI discretos.

x [n]

Sistema LTI tiempo discreto

y [n] = Kx[n]

Para sistemas LTI de tiempo discreto las exponenciales complejas que son autofunciones del sistema, tienen la forma:

x[n] = z0n

z0 es un número complejo.

La salida del sistema será:

y[n] =

∞ P

k=−∞

x[n − k]h[k] =

y[n] = z0n H(z0 )

∞ P

k=−∞

z0n−k h[k]

=

z0n ]

=

∞ P

k=−∞

h[k]z0−k

El autovalor depende de la respuesta al impulso y del valor del número complejo. Conclusión: En tiempo discreto también podemos seguir la estrategia de la transformada de Laplace pero teniendo en cuenta las exponenciales complejas discretas. ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI Recordatorio: Para sistemas LTI, si proyectamos la señal de entrada sobre un conjunto de exponenciales complejas (transformamos la señal) la salida puede encontrarse mediante la propiedad anterior.

Tiempo continuo: Si utilizamos exponenciales complejas con parte real y parte imaginaria: Transformada de Laplace

est s = σ + jω

Si utilizamos exponenciales complejas solo con parte imaginaria:

est s = jω

Transformada de Fourier

Tiempo discreto: Si utilizamos exponenciales del tipo:

z n z = rejΩ

Transformada Z

Si utilizamos exponenciales del tipo: Transformada Fourier

z n z = ejΩ ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

TRASNFORMADA Z La transformada Z de una señal se define como:

X(z) =

∞ P

x[n]z −n

−∞

Al igual que en la transformada de Laplace debemos tener en cuenta la región de convergencia. Esto es, la región de z en la que se cumple:

|X(z)| < ∞ Ejemplo

x[n] = u[n]

0

X(z) =

∞ P

x[n]z

−n

n=−∞

=

∞ P

n=0

X(z) =

1 1−z −1

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z −n =

z 0 −z −∞ z −1 1−z −1

REGIÓN DE CONVERGENCIA Como se puede intuir, la suposición z −∞ = 0 solo es válida para un rango de valores de z. Recordamos que: z = rejΩ

e−jΩ∞ → ± π2 r−∞

0 Si ∞ Si

z −∞ = r−∞ e−jΩ∞

r>1 r 1

REGIÓN DE CONVERGENCIA Dos señales diferentes pueden tener una misma expresión transformada, diferenciándose únicamente en la ROC. Ejemplo: Calcular la transformada de x[n] = −u[−n − 1]

0 Si |z|=r 3 1

|z| > 3 ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

2

3

ROC Y DIAGRAMA POLOS CEROS 1. ROC DE UNA SECUENCIA LADO DERECHO Si en la T. de Laplace se situaba a la derecha del polo más a la derecha, ahora será el radio exterior del polo más alejado del centro.

1

2

3

2. ROC DE UNA SECUENCIA LADO IZQUIERDO Se sitúa en el radio interior del polo con menor distancia al origen

x[n] = −2u n[−n − 1] + 3n u[−n − 1] X(z) =

−z −1 (1−2z −1 )(1−3z −1 )

|z| < 2

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1

2

3

ROC Y DIAGRAMA POLOS CEROS 3. ROC DE UNA SECUENCIA FINITA La ROC será todo el plano z salvo z=∞ Ejemplo: Obtener X(z) y su ROC

x [n]

3 2

2 1

1

-8

-6

-4

-2

2

4

-1

Como X(z) =

∞ P

-2

x[n]z −n

−∞

X(z) = z 3 − 2z 2 + 3z + 2 + z −1 + 2z −2 − z −3 ROC: Todo el plano z menos infinito.

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6

8

ROC Y DIAGRAMA POLOS CEROS 4. ROC DE UNA SECUENCIA INFINITA Una secuencia infinita o bilateral es la que va desde -∞ hasta +∞. Podemos separarla en:

X(z) =

∞ P

x[n]z

−n

n=0

+

−1 P

x[n]z −n

n=−∞

La ROC será un anillo. Ejemplo:

x[n] = 2n u[n] + 3n u[−n − 1] 1

X(z) =

−z −1 (1−2z −1 )(1−3z −1 )

2

3

2 < |z| < 3

Tal como se vio en la T. de Laplace la ROC no puede ser discontinua y no puede incluir polos. ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

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EJEMPLOS Ejemplo 1. Calcule la transformada z de la señal n

x[n] = 2 u[n − 1] +

n P

k=0

1k 2

x1 [n] = 2n u[n − 1] = 2 12 2n u[n − 1] = 2 2n−1 u[n − 1] 2 1−2z −1

2 2n u[n] → n−1

22 x2 [n] =

n P

k=0 1n 2 u[n] n P

k=−∞

u[n − 1] → n P

1k 2

=

→

1− 12 z −1

k=−∞ 1

1k 2 u[k]

→

X(z) =

|z| > 2

2z −1 1−2z −1

X1 (z) =

2z −1 1−2z −1

|z| > 2

1k 2 u[k]

|z| >

1 1− 1 z −1 2 1−z −1

2z −1 1−2z −1

1 2

|z| > 1 +

X2 (z) =

1 (1− 12 z −1 )(1−z −1 )

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1 (1− 12 z −1 )(1−z − 1)

|z| > 2

EJEMPLOS Ejemplo 2. Calcule la transformada z de la señal y dibuje su diagrama de polos y ceros

x[n] = (n − 1)3n u[−n]

Solución:

X(z) =

−9 (z−3)2

|z| < 3

3

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TRANSFORMADA INVERSA A través de la descomposición en fracciones simples. Tres métodos: 1. Trabajamos con potencias positivas de z. Ejemplo:

X(z) =

X(z) =

z−1 (z−2)(z−3)

z−1 (z−2)(z−3)

=

A z−2

+

|z| > 3 B z−3

=

−1 z−2

+

2 z−3

Sin embargo, vemos que en tablas todo está expresado en potencias negativas. Intentaremos poner las fracciones simples en potencias negativas.

X(z) =

z −1 1−2z −1

+

z −1 2 1−3z−1

|z| > 3

Tampoco están en las tablas… 1 1−az − 1

|z| > a → x[n] = an u[n]

Solución: Entender que multiplicar por z-1 equivale a un retardo

x[n] = −2n−1 u[n − 1] + 2 3n−1 u[n − 1] =

−1 n 2 2 u[n

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− 1] + 23 3n u[n − 1]

TRANSFORMADA INVERSA 2. Trabajamos con potencias negativas de z. Ejemplo:

X(z) =

z−1 (z−2)(z−3)

X(z) =

|z| > 3

z −1 (1−z −1 ) (1−2z −1 )(1−3z −1 )

|z| > 3

Ahora vamos a descomponer en fracciones simples la anterior expresión. Antes de empezar vemos que numerador y denominador son de igual grado, por lo que debemos dividir los polinomios:

X(z) =

−1 6

+

z −1 +1 1 6 (1−2z −1 )(1−3z −1 )

Descomponemos el segundo término en fracciones simples: z −1 +1 1 6 (1−2z −1 )(1−3z −1 )

=

A (1−2z −1 )

+

B (1−3z −1 )

−1

+1 1 A= lim (1 − 2z −1 ) 16 (1−2z −z 1)(1−3z − 1) = − 2 z −1 → 1 2

−1

+1 B= lim 1 (1 − 3z −1 ) 16 (1−2z −z 1)(1−3z − 1) = z −1 → 3

X(z) =

x[n] =

−1 6

−

−1 6 δ[n]

1 1 2 (1−2z −1 )

+

2 1 3 (1−3z−1)

|z| > 3

− 12 2n u[n] + 23 3n u[n] ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

2 3

TRANSFORMADA INVERSA 3. Trabajamos con potencias positivas de z pero dividimos la expresión por z. Ejemplo:

X(z) =

z−1 (z−2)(z−3)

P (z) =

|z| > 3

X(z) z

=

z−1 z(z−2)(z−3)

Descomponemos P (z) en fracciones simples:

P (z) =

z−1 z(z−2)(z−3)

=

A z

+

B z−2

+

C z−3

=

−1 1 6 z

+

−1 1 2 z−2

+

2 1 3 z−3

Ahora calculamos X(z):

X(z) = P (z)z =

−1 6

−

−1 z 2 z−2

+

2 z 3 z−3

Cada fracción simple la expresamos en potencias negativas de z.

X(z) =

x[n] =

−1 6

−

−1 6 δ[n]

1 1 2 (1−2z −1 )

+

1 2 3 (1−3z−1)

|z| > 3

− 12 2n u[n] + 23 3n u[n]

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|z| > 3

PROPIEDADES A PARTIR DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA x [n] En z:

h[n]

y [n]

Y (z) = X(z)H(z)

Función del sistema:

H(z) =

y[n] =

∞ P

k=−∞

x[n − k]h[k]

Y (z) X(z)

1. Propiedad de causalidad a partir de la ROC. ROC exterior al polo más alejado del centro. (condición necesaria pero no suficente como pasaba en Laplace).

1

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2

3

PROPIEDADES A PARTIR DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA 2. Condición de estabilidad. Si en la T. de Laplace decíamos que tenía que incluir al eje jω ahora tendrá que contener al círculo unidad. Ejemplos de sistemas estables:

1 2

3

Ejemplos de sistemas inestables:

1 2

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PROPIEDADES A PARTIR DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA 3. Propiedad de memoria a partir de la ROC. Si la ROC no es todo el plano z el sistema tiene memoria.

Ejemplo: Sea el sistema estable que viene determinado por la función del sistema.

H(z) =

2z −2 +z −1 3z −2 −7z −1 +2

a) Determine su ROC y razone las propiedades de causalidad y de memoria. b) Obtenga h[n]

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ECUACIONES EN DIFERENCIAS La transformada z puede ser una herramienta muy útil para resolver sistemas causales descritos por una ecuación en diferencias, haciendo uso de la propiedad del retardo en el tiempo Ejemplo: Calcular la función del sistema causal que viene descrito por la siguiente ecuación en diferencias:

3y[n − 2] − 2y[n − 1] + y[n] = x[n] + 2x[n − 1] 3Y (z)z −2 − 2Y (z)z −1 + Y (z) = X(z) + 2X(z)z −1 H(z) =

Y (z) X(z)

=

1+2z −1 3z −2 −2z −1 +1

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