Maestría en Matemática Pura

Profesora: María Penkova Vassileva

Materia: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Estudiante: Harold L. Marzan

Matricula: 09-6110

Práctica Final

Fecha: Viernes 08, 2010

Tabla de Contenido Deducción de la ecuación de calor y difusión en 1-D .......................................................................... 3 Difusión de la Ecuación de Calor 1-D ............................................................................................... 5 Deducción de la ecuación de calor en tres dimensiones .................................................................... 8 Ley de conservación de la energía ............................................................................................... 9 Principio del Máximo ......................................................................................................................... 10 Otra demostración del Principio del Máximo.................................................................................... 13 Aproximación por mínimos cuadrados.............................................................................................. 15 Completitud y ecuación de Parseval ................................................................................................. 16 Convergencia de las Series Trigonométricas de Fourier ................................................................... 19 Convergencia de la serie para un f(x) ............................................................................................ 20 Series en senos y cosenos.................................................................................................................. 24 Series de Fourier ............................................................................................................................ 25 Convergencia de series en senos y cosenos a partir de las series de Fourier. .............................. 26 Series de Fourier Múltiples ................................................................................................................ 27 Bibliografía ......................................................................................................................................... 29

Deducción de la ecuación de calor y difusión en 1-D

La ecuación de calor se origina en la teoría de flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado. Supongamos que una varilla circular delgada de longitud L tiene una sección transversal de área A y que coincide con el eje X en el intervalo [0, L], también supongamos que:


El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene la dirección X.
La superficie lateral, o curva, de la varilla está aislada; esto es, no escapa calor de esa superficie
No se genera calor dentro de la superficie
La varilla es homogénea, es decir, su masa por unidad de volumen ρ es constante.
El calor especifico γ y la conductividad térmica del material de la varilla K son constantes. Para derivar la ecuación diferencial parcial que satisface la temperatura u(x,t), necesitamos dos leyes empíricas de la conducción de calor: a) La conducción de calor Q en un elemento de masa m es Q = γmu,

(1)

donde u es la temperatura del elemento. b) La tasa de flujo de calor Qt a través de la sección transversal, es proporcional al área A de esa sección y a la derivada parcial de la temperatura con respecto a x. Qt = - K Aux,

(2)

Puesto que el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente se incluye el signo menos en la ecuación (2) a fin de asegurar que Qt sea positivo para ux < 0 flujo de calor hacia la derecha) y negativo para ux > 0 (flujo de calor para la izquierda). Si el corte circular de la varilla entres x y –x + Ax es muy delgado, cabe suponer que u(x,t) es la temperatura aproximada en todo punto del intervalo. Ahora bien, la masa del corte es:

m = ρ (A Ax),

(3)

de manera que, según la ecuación (1), la cantidad de calor en él es

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) nos queda: Q = γρA x u.

(4)

Además, cuando el calor fluye hacia la dirección de las x positivas, vemos que, de acuerdo con la ecuación (2), ese calor se acumula en el corte con la razón neta

- K Aux (x, t) – [-K Aux(x + x, y] = K A [ux (x + x, t) – ux (x, t)]

(5)

Al diferencial la ecuación (4) con respecto a t vemos que esa razón neta también esta expresada por Qt = γρA x ut.

(6)

Igualamos (5) y el (6), y de ello resulta:

K A [ux (x + x, t) – ux (x, t)] = γρA x ut

(7)

Eliminamos la A en ambos miembros y nos queda: K [ux (x + x, t) – ux (x, t)] = γρ x ut

(8)

Dividimos en ambos miembro por γρ ∆x y nos queda:

K [ux (x + x, t) – ux (x, t)] = ut γρ x

(9)

Tomamos el límite de esta ecuación cuando ∆x → 0; y llegamos a la siguiente ecuación

K uxx = ut γρ

(10)

A la constante positiva k = K/γρ llamaremos difusividad térmica, entonces la ecuación final es: K uxx = ut

(11)

A esta ecuación es que se le conoce como Ecuación de Transmisión de Calor

Difusión de la Ecuación de Calor 1-D Una varilla delgada de longitud L tiene una temperatura inicial f(x) y sus extremos mantiene la temperatura en todo momento t > 0. Si la varilla satisface las hipótesis del tema ante demostrado; el valor en la frontera establece su temperatura u(x, t).

K uxx = ut,

0 < x < 0,

t>0

(1)

u(0, t) = 0,

u(L, t) ) = 0,

t>0

(2)

u(x, 0) = f(x),

0 < x < L,

(3)

Con el producto u = X(x)T(t) y la constante de separación – λ2 , llegamos a

X” = T’ = – λ2 X KT

(4)

X” + λ2 = 0

(5)

T’ + K λ2T = 0

(6)

Resolviendo la ecuación (5) y (6) su resultado es

X = c1 cos λx + c2 sin λx

(7)

2

T = c3e-k λ

t

(8)

u(0, t) = X(0)T(t) = 0 (9) u(L, t) = X(L)T(0) = 0

Ahora bien, como u(0, t) = X(0)T(t) = 0 u(L, t) = X(L)T(0) = 0

Debemos tener X(0) = 0 y X(L) = 0. Estas condiciones homogéneas en la fronteras, junto con la ecuación homogénea (5) y (6), son un problema Sturm-Liouville. Al aplicar la primera de estas condiciones a la ecuación (7) obtenemos que c1 = 0, de inmediato. En consecuencia tendremos

X = c2 sin λx

(10)

La segunda condición en la frontera implica que:

X(L) = c2 sin λL = 0

(11)

Si c2 = 0, entonces X = 0, de modo que u = 0. Para obtener una solución u no trivial, se debe cumplir que c2 sea diferente de 0, y de este modo la ultima ecuación se satisface cuando sin λL = 0

(12)

Esto implica que λL = nπ, o sea λ = nπ/L, de donde n = 1, 2, 3,…… los valores λ = nπ/L

(13)

y las soluciones correspondientes

, n = 1, 2, 3,……

Según la ecuación (8),

(14)

; por consiguiente

(15)

En donde hemos reemplazado la constante c2c3 An. Los productos un(x, t) satisfacen la ecuación en derivadas parciales (1) y las condiciones en la fronteras (2) para todo valor del entero positivo n. sin embargo, para que las funciones que aparecen en la ecuación (1) satisfaga la condición inicial (3), tendríamos que definir el cociente An de tal forma que

(16)

En general, no esperamos que la condición (16) se satisfaga con una elección arbitraria, aunque razonable, de f;; en consecuencia, tenemos que admitir que un(x, t) no es una solución del problema dado. Ahora bien, por principio de superposición, la función

(17)

También debe satisfacer, aunque formalmente, la ecuación (1) las condiciones (2). La sustitución de t = 0 en la ecuación (17)) implica

Se advierte que esta última expresión es el desarrollo f en una serie de senos de mitad de intervalo. Al identificar An = bn, n = 1, 2, 3,……, entonces de acuerdo con la ecuación de conjunto ortogonales.

Concluimos que una solución del problema de valor en la frontera descrito en (l), (2) y (3) está dada por la serie infinita.

Deducción de la ecuación de calor en tres dimensiones La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º. Consideremos sideremos la temperatura u (x, y, z, t)) en un bloque de un cierto material que determina un dominio minio tridimensional D limitado por una superficie cerrada C.. El material tiene la propiedad de que en el punto (x, x, y, zz) la temperatura u es alcanzada acumulando la energía E (x, y, t, u)) por unidad de volumen en forma de movimiento molecular aleatorio. Tiene además tiene la

propiedad que si u es no constante, la energía calorífica fluye en la dirección de – grad u1 (esto es, del calor al frío) con magnitud K (x, y, z, u) 2 |grad u|. Ley de conservación de la energía

Sea C0 una superficie cerrada cualquiera con el interior D0 situado dentro de D. El cociente diferencial de variación de energía en D0 debe ser igual al flujo de energía dentro de él. Esto es, (*)


 (, , ,




)(, , , ) =  (, , , )  ∗ ,

siendo n el vector unitario normal exterior y dS el elemento de área sobre C0. El teorema de a divergencia (teorema de Gauss) afirma que para cualquier campo vectorial v derivable con continuidad (**)     3 =  ∗  Apliquemos este teorema al segundo miembro de (*), haciendo v = K grad u. Más aún, supongamos que podemos intercambiar el orden la derivación y la integración en el primer miembro. Esto nos da ⟹ 

 ∗  =   (  ) ,



(∗∗∗) ⟹  ! 

 ∗ −  (  )#  = 0,

Para cualquier D0 interior a D. Supongamos que el integrando sea continuo. Si existe un D un punto (x0, y0, z0) en el que el integrando es positivo, lo mismo ocurre en una esfera lo suficientemente pequeña de centro (x0, y0, z0). Tomando esa esfera como D0 hacemos el integrando positivo, con lo que se contradice (***). Por tanto el integrando nunca puede ser positivo, o negativo por el mismo razonamiento. Por lo que el integrando debe ser cero. Esto es, !

%&



∗ −  (  )# = 0

La cantidad %' es el calor específico.

1

Grad u es la derivada direccional de u. Cuando decimos que el componente E en una dirección cualquiera viene dado por grad u, podemos decir en particular que Ex= / , Ey= / .

2 3

La cantidad K (x, y, z. u) se llama conductividad térmica del material. % % %  ) ≡ ) + ) + ) %+

%-

%.

%&

%&

Si para simplificar hacemos la hipótesis de %' y K son contantes, y podemos k = K / %', la

ecuación se convierte en

%' %

− 1 ∇3 = 0. Ésta se llama la Ecuación de Calor

NOTA: Operador de Laplace ∇3 ≡

%5 ' %+ 5

+

%5 ' %- 5

+

%5 ' %. 5

Desde el punto de vista físico podemos pensar en asignar la temperatura inicial u (x, y, z, 0) y la temperatura sobre el contorne C como función del tiempo. O alternativamente, podemos aislar un parte del contorno de modo que

%' %6

= grad u*n = 0 en ella, y asignar u en el resto del

contorno en un instante tal como t=0. En ambos caso de trata de un problema de valores iniciales y de contorno. El mismo problema se presenta también en un proceso de difusión, en el que u representa la concentración. Una concentración es un concepto de equilibrio, y por tanto obtenemos la ecuación de calor tan sólo si el sistema está en todo momento esencialmente en equilibrio. Esto es, el cociente diferencial de variación de u ha de ser pequeño en relación con el período total de tiempo del movimiento aleatorio que produce el equilibrio. La temperatura es también un concepto de equilibrio, de modo que otra vez la ecuación de calor es cierta únicamente si la temperatura cambia con suficiente lentitud. Podemos esperar que, en el periodo de tiempo que se considera, los cambios que experimenta u se propagan con velocidad infinita. El problema de unicidad, continuidad y el principio del máximo son todos comprobables para la ecuación de calor en n dimensiones.

Principio del Máximo

Este principio dice que si tenemos una varilla cuyos extremos tienen en todo instante una temperatura acotada por una constante M y en el instante inicial la temperatura de todos los puntos de la varilla estaba acotada por M, entonces en todo instante posterior todos los puntos de la varilla tendrán una temperatura acotada por M. Para demostrarlo consideremos la siguiente notación. Sea t0 f 0 y consideremos el rectángulo o

R = [0,L ] × [0,t 0 ] = C ∪ R∪ C1

donde C1 es el lado de R –sin los extremos- que une el vértice (0,t 0 ), con (L,t 0 ) y C son los otros tres lados.

Principio del Máximo. Sea u una solución de la ecuación del calor

Kuxx (x,t ) = ut (x,t ).

Para

(x,t ) ∈ (0,L ) × (o,t 0 ] o

contínua en r de clase 1 en un abierto A que contenga a R∪ C1 y tal que uxx existe, entonces para cualesquiera constantes M1 ≤ M 2 se tiene que

M1 ≤ u(x,t ) ≤ M 2 ,

en

C ⇒ M1 ≤ u(x,t ) ≤ M 2, en R.

Demostración. En primer lugar observamos que basta demostrar una de las desigualdades, pues la otra se obtiene considerando la solución –u, por lo que solo necesitaremos la demostración correspondiente a M = M 2 y lo haremos en dos partes. En la primera consideramos v una función continua en R, de clase 1 en A tal que v xx existe, es continua y se satisface o

Kvxx f v t , para (x,t ) ∈ R∪ C1 , v (x,t ) ≤ M , para (x,t ) ∈ C , y demostraremos que v (x,t ) ≤ M , para (x,t ) ∈ R .

Consideremos el punto p ∈ R en el que v alcanza el máximo, entonces ó bien p ∈ C , en cuyo cas el resultado se sigue, ó bien se tienen las siguientes posibilidades –que son contradictorias con la hipótesiso

p ∈ R ⇒ v t ( p) = 0,v xx ≤ 0 ⇒ Kv xx ( p) ≤ v t ( p), p ∈ C1 ⇒ v t ( p) ≥ 0,v xx ≤ 0 ⇒ Kv xx ( p) ≤ v t ( p).

En Segundo lugar consideramos la función u del enunciado, un ε f 0 y la función en R

v ( x, t ) = u( x, t ) + εx 2 , por tanto o

Kvxx (p) f v t , para ( x, t ) ∈ R∪ C1, v ( x, t ) ≤ M + εL2 , para ( x , t ) ∈ C ,

y se sigue de la demostración anterior que en R

u( x, t ) ≤ v ( x, t ) ≤ M + εL2 ,

y como todo esto es cierto para todo ε f 0 , queda demostrado este principio.

Del principio anterior se tiene el siguiente

Teorema de Unicidad. Dadas las funciones continuas

[0,L]

h(t) y g(t)

en

[0,∞)

y f (x) en

, a lo sumo existe una única solución u del problema de valor inicial-frontera para la

ecuación del calor

Kuxx (x,t) = ut (x,t), u(x,0) = f (x), u(o,t) = h(t),u(L,t) = g(t), continua en [0,L] , de clase 1 en

(0,L) × [0,∞)

y para la que exista uxx. .

Demostración. Basta considerar la diferencia u de dos posibles soluciones, para la que se tiene por el resultado anterior que para cualquier t0 y cualesquiera (x,t) ∈ [0,L ] × [0,t 0 ],u(x,t) = 0.

Otra demostración del Principio del Máximo Sea una solución de

∇3 u = −F(x, y)

en D

(1)

y supongamos que F 0. Por consiguiente el máximo de debe presentarse sobre C.

Así pues si u satisface (1) con F>0 en D y si u ≤ M sobre C, encontramos que u ≤ M en D. Esto significa sencillamente que una fuerza dirigida hacia abajo en todo punto de la membrana no puede producir un abultamiento de la misma hacia arriba. Deseamos ahora extender esta conclusión al caso F ≤ 0, de modo particular, se aplicará a la solución de la ecuación de Laplace. Supongamos entonces que F ≤ 0 en (1), y que si u ≤ M sobre C. Observemos que la función  3 +  3 tiene las dos propiedades  3 +  3 ≤ 0 y ∇3 ( 3 +  3 ) = 4 > 0 . Entonces para todo ∈> 0 la función  = +∈ ( 3 +  3 )

Satisface ∇3 v = −(F − 4 ∈) en D

Ya que F≤0 y Є>0, F-4Є 0. Haciendo que ∈ → 0, encontramos que

(, ) ≤ L @ O. Esto es, si u es una solución de (1) con F ≤ 0, el valor de u en D no puede superar su máximo sobre C. Éste es el llamado principio del máximo. Tal principio establece que si no se aplica ninguna fuerza hacia arriba, una membrana no puede abultarse hacia arriba. Si es una solución de la ecuación de Laplace

∇3 = 0,

Podemos aplicar este principio a y  − . Encontramos que si P ≤ ≤ L sobre Q, la misma desigualdad es válida en O. En particular, si ≡ 0 sobre Q, entonces ≡ 0 en O. Éste es el teorema de unicidad para el problema (10.1). Encontramos también la continuidad con respecto a los datos para el problema. ∇3 = −F

=f

en O,

sobre Q.

Para −∇3 [ +

1 maxTUT ( 3 +  3 )] ≤ 0, 4 S

y por consiguiente

+

1 1 maxTUT( 3 +  3 ) ≤ max W + M 3 maxTUT. V S 4 S 4

Se deduce que

≤ max W + V

1 3 M maxTUT. S 4

Aplicando  − las mismas consideraciones, encontramos que T (, )T ≤ max T WT + V

1 3 M maxTUT. S 4

Esta desigualdad estable que si lo datos W y F son uniformemente pequeños, lo mismo puede decirse de la solución.

Aproximación por mínimos cuadrados Dada f(x) en un intervalo [a,b], mediante una suma sn(x) de la forma ∑ cn(x) φ n(x) donde φ 1(x), φ 2(x), φ 3(x), …, φ n(x) son ciertas funciones de la variable x. La aproximación en nuestro caso se refiere a la aproximación puntual, que es elegir coeficientes cn de manera que el valor de sn(x) sea próximo al de f(x) para cada valor de x del intervalo [a,b]. Si tenemos una sucesión φ 1(x), φ 2(x), φ 3(x), …, φ n(x), si Sn(x) = cn(x) φ n(x) y si decimos que la sumatoria desde n=I hasta infinito de cn(x) φ n(x) converge puntualmente hacia f(x), o sea en cada punto x. Si para cada ε>0 existe un Nε, independiente de x tal que para todo x en [a,b], siempre que N≥ Nε decimos que la serie ∑ cn(x) φ n(x) converge uniformemente hacia f(x), o que sn(x) aproxima f(x) uniformemente. Por lo general la convergencia puntual se necesita para calcular el valor de una función obtenida por separación de variables, pero es más sencillo encontrar los coeficientes cn por el método de mínimos cuadrados o de la media. Para hacerlo expresamos que para cierta función de masa positiva dada una función ρ(x), la integral

tiende a cero cuando N→∞. El que esta integral tenga un valor pequeño no implica que sn(x) tienda a f(x) para todo x. Lo que significa es que sn(x) se aproxime a f(x) salvo en un conjunto de intervalos cuya longitud total es pequeña. Entonces, si

entonces la sucesión sn(x) converge en media hacia f(x) y esta integral es la desviación media cuadrática con de sn(x) con respecto a f(x).

Completitud y ecuación de Parseval Sustituyendo los coeficientes de Fourier en la ecuación siguiente:

_

_

]

]

_

X W 3 Y − 2 [ \6 X Wa6 Y + [ \63 X a63 Y ^

`

^

`

`

(1)

Tendríamos: _

]

3

_

X bW() − [ \6 a6 ()c Y() = X W Y −

`

^

`

3

]

_

[ \63 X a63 Y ^ `

(2)

Puesto que el primer miembro es no negativo, tenemos ]

_

_

[ \63 X a63 Y ≤ X W 3 Y ^

`

`

(3)

Para todo valor de N. Ésta es la desigualdad de Bessel. La suma del primer miembro es no decreciente en N y acotada superiormente por d W 3 Y. Por consiguiente, converge si d W 3 Y es finita. Podemos admitir que W()e Y() sean discontinuas o aun infinitas en algunos puntos con tal que esa integral (definida posiblemente como una integral impropia) sea finita. El límite de la suma cuando f → ∞ se designa, como es usual por h

_

[ \63 X a63 Y ^ `

(4)

Por lo que la desigualdad de Bessel se convierte ahora en h

_

[ \63 X a63 Y ^ `

_

≤ X W 3 Y `

(5)

La convergencia de la serie significa, en particular, que sus términos tienen a cero. Por tanto si W() tiene la propiedad de que d W 3 Y es finita, entonces _

\63 X a63 Y = `

_

jd` Wa6 Yk 3

(6)

→ 0 \ e  → ∞

_

d` a63 Y

Si la sucesiónm] ^ \6 a6 converge en media hacia W, el primer miembro de (1) tiene a cero cuando f → ∞. Por consiguiente _

h

[ \63 X a63 Y ^ `

_

= X W 3 Y

(7)

`

Ésta es la llamada ecuación de Parseval. Es válida si y sólo si _

3

]

lim X qW − [ \6 a6 r Y = 0

]→h

^

`

_

Si el límite es cero para toda función W para la que d` W 3 Y es finita, el conjunto de funciones

{φ1, φ2, …} se dice que es completo.

_

Observemos que si el conjunto {φ1, φ2, …} es completo, si W es continua y d` W 3 Y es

finita y si

_

X Wa6 Y = 0

`

_

para todo n, entonces W ≡ 0. Pues en este caso \6 = 0 para todo n, y (7) da d` W 3 Y = 0, lo que

implica W ≡ 0. De esta propiedad resulta que dos funciones continuas que tienen los mismos coeficientes de Fourier con respecto a un conjunto completo de funciones deben ser iguales. Pues su diferencia tiene los coeficientes de Fourier nulos. Dicho de de otro modo, W() para la cual _

d` W 3 Y es finita, queda determinada mediante la sucesión numerable de sus coeficientes de Fourier con respecto a un conjunto completo de funciones.

Consideremos

_ d` W 3 Y



_ d` W ∗3 Y

ahora

dos

funciones

cualesquiera

sean finitas. Observemos que

W()  W ∗ ()

tales

que

[W() + W ∗ ()]3 = 2[W()3 + W ∗ ()3 ] − [W() + W ∗ ()]3 ≤ 2[W()3 + W ∗ ()3 ] _

Luego d` (W + W ∗ )3 Y es también finita. Sean ahora \6  \6∗ los coeficientes de Fourier

de W  W ∗, respectivamente:

_

d` Wa6 Y

\6 =

\6∗

=

_

3 d` a6 Y

_

d` W ∗ a6 Y _

3 d` a6 Y

Sumando estas igualdades, encontramos que los coeficientes Fourier W()  W ∗ () son \6 + \6∗ .

Supongamos ahora que el conjunto {φ1, φ2, …} es completo. Entonces según la ecuación de Parseval _

_

h

X W 3 Y = [ \63 X a63 Y ^

`

_

`

h

_

X W ∗3 Y = [ \6∗3 X a63 Y ^

`

_

X(W + W ) Y =

`

∗ 3

h

`

_

[(\6 + \6∗ )3 X a63 Y ^ `

Restamos las dos primeras ecuaciones de la tercera. Puesto que la serie contiene tan sólo términos positivos, converge absolutamente y podemos restar término a término. Simplificando por 2, tenemos

_

()W ∗ ()

X W(

`

Y() =

_

h

[ \6 \6∗ X a63 Y ^ `

(s)

Ésta es una forma más general de la ecuación de Parseval. Se reduce a (7) cua cuando ∗ (). W() ≡ W Si tenemos en cuenta la definición de \6∗ , la formula (8) se convierte _

h

_

()W ∗ () Y() = [ \6 X a6 ()W ∗ ()Y() X W(

`

^

`

(t)

El segundo miembro es lo que se obtendría multiplicando la serie de Fourier mh ^ \6 a6 () de W() ∗ ()Y() por W e integrando término a término. La ecuación de Parseval (9) asegura que si bien la serie puede no ser uniformemente mente convergente o, incluso, puede no ser convergente para ciertos valores de x, esa integración término a término nos lleva a un resultado correcto.

Convergencia de las Series Trigonométricas de Fourier 2x,… , cos nx, sin nx} , son ortogonales en el intervalo –π ≤ Las funciones {1,, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, x ≤ π. Todas las series de Fourier se desarrollan en base a estas funciones trigonométricas.

En consecuencia, si definimos los coeficientes

(1)

la serie de Fourier de f(x) es

Convergencia de la serie para un f(x) Estudiamos la convergencia de esta serie, a partir del estudio de sumas parciales de la serie:

(2)

Siendo

Para calcular la suma, observamos que

Por tanto,

(3)

(4)

Si hacemos

, la formula se convierte en

Donde Las funciones cos nx y sin nx, y por tanto Sn(x), son periódicas de periodo 22π. π. Esto hace que se pueda extender f(x) fuera del intervalo [[-π , π] como una función ón periódica, poniendo

Entonces el integrando en la integral que da Sn(x) es periódico, y la integral existe y es finita sobre un periodo. Por tanto

(5) Integrando (3) desde –π π a π se obtiene

Multiplicando esta igualdad por 1/π f(x) y rest restándola de (5), encontramos que

(6) El conjunto de funciones sin(N + ½) τ, donde N = 0, 1, 2,…., es ortogonal y satisface las condiciones del lema Riemann-Lebesgue. Lebesgue. Por consiguiente si

Es finita, el segundo gundo miembro de (6) se aproxima a cero. Esto es Sn(x)  f(x). Puesto que | τ /sin(N + ½) τ | esta acotado, podemos sustituir la condici condición ón anterior por

(7)

Esta fórmula se conoce con el nombre de criterio de Dini.. En cada punto donde este criterio criter es válido la serie de Fourier converge hacia f(x).

Si f(t) es absolutamente integrable, esto es, si es finita, esta condición se satisface con seguridad tal que f(t) sea derivable en x. También se satisface si f verifica la condición de continuidad de Holder en x; esto es, si existen dos constantes M y α positivas tales que

Esto demuestra que si f(x) es absolutamente integrable, su serie de Fourier converge hacia f(x) en aquellos puntos en los que f cumple la condición de Holder o es derivable (puede converger hacia f(x) en algunos puntos y no en otros). La serie de Fourier puede ser divergente en los puntos donde f(x) es continua, con tal que (7) no se cumpla. Si la función es discontinua en x, pero tiene los limites la izquierda, quierda, respectivamente se puede proceder de esta manera:

a la derecha y a

Integrando (3) desde –π π a 0 y de 0 a π para obtener

Multiplicando la primera de estas igualdades por restamos de (5). Tenemos entonces

Luego,

Aplicando algunas unas reglas de la integral sobre ½ f(x f(x-0) tenemos:

y la segunda por

y la

Finalmente,

De este modo, obtenemos la generalización del criterio de Dini: Si

(8)

Entonces,

(9) Esto es, la serie de Fourier converge hacia el promedio de los límites a la izquierda y hacia la derecha. La condición (8) implica que la convergencia hacia el límite debe ser suficientemente rápida. Si f es absolutamente integrable, una condición suficiente es que tenga derivada uniformemente acotada en un intervalo (x - ε, x + ε) excepto en x. Una condición suficiente más débil es que

Para valores de M y α positivos, y para todo 0 < τ < ε.

Series en senos y cosenos ón de las ecuaciones de onda y de difusión Como vimos en los temas anteriores, el buscar la solución mediante el método de separación de variables, nos conduce a desarrollos en serie de senos y cosenos.

Series de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la d descomposición escomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Las series de Fourier tienen la forma:

(1) Donde

y

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x)

Si f es una función (o señal) periódica y su período es T,, la serie de Fourier asociada a es:

(2) Donde

y

son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

(3)

(4)

(5) Podemos utilizar la fórmula de Euler: (6) Para llegar a una fórmula más concisa:

(7) Los coeficientes de Fourier serían entonces:

(8) Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad (descrito anteriormente) y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.

Convergencia de series en senos y cosenos a partir de las series de Fourier. Si f(x) es impar, es decir, si f(-x)=f(x), entonces an =0 para todos los valore de n (ya que la integral definida de -∞ a ∞ de una función impar es cero). En tal caso la serie de Fourier se reduce a una serie de senos: W() = mh 6w^ u6 sin  (9) Además, 3

x

u6 = dA f(x) sin . (10) x Si nos dan una función f (x) únicamente en el intervalo 0 ≤ x ≤ π, podemos desarrollarla en una serie de senos. Las funciones sin x, sin 2x, … son ortogonales en ese intervalo como fácilmente puede verse. Los bn dados por (10) representan los coeficientes de Fourier para f(x) expresados en función de esas funciones. Extendemos las función f(x) al intervalo [-π,π] definiéndolo como una x

función impar. Entonces la serie (9) es la serie de Fourier de la función ampliada. Si dA TWT es finito, entonces la serie de senos converge en x=x0 hacia f(x0) si f es continua y derivable en x0. Resulta pues que las funciones sin nx forman un sistema completo en el intervalo (0,π). x

Además, si f(x) extendida como una función periódica impar es continua e dA W y3  es finita, la

sección anterior demuestra que su serie de senos converge uniformemente hacia f(x). Éste será el x

caso en el que f(x) es continua, dA W y3  es finita y f(π)=f(0)=0.

Del mismo modo, extendiendo f(x) como una función par encontramos que el conjunto defunciones ortogonales {1, cos x, cos 2x,…} es completo en el intervalo 0 ≤ x ≤ π. Si f(x) es x

continua e dA W y3  es finita, encontramos que la serie de cosenos: h

1  + [ 6 cos  2 A ^

con

x

2 6 = X f(x) cos  | A

x

converge uniformemente hacia f(x). Con la débil hipótesis de que dA TWT es finita, la serie de cosenos converge hacia f(x0) en los puntos x0 en lo que f(x) es continua y derivable.

Series de Fourier Múltiples

Bibliografía Weinberger, H.F (1979) Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, con métodos de variable compleja y transformaciones integrales. Editorial Reverté S.A, Barcelona Luxán Hernández, Santiago http://geminis.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliacion/ficheros/EcuacionCalor_1d.pdf Recuperado Lunes 4 de octubre 2010 Series multiples de Fourier http://caminos.udc.es/info/asignaturas/306/images/Imagenes_complementarios/fouriermultiple. pdf Series de Fourier http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier