¿Qué son las fallas geológicas? Las fallas geológicas son manifestaciones claras de la intensa actividad en el interior de nuestro planeta. Cuando las fuerzas a las que se ve sometida la corteza terrestre sobrepasan su límite de resistencia, logran romperla; es así como se generan las fallas. En general las fallas no se presentan aisladas: lo más común es que aparezcan en familias o sistemas de fallas. Los hombres hemos aprendido a vivir con ellas, aunque la mayor parte de las veces preferimos alejarnos de las zonas donde se han detectado, pues se les asocia con intensa actividad interna de la Tierra y alta sismicidad de una región, con los riesgos que conlleva. Es el caso de la Falla de San Andrés y su sistema, ubicado muy cerca de la ciudad de San Francisco en Estados Unidos.

http://radiocentro.com.mx/grc/homepage.nsf/main?readform&url=/grc/redam.nsf/vwALL/XPAO-6GDNNP Ubicar y estudiar las fallas geológicas resulta fundamental cuando se va a elegir el sitio para construir obras de gran magnitud como puentes, túneles, presas, carreteras, y para prevenir riesgos innecesarios. Su detección es fundamental en las obras marinas y especialmente en estructuras como las plataformas petroleras. En el caso de los asentamientos humanos, identificar las fallas y su actividad permite preparar planes de contingencia efectivos para proteger a la población que vive en el entorno. Salvo excepciones, las fallas geológicas describen patrones lineales, por lo que pueden modelarse como rectas para su estudio. En esta sección aprenderemos cómo modelar un sistema de fallas usando modelos lineales, y también veremos qué características distinguen a una familia de fallas.

http://www.igeofcu.unam.mx/ Managua y sus fallas geológicas En el siguiente esquema te mostramos el sistema de fallas que atraviesa la ciudad de Managua, en Nicaragua. Dicho sistema es responsable de una alta sismicidad en la zona, que en 1972 provocó el terremoto más intenso en la historia de ese pequeño país centroamericano.

Como habíamos comentado, el patrón de distribución de las fallas puede modelarse con rectas. Modelemos el sistema de fallas Como verás, hemos trazado un sistema de referencia en el mapa de fallas geológicas. Este sistema es arbitrario, es decir, lo hemos ubicado donde consideramos que nos conviene más, haciendo coincidir el origen con la esquina inferior izquierda del mapa. También hemos marcado en azul las fallas que investigaremos con respecto a su paralelismo.

En primer lugar generaremos las ecuaciones que representen cada una de las rectas, y para ello necesitamos dos puntos de cada recta. Con objeto de uniformar criterios, ya hemos obtenido las coordenadas de esos puntos, que aquí te presentamos. Puedes verificarlas en el esquema siguiente, al que le hemos trazado una malla de rectas auxiliares para la lectura de coordenadas. Usa los datos para obtener cada una de las ecuaciones, haciendo los arreglos necesarios para que queden expresadas en forma pendiente-ordenada al origen (¿recuerdas? Es aquélla en la que dejamos despejada a y). A medida que las obtengas, puedes ir colocando los valores de los coeficientes para cada una de las ecuaciones, redondeados a un decimal. Recuerda que en tus operaciones debes mantener todas las cifras decimales en la calculadora y redondear únicamente la cifra final:

Fórmulas para obtener la ecuación de la recta Punto pendiente:

.

Pendiente – ordenada al origen: Forma general: Pendiente:

. , donde

.

.

Cuando hayas llegado a las respuestas correctas, observa el valor de las pendientes. Toma unos momentos para detectar qué ocurre. ¿Notas algo? Recuerda que estamos intentando determinar si estas fallas son paralelas o no. ¿Todas serán paralelas entre sí?, o ¿sólo algunas? ¿Tal vez ninguna? La condición de paralelismo Extraigamos a una gráfica las rectas que representan a cada una de las fallas, para verlas de manera más clara:

¿Lograste responder a las preguntas que nos hicimos en la pantalla anterior? Efectivamente, esta gráfica no deja lugar a dudas en cuanto a las rectas paralelas: se trata de las rectas 1 a 4. Seguramente observaste que las cuatro tenían la misma pendiente. En cambio, la recta 5 tenía una pendiente diferente, y como puedes ver, no es paralela a las demás. Pues bien, acabamos de plantear la condición para que las rectas sean paralelas: que sus pendientes sean iguales. Esto se escribe matemáticamente de la siguiente manera:

Condición de paralelismo Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales: m1=m2 Ahora observa estas ecuaciones expresadas en su forma general:

Las rectas que tienen sus valores A y B iguales, o que tienen la misma pendiente, se llaman familias de rectas, y son rectas paralelas que pueden distinguirse entre sí calculando el otro parámetro importante: la ordenada al origen. La condición de perpendicularidad En efecto, también existe una condición para determinar si dos rectas son perpendiculares entre sí por medio del análisis de sus pendientes: Condición de perpendicularidad Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entre sí si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario:

¿Qué significa eso? Usemos nuevamente la observación para que busques una estrategia que te permita recordarlo: Trabajemos con las rectas Empecemos por trazar la gráfica. Te recomendamos que lo hagas en una hoja de cuadrícula. Necesitarás la pendiente y la ordenada al origen de cada recta: Recta 1

Recta 2

8

5

Pendiente m Ordenada al origen b

La condición de perpendicularidad La gráfica te debe haber quedado así:

Puedes ver entonces que efectivamente estas rectas forman un ángulo de 90° entre sí, por lo que son perpendiculares. Observa las ecuaciones de otras rectas perpendiculares:

¿Qué pasa con las pendientes? ¿Cómo describirías lo que pasa entre la pendiente de ambas rectas? La condición de perpendicularidad

En el caso 1, para las ecuaciones y

. Tenemos que las pendientes valen

.

Para el caso 2, , las pendientes son Finalmente, en el caso 3, analizando las ecuaciones

y

vemos que las pendientes valen

.

y

. A continuación te presentamos las gráficas. Tú ya sabes identificarlas conociendo la pendiente y la ordenada al origen. Arrastra los círculos a su gráfica correspondiente según sea el caso: 1, 2 ó 3.

¿Ya viste lo que pasa con las pendientes de las rectas perpendiculares? Observa que su numerador y denominador se encuentran intercambiados:

Y a eso se refiere aquello de que en las rectas perpendiculares son recíprocas. Comprueba que ocurre lo mismo en los otros dos casos. Fíjate también que los signos de las pendientes de dos rectas perpendiculares siempre son contrarios: si uno es positivo, en otro es negativo, y viceversa. Si quieres estar seguro de que dos rectas son perpendiculares, puedes determinar las pendientes de cada una y multiplicarlas. El resultado siempre deberá ser -1, porque otra manera de expresar la condición de perpendicularidad es que:

NOTA: Las calculadoras te permiten obtener el recíproco de cualquier número usando el botón

. En

algunas calculadoras, en vez de este botón encontrarás otro: . A menos de que la calculadora trabaje con formato de números fraccionarios, el resultado te aparecerá expresado en números decimales.

Perpendicularidad de fallas En nuestro análisis de las fallas en la ciudad de Managua modelamos cinco fallas que corrían de manera lineal mediante ecuaciones de rectas. Una de ellas era:

¿Podrías encontrar la ecuación que debería tener una falla para ser perpendicular a ella? ¿Cómo expresarías la ecuación de una familia de fallas perpendiculares a ésta? y haz lo mismo. Escribe tus resultados en Considera ahora la ecuación de esta otra falla un archivo digital y envíalos al portafolio de tu asesor ya que esta práctica formará parte de tu calificación. La separación entre fallas paralelas En el análisis de fallas, un aspecto importante es la separación que existe entre ellas. En general, una zona en la que hay una familia de fallas paralelas muy cercanas implica mayores riesgos que otra en la que las fallas se encuentren separadas por una mayor distancia. Esto resulta particularmente importante cuando se construyen túneles carreteros o ferroviarios (o los del metro). Si al analizar el macizo rocoso que hay que atravesar se detecta que la separación entre las fallas es de menos de un metro, es necesario colocar “ademes”, que son estructuras auxiliares para sostener el túnel y que no se colapse. En cambio, cuando se encuentra roca muy sana, en la que no se detectan fallas o estas se encuentran con tal separación que no ponen en riesgo la obra, el refuerzo para el túnel puede ser menor o incluso, no requerirse. Así que aprendamos a calcular la distancia entre fallas paralelas. Para ello nos valdremos de la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta:

Donde: A, B, C son los coeficientes de la recta. (x1,y1) son las coordenadas de un punto:

En nuestro caso, para determinar la separación entre dos fallas necesitaremos la ecuación de una de las fallas y las coordenadas de un punto cualquiera que se encuentre sobre la otra falla. ¿Por qué puede ser cualquier punto? La razón es la condición básica para que dos rectas sean paralelas: que estén separadas siempre por la misma distancia, razón por la cual nunca se tocan. La separación entre fallas paralelas Determinemos la separación entre las cuatro fallas paralelas tomadas del mapa de Managua. Aquí están las ecuaciones que ya habíamos obtenido:

Como dijimos antes, para calcular la separación entre fallas necesitamos una ecuación y las coordenadas de un punto. Elegiremos entonces la ecuación de la falla 1 . Sin embargo, no podemos usar la ecuación así, porque en la fórmula se ve que debe estar expresada en la forma general. Por tanto:

En cuanto al punto sobre la falla 2, podemos usar el punto de intersección con el eje vertical, cuyas coordenadas tenemos ya porque conocemos la ordenada al origen. Así pues, nuestro punto tiene de coordenadas (0,-2.7). Hagamos un resumen de nuestros datos: A= B= C= x1= y1=

Sustituyendo en la fórmula

1.7 -1 0.3 0 -2.7

tenemos que:

Así que la distancia entre las fallas 1 y 2 es de 1.52 unidades (¡Cuidado! Expresamos nuestro resultado en unidades porque no fijamos ningunas al iniciar el desarrollo de nuestro modelo. La distancia que hemos obtenido corresponde a 1.52 unidades del tamaño de las del sistema de referencia que dibujamos. Para tener la distancia real, tendríamos que relacionar nuestras unidades con la escala del mapa).

Para terminar la unidad, trabajaremos con un fenómeno típico por su comportamiento lineal: