Manual de Matemáticas Financiera

Matemáticas financieras, dirigido tanto a estudiantes universitarios como a profesionales del sector financiero, que estén interesados en conseguir una base de conocimiento sólida y extensa de esta materia.

1.

Valor temporal del dinero

2.

Capitalización simple (I)

3.

Capitalización simple: Ejercicios

4.

Capitalización compuesta

5.

Capitalización compuesta vs capitalización simple

6.

Capitalización compuesta: Ejercicios

7.

Descuento comercial

8.

Descuento comercial: Ejercicios

9.

Descuento racional

10.

Descuento racional: Ejercicios

11.

Descuento compuesto

12.

Repaso de los tres tipos de descuento

13.

Descuento compuesto: Ejercicios

14.

Rentas financieras

15.

Renta temporal constante pospagable (I)

16.

Renta temporal constante prepagable (II)

17.

Renta temporal constante prepagable (I)

18.

Renta temporal constante prepagable (II)

19.

Renta perpetua constante

20.

Renta diferida y anticipada (I)

21.

Renta diferida y anticipada (II)

22.

Rentas constantes: Ejercicios (I)

23.

Rentas variables

24.

Rentas con distintos tipos de interés

25.

Ejercicios

26.

TAE

27.

TAE: Ejercicios

28.

Descuento bancario de efectos comerciales

29.

Descuento bancario y depósito en garantía

30.

Descuento por "pronto-pago"

31.

Letras del Tesoro

32.

Cuenta de crédito

33.

Compra-venta de acciones (I)

34.

Compra-venta de acciones (II)

35.

Préstamos

36.

Préstamos con cuotas de amortización constantes (Método francés

37.

Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios

38.

Présamos con amortización de capital constante

39.

Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio

40.

Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano

simple) 41.

Préstamo con periodo de carencia

42.

Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios

43.

Préstamos con distintos tipos de interés (I)

44.

Préstamos con distintos tipos de interés (II)

45.

Préstamo con distintos tipos de interés Ejercicios

46.

Préstamos hipotecarios

47.

Préstamos con intereses anticipados

48.

Préstamos con intereses anticipados (II)

49.

Valoración de préstamos

50.

Empréstitos: Introducción

51.

Deuda del Estado

52.

Deuda del Estado: Ejercicios

53.

Empréstitos con amortizaciones parciales de capital

54.

Empréstitos sin vencimiento

55.

Empréstitos: amortización por sorteo (I)

56.

Empréstitos: amortización por sorteo (II)

57.

Emprédtitos: cupón cero (I)

58.

Empréstitos: cupón cero (II)

59.

Obligaciones convertibles

60.

Rentabilidad de un empréstito

61.

Obligación con bonificación fiscal

62.

Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I)

63.

Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II)

64.

Valoración de una inversión (I)

65.

Valoración de una inversión (II)

66.

Valoración de una inversión (Ejercicio)

1. Valor Temporal del Dinero

El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 millón de pesetas hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Por lo tanto, 1 millón de pesetas en el momento actual será equivalente a 1 millón de pesetas más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo. Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras: 

Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano



Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financiera. Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de 2 millones de pesetas dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?. Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción.

Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la elección habría sido la misma. Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan Leyes de Descuento. Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos momentos. Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesetas dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces si se podrán sumar.

2. La Capitalización Simple La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección. 

La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes: X I = Co * i * t X " I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión X



Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año. X I = 5.000.000 * 0,15 * 1 I = 750.000 ptas. X



Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I Cf = Co + ( Co * i * t )

Cf = Co * ( 1 + ( i * T )) X

(sustituyendo "I" por su equivalente) (sacando

factor común

"Co") x

" Cf " es el capital final 

Ejemplo: ¿Cual era el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co + I Cf = 5.000.000 + 750.000 Cf = 5.750.000



Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc.).



¿ Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. X Base temporal

Calculo

Tipo resultante

Año

15 / 1

15 %

Semestre

15 / 2

7,5 %

Cuatrimestre

15 / 3

5%

Trimestre

15 / 4

3,75 %

X



Mes

15 / 12

1,25 %

Día

15 / 365

0,041 %

El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc.

Base temporal

Intereses

X Año

5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000

Semestre

5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000

Cuatrimestre

5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000

Trimestre

5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000

Mes

5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000

Día

5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000



Veamos ahora un ejemplo:



Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses: X Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t

I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500

3. Capitalización simple: Ejercicios. 

Ejercicio 1: Calcular el interés que generan 500.000 ptas. durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%.



Ejercicio 2: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos 1.000.000 ptas. durante 6 meses al 12%.



Ejercicio 3: Recibimos 500.000 ptas. dentro de 6 meses y 800.000 ptas. dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año.



Ejercicio 4: ¿ Qué es preferible recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses, 400.000 ptas. dentro de 6 meses, o 600.000 ptas. dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12% ?



Ejercicio 5: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.

SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t X Como el tiempo está expresado en meses, tenemos que calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende que es anual) X

Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual equivalente) X Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar X Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. X Luego, I = 500.000 * 0,0083 * 4 Luego, I = 16.666 ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más intereses) X Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t X Luego, I = 1.000.000 * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de interés en base anual (12%) y hemos expresado el plazo en años (0,5 años)) Luego, I = 60.000 ptas. X Ya podemos calcular el capital final. X Luego, Cf = 1.000.000 + 60.000

Luego, Cf = 1.060.000 ptas. x Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos X 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses (0,5 años), ya que recibimos el capital dentro de 6 meses y lo tenemos invertido hasta dentro de 1 año) Luego, I = 37.500 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 37.500 = 537.500 ptas. X 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 800.000 * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25 años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se invierte hasta dentro de 1 año) Luego, I = 30.000 ptas. Luego, Cf = 800.000 + 30.000 = 830.000 ptas. X Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año

X Luego, Ct = 537.500 + 830.000 = 1.367.500 ptas. x Ejercicio 4: Entre la 1ª y 2ª opción (recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses o 400.000 dentro de 6 meses), está claro que es preferible la primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes. X Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que comparar la 1ª con la 3ª (recibir 600.000 dentro de 1 año). X Como estos importes están situados en momentos distintos, no se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto). X 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75 años)) Luego, I = 56.250 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 56.250 = 556.250 ptas. X

3er importe: Cf = 600.000 (no se calculan intereses, ya que el importe ya está situado dentro de 1 año) X Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa.

Ejercicio 5: Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes: X

a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (expresamos por "i(2)" el tipo semestral y por "i" el anual) Luego, 4% = i /2 Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%) X

b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (expresamos por "i(3)" el tipo cuatrimestral y por "i" el anual) Luego, 3% = i /3 Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%) X

c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (expresamos por "i(4)" el tipo trimestral y por "i" el anual) Luego, 5% = i /4 Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%)

X

d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (expresamos por "i(12)" el tipo mensual y por "i" el anual) Luego, 1,5% = i / 12 Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%)

4. Capitalización compuesta. La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses. Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo. La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:

I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ")

" I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.

I = 2.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1) I = 200.000 * (1,1 - 1) I = 20.000 ptas.

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final: Cf = Co + I Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Cf = Co * (( 1 + i) ^ t)

(sustituyendo

"I"

por

su

equivalente) (sacando factor común "Co")

" Cf " es el capital final Ejemplo: ¿ Cual será el capital final en el ejemplo anterior ? Cf = Co + I Cf = 2.000.000 + 20.000 Cf = 2.020.000 ptas.

Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal. El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente:

1 + i = ( 1 + im ) ^ m

(m se refiere a la base temporal que se utiliza) (m = 1, para años) (m = 2, para semestres) (m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres) (m = 12, para meses) (m = 365, para días)

Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.

Base temporal

Calculo

Semestre

1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2 i2 = 7,24 %

Cuatrimestre

1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3 i3 = 4,76 %

Trimestre

1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4 i4 = 3,56 %

Mes

Día

1 + 0,15 = (1 + i12) ^ 12 1 + 0,15 = (1 + i365) ^ 365

Tipo equivalente

i12 = 1,17 %

i365 = 0,038 %

5. Capitalización compuesta vs capitalización simple Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos: a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%: a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t Luego, I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual) Luego, I = 120.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1) Luego, I = 4.000.000 * (1,029 - 1) Luego, I = 116.000 ptas. Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta.

b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%: a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t Luego, I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = 300.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1) Luego, I = 2.000.000 * (1,15 - 1) Luego, I = 300.000 ptas. Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales. c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%: a.1.) Capitalización simple

I = Co * i * t Luego, I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)

Luego, I = 1.000.000 ptas.

a.2.) Capitalización compuesta

I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1) Luego, I = 5.000.000 * (1,21 - 1) Luego, I = 1.050.000 ptas. Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado. No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo.

6. Capitalización compuesta: Ejercicios. 

Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.



Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta.



Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de ptas. dentro de 6 meses y otro capital de 0,5 millones ptas. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. ¿ Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta ?.



Ejercicio 4: ¿ Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000 invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de 500.000 ptas. invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta ?



Ejercicio 5: ¿ Si un capital de 1 millón de pesetas genera unos intereses durante 6 meses de 150.000 ptas, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple ?, ¿y la capitalización compuesta ?.

SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5 Luego, I = 1.200.000 ptas.

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) Luego, I = 5.000.000 * (1,249 - 1) Luego, I = 1.245.000 ptas. Ejercicio 2: Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual:

a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 Luego, 1,0124 = 1 + i12 Luego, i12 = 0,0124

b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3 Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 Luego, 1,0507 = 1 + i3

Luego, i3 = 0,0507

c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2 Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2 Luego, 1,0770 = 1 + i2 Luego, i2 = 0,0770 Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos

1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 1.000.000 * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual) Luego, I = 58.301 ptas. Luego, Cf = 1.000.000 + 58.301 = 1.058.301 ptas.

2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = 500.000 * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = 14.369 ptas. Luego, Cf = 500.000 + 14.369 = 514.369 ptas.

Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año

Luego, Ct = 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670 ptas. Ejercicio 4: a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 600.000 * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = 45..000 ptas.

b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, I = 500.000 * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = 500.000 * (1,249 - 1) Luego, I = 51.458 ptas.

Luego en la 2ª opción los intereses son mayores. Ejercicio 5: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, 150.000 = 1.000.000 * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, i = 150.000 / 500.000 Luego, i = 0,3

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30%

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

Luego, 150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) - 1) Luego, 150.000 = 1.000.000 * ((1 + i) ^ 0,5) - 1.000.000 Luego, 1.150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) Luego, 1.150.000 / 1.000.000 = (1 + i) ^ 0,5 Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5 Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i Luego, 1,322 = 1 + i Luego, i = 0,322

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2%

7. Descuento comercial La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Descuento comercial

Descuento racional

Descuento económico Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial.

A) DESCUENTO COMERCIAL La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente: D = Co * d * t

" D " son los intereses que hay que pagar

" Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año.

D = 2.000.000 * 0,15 * 1 D = 300.000 ptas.

Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que

equivale al capital inicial menos el importe del

descuento): Cf = Co – D Cf = Co - ( Co * d * t )

Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

(sustituyendo "D" por su equivalente) (sacando

factor

común

"Co")

" Cf " es el capital final Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ? Cf = Co – D Cf = 2.000.000 - 300.000 Cf = 1.700.000 ptas. Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma

medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple. Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.

Base temporal

Calculo

Tipo resultante

Año

15 / 1

15 %

Semestre

15 / 2

7,5 %

Cuatrimestre

15 / 3

5%

Trimestre

15 / 4

3,75 %

Mes

15 / 12

1,25 %

Día

15 / 365

0,041 %

Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de 600.000 pesetas al 15% anual durante 3 meses:

Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)

Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t

D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas. La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).

8. Descuento comercial: Ejercicios. 

Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 800.000 ptas. por 7 meses a un tipo de descuento del 12%.



Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior.



Ejercicio 3: Se descuentan 200.000 ptas. por 6 meses y 900.000 ptas. por 5 meses, a un tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones.



Ejercicio 4: ¿ Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar 1.000.000 ptas. por 6 meses al 12%, o el de descontar 1.200.000 ptas. por 9 meses al 15% ?



Ejercicio 5: Se descuentan 800.000 ptas. por un plazo de 4 meses, y los interese del descuento son 40.000 ptas. Calcular el tipo del descuento.

SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t

Como el plazo está expresado en meses, tenemos que calcular el tipo de descuento en base mensual equivalente al 12% anual.

Luego, d (12) = 12 / 12 = 1,0 (es el tipo de descuento mensual equivalente)

Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (7 meses) en base anual (= 0,583 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar

Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés.

Luego, D = 800.000 * 0,01 * 7 (un tipo del 1% equivales a 0,01) Luego, D = 56.000 ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co - D (capital inicial menos descuento)

Luego, Cf = 800.000 - 56.000 Luego, Cf = 744.000 ptas. Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones

1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = 200.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en año: 6 meses equivale a 0,5 años. Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular

el tipo de descuento mensual equivalente) Luego, D = 15.000 ptas. Luego, Cf = 200.000 - 15.000 = 185.000 ptas.

2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = 900.000 * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166 años). Luego, D = 56.241 ptas. Luego, Cf = 900.000 - 56.241 = 843.759 ptas.

Ya podemos sumar los dos importes

Luego, Cf = 185.000 + 843.759 = 1.028.759 ptas. Ejercicio 4: 1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = 1.000.000 * 0,12 * 0,5 Luego, D = 60.000 ptas. Luego, Cf = 1.000.000 - 60.000 = 940.000 ptas.

2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = 1.200.000 * 0,15 * 0,75 Luego, D = 135.000 ptas.

Luego, Cf = 1.200.000 - 135.000 = 1.065.000 ptas.

Por lo tanto, la opción 2ª es mayor. Ejercicio 5: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t

Luego, 40.000 = 800.000 * d * 0,333 Luego, d = 40.000 / 266.400 (ya que 266.400 = 800.000 * 0,333) Luego, d = 0,1502

Por lo tanto, hemos aplicado un tipo anual del 15,02%

9. Descuento racional. La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera:

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

" D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión

Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:

Cf = Co – D Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))

(sustituyendo "D") (sacando común "Co")

Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * (operando t))

luego, Cf = Co / (1 + d * t)

factor

en

el

paréntesis)

" Cf " es el capital final

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = 102.345 ptas.

Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

luego, Cf = 1.200.000 - 102.345 luego, Cf = 1.097.655 ptas.

b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666) luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324 luego, Cf = 1.097.655 ptas.

La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida. Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.

a) Aplicando el descuento racional

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)

luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5) luego, Cf = 952.381 ptas.

Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t)) (El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co")

luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = 1.000.000 ptas.

Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

b) Aplicando el descuento comercial

Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 ( d * t ))

luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5) luego, Cf = 950.000 ptas.

Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))

luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = 997.500 ptas.

No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia

Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial

10. DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS 

Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento racional, b) aplicando el descuento comercial.



Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1.000.000 ptas. por 3 meses, y los intereses de descuento han ascendido a 40.000 ptas. Calcular el tipo de interés aplicado (descuento racional).



Ejercicio 3:Se descuentan 200.000 ptas. al 12% y los intereses de descuento ascienden a 15.000 ptas. Calcular el plazo del descuento (descuento racional).



Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial (descuento racional).



Ejercicio 5: Se descuentan 2.000.000 ptas. por un plazo de 4 meses, a un tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.

SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) X Luego, D = ( 500.000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333)

Luego, D = 19.212 ptas. X b) Aplicando el descuento comercial: D = Co * d * t X Luego, D = 500.000 * 0,12 * 0,333 Luego, D = 19.980 ptas.

Ejercicio 2: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) X Luego, 40.000 = (1.000.000 * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25) Luego, 40.000 = (250.000 * d) / (1 + d * 0,25) Luego, 40.000 + 10.000 * d = 250.000 * d Luego, d = 40.000 / 240.000 Luego, d = 0,1666. X Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66%

Ejercicio 3: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) X Luego, 15.000 = (200.000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t) Luego, 15.000 = (24.000 * t) / (1 + 0,12 * t)

Luego, 15.000 + 1.800 * t = 24.000 * t Luego, t = 15.000 / 22.200 Luego, t = 0,67567 X Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo que es lo mismo, 8,1 meses.

Ejercicio 4: La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) X Luego, 120.000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666) Luego, 120.000 = (Co * 0,0666) / 1,06666 Luego, Co = 120.000 * 1,06666 / 0,0666 Luego, Co = 1.920.000 ptas.

Ejercicio 5: Primero vamos a calcular a cuanto ascienden los intereses de descuento aplicando la fórmula del descuento racional D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) X Luego, D = ( 2.000.000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333) Luego, D = 64.516 ptas. X

Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver que tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial para obtener el mismo resultado X La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t Xx Luego, 64.516 = 2.000.000 * d * 0,333 Luego, d = 64.516 / 666.666 Luego, d = 0,096774 X Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en descuento comercial sería el del 9,6774%. X Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los intereses del descuento comercial son mayores que los del racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del descuento comercial tendrá que ser menor.

11. Descuento compuesto La ley financiera de descuento compuesto viene definida de la siguiente manera: X D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) X El signo " ^ " significa "elevado a". Recordemos que "(1+d)^-t" es lo mismo que "1/(1+d)^t" " D " son los intereses de descuento " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión X El capital final queda definido de la siguiente manera: X Cf = Co – D Cf = Co - ( Co * (1 - (1 + d) ^ -t )) Cf = Co * (1 - (1 - (1 + d) ^ -t ))

(sustituyendo "D") (sacando

factor

común Co)

X luego, Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t Xx

x

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 900.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%. X Aplicamos la fórmula D = Co * (1 - ((1 + d) ^ -t ))

X luego, D = 900.000 * (1 - (1,14) ^ -0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = 900.000 * (1 - 0,9164) luego, D = 75.281 ptas. X Calculamos ahora el capital final, utilizando dos procedimientos: X a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento): X luego, Cf = 900.000 - 75.281 luego, Cf = 824.719 ptas. X b) Aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t X luego, Cf = 900.000 * (1,14) ^ -0,666 luego, Cf = 1.200.000 * 0,9164 luego, Cf = 824.719 ptas. X La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. X Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t X luego, Cf = 2.000.000 * (1 + 0,15) ^ -0,5 luego, Cf = 1.865.010 ptas. X Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización compuesta Cf = Co * ( 1 + i) ^ t (El capital descontado, 1.865.010 ptas, pasa a ser ahora "Co") X luego, Cf = 1.865.010 * (1 + 0,15) ^ 0,5 luego, Cf = 1.865.010 * 1,072381 luego, Cf = 2.000.000 ptas. X Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida X El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo.

En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.

12. Repaso de los tres tipos de descuento Hemos estudiado tres leyes de descuento: x a) Ley de descuento comercial x Intereses de descuento

D = Co * d * t

Capital final

Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))

x b) Ley de descuento racional x Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

Capital final

Cf = Co / (1 + d * t)

x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Capital final

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

x La ley de descuento comercial y racional sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses). Mientras que la ley de descuento compuesto se puede utilizar en operaciones de corto y largo plazo. La ley de descuento racional es inversa de la ley de capitalización simple, mientras que la ley de descuento compuesto es la inversa de la ley de capitalización compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se vuelve al capital inicial. La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.

El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente: x La mayor carga de intereses

Descuento comercial

x La 2ª mayor carga de intereses Depende del plazo x Operaciones < 1 año (*) Descuento racional Operaciones > 1 año (*) Descuento compuesto x La menor carga de intereses x Operaciones < 1 año (*) Descuento compuesto Operaciones > 1 año (*) Descuento racional xxx

X

(*) El plazo de 1 año es en el caso de que se aplique un mismo tipo de interés anual. Si el mismo tipo de interés que se aplica es trimestral, entonces el plazo sería 3 meses, y así sucesivamente. Xx Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses de descontar un capital de 1.000.000 ptas., a un tipo de interés del 16%, por un plazo de 8 meses. a) Ley de descuento comercial x Intereses descuento Luego,

de

D = Co * d * t D = 1.000.000 * 0,16 * 0,66

Luego,

D = 106.007 ptas.

x b) Ley de descuento racional x Intereses

de

descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D

Luego,

=

(1.000.000*0,16*0,66)/(1+0,16*0,66)

Luego,

D = 96.386 ptas.

x c) Ley de descuento compuesto x Intereses descuento

de

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego,

Cf = 1.000.000*(1-(1+0,16)^-0,66)

Luego,

Cf = 94.209 ptas.

x ¿ Cual de estas leyes se utiliza ?. Se puede utilizar cualquiera, con la limitación que hemos señalado antes entre operaciones de corto y mediolargo plazo. Lo importante para el cliente de una entidad financiera es conocer el importe de los intereses de descuento según la ley elegida, y decidir si la operación planteada le resulta aceptable o no.

13. Descuento compuesto: Ejercicios 

Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 2.500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a ) descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto



Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año.



Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y medio.



Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo resultado que en el descuento comercial.



Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2.000.000 ptas. a un tipo del 10% ascienden a 150.000 ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento compuesto.

SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Ley de descuento comercial x Intereses descuento

de

D = Co * d * t

Luego,

D = 2.500.000 * 0,12 * 0,33

Luego,

D = 100.000 ptas.

x b) Ley de descuento racional x Intereses

de

descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) D

Luego,

=

(2.500.000*0,12*0,33)/(1+0,12*0,33)

Luego,

D = 96.154 ptas.

x c) Ley de descuento compuesto x Intereses

de

descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego,

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-0,33)

Luego,

Cf = 92.679 ptas.

Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son superiores a los del descuento compuesto. Ejercicio 2: a) Ley de descuento comercial x Intereses descuento

x

de

D = Co * d * t

Luego,

D = 2.500.000 * 0,12 * 1

Luego,

D = 300.000 ptas.

b) Ley de descuento racional x Intereses

de

descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

Luego,

D = (2.500.000*0,12*1)/(1+0,12*1)

Luego,

D = 267.857 ptas.

x c) Ley de descuento compuesto x Intereses descuento

de

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego,

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1)

Luego,

Cf = 267.857 ptas.

Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del descuento compuesto. Ejercicio 3: a) Ley de descuento comercial x Intereses descuento

de

D = Co * d * t

Luego,

D = 2.500.000 * 0,12 * 1,5

Luego,

D = 450.000 ptas.

x b) Ley de descuento racional x

Intereses de descuento

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

Luego,

D=(2.500.000*0,12*1,5)/(1+0,12*1,5)

Luego,

D = 381.356 ptas.

x c) Ley de descuento compuesto x Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego,

Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1,5)

Luego,

Cf = 390.823 ptas.

Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son superiores a los del descuento racional. Ejercicio 4: En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los intereses de descuento han ascendido a 100.000 ptas. El tipo de interés ha sido del 12% X a) Aplicando la ley de descuento racional X Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) Luego, 100.000 = (2.500.000*d*0,33)/(1+d*0,33) Luego, 100.000 = 833.333,3*d/(1+d*0,33) Luego, 100.000+33.333*d = 833.333,3*d Luego, d=0,125

X Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento racional para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 12,5% X b) Aplicando la ley de descuento compuesto X Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t ) Luego, 100.000 = 2.500.000*(1-(1+d)^-0,33) Luego, 100.000/2.500.000 = 1-(1+d)^-0,33 Luego, 0,04 = (1-(1+d)^-0,33) Luego, (1+d)^-0,33 = 0,96 Luego, 1+d = 1,13028 Luego, d = 0,13028 X Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley de descuento compuesto para obtener el mismo importe de intereses de descuento que con la ley de descuento comercial, sería del 13,028% Ejercicio 5: a) Ley de descuento comercial X Intereses descuento Luego,

de

D = Co * d * t 150.000 = 2.000.000 * 0,10 * t

Luego,

t = 0,75

X Por lo tanto, el plazo sería de 0,75 años, o lo que es lo mismo, 9 meses

b) Ley de descuento racional X Intereses descuento

de

D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)

Luego,

150.000=(2.000.000*0,10*t)/(1+0,10*t)

Luego,

150.000*(1+0,10*t)=200.000*t

Luego,

150.000+15.000*t=200.000*t

Luego,

150.000=185.000*t

Luego,

t = 0,8108

X Por lo tanto, el plazo sería de 0,8108 años, o sea, 9,7 meses X c) Ley de descuento compuesto X Intereses de descuento

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )

Luego,

150.000=2.000.000*(1-(1+0,10)^-t)

Luego,

150.000=2.000.000*(1-(1,1)^-t)

Luego,

150.000/2.000.000=1-(1,1)^-t

Luego,

0,075=1-(1,1)^-t

Luego,

(1,1)^-t=0,925

Luego,

(1,1)^t =1/0,925

Luego,

(1,1)^t =1,08108

Luego,

ln (1,1)^t =ln 1,08108 (aplicamos logaritmos neperianos)

Luego,

t= ln 1,08108 / ln 1,1

Luego,

t = 0,8180

x x

Por lo tanto, el plazo sería de 0,8180 años, o sea, 9,8 meses

14. Rentas financieras Una renta financiera es una sucesión de capitales distribuidos a lo largo de un periodo temporal. Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento, por un periodo de 5 años, con pagos anuales de 100.000 ptas. En una renta financiera distinguiremos los siguientes elementos: a) Termino de la renta: importe del capital que se paga (o se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las 100.000 ptas. de alquiler mensual). b) Periodo de maduración: cada sub-periodo en el que se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el mes). c) Duración de la renta: el periodo total de vigencia (en el ejemplo, 5 años). En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe, en un momento dado, equivalente al total de la renta: En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 ptas. durante un periodo de 5 años), aplicando leyes financieras, puedo calcular que esta renta es equivalente a un sólo pago de 3.000.000 ptas. en el momento actual. El "valor capital" de una renta se puedo calcular en cualquier momento: momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los importes calculados varían según el momento, pero son equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalización para llevarlos a un mismo periodo, coinciden). Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor actual". Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor final". Dos rentas son equivalentes cuando sus valores de capital son los mismos en cualquier momento en que se calculen: Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000 durante 5 años, coincide en cualquier momento con el de una renta de 240.000 ptas. trimestral durante 7 años, diríamos que ambas rentas son equivalentes. Las rentas cumplen las siguientes propiedades:

a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de 200.000 ptas., mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de 100.000 ptas., mensual, por el mismo periodo. b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales). Las rentas se pueden clasificar: Según la duración de la renta: Temporales: duración finita Perpetuas: no tienen fin Según el importe del término de la renta: Constantes: siempre es la misma cantidad Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro Según los subperiodos en los que se divide: Discreta: número de periodos finitos Continua: flujo continuo de capital Periódica: todos los subperiodos tienen la misma duración No periódicas: la duración de los subperiodos varia Según el momento del subperiodo en que se generan el cobro o el pago: Prepagable: se genera al comienzo del subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a comienzo de cada mes) Postpagable: se genera al final de cada subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a final de cada mes)

15.Renta constante temporal pospagable (I) Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales. Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades: Renta temporal pospagable Renta temporal prepagable Renta perpetua pospagable Renta perpetua prepagable Renta diferida Renta anticipada Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable: RENTA TEMPORAL POSPAGABLE Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes). Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta. Periodo

1

2

3

..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (ptas) 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo

Importe

Importe descontado

1

1

1/(1+i)

2

1

1 / ( 1 + i )^2

3

1

1 / ( 1 + i )^3

.....

.....

.....

.....

.....

.....

n-2

1

1 / ( 1 + i )^n-2

n-1

1

1 / ( 1 + i )^n-1

n

1

1 / ( 1 + i )^n

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 luego, Ao = 0,6461/0,16 luego, Ao = 4,0386 ptas.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral. Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta: Cf = Co * ( 1 + i) ^ t Veamos el ejemplo: Periodo

Importe

Importe capitalizado

1

1

1 * ( 1 + i )^n-1

2

1

1 * ( 1 + i )^n-2

3

1

1 * ( 1 + i )^n-3

.....

.....

.....

.....

.....

.....

n-2

1

1 * ( 1 + i )^2

n-1

1

1 * ( 1 + i )^1

n

1

1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a: Sf = ((1 + i)^n - 1) / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

luego, Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16 luego, Sf = 1,8262/0,16 luego, Sf = 11,4139 ptas.

Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula: Sf = Ao (1 + i)^n Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas. y que Sf = 11,4139 ptas.

Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7 Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262 Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación

16. Renta temporal constante pospagable (II) Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a estudiar como se valora una renta de importes constantes. Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad. Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior. Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria. El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de cuantía "C" será: Vo = C * Ao Por lo que: Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de 200.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%: Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) X luego, Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)^-5)/0,12) luego, Vo = 200.000 * 3,60477 luego, Vo = 720.955 ptas. X El valor actual de esta renta es 720.955 ptas. Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria Vn = C * Sf

Por lo que: Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) X luego, Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)^5 - 1) / 0,12) luego, Vn = 200.000 * 6,3528 luego, Vn = 1.270.569 ptas. X Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 ptas.

17. Renta constante temporal prepagable (I)

La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).

Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 pta. en cada periodo) Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (ptas) 1111111111 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto. Vamos descontando cada importe: Periodo Importe Importe descontado

111 211/(1+i) 3 1 1 / ( 1 + i )^2

.....

.....

.....

..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n 1 1 / ( 1 + i )^n-1 La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

l luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)

luego, Ao = 1,16 * 2,7982

luego, Ao = 3,246 ptas.

Luego el valor actual de esta renta es 3,246 ptas. IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual.

Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable: Äo = (1 + i) * Ao Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16

luego, Ao = 2,7982 ptas.

Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao

luego, Äo = 1,16 * 2,7983

luego, Äo = 3,246 ptas. (coincide con el valor que habíamos calculado)

Vemos, por tanto, como se cumple la relación

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:

Periodo Importe Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )^n 2 1 1 * ( 1 + i )^n-1 3 1 1 * ( 1 + i )^n-2 .....

.....

..... ..... ..... n-2 1 1 * ( 1 + i )^3 n-1 1 1 * ( 1 + i )^2 n11*(1+i) Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a: S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

luego, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)^4 - 1) / 0,16)

luego, Sf = 1,16 * 5,0664

luego, Sf = 5,877 ptas.

.....

Luego el valor final de esta renta es 5,877 ptas.

La relación entre S¨f y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente: S¨f = (1 + i) * Sf (Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor incial)

Por otra parte, la relación entre el valor inical Aö y su valor final S¨f es: S¨f = (1 + i)^n * Äo

Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:

Hemos visto que Äo = 3,246 ptas.

y que S¨f = 5,877 ptas.

Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)^4

Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106

Luego 5,877 = 5,877

Se cumple, por tanto, la relación

18. Renta temporal constante prepagable (II) Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes. El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será: Vo = C * Äo Por lo que: Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral X Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2 Luego, i2 = 5,83% X Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual, Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2) luego, Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^10

)/0,0583)

"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base semestral). luego, Vo = 3.926.151 ptas.

X El valor actual de esta renta es de 3.926.151 ptas. Para calcular el valor final "Vn" Vn = C * S¨f Por lo que: Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior: Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) / i2) X luego, Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) / 0,0583) luego, Vn = 500.000 * 13,8384 luego, Vn = 6.919.185 ptas. X Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 ptas.

19. Renta perpetua constante La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo). Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).

A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias: Periodo

1

2

3

4

5

..... ..... ..... ..... .....

Importe (ptas) 1

1

1

1

1

1

xx 1

1

1

1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe: Periodo

Importe

Importe descontado

x

x

X

1

1

1/(1+i)

2

1

1 / ( 1 + i )^2

3

1

1 / ( 1 + i )^3

4

1

1 / ( 1 + i )^4

5

1

1 / ( 1 + i )^5

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

La suma de todos los importes descontados es el valor actual AP o. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: APo = 1 / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%: Aplicamos la fórmula APo = 1 / i X luego, APo = 1 / 0,16 luego, APo = 6,25 ptas. Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será: Vo = C * APo = C / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral X Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2 Luego, i2 = 4,88% x Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488 luego, Vo = 20.491.803 ptas.

En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).

B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo. Periodo

Importe

Importe descontado

x

x

x

1

1

1

2

1

1/(1+i)

3

1

1 / ( 1 + i )^2

4

1

1 / ( 1 + i )^3

5

1

1 / ( 1 + i )^4

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

.....

1

1 / ( 1 + i )^....

Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: ÄPo = (1 + i) / i Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%: Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i x luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16 luego, ÄPo = 7,25 ptas.

Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será: Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%: Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1 + i) / i luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 luego, Vo = 21.491.803 ptas. La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente: ÄPo = (1 + i) * APo Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria.

20. Renta diferida y anticipada (I) La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta. Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses. La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta. Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses. En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto). En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta . Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado: Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable). Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca. Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta. A) RENTA DIFERIDA Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.

Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable: Importe

Periodo

Importe descontado

X

(Renta normal)

(Renta diferida)

1

1/(1+i)

1 / ( 1 + i )^1+d

2

1 / ( 1 + i )^2

1 / ( 1 + i )^2+d

3

1 / ( 1 + i )^3

1 / ( 1 + i )^3+d

.....

.....

.....

.....

.....

.....

n-2

1 / ( 1 + i )^n-2

1 / ( 1 + i )^n-2+d

n-1

1 / ( 1 + i )^n-1

1 / ( 1 + i )^n-1+d

n

1 / ( 1 + i )^n

1 / ( 1 + i )^n+d

descontado

X

Luego, el valor actual sería el siguiente: x

Renta normal

Renta diferida

x -n

Valor actual Ao = (1 - (1 + i)^ )/ i

Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^n

)/ i)

Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuesto: Tipo renta

de

Renta normal

Renta diferida

x Temporal pospagable

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i

d/Ao

= (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

d/Äo

= (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)

APo = 1 / i

d/APo

= (1+i)^-d / i

ÄPo = (1 + i) / i

d/ÄPo

= (1+i)^-d+1 / i

x Temporal prepagable x Perpetua pospagable x Perpetua prepagable

x Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 300.000 pesetas, con un tipo de interés anual del 16%, y que se encuentra diferida 2 años: x Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo x luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16 luego, Vo = 1.393.430 ptas. Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 1.000.000 ptas. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral x Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2

luego, i2 = 3,92% x Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo x luego, Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2) luego, Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^14

)/0,0392)

(los periodos van expresados en semestres) luego, Vo = 1.000.000*0,825*10,619 luego, Vo = 8.760.783 ptas.

21. Renta diferida y anticipada (II) B) RENTA ANTICIPADA Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo. Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos. La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable: Importe

Periodo

Importe capitalizado

X

(Renta normal)

(Renta anticipada)

1

1 * ( 1 + i )^n-1

1 * ( 1 + i )^n-1+k

2

1 * ( 1 + i )^n-2

1 * ( 1 + i )^n-2+k

3

1 * ( 1 + i )^n-3

1 * ( 1 + i )^n-3+k

.....

.....

.....

.....

.....

.....

n-2

1 * ( 1 + i )^2

1 * ( 1 + i )^2+k

n-1

1 * ( 1 + i )^1

1 * ( 1 + i )^1+k

N

1

1 * ( 1 + i )^k

capitalizado

X

Luego, el valor final sería el siguiente: x

Renta normal

Renta anticipada

Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

k/Sf

x Valor final

= (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)

Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable: x

Renta normal

Renta anticipada

S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)

k/S¨f

x Valor final

= (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)

Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final. Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años: x Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf x luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i) luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12) luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152 luego, Vn = 6.384.625 ptas. Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral x Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4 luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,874% x Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/S¨f x luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i) luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)

(los periodos van expresados en trimestres) luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286 luego, Vn = 5.434.521 ptas.

22. Rentas constantes: Ejercicios (I) 

Ejercicio 1: Tenemos una renta pospagable de 500.000 ptas. semestrales, durante 4 años, y se le aplica un tipo de interés del 10% anual.

Calcular el valor actual Calcular el valor final Ver la relación entre valor actual y valor final 

Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es prepagable.



Ejercicio 3: Calcular el valor inicial de una renta perpetua pospagable de 100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual.



Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La renta se encuentra diferida 2 años.

Calcular el valor inicial Calcular el valor final

SOLUCIONES Ejercicio 1: A) Valor inicial x Como la renta es semestral, hay que utilizar la base semestral

X Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2 luego, i2 = 4,881% X Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881) luego, Vo = 500.000 * 6,4944 luego, Vo = 3.247.209 ptas. X B) Valor final

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) X luego, Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881) luego, Vn = 500.000 * 9,5086 luego, Vn = 4.754.281 ptas.

C) Relación entre el valor inicial y el valor final

Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n X luego, 4.754.281 = 3.247.209 * 1,464 luego, 4.754.281 = 4.754.281 X

Por lo tanto, se verifica la relación X Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable A) Valor inicial X Aplicamos la fórmula Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) X luego, Vo = 500.000 * 1,04881 * ((1 - (1,04881)^-8) / 0,04881 luego, Vo = 3.405.705 ptas. X B) Valor final x Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) X luego, Vn = 500.000 * (1 + 0,04881) * (((1 + 0,04881)^8 - 1) / 0,04881) luego, Vn = 500.000 * 1,04881 * 9,5086 luego, Vn = 4.986.336 ptas. X C) Relación entre el valor inicial y el valor final x Tenemos que verificar la fórmula S¨f = (1 + i)^n * Äo X luego, 4.986.336 = 3.405.705 * 1,464 luego, 4.986.336 = 4.986.336 X

Por lo tanto, se verifica la relación X Ejercicio 3: Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual X Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12 luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12 luego, i12 = 0,643% X Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i X luego, Vo = 100.000 / 0,00643 luego, Vo = 15.552.100 ptas. X Ejercicio 4: A) Valor inicial X Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral X Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4 luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,411% X Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo X

luego, Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4) luego, Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^16

)/0,02411)

(los periodos van expresados en trimestres) luego, Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146 luego, Vo = 2.225.325 ptas. X B) Valor final Xx El valor final de una renta diferida coincide con el de una renta normal, en este caso, con el correspondiente a una renta prepagable Xx Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4) Xx luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16 - 1) / 0,02411) luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246 luego, Vn = 3.941.958 ptas.

23. Rentas variables Los términos de las rentas variables son diferentes, por lo que no se puede aplicar ninguna fórmula de simplificación. El método que se utilizará es el de descontar cada uno de estos términos al momento inicial (calculo del valor inicial) o al momento final (cálculo del valor final). Dentro de estas rentas variables se podrán presentar cada una de las modalidades que hemos estudiado: Prepagable Pospagable Anticipadas Diferidas Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral, prepagable, con un tipo anual del 12%. Los términos de la renta son los siguientes: Periodo

Término (ptas.)

X 1º sem.

100.000

2º sem.

200.000

3º sem.

150.000

4º sem.

300.000

5º sem.

100.000

6º sem.

400.000

xx 1º) se calcula el tipo de interés semestral equivalente: x 1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente)

1 + 0,12 = (1 + i2)^2 luego, i2 = 5,83% Xx 2º) Se descuenta cada término al momento inicial: X Periodo

Término

Factor

de Término

(ptas.)

Descuento

descontado

100.000

1

100.000

x 1º sem. 2º sem.

3º sem.

4º sem.

5º sem.

6º sem.

200.000

150.000

300.000

100.000

400.000

(1 + 0,0583)^1

(1 + 0,0583)^2

(1 + 0,0583)^3

(1 + 0,0583)^4

(1 + 0,0583)^5

188.980

133.935

253.110

79.720

301.312

x Suma de los términos descontados

1.357.057

Xx Por lo tanto, el valor actual de esta renta es de 1.357.057 ptas. Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral pospagable que se encuentra anticipada dos años, aplicando un tipo de interés anual del 9%. Los términos de la renta son los siguientes:

Periodo

Término (ptas.)

X 1º trim.

100.000

2º trim.

200.000

3º trim.

300.000

4º trim.

400.000

Xx 1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente: X 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente) 1 + 0,09 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,178% Xx 2º) Se capitaliza cada término al momento final de la renta: X Periodo

Término

Factor

de Término

(ptas.)

Capitalización capitalizado

X 1º trim.

100.000

2º trim.

200.000

3º trim.

300.000

4º trim.

400.000

(1

+

0,02178)^3 (1

+

0,02178)^2 (1 0,02178)^1 1

+

106.677

208.807

306.534 400.000

X Suma de los términos capitalizados

1.022.018

Xx De esta manera se ha calculado el valor final de esta renta en el momento final (vencimiento del 4º término), pero esta renta se encuentra anticipada 2 años. X 3º) El valor final calculado se capitaliza 2 años: X Vk = Vn (1 + i )^2 (se utiliza el tipo anual, ya que la base temporal es el año) Vk = 1.022.018 (1 + 0,09 )^2 Vk = 1.214.260 ptas.

Por lo tanto, el valor final de esta renta diferida (Vk) es de 1.214.260 ptas.

24. Rentas con distintos tipos de interés Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos: Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2º año y 10% en el 3er año. En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada tramo. Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos: Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo: 1º) El primer tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo de una renta normal pospagable: X Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05) luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232 luego, Vo = 2.723.248 ptas. X Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 ptas. Xx 2º) Para el 2º tramo se calcula su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se descuenta hasta el momento 0. X

Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4º año: X luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06) luego, Vo = 2.673.012 ptas. X El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años X luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3 luego, Vk = 2.309.038 ptas. X Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 ptas. X 3º) En el 3º tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7º año) y luego se descuenta por el periodo diferido. X Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7º año: X luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07) luego, Vo = 2.624.316 ptas. X

Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el del 2º tramo (6%). X luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3 luego, Vk = 1.903.264 ptas. X El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3º tramo es de 1.903.264 ptas. X 4º) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la renta. X luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264 luego, Vo = 6.935.550 ptas. X Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550 ptas. En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio resultante. Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio: luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio) X El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede

hacer por tanteo X luego im = 5,555% (calculado por tanteo) X Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%.

25. Ejercicios 

Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%. Los términos son: Periodo

Término (ptas.)

x



1º trim.

500.000

2º trim.

600.000

3º trim.

700.000

4º trim.

800.000

5º trim.

900.000

6º trim.

1.000.000

Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son: Periodo

Término (ptas.)

x



1º año

600.000

2º año

400.000

3º año

200.000

4º año

400.000

5º año

600.000

Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3 años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres

primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra diferida 1 años. Calcular: El valor inicial El tipo medio equivalente 

Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable, se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2º año y el 10% en el 3er año. Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.

SOLUCIONES

Ejercicio 1: 1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente: X 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente) 1 + 0,10 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,411% Xx 2º) Se capitaliza cada término al momento final: X Periodo

Término (ptas.)

Factor Capitalización

de Término capitalizado

x 1º sem.

500.000

(1 + 0,02411)^6 576.832

5

2º sem.

600.000

(1 + 0,02411)^

675.903

3º sem.

700.000

(1 + 0,02411)^4 769.989

4º sem.

800.000

(1 + 0,02411)^3 859.270

5º sem.

900.000

(1 + 0,02411)^2 943.921

6º sem.

1.000.000

(1 + 0,02411)

1.024.110

x Suma de los términos descontados

4.850.025

xx 3º) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado: xx Luego, Vn = 4.850.025 * (1 + 0,1)^1,5 (tipo de interés anual; la base temporal es el año) Luego, Vn = 5.595.424 ptas. xx Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas.

Ejercicio 2: 1º) Se descuenta cada término al momento inicial: x Periodo

Término (ptas.)

Factor

de Término

Descuento

capitalizado

X 1º año

600.000

(1 + 0,0)^-1

555.540

2º año

400.000

(1 + 0,0)^-2

342.920

200.000

-3

158.760

-4

3º año

(1 + 0,0)^

4º año

400.000

(1 + 0,0)^

294.000

5º año

600.000

(1 + 0,0)^-5

408.350

X Suma de los términos descontados

1.759.570

Xx 2º) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido: Xx Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^-0,5 Luego, Vo = 1.693.147 ptas. xx Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas. x Ejercicio 3: 1º) Cálculo del valor inicial: X Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores obtenidos. X a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo: X Primero se calcula el tipo semestral equivalente X 1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente) 1 + 0,10 = (1 + i2)^2 luego, i2 = 4,881% X Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^-3/ 0,04881) xx

Luego, Vo = 818.800 ptas. xx X a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo: X Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 5,830% X Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^-3/ 0,0583) xx Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2º tramo)xx X Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial de la renta xx X Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^-3 (se aplica el tipo del primer periodo) Luego, Vo = 697.267 ptas. xx X a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman: X Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx X Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas. X 2º) Cálculo del tipo medio equivalente:

X Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) (donde im es el tipo medio) luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + im)^-6/ im) X luego im = 5,12% (calculado por tanteo) x Ejercicio 4: Se calculan de manera independiente los valores finales de cada tramo. X a.1.- Calculo del valor final del primer tramo: X Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 3,923% X Luego se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^2 - 1)/ 0,03923) Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo primero) X Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la renta X Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10)

Luego, Vn = 508.191 ptas. X a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo: X Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 4,403% X Se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo segundo) X Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta X Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10) Luego, Vn = 469.486 ptas. X a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo: X Se calcula el tipo semestral equivalente i2 = 4,881% X Luego se aplica la fórmula Vf = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) Luego, Vn = 429.762 ptas. X a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene el valor final de la renta: X Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762

Luego, Vn = 1.407.439 ptas. X a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo anticipado) X Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^2 Luego, Vn = 1.703.001 ptas.

Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo anticipado, es de 1.703.001 ptas.

26. TAE En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse movimientos de capital en una u otra dirección. El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las contraprestaciones. Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales. El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente). El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual, pospagable. Es decir, para calcular el TAE: a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son directamente comparable: Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar. Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también

los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la operación. EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE: Los flujos de capital son los siguientes: x Meses

Flujo

0

+1.000.0000

6

-500.000

12

-500.000

x

6

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto de vista del banco, cambiando los signos x 1.- Se calcula el tipo de interés efectivo x Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^-1 + 550.000* (i + i2)^-2 Luego, i2 = 6,596 % (i2 es el tipo de interés efectivo semestral) x 2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula equivalente TAE: X Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE) Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2

su

Luego, i = 13,628% X Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%

27. TAE: Ejercicios 

Ejercicio 1: Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras 550.000 ptas. el 1 de julio. A final de año se recibe del banco 1.200.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.



Ejercicio 2: Una entidad financiera concede un crédito de 1.000.000 ptas., a un plazo de 1 año. El tipo de interés del crédito es del 10% anual, realizándose el pago de los intereses a principio de cada trimestre. La entidad cobra una comisión de estudio de 25.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.

SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Los flujos de capital son los siguientes: x Meses

Flujo

0

-550.000

6

-550.000

12

+1.200.000

x

6

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. x

b) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación: x Luego, 550.000 + 550.000 * (i + i2)^-1 = 1.200.000 * (1 + i2) ^-2 Despejando, i2 = 5,9429 % (i2 es el tipo de interés efectivo semestral) x c) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE: x Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE) Luego, (1 + i) = (1 + 0,059429)^2 Luego, i = 12,239% x Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 12,239% x Ejercicio 2: a) Calculamos el importe de las liquidaciones trimestrales x Se calcula el tipo de interés trimestral equivalente al 10% anual: x luego, (1 + i) = (1 + i4)^4 luego, (1 + 0,1) = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,4114%

x Por lo tanto la liquidación trimestral será: I = 1.000.000 * 0,024114 luego, I = 24.114 ptas. x b) Ya podemos detallar el flujo de la operación: x Meses

Principal

Intereses

Comisiones

0

+1.000.000

-24.114

-25.000

3

-24.114

6

-24.114

9

-24.114

12

-1.000.000

x

6

Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo. x c) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación: x Luego, 1.000.000 = 24.114 + 25.000 + 24.114 * (1 + i 4) 24.114 * (1 + i4)

^-2

+ 24.114 * (1 + i4)

^-3

+ 1.000.000 * (1 + i4)

^-1

+

^-4

(la base temporal es el trimestre) Despejando, i4 = 3,1625 (i4 es el tipo de interés efectivo trimestral)

x d) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE: x Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i4)^4 (donde i es el tipo TAE) Luego, (1 + i) = (1 + 0,031625)^4 Luego, i = 13,26% x Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,26%

28. Descuento bancario de efectos comerciales En este tipo de operaciones la entidad financiera anticipa al cliente el importe de una letra de cambio que éste trae al descuento, liquidando por anticipado los intereses de la operación. Suelen ser operaciones a corto plazo, por lo que se aplica la ley de descuento comercial (en el supuesto de que fuera una operación a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto). Para calcular el importe efectivo que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la siguiente ley: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) x E es el importe efectivo que recibe el cliente Co es el importe nominal del efecto d es el tipo de descuento aplicado t es el plazo de la operación g es el % de comisiones que se cobra x Por lo tanto, el paréntesis Co * (1 - d * t ) calcula el importe final, descontado los intereses. El paréntesis ( Co * g ) calcula las comisiones que cobra la entidad financiera y que se suelen establecer como un porcentaje del importe nominal del efecto. Veamos un ejemplo:

Un cliente descuenta en una entidad financiera un efecto de 600.000 ptas. a 90 días, y se le aplica un tipo de interés del 12% anual. Se le cobran también comisiones equivalentes al 0,5% del valor nominal del efecto. a) Calcular el importe efectivo que recibe el cliente: x Se aplica la fórmula E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) Luego, E = 600.000 * ( 1 - 0,12 * 0,246 ) - ( 600.000 * 0,005 ) (Como se utiliza el tipo de interés anual, el plazo se pone en base anual: 90 días = 0,246 años) Luego, E = 579.247 ptas. x Por lo tanto, el cliente recibe 579.247 ptas. x b) Calcular el tipo efectivo de la operación x Recordemos que el tipo efectivo es aquel que iguala en el momento inicial el valor de la prestación y de la contraprestación. x Luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 - ie * t ) (siendo ie el tipo efectivo) x ¿Qué estamos haciendo?: estamos llevando al momento inicial la prestación (lo que cobra el cliente, que como lo recibe en el momento 0 no hay que descontarlo) y la contraprestación (lo que paga el cliente: como la letra de cambio vence a los 90 días hay que descontarla). x ATENCION: tal como indicábamos, como es una operación a

corto plazo para calcular el tipo efectivo se aplica la ley de descuento comercial. Si fuera a largo plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto. x Luego, ie = 14,03% x Se observa como la tasa de descuento efectivo (14,03%) es superior a la tasa nominal (12,0%), lo que se explica por el fuerte impacto que tienen las comisiones. x c) Calcular el TAE de la operación x El TAE siempre se calcula aplicando la ley de capitalización o descuento

compuesto

(son

leyes

equivalentes),

con

independencia de que la operación sea a plazo largo o corto. x Por lo tanto, se aplica la fórmula 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^t luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^0,246 luego, ie = 15,345% X El TAE de la operación es 15,345%, superior al tipo nominal y al tipo efectivo.

29. Descuento bancario y depósito en garantía Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito que a veces era remunerado). La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente). No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento. Veamos un ejemplo: Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto. Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos: a) Si el banco no exige ningún depósito. b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual. Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito. x a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente X La fórmula es: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)

Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 ) (0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año) Luego, E = 777.074 ptas. X b) Se calcula el tipo de interés efectivo X Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 )

(ie es

el tipo efectivo) Luego, ie = 10,46% X c) Se calcula el TAE de la operación X Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + i e )^0,274 (i e es el tipo TAE) luego, ie = 11,20% x Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito x a) Se calcula el importe efectivo X El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco). X Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas.

depositadas, más de los intereses que haya generado: X Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274 luego, I = 1.064,6 ptas. X b) Se calcula el tipo de interés efectivo X Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga) X luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - ie * 0274 ) = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 ) X ¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar) X ¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto (800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar) X Luego, ie = 11,063% X Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al 11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.

X c) Se calcula el TAE de la operación X La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + i e )^0,274 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274 luego, ie = 11,89% X El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior. X Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%).

30. Descuento por "pronto-pago" En las operaciones comerciales de compra-venta es frecuente que el pago no se realice al contado, sino que el vendedor conceda al comprador un aplazamiento sin coste alguno, que suele estar entre 90 y 120 días. También resulta frecuente que el vendedor conceda al comprador un descuento si realiza el pago al contado (descuento por "pronto-pago"). Es interesante calcular el % máximo que puede ofrecer el vendedor por "pronto-pago", así como a partir de que tipo de descuento le puede convenir al comprador acogerse al mismo. a) Descuento máximo por "pronto pago" que puede ofrecer el vendedor. Este descuento máximo estará determinado por el coste de su financiación. Al obtener el pago al contado, el vendedor se ahorra tener que acudir a la financiación bancaria durante el periodo de aplazamiento. Por lo tanto, el vendedor podrá ofrecer un tipo de descuento que será como máximo igual al coste de su financiación, ya que si fuera mayor le resultaría más ventajoso esperar a que se cumpla el aplazamiento dado al vendedor y financiarse mientras por el banco. Para poder comparar el coste de su financiación con el descuento ofrecido, tendrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento. La fórmula empleada es la siguiente : i = d * 365 / t x dónde "i" es el tipo anual equivalente "d" es la tasa de descuento ofrecida "t" es el periodo de aplazamiento concedido

Ejemplo: Una empresa concede aplazamientos por 90 días y su coste de financiación bancaria es del 10%. Calcular el descuento por "pronto-pago" máximo que podrá ofrecer: Aplicamos la fórmula, i = d * 365 / t luego, i = 0,10 * 365 / 90 luego, i = 2,466% x Por lo tanto, el descuento máximo que podrá ofrecer es del 2,466% (equivalente a un 10% anual). No podrá ofrecer descuentos mayores ya que le resultaría más rentable esperar los 90 días del aplazamiento y mientras financiarse en el banco. b) Descuento mínimo por "pronto pago" que resultará interesante al comprador. El razonamiento es similar: el ahorro que obtenga por el descuento tendrá que ser mayor que el coste de su financiación: si la empresa paga al contado dispondrá de unos fondos que tendrá que financiar, sólo si con el pago al contado consigue un ahorro superior al coste de su financiación, le resultará interesante. Si el descuento que obtiene es inferior al coste de su financiación, preferirá acogerse al aplazamiento del pago. Al igual que en el caso anterior, y para poder comparar la tasa de descuento con el coste de su financiación, habrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento, aplicando la misma fórmula que en el caso anterior. Ejemplo: una empresa compradora se financia en su banco al 12%. En una operación de compra-venta, el vendedor le ofrece un pago aplazado de 120 días o un descuento por "pronto-pago" del 3%. Ver si el conviene acogerse a este "pronto-pago".

Se calcula el tipo anual equivalente al descuento ofrecido: Se aplica la fórmula, i = d * 365 / t luego, i = 0,12 * 365 / 120 luego, i = 9,125% x Vemos que que el descuento que le ofrecen por pronto-pago es inferior al coste de su financiación, por lo que no le conviene acogerse al mismo. x ¿Y si el descuento ofrecido es del 5%? x

6

Se vuelve a calcular el tipo anual equivalente, i = 0,05 * 365 / 120 luego, i = 15,7% x En este caso sí le convendría acogerse al pago al contado

31. Letras del Tesoro Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses y presentan la peculiaridad de que se emiten a descuento. Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título. Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año: a) Si vence antes de 1 año, se aplica la ley de capitalización simple P (1 + i * t) = N Siendo "P" el precio que paga por la Letra "N" el valor nominal de la letra (importe que recibe al vencimiento) b) Si vence a más de 1 año se aplica la ley de capitalización compuesta P (1 + i )^t = N Al suscribir y al vencer la Letra, la entidad financiera suele cobrar comisiones, que en el primer caso incrementan el precio de compra y en el segundo caso disminuyen el importe recibido en el reembolso. Estas comisiones hay que incorporarlas en las fórmulas anteriores para calcular la rentabilidad de las letras. Por tanto: a) Vencimiento a menos de 1 año: (P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv Siendo "Cc" la comisión de compra "Cv" la comisión de venta b) Vencimiento a más de 1 año:

X (P + Cc) * (1 + i )^t = N - Cv Ejemplo: Se suscribe una Letra del Tesoro de 1.000.000 ptas. con vencimiento a 6 meses. El precio de compra es de 950.000 ptas., con una comisión de 5.000 ptas. En el momento del reembolso se aplica otra comisión de 4.000 ptas. Calcular la rentabilidad efectiva para el cliente: Al ser una operación a menos de 1 año se aplica la ley de capitalización simple

X Por lo tanto, (P + Cc)* (1 + i * t) = N - Cv (Hay que despejar "i" que nos da la rentabilidad efectiva para el cliente luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5) = 1.000.000 - 4.000 ( plazo en base anual) luego, i = 8,586% X Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en esta operación es del 8,586% ¿Y si el vencimiento de esta letra fuera a 15 meses?: En este caso, al ser una operación a más de 1 año, se aplica la ley de capitalización compuesta

X Por lo tanto, (P + Cc)*(1 + i )^t = N - Cv luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i )^1,25 = 1.000.000 - 4.000 luego, i = 3,42% X Por lo tanto, la misma operación que en el caso anterior, pero a un plazo de 15 meses, estaría dando una rentabilidad del 3,42%

El comprador puede vender la Letra antes de su vencimiento. Para calcular la rentabilidad obtenida se aplicaría la misma fórmula, ajustando el tiempo al periodo en que ha sido titular de la Letra. Ejemplo: en el caso anterior (Letra con vencimiento a 15 meses) el comprador la vende transcurrido únicamente 7 meses, por un precio de 975.000 ptas. En esta venta no paga comisiones. Calcular la rentabilidad obtenida: Como el plazo en que ha mantenido la Letra ha sido inferior al año, se aplica la ley de capitalización simple.

X Por lo tanto, (P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv Luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5833) = 975.000 - 0 luego, i = 3,59% X Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en este caso es del 3,59%

32. Cuenta de crédito En la cuenta de crédito la entidad financiera pone a disposición del cliente un límite máximo de endeudamiento, del que éste irá disponiendo en función de sus necesidades. La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá disponer, pero también podrá ingresar; de hecho, el saldo puede ser ocasionalmente a su favor. El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos deudores, y otro inferior, similar al de las cuentas corrientes, con el que remunera los saldos acreedores. El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda disponer por encima del límite autorizado, pero en estos casos le aplicará un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre excedido. Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de apertura (entorno al 0,5% del límite concedido) y la comisión por límite no dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones ptas. y el saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2 millones restantes). Ejemplo:

Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y vencimiento a 1 año. El banco establece un tipo del 12% para los saldos deudores, del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3% los saldos acreedores. El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no dispuesto del 0,25%.

Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000 ptas., ha habido un saldo medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio acreedor de 300.000 ptas. Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE de este periodo. a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)

X Comisión de apertura Intereses

deudores

(ordinarios)

3.000.000 * 0,005 =

- 15.000

2.500.000 * 0,12 * 0,25 = - 75.000

(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años) Intereses

deudores

(excedidos) Intereses acreedores Comisión s/saldo medio no disp.

200.000 * 0,24 * 0,25 =

- 12.000

300.000 * 0,03 * 0,25 =

+ 2.250

500.000 * 0,0025=

- 1.250

X Total liquidación

- 101.000

X b) TAE de la operación X Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman los intereses y las comisiones pagadas, y se divide entre el saldo medio deudor

X

La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de la operación), asignándole a este primer trimestre una cuarta parte. X Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 + 200.000) "ie" es el tipo efectivo 3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta parte de 15.000 ptas.) No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses pagados al cliente luego, ie = 3,4074% X Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el primer trimestre ha sido del 3,407% X Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual equivalente (TAE) X luego, 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo "i" el tipo TAE) luego, i = 14,34% X El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del 14,34%

33. Compra-venta de acciones (I) Cuando se compran acciones el importe efectivo que se paga por ellas viene determinado por la fórmula: Ic = (Nc * Pc) + Cc X Siendo " Ic" el importe efectivo de la compra "

Nc"

el

número

de

acciones

adquiridas " Pc" el precio pagado por acción " Cc" las comisiones pagadas en la compra Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular el importe de la adquisición. Ic = (Nc * Pc) + Cc Luego, Ic = (1.000 * 3.000) + 15.000 Luego, Ic = 3.017.000 ptas. Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia. Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por la siguiente fórmula: Iv = (Nv * Pv) - Cv X Siendo " Iv" el importe efectivo de la venta " Nv" el número de acciones que se venden

" Pv" el precio de venta por acción "Cc" las comisiones pagadas en la venta Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9 meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta. Iv = (Nv * Pv) - Cv Luego, Iv = (1.000 * 3.150) - 12.000 Luego, Iv = 3.138.000 ptas. Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay que distinguir: a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple. b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización compuesta.

OPERACIONES A CORTO PLAZO En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se aplica la siguiente fórmula: r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 - t) / Ic X Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación " D " los dividendos percibidos " Cm" las comisiones de custodia pagadas " Iv " el importe de la venta " Ic" el importe de la compra " t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor

Analicemos la fórmula anterior: El paréntesis (D - Cm + Iv - Ic) determina el ingreso bruto que percibe el inversor. X No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por (1 - t). Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el 30%. Calcular la rentabilidad obtenida: r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 " – t) / Ic luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) / 3.017.000 luego, r = 4,66% X Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9 meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%

34. Compra-venta de acciones (II) OPERACIONES A LARGO PLAZO Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de equivalencia financiera: La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las comisiones de custodia pagadas). Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos monetarios durante el periodo de tenencia: Periodo

Tipo de flujo

Comisión

de

custodia

X año 0 año 1

año 2 ... año (n-2)

año (n-1)

año (n)

Compra de las acciones Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia ....... Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia Se cobran dividendos, se paga comisión de custodia y se venden las acciones

- Ic + D1 - Cm1

+ D2 - Cm2 ... + Dn-2 - Cmn-2

+ Dn-1 - Cmn-1

+ Dn - Cmn + Iv

X Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones) Siendo " D1 " los dividendos percibidos el primer año Siendo " Cm1 " la comisión de custodia pagada el primer año Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas) Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación con contraprestación. El tipo " i e " nos da la rentabilidad anual efectiva de la operación. Periodo

Prestación (Valor en el momento 0)

Contraprestación (Valor en el momento 0)

X año 0

- Ic

año 1

+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)

año 2

+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^2

...

...

año (n-2)

+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-2

año (n-1)

+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-1

año (n)

+ ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n + (Iv - (Iv - Ic) * (1-t)) / (1 + ie)^n

¿Que hemos hecho? Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial. Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas) se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos. El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le

hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv Ic). Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado las siguientes comisiones de custodia: Periodo

Comisión

Dividendos

de

custodia

x 1º año

+50.000

-12.000

2º año

+60.000

-15.000

3º año

+70.000

-18.000

Calcular la rentabilidad de la operación: Se aplica la ley de equivalencia financiera x luego, Prestación = Contraprestación

3.017.000

((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+ie)) + ((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+ie)^2) + ((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+ie)^3) + +

(((3.138.000)+(3.138.000-

3.017.000)*(1-0,3))/(1 + ie)^3)) x luego, ie = 3,2412%

x Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha sido de 3,24%

35. Préstamos El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos. Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo. En el préstamo se puede distinguir: C0: Importe inicial de la operación. Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando. Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota. Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s". CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s". Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones: Cuota

Ms= AMs + Is

periódica

La

cuota

que

se

paga

periódicamente está formada por dos componentes: AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes

a

ese

periodo.

Intereses del periodo

Is = Cs-1 * i * t

Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación

al

comienzo

del

periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.

Capital

Co = S AMk

inicial

El capital inicial es igual a la suma

de

amortizaciones

todas

las

parciales

de

capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.

Saldo

k-s vivo Ss= S Mk (1+i)^

de

la

el momento "s" es igual a la

operación en

El saldo vivo de la operación en

suma el

de todas las cuotas

periódicas

momento

vencer,

"s"

fecha.

pendientes

descontadas

Ss= Co - S AMk También

se

puede

a

de esa

calcular

restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.

Capital

CAs = S AMk

El capital amortizado

CAs = Co- Ss

También

amortizado se

puede

calcular

como la diferencia entre el

capital

inicial

pendiente

de

y

el

saldo

amortizar

al

momento "s".

En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos en las próximas lecciones: a) Préstamo con cuota de amortización constante b) Préstamo con devolución de principal constante c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento d) Préstamo con periodo de carencia e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación f) Préstamo con intereses anticipados.

36. Préstamos con cuotas de amortización constante (Método francés) Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización constante a lo largo de la vida del préstamo. También se considera que el tipo de interés es único durante toda la operación. El flujo de capitales del préstamo será: Periodons MS"

Prestamo

año 0

+ Co

Cuotas

de

amortización

año 1

-M

año 2

-M

...

...

año (n-2)

-M

año (n-1)

-M

año (n)

-M

Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal, pospagable. luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo) luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización: M = C o / Ao

Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%. Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5 años de duración):

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1 luego, Ao = 3,7908

Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante

luego, M = 3.000.000 / 3,7908 luego, M = 791.392 ptas.

Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas. Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte corresponde a intereses: a ) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo

Sabemos que I1 = Co * i * t luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1 luego, I1 = 300.000 ptas.

Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - Is

luego, AMs = Ms- Is luego, AM1 = 791.392 - 300.000 luego, AM1 = 491.392 ptas. El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula: AMk = AM1 * (1 + i)^k-1 Por lo tanto: Amort. de capital

AM1

491.392

491.392

AM2

491.392 * (1,1)

540.531

AM3

491.392 * (1,1)^2

594.584

AM4

491.392 * (1,1)^3

654.043

AM5

491.392 * (1,1)^4

719.447

Suma

3.000.000

Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata, ya que: Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is se despeja Is = Ms - AMs

Por lo tanto: Periodo

Ms

AMs

Is

1

791.392

491.392

300.000

2

791.392

540.531

250.861

3

791.392

594.584

196.808

4

791.392

654.043

137.349

5

791.392

719.447

71.945

Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado: Ss= Co - S AMk

Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento

CAs = S AMk

Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Luego: Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

0

3.000.000

0

1

2.508.608

491.392

2

1.968.077

1.031.923

3

1.373.493

1.626.507

4

719.450

2.280.550

5

0

3.000.000

37. Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios 

Ejercicio 1: Una entidad financiera concede un préstamo de 6.000.000 ptas., por un plazo de 5 años, con cuotas de amortización semestrales y con un tipo de interés anual del 12%. Calcular:

a) Cuota constante de amortización b) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los intereses c) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado

SOLUCION

1.- Cuota constante de amortización

Primero se calcula el tipo semestral equivalente:

(1 + i) = (1 + i2)^2 luego, i2 = 5,83%

Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao (valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583

luego, Ao = 7,4197

A continuación se calcula el valor de la cuota constante

luego, M = 6.000.000 / 7,4197 luego, M = 808.655 ptas.

Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655 ptas.

2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a intereses:

Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al primer periodo

Sabemos que I1 = Co * i * t luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1 luego, I1 = 349.800 ptas.

Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1

luego, AM1 = 808.655 - 349.800 luego, AM1 = 458.855 ptas.

El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:

AMk = AM1 * (1 + i)^k-1

También vamos a calcular el importe que representan los intereses dentro de cada cuota:

Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is se despeja Is = Ms - AMs

Periodo

Amort. de capital

Intereses

1º semestre

458.855

349.800

2º semestre

485.606

323.049

3º semestre

513.917

294.738

4º semestre

543.878

264.777

5º semestre

575.587

233.068

6º semestre

199.512

7º semestre

644.656

163.999

8º semestre

682.240

126.415

9º semestre

722.014

86.641

10º semestre

764.108

44.547

Suma

6.000.000

La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de la cuota constante.

3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:

Se aplican las fórmulas:

Ss= Co - S Ak CAs = S Ak

Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

Periodo 0

6.000.000

0

1º semestre

5.541.145

458.855

2º semestre

5.055.539

944.461

3º semestre

4.541.622

1.458.378

4º semestre

3.997.744

2.002.256

5º semestre

3.422.157

2.577.843

6º semestre

2.813.014

3.186.986

7º semestre

2.168.358

3.831.642

8º semestre

1.486.118

4.513.882

9º semestre

764.108

5.235.896

10º semestre

0

6.000.000

38. Préstamos con amortización de capital constante Este tipo de préstamo se caracteriza porque la amortización de capital es constante en todas las cuotas del préstamo. También, y a efectos de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque este requisito no es necesario. En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el número de periodos. AMs = Co / n (Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de periodos) Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el capital amortizado: Ss=

Co

-

AMk

S Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento

CAs = S AMk

Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula: Ms = AMs + Is (Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el importe de los intereses de dicho periodo) Como ya conocemos AMs, sólo nos falta calcular el importe de los intereses para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Is = Ss-1 * i * t (Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la duración del periodo) Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va reduciendo. Veamos un ejemplo: Un banco concede un préstamo de 7.000.000 ptas., a un plazo de 7 años, con un tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de capital es constante durante toda la vida de la operación. Calcular: a) Importe de la amortización de capital constante b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado c) Importe de los intereses d) Cuota de amortización

SOLUCION

a ) Importe correspondiente a la devolución de principal:

Aplicamos la fórmula AMs = Co / n luego, AMs = 7.000.000 / 7

luego, AMs = 1.000.000

Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo, durante toda la operación, es de 1.000.000 ptas.

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

0

7.000.000

0

1

6.000.000

1.000.000

2

5.000.000

2.000.000

3

4.000.000

3.000.000

4

3.000.000

4.000.000

5

2.000.000

5.000.000

6

1.000.000

6.000.000

7

0

7.000.000

c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:

Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t

Periodo

Intereses

1

700.000

2

600.000

3

500.000

4

400.000

5

300.000

6

200.000

7

100.000

d ) Cuotas periódicas:

Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is

Periodo

Cuota

1

1.700.000

2

1.600.000

3

1.500.000

4

1.400.000

5

1.300.000

6

1.200.000

7

1.100.000

39. Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio EJERCICIO Un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a 4 años, con cuotas semestrales, y con un tipo de interés anual del 12%. La amortización de capital es constante durante toda la vida del préstamo. Calcular: a) El importe constante de la amortización de capital b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado c) Importe de los intereses en cada periodo d) Importe de la cuota en cada periodo

SOLUCION

a ) Importe constante de la amortización de capital:

Aplicamos la fórmula AMs = Co / n luego, AMs = 10.000.000 / 8

(el plazo lo ponemos en base

semestral) luego, AMs = 1.250.000

Por lo tanto, la amortización de capital en cada semestre es de 1.250.000 ptas.

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

0

10.000.000

0

1

8.750.000

1.250.000

2

7.500.000

2.500.000

3

6.250.000

3.750.000

4

5.000.000

5.000.000

5

3.750.000

6.250.000

6

2.500.000

7.500.000

7

1.250.000

8.750.000

8

0

10.000.000

c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:

Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t

Pero, primero, tenemos que calcular el tipo semestral equivalente:

Aplicamos la fórmula 1 + i = (1 + i2)^2 luego, i2 = 5,83%

Periodo

Intereses

1

583.000

2

510.125

3

437.250

4

364.375

5

291.500

6

218.625

7

145.750

8

72.875

d ) Cuotas periódicas:

Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is

Periodo

Cuota

1

1.833.000

2

1.760.125

3

1.687.250

4

1.614.375

5

1.541.500

6

1.468.625

7

1.395.750

8

1.322.875

40. Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano simple) Este tipo de préstamos se caracteriza por: a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo. b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo. En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1) serán: Ms = Is Los intereses de cada periodo se calculan: Is = Ss-1 * i * t (Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior) La última cuota de amortización será: Mn = Co + In (Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo) Ejemplo: Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano simple, con un tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años: Calcular: a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica. b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo. SOLUCION

a ) Importe de los intereses y de la cuota periódica:

Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t

Amortización

Periodo

Intereses

1

450.000

0

450.000

2

450.000

0

450.000

3

450.000

0

450.000

4

450.000

0

450.000

5

450.000

3.000.000

3.450.000

capital

Cuota

b ) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

0

3.000.000

0

1

3.000.000

0

2

3.000.000

0

3

3.000.000

0

4

3.000.000

0

5

0

3.000.000

41. Préstamo con periodo de carencia En algunos préstamos se pacta un periodo inicial de carencia, con el que se pretende conceder al prestatario un plazo para que la inversión que ha financiado con dicho préstamo comience a generar ingresos con los que poder hacer frente a la amortización del mismo. El periodo de carencia puede ser de dos tipos: a) Carencia en la amortización del capital, aunque haciendo frente al pago de intereses. b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este periodo.

A.- CARENCIA EN LA AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL Durante el periodo de carencia, el prestatario paga cuotas constantes equivalentes a la liquidación de los intereses periódicos: Ms = Co * i * t (Siendo Co el importe del capital inicial del préstamo) Una vez finalizado este periodo, el préstamo se desarrolla como un préstamo normal (del tipo que sea: cuota constante, amortización al vencimiento, etc). Ejemplo: un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a un plazo de 5 años, con pagos semestrales y tipo de interés del 8%. Se conceden 2 años de carencia, durante el cual sólo se pagan intereses. Transcurrido este periodo, el préstamo se amortiza con cuotas constantes. a) calcular las cuotas que se pagan durante el periodo de carencia.

Se aplica la fórmula (Ms = Co * i * t), pero, primero, se calcula el tipo de interés semestral equivalente:

1 + i = (1 + i2)^2 luego, i2 = 3,923%

Luego, Ms = 10.000.000 * 0,03923 * 1 Luego, Ms = 392.300 ptas.

Por lo tanto, durante el periodo de carencia el prestatario tendrá que pagar cuotas semestrales de 392.300 ptas., correspondientes a los intereses.

b) Transcurrido los 2 primeros años, el préstamo tendrá un desarrollo normal

Luego, Co = Ms * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta pospagable de 6 semestres de duración, con un tipo de interés del 3,923%) Despejando, Ms = Co / Ao

Ao = (1 - (1 + 0,03923)^-6) / 0,03923 Luego, Ao = 5,2553 Por lo tanto, Ms = 10.000.000 / 5,2553 Luego, Ms = 1.902.840 ptas.

La cuota semestral constante que se tendrá que pagar cada

semestre, tras el periodo de carencia y hasta el vencimiento, será de 1.902.840 ptas.

B.- CARENCIA TOTAL En este supuesto, el prestatario no realiza ningún pago durante el periodo de carencia, por lo que el importe del principal irá aumentando, acumulando los interese de este periodo. Ejemplo: continuamos con el supuesto anterior, suponiendo que hay carencia total de pago. a) Importe del principal al finalizar los dos años de carencia

Cd = Co * (1 + i2 )^4 (siendo "Cd" el importe del préstamo tras el periodo de carencia) luego, Cd = 10.000.000 * ( 1 + 0,03923)^4 luego, Cd = 11.663.978 ptas.

Por lo tanto, transcurrido el periodo de carencia, el importe del préstamo asciende a 11.663.978 ptas.

b) Desarrollo normal del prestamos (durante los 3 años que van desde el final del periodo de carencia hasta el vencimiento del préstamo)

En este periodo, el prestatario tendrá que hacer frente a cuotas semestrales constantes:

Luego, Ms = 11.663.978 / 5,2553 Luego, Ms = 2.219.468 ptas.

42. Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios Ejercicio: Un banco concede un préstamo de 8.000.000 ptas., por un plazo de 8 años (3 de ellos de carencia) y tipo de interés fijo del 10%. Una vez cumplido el periodo de carencia, el préstamo se desarrolla con amortización de capital constante. Calcular las cuotas de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo: a) Periodo de carencia con pago de intereses b) Periodo de carencia total Solución a) Periodo de carencia con pago de intereses

Durante el periodo de carencia (hasta el final del tercer año), el prestatario pagará los intereses correspondientes:

Ms = Co * i * t

(siendo Mo el importe de la cuota periódica)

luego, Ms = 8.000.000 * 0,1 * 1 luego, Ms = 800.000 ptas.

A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:

La amortización del principal se calcula con la fórmula AMs = Co / n

Luego, AMs = 8.000.000 / 5 (se divide por 5, ya que son los años hasta el vencimiento) Luego, AMs = 1.600.000 ptas.

Para calcular el importe de los intereses periódicos se aplica la siguiente fórmula, Is = Ss-1 * i * t

Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:

Periodo

Saldo vivo

Intereses

Momento 0

8.000.000

0

Año 1

8.000.000

800.000

Año 2

8.000.000

800.000

Año 3

8.000.000

800.000

Año 4

6.400.000

800.000

Año 5

4.800.000

640.000

Año 6

3.200.000

480.000

Año 7

1.600.000

380.000

Año 8

0

160.000

La cuota de amortización periódica será Ms = Ams + Is. Luego, ya podemos completar el cuadro con todas las cuotas:

Periodo

Amortización principal

Intereses

Cuota

Año 1

0

800.000

800.000

Año 2

0

800.000

800.000

Año 3

0

800.000

800.000

Año 4

1.600.000

800.000

2.400.000

Año 5

1.600.000

640.000

2.240.000

Año 6

1.600.000

480.000

2.080.000

Año 7

1.600.000

320.000

1.920.000

Año 8

1.600.000

160.000

1.760.000

b) Periodo de carencia total

Durante los tres primeros años del préstamo no se pagan intereses, por lo que estos se van acumulando al importe del principal.

Al final de estos 3 años, el importe acumulado de los intereses ascenderá:

I = Co * ((1 + i)^3 -1) (siendo I el importe acumulado de los intereses) luego, I = 8.000.000 * ((1 + 0,1)^3 -1) luego, I = 2.648.000 ptas.

Por lo tanto, el importe del principal del préstamo al final del 3º años, será:

Cd = Co + I

(siendo Cd el importe del principal al final del periodo

de carencia) luego, Cd = 8.000.000 + 2.648.000 luego, Cd = 10.648.000 ptas.

A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:

Luego, AMs = 10.648.000 / 5 Luego, AMs = 2.129.600 ptas.

Para calcular el importe que suponen los intereses periódicos se aplica la fórmula, Is = Ss-1 * i * t

Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:

Periodo

Saldo vivo

Intereses

Momento 0

8.000.000

0

Año 1

8.800.000

0

Año 2

9.680.000

0

Año 3

10.648.000

0

Año 4

8.518.400

1.064.800

Año 5

6.388.800

851.840

Año 6

4.259.200

638.880

Año 7

2.129.600

425.920

Año 8

0

212.960

Y la cuota de amortización periódica será Ms = AMs + Is. El cuadro con todas las cuotas será:

Periodo

Amortización principal

Intereses

Cuota

Año 1

0

0

0

Año 2

0

0

0

Año 3

0

0

0

Año 4

2.169.600

1.064.800

3.194.400

Año 5

2.169.600

851.840

2.981.440

Año 6

2.169.600

638.880

2.768.480

Año 7

2.169.600

425.920

2.555.520

Año 8

2.169.600

212.960

2.342.560

43. Préstamos con distintos tipos de interés (I) En algunos préstamos se establecen distintos tipos de interés según el periodo: Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9% durante el 3º y 4º año, y 10% durante los dos últimos años. Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va aumentando a medida que se incrementa el plazo. Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver un ejemplo de un préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes. a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va desde el inicio hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i 1", y un segundo tramo que va desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés "i 2". Entonces: Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)

Donde AMs es el valor de la cuota periódica constante y Co es el importe inicial del préstamo

Donde (AMs * Ao) es el valor actualizado del primer tramo (Ao es el valor actual de una renta pospagable, constante, de "s" periodos de duración y con tipo de interés i1)

Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es el valor actualizado del

segundo tramo (A1 es el valor en el momento "s" de una renta pospagable constante, desde el periodo "s+1" hasta el periodo "n", y con tipo de interés i2)

Como A1 es el valor en el momento "s", hay que actualizarlo hasta el momento 0, de ahí el paréntesis (1 + i1)^-s

Es interesante ver como para descontar este segundo termino hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del primer tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el momento "s" Ejemplo: Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante: Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1) luego, 4.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs * (1+0,09)^-3* ((1 (1+0,1)^-3)/ 0,1)) luego, AMs = 898.555 ptas.

Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 898.555 ptas. Para calcular que parte de la cuota periódica corresponde a amortización de capital, procedemos de la siguiente manera: Se calculan los intereses que incluye la primera cuota y por diferencia, la parte de la cuota que corresponde a devolución de capital: M1 = AM1 + I1 (es decir, la cuota periódica es la suma de

devolución de capital y de pago de intereses). Despejando, AM1 = A1 - I1

I1 lo podemos calcular: I1 = Co * i1 * t luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1 luego, I1 = 360.000 ptas.

Por lo tanto, AM1 = 898.555-360.000 luego, AM1 = 538.555 ptas. Conociendo la devolución de principal del primer periodo se puede calcular el resto de devoluciones de principal aplicando la siguiente fórmula: AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1 Lo único que ocurre es que esta ley se cumple mientras no cambia el tipo de interés. En el momento en que se inicia el 2º periodo ya no podemos seguir aplicando esta ley. Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y 3º periodo (no la del 4º porque ya cambia el tipo de interés): Periodo

Devolución de principal

año 2

AM2 = AM1 * (1 + 0,09)

=

587.025 ptas.

año 3

AM3 = AM1 * (1 + 0,09)^2 =

639.857 ptas.

Para calcular la devolución de principal en la 1º cuota del segundo tramo (la correspondiente al 4º año), hay que empezar por calcular los intereses que incluye esa cuota: Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final del 3º periodo. Este saldo vivo lo podemos calcular:

Aplicamos la fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3 luego, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857 luego, S3 = 2.234.563 ptas. Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo: Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1 luego, I4 = 223.456 ptas. Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por diferencia podemos calcular la parte de la cuota que corresponde a amortización de capital: AM4 = A4 - I4 luego, M4 = 898.555 - 223.456 luego, M4 = 675.099 ptas. El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se calcula aplicando la formula que conocemos: AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4

(tomamos como punto de partida el

año 4) Por lo tanto: Periodo

Devolución de principal

año 5

AM5 = AM4 * (1 + 0,10)

año 6

AM6 = AM4 * (1 + 0,10)

^2

=

742.609 ptas.

=

816.870 ptas.

De esta manera, ya conocemos la devolución de principal de todos los periodos. Por diferencia, se calcula la parte de intereses de cada cuota y también es fácil ver como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado. La tabla de amortización del préstamo quedaría:

Amortización

Cuota

Capital

periódica

amortizado

0

0

0

3.461.445 538.555

360.000

898.555

538.555

año 2

2.874.420 587.025

311.530

898.555

1.125.580

año 3

2.234.563 639.857

258.698

98.555

1.765.437

año 4

1.559.464 675.099

223.456

898.555

2.440.536

año 5

816.870 742.609

155.946

898.555

3.183.145

año 6

0

81.685

898.555

4.000.000

Periodo

Saldo vivo

año 0

4.000.000 0

año 1

de capital

816.870

Intereses

44. Préstamos con distintos tipos de interés (II) b) Préstamos con distintos tipos de interés y devolución de principal constante En este tipo de préstamos se amortiza el mismo capital en todos los periodos, con independencia del tipo de interés vigente en ese momento. Ejemplo: Calcular la amortización de capital constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante: El importe constante de la amortización de capital se calcula a partir de la fórmula AMs = C0 / n (siendo "n" el número de periodos)

Por lo tanto, AMs = 4.000.000 / 6 luego, AMs = 666.666 ptas.

La amortización anual de capital durante cada uno de los seis años de vida del préstamo va a ser de 666.666 ptas. Conociendo el importe de la amortización de capital, es inmediato ver la evolución del saldo vivo y del capital amortizado: Ss = C0 - S AM (es decir, el saldo vivo So es igual al capital inicial menos la suma de las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento)

CAs = S AM (siendo CAs el capital amortizado)

Una vez que sabemos la evolución del saldo vivo, se calcula fácilmente el importe de los intereses de cada cuota: Is = Ss-1 * i * t En cada periodo se aplica el tipo de interés vigente en ese momento. De esta manera se puede completar el cuadro de amortizaciones: Amortización

Cuota

Capital

periódica

amortizado

0

0

0

3.333.333 666.666

360.000

1.026.666 666.666

año 2

2.666.666 666.666

300.000

966.666

1.333.333

año 3

2.000.000 666.666

240.000

906.666

2.000.000

año 4

1.333.333 666.666

200.000

866.666

2.666.666

año 5

666.666 666.666

133.333

800.000

3.333.333

año 6

0

66.666

733.333

4.000.000

Periodo

Saldo vivo

año 0

4.000.000 0

año 1

de capital

666.666

Intereses

45. Préstamo con distintos tipos de interés: Ejercicios Ejercicio: Un banco concede un préstamo de 5.000.000 ptas. a 6 años, aplicando un 10% en los 2 primeros años, un 12% en el 3ª y 4ª año, y un 14% en los 2 últimos años. Calcular el cuadro de cuotas de amortización, suponiendo que el préstamo es del tipo de cuotas constantes. Solución Comenzamos calculando el importe de la cuota periódica constante: Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i)^-2 * A1) + (AMs * (1 + i)^-4 * A2)

(siendo (AMs * Ao) el valor actualizado de las cuotas de los 2 primeros años) (siendo (AMs * (1 + i)^-2 * A1) el valor actualizado de las cuotas de los años 3º y 4º) (siendo (AMs * (1 + i)^-4 * A2) el valor actualizado de las cuotas de los años 5º y 6º)

luego, 5.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,10)^-2)/0,1)) + (AMs * (1+0,1)^-2* ((1 - (1+0,12)^2

^-2

^-2

)/0,12)) + (AMs * (1+0,1) *(1+0,12)

^-2

*((1 - (1+0,14) )/0,14))

(Al actualizar las cuotas del 2º tramo, se multiplica por (1+0,1)^-2 para traerlo al momento cero. En este paréntesis se utiliza el tipo de interés del primer tramo, ya que es el tipo vigente entre el año 2 y el momento inicial).

(Lo mismo ocurre al actualizar el valor de las cuotas del 3º tramo. En este caso se multiplica por (1+0,12)^-2, que nos permite pasar del año 4º al año 2º, y por (1+0,10)^-2, para pasar del año 2 al momento inicial).

luego, AMs = 1.185.633 ptas.

Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 1.185.633 ptas. Calculamos ahora la parte de la cuota que corresponde a amortización de principal. Empezamos por la 1ª cuota y para ello hay que conocer previamente el importe de los intereses de este periodo: I1 = C o * i 1 * t luego, I1 = 5.000.000 * 0,10 * 1 luego, I1 = 500.000 ptas.

Por lo tanto, AM1 = 1.185.633-500.000 luego, AM1 = 685.633 ptas. La amortización de capital del 2º periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula: AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1

luego, AM2 = AM1 * (1 + i1) luego, AM2 = 685.633 * (1 + 0,1) luego, AM2 = 754.196 ptas.

Para la del 3º periodo no se puede aplicar la misma fórmula ya que ha cambiado el tipo de interés. Por lo tanto, hay que comenzar calculando el importe de los intereses de esta cuota: I3 = S 2 * i 1 * t

El saldo vivo al final del 2º periodo: S2 = C0 - AM1 - AM2 luego, S2 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196 luego, S2 = 3.560.171 ptas.

Por lo tanto, I3 = 3.560.171 * 0,12 * 1 luego, I3 = 427.221 ptas.

La amortización de capital del 3º periodo será: AM3 = M3 - I3 luego, AM3 = 1.185.633 - 427.221 luego, AM3 = 758.412 ptas. Para calcular la amortización de capital del 4 año se vuelve a utilizar la fórmula de antes (ya que no cambia el tipo): AM4 = AM3* (1 + 0,12) luego, AM4 = 849.421 ptas. Para la del 5º periodo, como nuevamente cambia el tipo de interés, hay que comenzar calculando los intereses: I5 = S4 * i5 * t

El saldo vivo al final del 4º periodo: S4 = C0 - AM1 - AM2 - AM3 AM4 luego, S4 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196 - 758.412 - 849.421 luego, S4 = 1.952.338 ptas.

Por lo tanto, I5 = 1.952.338 * 0,14 * 1 luego, I5 = 273.327 ptas.

La amortización de capital del 5º periodo será: AM5 = M5 - I5 luego, AM5 = 1.185.633 - 273.327 luego, AM5 = 912.311 ptas. Por último, la amortización de capital del 6º periodo se calcula aplicando nuevamente la formula (ya que no hay cambio de tipo de interés respecto al periodo anterior): AM6 = AM5* (1 + 0,14) luego, AM6 = 1.040.035 ptas. Ya podemos completar el cuadro de amortización: Amortización

Cuota

Capital

periódica

amortizado

0

0

0

4.314.367 685.633

500.000

1.185.633 685.633

año 2

3.560.171 754.196

431.437

1.185.633 1.439.829

año 3

2.801.759 758.412

427.221

1.185.633 2.198.241

año 4

1.952.338 849.421

336.212

1.185.633 3.047.662

año 5

1.040.035 912.311

273.327

1.185.633 3.959.973

año 6

0

1.040.035 145.598

1.185.633 5.000.000

Periodo

Saldo vivo

año 0

5.000.000 0

año 1

de capital

Intereses

46. Préstamos hipotecarios Los préstamos hipotecarios son operaciones para financiar la adquisición de una vivienda. Son préstamos a largo plazo, entre 15 y 30 años, con tipo de interés que suele ser variable (referenciado a algún tipo de mercado, por ejemplo euribor a 1 año, y con revisión anual). Las cuotas de amortización son constantes en el periodo que va entre cada revisión de tipos. Cuando se va a solicitar un préstamo hay que conocer a cuanto asciende la cuota mensual. Esta va a depender del importe del préstamo, de su duración y del tipo de interés aplicado. El importe de la cuota mensual se puede calcular haciendo la suposición de que el tipo de interés no variará durante toda la vida de la operación. Se pueden calcular unas tablas que determinan el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según el tipo y el plazo. Para calcular el importe mensual por cada millón de pesetas se aplica la siguiente fórmula: Co = AM * Ao luego, 1.000.000 = AM * Ao (siendo AM la cuota mensual por millón y A0 el valor actual de una renta pospagable) luego, 1.000.000 = AM * ((1 - (1 + i)^-n)/i) El tipo de interés que se aplica en esta fórmula es el tipo mensual, ya que estamos calculando el importe de la cuota mensual. Tan sólo con multiplicar la cuota mensual por millón por el número de millones que se pretende solicitar, se calcula el importe total de la cuota mensual del préstamo. En el cuadro siguiente se ha calculado el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según diversas hipótesis de plazo y el tipo:

Cuota mensual por millón (ptas.)

5 años

10 años

15 años

20 años

25 años

30 años

4% (*) 18.384

10.091

7.361

6.022

5.239

4.733

6%

19.259

11.022

8.353

7.073

6.346

5.894

8%

20.143

11.986

9.396

8.192

7.534

7.144

10 % 21.036

12.978

10.484

9.366

8.785

8.459

12%

13.995

11.610

10.586

10.082

9.816

21.936

(*) El tipo de interés que aparece es el anual, pero para calcular el importe de las cuotas mensuales se calcula el tipo mensual equivalente.

47. Préstamos con intereses anticipados En este tipo de préstamos los intereses se pagan al comienzo de cada periodo. De hecho, el efectivo inicial que recibe el prestatario será el importe del préstamo menos los intereses del 1er periodo: Por ejemplo: préstamo de 1.000.000 ptas., a 5 años, con tipo de interés del 10% y pago de intereses anticipados. El prestatario recibe en el momento inicial 900.000 ptas. (1.000.000 ptas. del préstamo, menos los intereses de 100.000 ptas. del primer año). La cuota periódica, que se sigue pagando a final de cada periodo, se compone de la amortización de capital de dicho periodo, más los intereses del periodo siguiente. Estos préstamos pueden ofrecer diversas modalidades, entre las que destacamos: a) Cuota de amortización constante b) Amortización de capital constante

Cuota de amortización constante Cumplen la siguiente ley de equivalencia financiera, que permite calcular el importe de la cuota constante: Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i) (Siendo C0 el importe del préstamo y Ms la cuota periódica constante) Para calcular que parte de la cuota corresponde a devolución de principal, se comienza por la del último periodo. En este caso, como los intereses de dicho periodo se pagaron por anticipado, la cuota incluye únicamente devolución de capital:

An = Ms (siendo An la amortización de capital del último periodo) Para calcular las amortizaciones de capital del resto de los periodos se aplica la siguiente fórmula: As = An * (1 - i)^n-s Conocida la parte que corresponde a devolución de principal, por diferencia se calcula el importe de los intereses: Ms = AMs + Is luego, Is = Ms - AMs Asimismo, también se puede calcular la evolución del saldo vivo y del capital amortizado: Saldo vivo

Ss = Co - S AM

Capital amortizado

CAs = S AM

Ejemplo: Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las cuotas son constantes. Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses: Solución: La cuota constante se calcula Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)

Luego, 6.000.000 = Ms * (1 - (1 - 0,12)^4/ 0,12) Luego, Ms = 1.798.630 ptas.

Para calcular que parte de la cuota corresponde a amortización

de capital, se comienza por la del último periodo. En este caso AMn = Mn

Luego, AM4 = 1.798.630 ptas.

El resto de los importes correspondientes a amortización de principal se calcula aplicando la fórmula: As = An * (1 - i)^n-s

Luego, A1 = 1.798.630 * (1-0,12)^3 = 1.225.716 ptas. Luego, A2 = 1.798.630 * (1-0,12)^2 = 1.392.859 ptas. Luego, A3 = 1.798.630 * (1-0,12) = 1.582.794 ptas.

La parte que corresponde a pago de intereses se calcula por diferencia. No obstante, ya en el momento inicia hay que pagar intereses:

I0 = 6.000.000 * 0,12 = 720.000 ptas. (en este caso se calcula multiplicando el importe del préstamo por el tipo de interés) I1 = 1.798.630 - 1.225.716 = 572.914 ptas. I2 = 1.798.630 - 1.392.859 = 405.771 ptas. I3 = 1.798.630 - 1.582.794 = 215.836 ptas. I4 = 1.798.630 - 1.798.630 = 0 ptas. Podemos completar ya el cuadro de amortizaciones:

Periodo

Amortización de capital

Intereses

720.000

Cuota periódica

720.000

Saldo vivo

Capital amortizado

año 0

0

6.000.000 0

año 1

1.225.716 572.914

1.798.630 4.774.284 1.225.716

año 2

1.392.859 405.771

1.798.630 3.381.425 2.618.575

año 3

1.582.794 215.836

1.798.630 1.798.630 4.201.369

año 4

1.798.630 0

1.798.630 0

6.000.000

48. Préstamos con intereses anticipados (II) Cuota de amortización constante En este tipo de préstamos se mantiene constante la amortización de capital que se realiza en cada periodo. La cuota periódica, por su parte, va variando ya que el importe de los intereses va disminuyendo. El importe de la amortización constante de capital se calcula con la siguiente fórmula: AMs = Co / n (Siendo C0 el importe del préstamo y n el número de periodos) Conociendo el importe de la amortización de capital, se calcula fácilmente la evolución del saldo vivo y del capital amortizado Saldo vivo

Ss = Co - S AM

Capital amortizado

CAs = S AM

El importe de los intereses de cada periodo se deduce a partir de la evolución del saldo vivo y se calcula aplicando la siguiente fórmula: Is = S * i * t (Siendo S el saldo vivo del periodo) Conocido el importe de la devolución de capital y de los intereses, se deduce el importe de la cuota de cada periodo: Ms = AMs + Is Ejemplo: Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las amortizaciones de capital son constantes.

Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses: Solución: La amortización de capital constante se calcula AMs = Co / n

Luego, AMs = 6.000.000 / 4 Luego, AMs = 1.500.000 ptas.

De esta manera podemos conocer como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado

Periodo

Saldo vivo

Capital amortizado

año 0

6.000.000

0

año 1

4.500.000

1.500.000

año 2

3.000.000

3.000.000

año 3

1.500.000

4.500.000

año 4

0

6.000.000

El importe de los intereses se calcula aplicando la fórmula: Is = S*i*t

Periodo

año 0

Intereses

6.000.000 * 0,12

720.000

año 1

4.500.000 * 0,12

540.000

año 2

3.000.000 * 0,12

360.000

año 3

1.500.000 * 0,12

180.000

año 4

0 * 0,12

00

Con estos datos podemos completar ya el cuadro de amortización:

Periodo

Amortización de capital

Intereses

Cuota

Saldo

periódica vivo

Capital amortizado

año 0

0

720.000 720.000 6.000.000 0

año 1

1.500.000

540.000 2.040.000 4.500.000 1.500.000

año 2

1.500.000

360.000 1.860.000 3.000.000 3.000.000

año 3

1.500.000

180.000 1.680.000 1.500.000 4.500.000

año 4

1.500.000

0

1.500.000 0

6.000.000

49. Valoración de los préstamos La valoración de un préstamo permite calcular el valor de este activo en cualquier momento de la vida de la operación. Es decir, determina el precio al que la entidad financiera tenedora del préstamo estaría dispuesta a venderlo. El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación, dependiendo fundamentalmente de su saldo vivo en ese momento, así como del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares. Cuando cambian las condiciones de mercado y los tipos de interés para operaciones similares son diferentes a los del préstamo, el valor de éste se modifica y no coincide con el importe de su saldo vivo. La regla que se cumple es la siguiente: a) Si los tipos de interés para préstamos similares son superiores a los del préstamo, su valor será inferior al importe de su saldo vivo. b) Si los tipos de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su saldo vivo. ¿A qué responde esta relación?: Si los tipos de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera está teniendo un coste de oportunidad, ya que podría obtener la misma cuota periódica prestando menos dinero. Si los tipos de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera le estaría obteniendo una rentabilidad más elevada que la que podría obtener concediendo un préstamo similar en las nuevas condiciones de mercado. ¿Cómo se calcula el valor de un préstamo? Se actualizan al momento de la valoración todas las cuotas periódicas que quedan pendientes de vencer, aplicando el tipo de interés vigente en ese momento en el mercado para préstamos de las mismas características.

Veamos un ejemplo: Un banco concede un préstamo de 7.000.00 ptas. a 7 años, con un tipo de interés fijo del 10% y con amortización de principal constante. Su cuadro de amortización es el siguiente: Periodo

Amortización de capital

Intereses

Cuota periódica

Saldo vivo

año 0

0

0

0

7.000.000

año 1

1.000.000

700.000

1.700.000

6.000.000

año 2

1.000.000

600.000

1.600.000

5.000.000

año 3

1.000.000

500.000

1.500.000

4.000.000

año 4

1.000.000

400.000

1.400.000

3.000.000

año 5

1.000.000

300.000

1.300.000

2.000.000

año 6

1.000.000

200.000

1.200.000

1.000.000

año 7

1.000.000

100.000

1.100.000

0

Vamos a calcular el valor del préstamo al final del año 3. El saldo vivo es entonces de 4.000 000 ptas. a) Si el tipo de interés de mercado para préstamos similares fuera en ese momento del 15% (superior al 10% del préstamo): Actualizamos al final del año 3 todas las cuotas pendientes de pago: V(3)=

1.400.000/(1,15)

+

1.300.000/(1,15)

^2

+

1.200.000/(1,15)

^3

+

^4

1.100.000/(1º,15)

V(3)= 3.618.326 ptas. El valor del préstamo sería de 3.618.326 ptas., inferior a su saldo vivo (4.000.000 ptas.). Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea superior al del préstamo. b) Si el tipo de interés de mercado fuera del 8%:

V(3)=

1.400.000/(1,08)

+

1.300.000/(1,08)

^2

+

1.200.000/(1,08)

^3

+

^4

1.100.000/(1,08)

V(3)= 4.454.049 ptas. El valor del préstamo sería ahora de 4.454.049 ptas., superior a su saldo vivo. Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea inferior al del préstamo. c) Si el tipo de interés de mercado fuera del 10%: V(3)= 1.400.000/(1,10) + 1.300.000/(1,10)^2 + 1.200.000/(1,10)^3 + 1.100.000/(1,10)^4 V(3)= 4.000.000 ptas. En este caso el valor del préstamo coincidiría con el importe de su saldo vivo.

50. Empréstitos: Introducción El empréstito es una modalidad de financiación por la que una entidad (empresa,

organismo

público,

etc.)

que

necesita

fondos,

acude

directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera. La entidad divide el préstamo en un gran número de pequeñas partes iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por "títulos-valores". Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan las mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc. La entidad que emite los títulos se denomina "emisor", mientras que el inversor que los suscribe se denomina "obligacionista". Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos: a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito Los empréstitos se clasifican según diversos criterios: a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada (emitida por empresas). b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno). c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento. d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).

e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal). f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito). g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

51. Deuda del Estado El Estado utiliza como fuente de financiación la emisión de títulos-valores a medio y largo plazo: Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años) Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años) Estos títulos presentan entre otras las siguientes características: a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.) b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece un precio más elevado c) Pago de intereses anuales pospagables d) Amortización a la par La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de los mismos: Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99. En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite. Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título. Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del 6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir, paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:

Fecha

Suscripción

31/09/99

- 10.200

01/00/00

(Emisión)

Intereses

31/12/00

+ 650

31/12/01

+ 650

31/12/02

+ 650

31/12/03

+ 650

31/12/04

+ 650

Amortización

+ 10.000

(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con signo positivo los ingresos que recibe) Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: I = Co * i * t Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas. Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de equivalencia financiera: Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t

Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo, 10.200 ptas.) Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.) Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable: Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su valor se obtiene como solución de la ecuación de equivalencia financiera

Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000 ptas.) Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el ejemplo: 5 años) Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción (momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)

El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + i e) ^-n) calcula el valor actual de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al momento de emisión del título.

El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta el momento de la suscripción. Resolvemos la ecuación: 10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ i e) + (10.000*(1 + ie)^-5)) * (1+ie) ^-0,25 ie = 5,694 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones que se ha adquirido) es del 5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.

¿Por qué esta menor rentabilidad?.

Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas. vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su importe 3 meses antes que su fecha de emisión.

52. Deuda del Estado: Ejercicios Ejercicio El Tesoro Público emite obligaciones a 10 años, con fecha de emisión 01/07/00. El valor nominal de los títulos es de 10.000 ptas., con un tipo de interés del 7,0% y amortización a la par. Estas obligaciones se han suscrito el 01/01/00. Calcular el rendimiento efectivo de estos títulos: a) Si el precio de suscripción ha sido del 101,5% b) Si el precio de suscripción ha sido del 98,5%

Solución: a) Precio de suscripción del 101,5% Comenzamos por definir la tabla de flujos monetarios que genera esta operación

Fecha

Suscripción

01/01/00

- 10.150

01/07/00

(Emisión)

Intereses

01/07/01

+ 700

01/07/02

+ 700

01/07/03

+ 700

01/07/04

+ 700

01/07/05

+ 700

01/07/06

+ 700

Amortización

01/07/07

+ 700

01/07/08

+ 700

01/07/09

+ 700

01/07/10

+ 700

+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 101,5% = 10.150 ptas. Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: I = Co * i * t Luego, I = 10.000 * 0,07 * 1 = 700 ptas. Para calcular el rendimiento efectivo se aplica la fórmula de equivalencia financiera: Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t Resolvemos la ecuación: 10.150 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5 ie = 6,354 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6,354%, inferior al 7,0% nominal que ofrece. b) Precio de suscripción del 98,5% La tabla de flujos monetarios es igual que la anterior, sólo cambia el precio pagado en la compra del título:

Fecha

Suscripción

01/01/00

- 9.850

01/07/00

(Emisión)

Intereses

Amortización

01/07/01

+ 700

01/07/02

+ 700

01/07/03

+ 700

01/07/04

+ 700

01/07/05

+ 700

01/07/06

+ 700

01/07/07

+ 700

01/07/08

+ 700

01/07/09

+ 700

01/07/10

+ 700

+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 98,5% = 9.850 ptas. Resolvemos la ecuación: 9.850 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5 ie = 6,751 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6.751%.

53. Empréstitos con amortizaciones parciales de capital Este tipo de empréstitos se va amortizando con reducciones parciales de capital. Dentro de esta categoría, el caso más frecuente es aquél en el que las amortizaciones de capital son constantes a lo largo de la vida de la operación. Las amortizaciones parciales de capital se calculan: AMs = Co / n

Siendo, Co: el importe inicial del empréstito Siendo, n: el número de periodos Asimismo, es fácil calcular la evolución del saldo vivo y del capital amortizado: Saldo vivo

Ss = Co - S AM

Capital amortizado

CAs = S AM

La carga de intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula: Is = Ss-1 * i * t

Siendo, Ss-1: el saldo vivo al final del periodo anterior Siendo, t: la duración del periodo Conocido el importe que se amortiza en cada periodo, así como los intereses, se conoce el importe de la cuota periódica: Ms = AMs + Is

La cuota periódica Ms es una cuota decreciente, ya que AMs es constante, pero el importe de los intereses Is va disminuyendo. Ejemplo: Se emite un empréstito de 10.000 millones de pesetas, representados por 1 millón de títulos de 10.000 ptas. de valor nominal cada uno. El plazo es de 5 años y cada año se amortiza el mismo importe de principal. El tipo de interés es el 8%. Calcular el cuadro de amortización: Solución: Cada año se amortiza: AMs = 10.000 / 5 = 2.000 millones de ptas. El cuadro de amortización es el siguiente: Valor

Periodo

Saldo

Amortización Capital

vivo

de capital

amortizado

Intereses Cuota

Nº títulos

de

nominal de cada título

(Millones (Millones

(Millones

(Millones (Millones

ptas)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

año 0 10.000

0

0

0

0

1.000.000 10.000

año 1 8.000

2.000

2.000

800

2.800

1.000.000 8.000

año 2 6.000

2.000

4.000

640

2.640

1.000.000 6.000

año 3 4.000

2.000

6.000

480

2.480

1.500.000 4.000

año 4 2.000

2.000

8.000

320

2.320

1.000.000 2.000

año 5 0

2.000

10.000

160

2.160

0

(ptas.)

0

54. Empréstitos sin vencimiento Estos empréstitos no tienen vencimiento, son perpetuos. No obstante, las entidades públicas (que son las únicas que los emiten) se suelen reservar el derecho de poder amortizarlos en cualquier momento futuro. La cuota periódica está integrada exclusivamente por los intereses, ya que no hay amortización de principal: Ms = Is Siendo Ms la cuota periódica y Is los intereses del periodo La carga de los intereses será siempre la misma, ya que el saldo vivo no varía (suponiendo, también, un tipo de interés constante durante toda la vida de la operación). Is = Co * i * t Siendo Co el importe inicial del empréstito Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 50.000 millones de ptas., sin vencimiento, con tipo de interés anual del 7%. Calcular el importe de la cuota periódica: Ms = Is

Siendo, Is = Co * i * t Luego, Is = 50.000 * 0,07 * 1 Luego, Is = 3.500 millones ptas.

Por lo tanto, Ms = 3.500 millones ptas. El valor de mercado de este tipo de empréstito, en cualquier momento su vida, viene determinado por la siguiente fórmula: Vm = Is / im

Siendo, Vm el valor del empréstito Siendo, im el tipo de mercado para emisiones de características similares en el momento de la valoración. Ejemplo: transcurridos 3 años de la anterior emisión, el tipo de interés para emisiones similares ha subido al 8%. Calcular el valor actual de este empréstito: Vm = Is / im

Luego, Vm = 3.500 / 0,08 = 43.750 millones ptas.

Por lo tanto, el valor del empréstito es ahora de 43.750 millones ptas., significativamente menor que su valor nominal (50.000 millones ptas.)

55. Empréstitos: amortización por sorteo (I) En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por sorteo. Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos: - El pago de los intereses del periodo - La amortización de aquellos títulos seleccionados a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación). Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera: Co = Ms * Ao Siendo Co el importe inicial del empréstito Siendo Ms el importe de la cuota periódica Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable De aquí podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo: M1 = (Co * i * t) + (A1 * Vn) El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el

número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada título) El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados). A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones: As = Ai * (1 + i)^s-1 Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula: Ms = AMs + Is Por lo que, Is = Ms - AMs Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en 1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes. Calcular el cuadro de amortizaciones: Solución: Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica Co = Ms * Ao

luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i) luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08) luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo: Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn)

luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.) luego, A1 = 170.456 títulos Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los periodos: A2

170.456 * (1 + 0,08)

184.092 títulos

A3

170.456 * (1 + 0,08)^2

198.820 títulos

A4

170.456 * (1 + 0,08)^3

214.725 títulos

A5

^4

231.904 títulos

170.456 * (1 + 0,08)

Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo. Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMs Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones: Nº de títulos

Cuota periódica

Amortizados Amortiz. Periodo Vivos

Amortiz.

Saldo vivo Cuota

del

en periodo acumulados de capital Intereses periódica empréstito (Millones (Millones (Millones (Millones ptas.)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

0

0

20.000

año 0

1.000.000 0

0

0

año 1

829.544 170.456

170.456

3.409,12 1.600,00 5.009,13 16.590,88

año 2

645.452 184.092

354.548

3.681,84 1.327,29 5.009,13 12.909,04

año 3

446.632 198.820

553.368

3.796,40 1.032,73 5.009,13 8.932,64

año 4 231.904 214.725

768.093 4.294.50 714,63 5.009,13 4.638,08

año 5 0

1.000.000 4.638,08 371,05 5.009,13 0

231.904

56. Empréstitos: amortización por sorteo (II) b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante Esta es otra modalidad de empréstitos muy utilizada. El número de títulos que se amortiza en cada periodo viene determinado por la fórmula: A=n/p Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo Siendo n el número total de títulos emitidos Siendo p el número de periodos Conociendo el número de títulos que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el número de títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito. El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por: Is = Ss-i * i * t Siendo Ss-1 el saldo vivo del empréstito al final del periodo anterior Y el importe de la cuota periódica: Ms = (A * Vn) + Is Siendo Vn el importe nominal de cada título Veamos un ejemplo: Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. La emisión se compone de 1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo.

Calcular el cuadro de amortizaciones: Nº de títulos

Cuota periódica

Amortizados Amortiz. Periodo Vivos

en periodo acumulados

Amortiz.

Cuota

de capital

Intereses

periódica

Saldo vivo del empréstito

(Millones (Millones (Millones (Millones ptas.)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

año 0

1.000.000 0

0

0

0

0

30.000

año 1

800.000 200.000

200.000

6.000

2.100

8.100

24.000

año 2

600.000 200.000

400.000

6.000

1.680

7.680

18.000

año 3

400.000 200.000

600.000

6.000

1.260

7.260

12.000

año 4

200.000 200.000

800.000

6.000

840

6.840

6.000

año 5

0

1.000.000

6.000

420

6.420

0

200.000

57. Empréstitos: cupón cero (I) En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero". Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando: a) Cuotas periódicas constantes b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo Cuotas periódicas constantes El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo. A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito. La cuota periódica se calcula: Co = M * Ao Siendo Co el importe inicial del empréstito Siendo M el importe de la cuota periódica Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable De aquí se despeja M. Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo: M = (A1 * Vn) + (1 + i)

Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo Siendo Vn el valor nominal de cada título Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula: As = A1 * (1 + i)^-(s-1) Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente: Is = Ms - (A1 * Vn) Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización. Veamos un ejemplo: Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título. Calcular el cuadro de amortizaciones: La cuota periódica se calcula: Co = M * Ao Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i) Luego, 50.000 = M * 4,2123 Luego, M = 11.869,82 millones ptas. A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

M = (A1 * Vn) * (1 + i) Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.) Luego, A1 = 223.959 títulos Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización: A2

223.959 * (1 + 0,06)

^-1

211.282 títulos

A3

223.959 * (1 + 0,06)^-2

199.323 títulos

A4

223.959 * (1 + 0,06)

^-3

188.040 títulos

223.959 * (1 + 0,06)

^-4

177.396 títulos

A5

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones: Nº de títulos

Cuota periódica

Amortizados Amortiz. Periodo Vivos

en periodo acumulados

Amortiz.

Cuota

de capital

Intereses

periódica

Saldo vivo del empréstito

(Millones (Millones (Millones (Millones ptas.)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

0

0

50.000

año 0

1.000.000 0

0

0

año 1

776.041 223.959

223.959

11.197,9 671,9

11.869,8 38.802,1

año 2

564.759 211.282

435.241

10.564,1 1.305.7

11.869,8 28.238,0

año 3

365.436 199.323

634.564

9.966,1 1.903,6

11.869,8 18.271,9

año 4

177.396 188.040

822.604

9.402,0 2.467,8

11.869,8 8.869,8

año 5

0

1.000.000

8.869,8 3.000,0

11.869,8 0

177.396

58. Empréstitos: cupón cero (II) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos: A=n/p Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo Siendo n el número total de títulos emitidos Siendo p el número de periodos Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del empréstito. Y el importe de la cuota periódica se calcula: Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo. Veamos un ejemplo: Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortización de cada título. Calcular el cuadro de amortizaciones. El número de títulos que se amortiza en cada periodo: A=n/p luego, A = 1.000.000 / 5

luego, A = 200.000 títulos en cada periodo Veamos el cuadro de amortizaciones: Nº de títulos

Cuota periódica

Amortizados Amortiz. Periodo Vivos

en periodo acumulados

Amortiz.

Cuota

de capital

Intereses

periódica

Saldo vivo del empréstito

(Millones (Millones (Millones (Millones ptas.)

ptas.)

ptas.)

ptas.)

año 0

1.000.000 0

0

0

0

0

50.000

año 1

800.000 200.000

200.000

10.000

600

10.600

40.000

año 2

600.000 200.000

400.000

10.000

1.236

11.236

30.000

año 3

400.000 200.000

600.000

10.000

1.910

11.910

20.000

año 4

200.000 200.000

800.000

10.000

2.625

12.625

10.000

año 5

0

1.000.000

10.000

3.382

13.382

0

200.000

59. Obligaciones convertibles Son aquellas obligaciones que permiten al inversor (obligacionista) decidir en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en acciones de la sociedad. En el momento de emitir estas obligaciones se fija el sistema que se utilizará para determinar la relación de conversión (es decir, número de acciones a recibir por cada obligación), así como en que momento(s) futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión. La relación de conversión se determina: Valor de conversión de la obligación / valor de la acción a) Valor de conversión de la obligación: suele ser su valor nominal. b) Valor de la acción: se suele fijar el precio medio de la acción durante un número determinado de días antes de la fecha de conversión. A efectos de hacer la conversión más atractiva para el inversor, a este precio medio se le suele aplicar un descuento (10-20%). Para ver si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos valores siguientes: a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión b) Valor de transformación: es el valor de mercado en dicha fecha del número de acciones que se recibe por cada obligación. Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la conversión. Si es menor, si interesa acudir. La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de transformación se denomina "prima de conversión". Ejemplo:

Se emiten obligaciones convertibles de 10.000 ptas de nominal cada título, a un plazo de 5 años. Se establece la posibilidad de convertirlas en acciones al final del 1º año. La relación de conversión será: Obligación: por su valor nominal Acción: cotización media del último trimestre, con descuento del 15%. Llegado el 31 de diciembre, la cotización media de la acción en el último trimestre ha sido de 150 ptas. (su cotización al 31/12 es de 180 ptas.). Por su parte, el valor de mercado de la obligación asciende a 11.150 ptas. Determinar: a) Relación de conversión b) Prima de conversión c) ¿Interesa acudir a la conversión? Solución: a) Relación de conversión: Valor de conversión de la obligación / valor de la acción Luego, Relación de intercambio = 10.000 / (150 * 0,85) Luego, Relación de intercambio = 78,43 acciones Es decir, por cada obligación se recibirán 78,43 acciones. b) Prima de conversión: Valor de transformación (180 * 78,43)

= 14.117,4 ptas.

Valor de mercado de la obligación

= 11.150,0 ptas.

Prima de conversión

= 2.967,4 ptas.

c) Como la prima de conversión es positiva, conviene acudir a la misma.

60. Rentabilidad de un empréstito La rentabilidad efectiva de una obligación para el obligacionista (inversor) es el tipo de interés que iguala en el momento inicial el valor de la prestación (precio pagado por dicho título) y el valor de la contraprestación (intereses recibidos y amortización final). En aquellas obligaciones que se amortizan por sorteo y que presentan distintos tipos de ventajas (primas de emisión, de amortización, etc.), la rentabilidad efectiva va a depender del momento en que se amortice cada título. Normalmente, la rentabilidad será superior en aquellos títulos que se amorticen antes, ya que el efecto positivo de las distintas primas de emisión y/o de amortización será más significativo. En inversor no va a saber a priori cual será la rentabilidad efectiva de sus títulos, pero si puede conocer como evolucionará ésta en función de en qué momento sean amortizados. Para calcular la rentabilidad de un título se aplica la ecuación de equivalencia financiera: Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k) Siendo Pc el precio de compra del título Siendo (Vn * i *Ao) el valor actualizado de los intereses recibidos del empréstito Siendo ie la tasa de rentabilidad efectiva Siendo Pa el precio de amortización Ejemplo:

Se emiten obligaciones de 10.000 ptas. cada título, con el 7% de interés y vencimiento en 5 años. Tiene un descuento en la suscripción del 5% (se compran los títulos por 9.500 ptas.) y una prima de amortización del 2% (se cobra en el vencimiento 10.200 ptas. por cada título). Los títulos se amortizan mediante sorteos anuales. Calcular el rendimiento efectivo de esta obligación. Solución: Se aplica la fórmula de equivalencia financiera: Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k) Luego, 9.500 = (10.000 * 0,07 * Ao) + (10.200 * (1+ie)^-k) Si la obligación se amortizara en el primer año, la ecuación de equivalencia financiera sería: 9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-1)/ie)) + (10.200 * (1 + ie)^-1) Si la obligación se amortizara en el 2 año. esta ecuación quedaría de la forma: 9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-2)/ie)) + (10.200 (1 + ie)^-2) Y así sucesivamente, hasta el año 5. Podemos completar el siguiente cuadro, indicando como evoluciona la rentabilidad efectiva según el momento de amortización de los títulos:

Periodo

Rentabilidad efectiva

año 1

14,737%

año 2

10,863%

año 3

9,603%

año 4

8,980%

año 5

8,609

La rentabilidad calculada es bruta (no considera el coste impositivo). Para tener en cuenta esto, sólo hay que sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos (después de impuestos).

61. Obligación con bonificación fiscal Algunas obligaciones incorporan ventajas fiscales (bonificaciones). Estas bonificaciones fiscales funcionan de la siguiente manera: La retención fiscal que se aplica por el cobro de intereses (25% en España) se reduce sustancialmente (se aplica tan sólo un 1,25%). Sin embargo, cuando el obligacionista realiza su declaración de impuestos se considera como si se le hubiera retenido el 25% ordinario. Se denomina rentabilidad financiera-fiscal a la rentabilidad que tendría que ofrecer una obligación de similares características, pero sin bonificación fiscal, para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva. En este tipo de obligaciones bonificadas el inversor tiene dos fuentes de beneficios: El cobro periódico de sus intereses El ahorro fiscal que obtiene Este ahorro impositivo se produce aproximadamente un año después del cobro de los intereses, ya que la declaración de impuestos se realiza al año siguiente (en España), Para calcular la rentabilidad efectiva de este tipo de obligaciones, se aplica la ecuación de equivalencia financiera: Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n) Siendo Pc el precio de adquisición de la obligación Siendo rb el tipo de retención bonificado que se aplica Siendo I el importe de los intereses periódicos que se perciben Siendo Ao el valor actual de una renta pospagable Siendo t el tipo impositivo del obligacionista

Siendo r0 el tipo ordinario de retención (25% en España) Siendo d/Ao el valor actual de una renta pospagable diferida un periodo Siendo C el importe de amortización de la obligación Siendo ie el tipo de rentabilidad efectiva La variable que hay que estimar y que resuelve esta ecuación es "i e", que es la rentabilidad efectiva que obtiene el inversor en la operación. El término (1 - rb) * I * Ao determina el valor actual de los intereses recibidos, deducida la retención efectuada. El término (t - ro) * I * d/Ao determina el valor actual de los impuestos que tiene que pagar el obligacionista por los intereses percibidos. Se calcula multiplicando el importe de los intereses por la diferencia entre su tipo impositivo (t) menos la retención ordinaria (ro = 25%). Esta serie está diferida 1 año, ya que la declaración de impuestos se realiza al año siguiente. La expresión C * (1 + i e)^-n determina el valor actual del importe percibido en la amortización del título. Una vez calculada la rentabilidad efectiva "i e" de la obligación bonificada, se calcula su rentabilidad financiera-fiscal resolviendo la siguiente ecuación: Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n) Se trata de calcular la rentabilidad nominal que tendría que ofrecer una obligación de las mismas características, que no ofreciera ventaja fiscal, para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva que en el caso de la obligación subordinada. En la ecuación anterior se aplica el mismo "i e" que se ha obtenido en la obligación bonificada. En esta ecuación la variable a despejar es I (o sea, los intereses que tendría que percibir para obtener la rentabilidad efectiva "ie").

62. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I) Ejemplo: Calcular la rentabilidad financiera-fiscal de una obligación de 10.000 ptas. de nominal y plazo de 5 años, con un tipo de interés del 8%, si se le aplica una retención del 1,25%, en lugar del 25% ordinario. El tipo impositivo del obligacionista es del 38%. Solución: Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada: Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Luego, 10.000 = ((1 - 0,0125) * 800 * Ao) - ((0,38 - 0,25) * 800 * d/Ao)

+ (10.000 * (1 + ie)^-5)

Los intereses (800) se han calculado multiplicando el nominal (10.000) por el tipo de interés (8%) Ao es igual a (1 - (1 + ie)^-5) / ie d/Ao

es igual a (1 + ie)^-1 * ((1 - (1 + ie)^-5)/ ie)

Luego, ie = 6,927%

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada es del 6,927% A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal: Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Luego, 10.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,38 - 0,25) * I * d/Ao) + (10.000 * (1 + 0,06927)^-5)

Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación

luego, I = 1.102,29 ptas.

Por

lo

tanto,

para

que

una

obligación

de

similares

características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (6,927%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 1.102,29 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 11,02% (= 1.102,29 / 10.000)

En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 11,02% (muy superior a su tipo nominal del 8%).

63. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II) Ejemplo: Se adquiere una obligación de 20.000 ptas. de nominal y plazo de 8 años, con un tipo de interés del 9% y retención del 1,25% (en lugar del 25% ordinario). Calcular su rentabilidad financiera-fiscal si: a) El tipo impositivo del obligacionista es del 30%. b) El tipo impositivo del obligacionista es del 40%. Solución: a) Tipo impositivo del 30%. Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada: Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Luego, 20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,30 - 0,25) * 1.800 * d/Ao) + (20.000 * (1 + ie)^-8)

Los intereses (1.800) se han calculado multiplicando el nominal (20.000) por el tipo de interés (9%)

Luego, ie = 8,473%

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada es del 8,473% A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:

Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)

Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,30 - 0,25) * I * d/Ao) + (20.000 * (1 + 0,08473)^-8)

Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación

luego, I = 2.407,32 ptas.

Por

lo

tanto,

para

que

una

obligación

de

similares

características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (8,473%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 2.407,32 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 12,04% (= 2.407,32 / 20.000)

En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 12,04% (muy superior a su tipo nominal del 9%). b) Tipo impositivo del 40%. Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada: 20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,40 - 0,25) * 1.800 * d/Ao)

+ (20.000 * (1 + ie)^-8)

Luego, ie = 7,633% A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal: Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,40 - 0,25) * I * d/Ao) + (20.000 * (1 + 0,07633)^-8)

luego, I = 2.500,01 ptas.

Por

lo

tanto,

para

que

una

obligación

de

similares

características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma rentabilidad efectiva (7,633%), tiene que ofrecer unos intereses anuales de 2.501,01 ptas., por lo que su tipo de interés nominal tiene que ser del 12,50% (= 2.501,01 / 20.000)

En este supuesto, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación bonificada es del 12,50% (muy superior a su tipo nominal del 9%).

64. Valoración de una inversión (I) Una inversión es una operación financiera definida por una serie de desembolsos que se estima que van a generar una corriente futura de ingresos. Existen diferentes métodos para valorar el atractivo de un proyecto de inversión, entre los que vamos a estudiar los siguientes: VAN: Valor actual neto Relación entre VAN e inversión TIR Pay back Pay back con flujos actualizados a) VAN Mide el valor actual de los desembolsos y de los ingresos, actualizándolos al momento inicial y aplicando un tipo de descuento en función del riesgo que conlleva el proyecto. Por ejemplo: no se asume el mismo riesgo invirtiendo en Deuda del Estado, en una compañía eléctrica o en una nueva empresa de Internet. Por lo tanto, para valorar estos tres proyectos hay que utilizar tasas de descuentos diferentes que reflejen los distintos niveles de riesgo. Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos flujos al momento inicial se utiliza la ley de descuento compuesto. Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar. Por el contrario, si el VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo. Ejemplo: Un proyecto de inversión exige un desembolso inicial de 10 millones ptas. y se espera que va a generar beneficios entre el 1º y el 6º año. El tipo de descuento que se aplica a proyectos de inversión con riesgos similares es del 10%. Calcular el VAN:

Flujo

Año

Desembolso

Ingresos

0

-10,000

0

- 10,000

-10,000

1

0

0,600

600* (1,1)^-1

0,545

2

0

1,000

1,000* (1,1)^-2

0,826

3

0

2,000

2,000* (1,1)^-3

1,502

4

0

4,000

4,000* (1,1)^-4

2,732

5

0

7,000

7,000* (1,1)^-5

4,346

6

0

3,000

3,000* (1,1)^-6

1,693

VAN

1,646

descontado

El VAN es positivo (1,646 millones de pesetas), luego la inversión es aceptable. Cuando hay varios proyectos alternativos de inversión se elige aquel que presenta el VAN más elevado, siempre y cuando sean proyectos que conlleven inversiones similares, ya que si los importes de las inversiones fueran muy diferentes, el criterio VAN es poco operativo, ya que no mide la rentabilidad obtenida por cada peseta invertida. b) Porcentaje VAN / Inversión Este método mide la rentabilidad que se obtiene por cada peseta invertida, con lo que soluciona la limitación que hemos señalado en el método VAN. Se elegirá aquel proyecto que presente este ratio más elevado. Ejemplo: Hallar el ratio "VAN/Inversión" del ejemplo anterior Ratio = Van / Inversión = 1,646 / 10,0 = 16,46% Por lo tanto, se obtiene una rentabilidad del 16,46% (es decir, 0,1646 ptas. de VAN por cada peseta invertida). c) Tasa de rendimiento interno (TIR)

Este método consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el VAN. Un proyecto es interesante cuando su tasa TIR es superior al tipo de descuento exigido para proyectos con ese nivel de riesgo. Ejemplo: Calcular la tasa TIR del ejemplo anterior y ver si supera la tasa de descuento del 10% exigible a proyectos con ese nivel de riesgo. VAN = 0 Luego, -10.000 + 0,600/(1+ie) + 1.000/(1+ie)^2 + 2.000/(1+ie)^3 +4.000/(1+ie)^4 +7.000/(1+ie)^5 +3.000/(1+ie)^6 = 0 Luego, ie = 14,045% Luego la tasa TIR de esta operación es el 14,045%, superior al 10%, luego este proyecto de inversión es interesante de realizar. Entre varios proyectos alternativos de inversión se elegirá aquel que presente la tasa TIR más elevada. De todos modos, si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgos muy diferentes, primero hay que ver hasta que nivel de riesgo se está dispuesto a asumir, y a continuación, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la tasa TIR más elevada.

65. Valoración de una inversión (II) d) Pay-back Mide el número de años que se tarda en recuperar el importe invertido. Se trata de calcular en que momento los ingresos percibidos cubren los gastos realizados. Ejemplo: Calcular el pay-back en el ejemplo que venimos analizando Año

Desembolso Ingresos

0

-10,000

0

1

0

0,600

2

0

1,000

3

0

2,000

4

0

4,000

5

0

7,000

6

0

3,000

El pay-back es de 5 años (a lo largo de este año se llega a recuperar los 10 millones invertidos). Este método de valoración presenta dos limitaciones muy importantes: a) No se actualizan los flujos de dinero (no tiene en cuenta el valor temporal del dinero), por lo que da el mismo tratamiento a cualquier importe con independencia de en qué momento se genera. b) Además, el Pay-back sólo se fija en los beneficios que hacen falta hasta cubrir el importe de la inversión, sin valorar los ingresos que se pueden producir después. Ejemplo: Se analizan 2 proyectos de inversión de 5 millones cada uno. El flujo de beneficios que genera cada proyecto se recoge en el siguiente cuadro. Aplicando el método del "pay back" ver cual sería el proyecto más interesante.

Periodo

Proyecto A

Proyecto B

0

-5,000

-5,000

1

2,000

0,500

2

2,000

1,000

3

2,000

1,500

4

2,000

2,000

5

4,000

6

8,000

Aplicando este método habría que elegir el proyecto A (se recupera el importe de la inversión más rápidamente), sin embargo el total de ingresos es notablemente superior en el proyecto B. De hecho, si se analiza el VAN (aplicando una tasa de descuento del 10%) y el TIR de ambos proyectos, el proyecto B es preferible: Proyecto A

Proyecto B

VAN

1,340

5,773

TIR

21,86%

30,57%

e) Pay-back (con actualización) El funcionamiento es el mismo que en el método del Pay-back, con la diferencia de que se actualizan los importes, superando, de esta manera, una de las limitaciones que presenta el método del "pay back". Sin embargo, sigue manteniendo la limitación de no valorar los ingresos que se originan después de haber recuperado el importe de la inversión. Ejemplo: Veamos el ejemplo anterior, aplicando una tasa de descuento del 10%:

Año

Proyecto A Importes

Proyecto B Importes actualizados

Importes

Importes actualizados

0

-5,000

-5,000

-5,000

-5,000

1

2,000

1,818

0,500

0,455

2

2,000

1,653

1,000

0,826

3

2,000

1,503

1,500

1,127

4

2,000

1,366

2,000

1,366

5

4,000

2,484

6

8,000

4,516

En el proyecto A se alcanza el pay back al comienzo del 4º año, mientras que en el proyecto B se alcanza a mitad del 5º año.

66: Valoración de una inversión: Ejercicio

Ejercicios: Se analizan 3 proyectos alternativos de inversión cuyos flujos de capitales se recogen en el siguiente cuadro:

Año

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

0

-10,000

-30,000

-15,000

1

+1,000

+10,000

+5,000

2

+2,000

+10,000

+10,000

3

+2,000

+10,000

-5,000

4

+2,000

+12,000

+2,000

5

+3,500

+5,000

6

+5,000

+2,000

7

+6,500

Las tasas de descuento estimadas para estos proyectos son las siguientes:

Tasa descuento

de

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

10%

14%

15%

Valorar y ordenar por preferencia estos proyectos utilizando los distintos métodos analizados.

Solución: Los resultados que se obtienen aplicando los distintos métodos de valoración son los siguientes:

Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

VAN

+0,426

+0,321

+0,559

VAN / Inversión

4,26%

1,07%

3,73%

TIR

11,15%

14,51%

16,36%

Pay back

4,9 años

3 años

5,6 años

5,8 años

3,9 años

6,8 años

Pay

back

(acualizado)

Se puede ver como los ordenes de preferencia son diferentes: Proyecto A

Proyecto B

Proyecto C

VAN

2º

3º

1º

VAN / Inversión

1º

3º

2º

TIR

Cumple

Cumple

Cumple

Pay back

2º

1º

3º

2º

1º

3º

Pay (acualizado)

back

El proyecto de inversión más interesante es el Proyecto A, ya que la relación VAN / Inversión es la más elevada (damos preferencia a este método de valoración).