Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

(MAT021) 1er Semestre de 2010

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N´ umeros Complejos

Se define el conjunto de los n´ umeros complejos como: C = {a + bi / a, b ∈ R , i2 = −1} Definici´ on 1.1. Sea z, w ∈ C tal que z = x + iy en donde x, y ∈ R. Se define: 1. La parte real de z, denotado por Re{z}, al n´ umero real x. Esto es Re{z} = x. 2. La parte imaginaria de z, denotado por Im{z}, al n´ umero real y. Esto es Im{z} = y. 3. z = w si Re{z} = Re{w} e Im{z} = Im{w}.

1.1

Operatoria

Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 con x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. Se define: 1. La suma de z1 y z2 como: z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). 2. La multiplicaci´ on de z1 y z2 como: z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )

Elemento Neutro para la Suma Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que z + e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la suma.

z+e =

(x + iy) + (e1 + ie2 )

=

(x + e1 ) + i(y + e2 )

=

x + iy

Esto quiere decir que x + e1 = x y que y + e2 = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la suma viene dado por e = 0 + i0 = 0.

Elemento Neutro para la Multiplicaci´ on Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que z · e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la multiplicaci´ on.

z·e

=

(x + iy) · (e1 + ie2 )

=

(xe1 − ye2 ) + i(xe2 + e1 y)

= x + iy Esto quiere decir que xe1 − ye2 = x y que xe2 + e1 y = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la multiplicaci´ on viene dado por e = 1 + i0 = 1.

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Elemento Inverso para la Suma Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que z + w = 0, es decir, que w es el elemento inverso para la suma.

z+w

=

(x + iy) + (w1 + yw2 )

=

(z + w1 ) + i(y + w2 )

=

0 + i0

Esto quiere decir que x + w1 = 0 y que y + w2 = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la suma viene dado por w = (−x) + i(−y). Este elemento ser´a denotado por “ −z ”.

Elemento Inverso para la Multiplicaci´ on Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que z · w = 1, es decir, que w es el elemento inverso para la multiplicaci´ on.

z·w

=

(x + iy) · (w1 + iw2 )

=

(xw1 − yw2 ) + i(xw2 + w1 y)

=

1 + i0

Esto quiere decir que xw1 − yw2 = 1 y que xw2 + w1 y = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la multiplicaci´ on viene dado por −y x +i 2 w= 2 x + y2 x + y2 Este elemento ser´ a denotado por “ z −1 = z1 ”. Se puede demostrar que (C, +, ·) cumple con los axiomas de cuerpo. Ejercicio 1.1. Encontrar las partes real e imaginaria de z 3 si z = x + iy con x, y ∈ R Ejercicio 1.2. Calcular i457 + i−245 + 2i200 + i

1.2

Conjugado y M´ odulo

Definici´ on 1.2. Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Se define el conjugado de z como z = x − iy. Notar que siempre se cumplir´ a que z + z = 2 Re (z) y que z − z = 2 Im (z) i. As´ı Re (z) =

z+z 2

y

z−z 2i A partir de esta definici´ on se tendr´ an las siguientes propiedades. Im (z) =

Propiedades 1.1. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que:

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1. z = z. 2. z + w = z + w. 3. z · w = z · w. 4. Si w 6= 0 entonces

z w




=

z w.

n

5. (z n ) = (z) . 6. Si z 6= 0 entonces z −1 =

z . z·z

7. z = z ⇔ z ∈ R. Definici´ on 1.3. Sea z ∈ C. Se define el m´ odulo de z (la norma de z) como |z| =

√

z · z.

p Notar que si z = x + iy con x, y ∈ R entonces se tendr´a que |z| = x2 + y 2 . Con esta observaci´on se puede concluir que Re (z) ≤ |z| y que Im (z) ≤ |z|. A continuaci´on se presentan algunas propiedades de la norma de un n´ umero complejo. Propiedades 1.2. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que: 1. |z| ≥ 0 y |z| = 0 ⇔ z = 0. 2. |z · w| = |z| · |w|. 2

3. |z| = z · z 4. |z| = |z| 5. Si w 6= 0, wz =

|z| |w|

6. ||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|.

1.3

Forma Polar de un N´ umero Complejo

Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R.

De aqu´ı se observa que x = R cos θ, y = R sin θ y R = |z| = partir de esto:

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p

x2 + y 2 . Adem´as se tendr´a que tan θ = y/x. A

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θ=

 y  arctan    x      y     arctan x + π

, si x 6= 0 ∧ z est´a en el primer o cuarto cuadrante , si x 6= 0 ∧ z est´a en el segundo o tercer cuadrante

 π     2         −π 2

, si x = 0 ∧ y > 0 , si x = 0 ∧ y < 0

Notar que z = x + iy = |z|(cos θ + i sin θ). Si se define cis θ = cos θ + i sin θ, entonces todo n´ umero complejo podr´ a ser expresado de la forma z = |z| cis θ. Propiedades 1.3. Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Entonces se tiene que: 1. z1 · z2 = |z1 | · |z2 | cis (θ1 + θ2 ). 2.

z1 z2

=

|z1 | |z2 |

cis(θ1 − θ2 ).

3. z1 = |z1 | cis(−θ1 ). 4. z1−1 =

1 |z1 |

cis (−θ1 ), si z 6= 0.

Ejemplo 1.1. Como ejemplo de una aplicaci´ on de esta forma de representar a los n´ umeros complejos, considere la funci´ on φ : C −→ C definida por φ(z) = iz. Esta funci´on representa una rotaci´ o n en el plano complejo. En efecto,
se tiene que z = |z| cis θ e i = cis π2 , luego φ(z) = |z| cis θ + π2 .

1.4

Teorema de Moivre

Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Si z1 = z2 entonces se tendr´a que |z1 | = |z2 | y que cis θ1 = cis θ2 . Por la igualdad de n´ umeros complejos se concluye que θ1 = θ2 + 2kπ con k ∈ Z. Teorema 1.1. Sea z ∈ C de modo que z = |z| cis θ, y n ∈ N. Entonces se cumple que z n = |z|n cis(nθ). La demostraci´ on de este teorema es por inducci´on sobre n. Una aplicaci´ on de este teorema es la obtenci´on de las ra´ıces n-´esimas de un n´ umero complejo (en particular, un n´ umero real). Para ilustrar esto primero se considerar´a un ejemplo y luego se dar´a una formulaci´on general. Ejemplo 1.2. Obtener las ra´ıces n-´esimas de la unidad. Resolver este problema es encontrar n n´ umeros w, de √ modo que wn = 1. Por notaci´ on se tendr´ a que w = n 1. Se tiene que w = |w| cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, wn = |w|n cis(nθ). Por hip´otesis tenemos que wn = 1 cis 0, luego se concluye que |w|n = 1 y cis(nθ) = cis 0. De aqu´ı: |w| = 1 y nθ = 2kπ con k ∈ Z. k=0

,

θ0 = 0

,

w0 = 1

k=1

,

θ1 = 2π/n

,

w1 = cis(2π/n)

k=2

,

θ2 = 4π/n

,

w2 = cis(4π/n)

.. .

. , ..

k =n−1

,

θn−1 = 2(n − 1)π/n

,

wn−1 = cis(2(n − 1)π/n)

k=n

,

θn = 2π

,

wn = 1

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. , ..

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Notar que para k = n se empieza a repetir la soluci´on. Luego las ra´ıces de la unidad vienen dadas por: wn = cis( 2kπ n ) con k = 0, 1, . . . , n − 1. Sea z ∈ C y n ∈ N. Se calcular´ a la ra´ız n-´esima de z, esto es, encontrar n n´ umeros w de modo que wn = z. n Se tiene que z = |z| cis θz y w = |w| cis θw . Por el teorema de Moivre, w = |w|n cis(nθw ). Luego |w|n = |z| y nθw = θz + 2kπ con k = 0, 1, . . . , n − 1. √ Las ra´ıces n-´esima de z, n z, vienen dadas por: p n

2

|z| cis

θz +2kπ n




con k = 0, 1, . . . , n − 1.

Ejercicios Propuestos 1. Exprese los siguientes n´ umeros complejos en su forma polar, y luego ub´ıquelos en el plano complejo. √ a) 2 − 2i b) −1 + 3i c)

√ √ 2 2 + 2 2i

d)

e)

√ −2 3 − 2i

f)

g)

7

h)

i)

3 + 3i

−i √

3 3i − 2 2

1+i

2. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los n´ umeros complejos. a)

z 4 + 8iz = 0

b)

z 4 + 2z 2 + 2 = 0

c)

z 3 + 3z 2 + z − 5 = 0

d)

9z 2 + 6(4 − 3i)z − (1 + 9i) = 0

e)

z3 − 1 + i = 0

f)

2z 4 + z 2 − z + 1 = 0 (ra´ız c´ ubica de la unidad es una ra´ız)

3. Calcule: √ 1 a) (2 3 − 2i) 2

b)

(−4 + 4i) 5

√ 1 (2 + 2 3i) 3

d)

(−16i) 4

c) e) g)

√ 3

8

√ 1 (−8 − 8 3i) 4

f) h)

1

1

√ 4 √

16

2i

4. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re(z) =

√

√ 3 Im(z) y que |z|2 + 3 z · z − 4 = 0.

5. Pruebe las siguientes identidades trigonom´etricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. 3 1 sin θ − sin 3θ. 4 4 1 1 3 4 (b) cos θ = cos θ + cos 2θ + . 8 2 8 (a) sin3 θ =

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