Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

1. 1.A 2.A 3.A

MATEMÁTICAS II

Calcula las siguientes integrales. Soluciones

∫e

5x

e5 x +C 5

dx

dx x +1 dx ∫ 4 + x2

∫ 1+

2 x + 1 − 2 ln( x + 1 + 1) + C

1  x arctan   + C 2 2 x sen 2 x − +C 2 4

4.A

∫ sen

5.A

∫x−

2 ln

6.A

∫

2 tan x + C

7.A

8.A 9.A 10.A 11.A

∫x

2

3x + 2 dx + 2x + 5

3x + 5 dx − 4 x + 13 x dx ∫ ex ex ∫ 1 + e2 x dx

∫x

2

∫ x sen(ln x ) dx x2 + 1 dx x

13.A

∫e

16.A

x dx

x dx x cos 2 x

∫

15.A

2

dx

12.A

14.A

Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

x

dx + e− x

dx x +1 x2 + 1 ∫ x 2 − 4 x + 5 dx 2 ∫ cotg x dx

17.A

∫

18.A

3x dx ∫ 9 + x2

x

)

x −1 + C

 x +1 arctan   3ln( x + 2 x + 5) 2   − +C 2 2  x−2 11arctan   2 3ln( x − 4 x + 13) 3   + +C 2 3 2

−( x + 1) ⋅ e − x + C arctan e x + C

2 x 2 ⋅ sen(ln x) x 2 ⋅ cos(ln x) − +C 5 5  x2 + 1 − 1  ln   + x2 + 1 + C   x   arctan e x + C

∫x

ln ( 2 x 2 )

(

 ln 2 2 ln x  dx = ∫  +  dx x   x

( 2 ln ( x + 1 − 1) − ln x + C = ln

)

x +1 −1 x

x + 2 ln( x 2 − 4 x + 5) + 4 arctan ( x − 2 ) + C − cotg x − x + C ln 2·ln x + ln 2 x + C

3ln ( x 2 + 9 ) 2

-1-

+C

2

+C

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

19.A

x2 + 1 ∫ x 3 − x dx

1.B

∫ cos 3x ⋅ e

2.B

∫

3.B

∫ 4+x

4.B

∫ 1 + sen x

5.B

∫x

6.B 7.B

2x

dx

x ln x dx x dx 2

dx

x+2 dx 2 +1 x+ x ∫ x dx 5x − 3 ∫ x 2 − 2 x − 3 dx

Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

MATEMÁTICAS II

 x2 − 1  ln  +C  x  e2 x ( 2 cos 3x + 3sen 3 x ) + C 13 2x x  2  ln x −  + C 3  3 2 ln( x + 4) +C 2 1 sen x − 1 tan x − +C = +C cos x cos x ln( x 2 + 1) + 2 arctan x + C 2 x+2 x +C

(

2

3

)

ln ( x + 1) ⋅ ( x − 3) + C 2

8.B

∫ x⋅e

9.B

∫x

10.B

∫

−x2

dx

3x − 2 dx 2 −4 x dx

1− x

2

11.B

x ∫ x 2 − 1 dx

12.B

∫ sen

13.B

∫

dx x −3 x

14.B

∫

x dx x −1

15.B

2 ∫ x arctg x dx

16.B

∫

2

ex − +C 2

x dx

ln x dx x2

17.B

∫x

18.B

3x + 1 ∫ x 2 + x + 1 dx

19.B

x dx ∫1+ x

1 + x dx

ln ( ( x − 2) ⋅ ( x + 2)2 ) + C

− 1 − x2 + C ln ( x 2 − 1)

+C 2 x sen 2 x 2 x − sen 2 x − +C = +C 2 4 4

2 x + 3 3 x + 6 6 x + 6 ln

(

6

)

x −1 + C

2( x + 2) x − 1 +C 3

ln( x 2 + 1) x 3 arctan x x 2 + − +C 6 3 6 1 + ln x − +C x 2(3 x − 2) ( x + 1)5 +C 15  3(2 x + 1)  3ln( x 2 + x + 1) 3 − arctan   + C 2 3 3  

2 x −x+

-2-

2 x3 − 2 ln 3

(

)

x +1 + C

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero 1.C

∫e

2.C

∫

x

cos ex dx

sen e x + C

sen x dx x ex − 3e2 x ∫ 1 + ex dx 1 − ln x ∫ x ln x dx

 ln x  ln  +C  x 

5.C

∫e

2e x ( x − 1) + C

6.C

∫x+

7.C

x−2 ∫ x 2 + 5 dx

3.C 4,C

8.C

x

dx x

∫

dx x

2x

e

9.C

∫ ( x − 2)

10.C

∫ ln x dx

11.C

∫x

12.C

∫ sen

13.C

∫ x( x + 1)

14.C

2 ∫ 2 x ln x dx

15.C

∫1+ 2

16.C 17.C 18.C 19.C

2

dx

2 ln

(

)

x +1 + x − 2 x + C

 5x  ln( x 2 + 5) 2 5 arctan  −  + C 2 5  5  2x

)

−1 + C

ln( x − 2)2 −

5 +C x−2

x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C

x−3 dx + 4x

2

x cos x dx

dx

2

3 dx e

7 ln( x + 4) 3ln x − +C 4 4 sen 4 x +C 4 1 ln x − ln( x + 1) + +C x +1

x 2 ln 2 x − x 2 ln x + 6 ln

−x

ln x ∫ x dx 3 dx ∫ 9 + x2 5x + 2 ∫ 1 + 2 x 2 dx dx

∫

2 ln ( e x + 1) − e x + C

2 e

x 2x + 1

3

−2 cos x + C

(

dx

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MATEMÁTICAS II

a − bx 2

(

x2 +C 2

)

ex + 2 + C

ln 2 x +C 2  x arctan   + C 3 5ln(2 x 2 + 1) − 2 arctan 4  b  1 arcsen  x  + C a b  

-3-

(

)

2x + C

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Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

MATEMÁTICAS II

ex . 2. Halla la función F (x ) tal que F (0) = 2 y sea primitiva de la función f ( x ) = x e +1 ′ ex Se trata de encontrar la integral I = ∫ x dx. Como e x + 1 = e x , es inmediata: e +1 ex F ( x) = ∫ x dx = ln e x + 1 + C e +1

(

)

(

Se nos pide concretamente F ( x )

)

F (0) = 2 ⇔ ln 2 + C = 2 ⇔ C = 2 − ln 2.

ex dx = ln ( e x + 1) + 2 − ln 2 x e +1 e2 , con lo que la función buscaO bien, como 2 = ln e 2 , C = 2 − ln 2 ⇔ C = ln e 2 − ln 2 ⇔ C = ln 2 e2 x da también se puede expresar como: F ( x) = ln e + 1 + ln 2 F ( x) = ∫

(

)

2

3. Encuentra la primitiva de f ( x ) = (ln x ) que se anula en x = e . También ahora se trata de encontrar las primitivas de una función, en este caso F ( x ) =

∫ (ln x ) dx , 2

que se hace por partes: 1 u = ln 2 x ⇒ du = 2 ln x dx ⇒ F ( x) = x ln 2 x − 2∫ ln x dx x 

 dv = dx ⇒ v = x I1

Aplicando a I1 el método de integración por partes: u = ln x ⇒ du =

1 dx ⇒ I1 = x ln x − ∫ dx = x ln x − x x

dv = dx ⇒ v = x

F ( x ) = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x + C La constante la determinamos imponiendo que F (e) = 0 ⇔ e − 2e + 2e + C = 0 ⇔ C = −e , con lo que definitivamente: F ( x) = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x − e

(

)

4. Calcular f (x ) de forma que f ′( x ) = x ln x 2 + 1 y que f (0) = 0

(

)

f ′( x ) = x ln x 2 + 1 ⇒ f ( x ) = ∫ x ln(x 2 + 1)dx , que podemos hacer por partes: u = ln ( x 2 + 1) ⇒ du = 2

dv = x dx ⇒ v =

x 2

2 x dx x2 + 1

(

)

x 2 ln x 2 + 1 x3 ⇒ f ( x) = −∫ 2 dx 2 x +1

-4-

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Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

MATEMÁTICAS II

Esta nueva integral es una racional con el grado del numerador mayor que el del denominador, por lo que es preciso hacer la división: x3 x x3 x x 2 ln x 2 + 1 x dx x dx = − ⇒ = − dx = − ⇒ ∫ x2 + 1 ∫ ∫ x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 2 2

(

f ( x) =

x 2 ln ( x 2 + 1)

2 f (0) = 0 ⇒ C = 0

)

2 2 2 x 2 ln ( x + 1) − + + C ⇒ f ( x) = ( x + 1) ⋅ ln ( x + 1) − x 2 2 2

2

5. La gráfica de una función f pasa por (1,1) y además f ′(1) = 2 . Si se sabe que su derivada segunda es la función g ( x ) = 2 , encuentra razonadamente la expresión de f (x ) Como sabemos que f ′′( x ) = g ( x ) = 2 , por sucesivos procesos de integración, e imponiendo las condiciones del enunciado, encontraremos la función f (x ) . f ′′( x ) = 2 ⇒ f ′( x ) = ∫ 2 dx = 2 x + C1 f ′(1) = 2

⇒ 2 + C1 = 2 ⇒ C1 = 0 ⇒ f ′( x ) = 2 x

f ′( x) = 2 x ⇒ f ( x) = ∫ 2 x dx = x 2 + C2 Pasa por (1,1) ⇒ f (1) = 1

⇒ 1 + C2 = 1 ⇒ C2 = 0 ⇒ f ( x ) = x 2

6. Determina f (x ) sabiendo que f ′′′( x ) = 24 x , f (0) = 0 , f ′(0) = 1 y f ′′(0) = 2 . f ′′ (0) = 2⇒ C1 = 2 ∫ → f ′′ ( x ) = 12 x 2 + C  ∫→ f ′′′( x ) = 24 x  → f ′′ ( x ) = 12 x 2 + 2  1

f ′ (0) =1⇒ C2 =1 ∫→ f ′ ( x ) = 4 x 3 + 2 x + C2  → f ′ ( x ) = 4 x 3 + 2 x + 1 

f (0) = 0⇒C3 = 0 f ( x ) = x 4 + x 2 + x + C3  → f ( x ) = x4 + x2 + x

7. Encuentra una función F (x ) que verifique x 5 ⋅ F ′( x ) + x 3 + 2 x = 3 para x ≠ 0 . ÷ x5 ∫ → F ( x) = 1 + 2 − 3 + C x 5 ⋅ F ′( x) + x 3 + 2 x = 3 ∀x ≠ 0 → F ′( x ) = − x −2 − 2 x −4 + 3x −5  x 3x 3 4 x 4 La función pedida es cualquiera de este tipo.

8. Halla la ecuación de la curva y = f (x) sabiendo que pasa por el punto (1,1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x es m = 3 x + 1 . Darnos la pendiente de la tangente a la curva en un punto genérico x equivale a darnos la función derivada: 3x 2 m = 3 x + 1 ∀x ⇔ f ′( x ) = 3 x + 1 ⇒ f ( x ) = + x+C, 2 De todas estas funciones se nos pide aquella cuya gráfica pasa por (1,1) , es decir, que f (1) = 1. -5-

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Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

3x 2 5 3 −3 +x− f (1) = 1 ⇔ + 1 + C = 1 ⇔ C = ⇒ f ( x) = 2 2 2 2 9. Encuentra la primitiva de la función f ( x) =

1 cuya recta tangente en el punto de abscisa x ln x

x = e pasa por el origen de coordenadas. ′ ln x ) 1 ( dx 1x f ( x) = ⇒ F ( x) = ∫ = dx = ∫ dx ⇒ F ( x ) = ln (ln x ) + C x ln x ∫ ln x ln x x ln x La tangente en x = e de cualquiera de estas funciones, es de la forma: 1 x−e x t : y − F (e) = F ′(e)(x − e ) y como F ′(e) = f (e) = , t : y = + F ( e) = − 1 + F (e ) . e e e Esta recta t pasará por el origen cuando el término independiente de su ecuación, es este caso F ( e ) − 1, es cero. F (e) = 1 ⇔ ln ( ln e ) + C = 1 ⇔ C = 1 . La función buscada es:

F ( x) = ln (ln x ) + 1

10. Halla la ecuación de la curva y = f (x) que cumpla f ′′( x ) = 4 , y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 3 tiene por ecuación y = 9 x − 13 f ′′( x ) = 4 ⇒ f ′( x ) = 4 x + C1 t3 ≡ y = 9 x − 13 ⇒ f ′ ( 3) = 9

⇒ 12 + C1 = 9 ⇒ C1 = −3 ⇒ f ′( x) = 4 x − 3

∫ → f ( x ) = 2 x 2 − 3x + C f ′( x ) = 4 x − 3  2

El hecho de que la tangente sea la recta y = 9 x − 13 no solo nos permite conocer la pendiente, también sabemos que el punto ( 3,14 ) es el punto de tangencia, y en consecuencia f ( 3) = 14 f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + C2 f ( 3) = 14

⇒ 9 + C2 = 14 ⇒ C2 = 5 ⇒ f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 5

11. ¿Existe alguna función f (x ) tal que f ′′( x ) =

1 y que f (0) = 2 y f (3) = 3 ? ¿Y que x −1

f ( 2) = 2 y f (5) = 3 ?

La función f (x ) , en caso de existir, sería de la forma: 1 dx −1 2 12 ∫ → f ′( x ) = ∫→ f ′′( x) =  = ∫ ( x − 1) dx = 2 ( x − 1) + C  ∫ x −1 x −1 12

f ( x ) = 2 ∫ ( x − 1) + C ∫ dx =

4 ( x − 1) x − 1 4 32 + Cx + D ( x − 1) + Cx + D ⇔ f ( x ) = 3 3

Ninguna de esta funciones verifica la condición f ( 0 ) = 2, porque 0 ∉ D f . Para que se verifique la segunda condición debe ocurrir: -6-

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Integral indefinida. Cálculo de primitivas EJERCICIOS

4 −25 + 2C + D = 2 C= 3 9 ⇒ 32 56 f (5) = 3 ⇔ + 5C + D = 3 D= 3 9 1 La función cuya segunda derivada es f ′′( x ) = y que cumple que f ( 2) = 2 y f (3) = 3 es: x −1 f (2) = 2 ⇔

f ( x) =

4 ( x − 1) x − 1 25 x 56 − + 3 9 9

-7-