5. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial con base b. Es decir, el logaritmo de base b de un número x es el exponente al cual debe elevarse la base b para obtener el mismo número x. Notación: el logaritmo en base b de x se escribe: logb x. Ahora podemos definir el logaritmo con símbolos: y = logbx ⇔ by =x. Por ejemplo, sabemos que 23 = 8, luego log28=3. Observe que el hecho que una función de la inversa de otra, significa que la acción que una de ellas realiza sobre un número, la otra función elimina esa acción, es decir: logb(bx )=x , o bien b logb x = x Sabemos que hay dos bases importantes: e y 10. Los logaritmos con base e se llaman logaritmos naturales o neperianos y de denotan por lnx. Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos vulgares o de Briggs, y se denotan por logx. Se tienen las siguientes relaciones, que no deben olvidarse jamás. ln(ex ) = x = elnx .

x(t)

Ud. puede deducir que el logaritmo se calcula sólo para números positivos y que, para cualquier base, el logaritmo de 1 siempre es cero, como puede deducirse de la Fig.12.

1

t

Figura 12. La función logaritmo Las propiedades de la función logaritmo de cualquier base, son: logb (t1 t2) = logb (t1) + logb (t2) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2 t log b  1 t2

  = log b ( t 1 ) − log b ( t 2 ) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2 

9

logb (tn) = n log b (t) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t. Las calculadoras electrónicas de bolsillo tienen incorporado el cálculo de las funciones exponenciales de base e y 10, y los logaritmos en estas mismas bases. Para calcular el logaritmo en otra base b, distinta de e y 10, se debe recurrir a la siguiente fórmula de cambio de base: Supongamos que queremos calcular logb (N), conociendo logax para cualquier x, entonces sea y= logb(N), de modo que by = N (nuestra incógnita sería y). Tomando logaritmo con base a a esta última igualdad, resulta loga (by ) = loga (N), es decir, yloga (b) = log a (N) por lo tanto, log a N y= log a b Ud. puede usar esta fórmula para a=e o bien para a=10. EJEMPLOS: 1. Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias, durante los primeros instantes, tiene un comportamiento exponencial. Es decir, si x0 es el población inicial de bacterias, entonces a tiempo t, el número de bacterias sería: x(t)= x0ekt siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique?. SOL: Desconocemos el valor de t en la expresión x(t) = 2x0 = x0ekt . Simplificando x0, queda 2 = ekt Tomando logaritmo natural en ambos lados de esta igualdad, y recordando las propiedades de las funciones exponenciales, resulta ln (2) = kt es decir, ln 2 t= k En particular, si k= 0,4 para un tipo de bacterias y el tiempo se mide en horas, entonces la población se duplica en ln 2 t= ≈ 1,73 horas. 0,4 2. (Tiempo de vida media de una sustancia radioactiva). En un proceso radioactivo simple, se sabe que el número de átomos que sobreviven en un instante t está dado por: x(t) = x0e-kt siendo x0 en número inicial de átomos, y k >0 es la constante de decaimiento. Se define el tiempo de vida media (t ½ ) de la sustancia radioactiva, al instante en queda la mitad de la cantidad inicial. Este valor puede calcularse fácilmente. En efecto, Desconocemos t en la expresión ½ x 0 = x0e-kt Tomando logaritmo natural, resulta 10

0,6931 k

t½ =

3. (Determinación de edad de fósiles). El carbono 14 (C14) es un isótopo radioactivo del carbono ampliamente usado para fechar fósiles. El dióxido de carbono en el aire contiene C14 así como C12 , que es un isótopo no radioactivo. Los científicos han encontrado que la razón C14/C12 en el aire ha permanecido prácticamente constante. Las plantas vivas absorben dióxido de carbono de la atmósfera, y así la razón C14/C12 en una planta viva es la misma que hay en el aire. Cuando la planta muere, la absorción del dióxido de C12 en la plante permanece, mientras que el C14 decrece y la razón C14/C12 decrece exponencialmente. La razón C14/C12 en un fósil t años después de que estuvo vivo es aproximadamente R(t)=R0e-kt ln 2 donde k= 5730 y R0 es la razón C14/C12 en la atmósfera. Los científicos pueden estimar la edad del fósil comparando R(t) con R0. Veamos un ejemplo: Un arqueólogo ha encontrado un fósil donde la razón C14/C12 es de la razón encontrada en la atmósfera. ¿Cuál es la edad aproximada del fósil?. SOL: La edad del fósil es el valor de t para el cual R(t)= R 0=R0e-kt . De donde =e-kt . Tomando logaritmo natural, resulta ln( 0,125 ) t= −k ln 2 y como k= 5730 , entonces t=

5730 ln( 0,125 ) = 17 .190 años . − ln( 2 )

Ejercicios: 1. Un cultivo de la bacteria Escherichia coli crece en un medio de sales inorgánicas y glucosa. La población inicial es de 106 bacterias por mm3, crece exponencialmente con k= 0,8 y el tiempo se mide en horas. a) Hallar una expresión matemática del comportamiento de esta población b) ¿En qué instante la población se triplica?. 2. Un cultivo de levadura crece a tasa exponencial. La población de este cultivo se duplica al cabo de 3 horas. Hallar la constante de crecimiento k. 3. Un estudiante de Medicina observando el crecimiento de un cierto cultivo de bacterias ha reunido los siguientes datos: Número de minutos

0

20

Número de bacterias

6000

9000.

Hallar una expresión matemática que de cuenta del comportamiento en el tiempo de esta bacteria. 4. El radio isótopo I21 con el que se examina el funcionamiento de la glándula tiroides tiene una constante de desintegración k=0,150. Si se introduce un trazador de 4 unidades de isótopo vía iv, ¿cuál es la vida media de este isótopo?

11

5. Verifique que la vida media del estroncio 90 es de 28,408 años sabiendo que su constante de decaimiento es k=0,0244. 6. Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Cuánto tardará una muestra de 50 gramos de radio en reducirse a 5 gramos?. 7. En el agua común se encuentran iones libres de hidrógeno y oxhidrilo. Denotemos por x e y, respectivamente, sus concentraciones en términos de moles por litro. Supongamos que xy=10-14 en una cierta muestra de agua. La acidez se define por log 1x . a) En esta muestra se encuentra que la acidez es 3,8. Hallar la concentración de iones oxhidrilo b) Si el rango normal de acidez en la sangre es 7,35 – 7,45. ¿Cuál es el posible rango de concentración iones hidrógeno en la sangre?. 6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Cuando decimos que f es una función, estamos diciendo que f representa una relación entre dos variables, digamos x e y; variables que son números reales. Cuando hablamos de funciones trigonométricas, la variable independiente x representa la medida de un ángulo. Es común medir ángulos en grados, pero necesitamos que estos grados correspondan a números reales. Es decir, ¿podemos medir ángulos de modo que el resultado sea un número real?. La respuesta es sí: la unidad se llama radián. Para establecer las equivalencias entre ángulos medidos en grados y en radianes, se parte de la igualdad: 360 grados = 2π radianes. Como π ≈ 3,14159, entonces 3600 ≈ 6,28318 (un número real) y así, 1800 ≈ 3,14159; 900 ≈ 1,57079 , etc. etc. Por lo tanto, tenemos el siguiente acuerdo: cuando el ángulo de una función trigonométrica se escriba con una letra, por ejemplo x, entenderemos que ese ángulo x está medido en radianes. 6.1. Las funciones seno y coseno Las funciones seno de x (senx) y coseno de x (cosx) tienen una muy importante propiedad: ser periódicas. Esto significa que la forma del gráfico se repite continuamente cada cierto intervalo. Esto puede expresar matemáticamente como: Una función f(x) es periódica de período T si f(x+T)= f(x) para todo número real x. En Medicina y en Biología hay numerosas funciones periódicas, cuya forma recuerda a una de éstas dos curvas; aunque deberíamos decir casi-periódicas, dado que la longitud del intervalo T pude cambiar levemente, piense Ud. en una función que represente la presión arterial, que presentamos en la Fig. 13; en este caso, el intervalo T es la duración del ciclo cardiaco. Las curvas que tienen la forma de seno-coseno se llaman curvas sinusoidales.

12

pressure (mmHg)

145 140 135 130 125 120 115 23

123

223

time (s)

Figura 13. Cinco pulsos de presión arterial tomados a 1 cm de la válvula aórtica con una tasa de muestreo de 100 Hz, es decir, 100 muestras por segundo. En la Fig.14, presentamos las gráficos de las funciones seno y coseno; observamos que éstas toman todos los valores entre –1 y 1, ambas son periódicas de período 2π, pero mientras que el seno en 0 es cero, coseno en 0 es 1. Por la periodicidad, sen(2π)=0 y cos(2π)=1, etc... En π/2 el seno es 1 y el coseno es 0, etc Funciones seno y coseno

sen(t)

cos(t)

Figura 14. sen(t) , cos(t) i) Cambio de amplitud: Si estas curvas se multiplican por un número, digamos a, entonces los gráficos, conservando la forma, se estiran o se acortan según a>1 o a0 entonces f(x+c) está desplazada hacia la izquierda, y si c0 la traslación será la izquierda, en caso contrario, a la derecha. Veamos un ejemplo: Hacer el gráfico de f(x) = 2sen(3x- π3 ). SOL: Luego, a=2, b=3 y c= π3 , es decir, la amplitud es 2, el período es

2π b

=

2π 3

y la fase es

= π 3/ 3 = π6 , y como tiene el signo negativo, el gráfico está desplazado hacia la derecha. En la Fig.17, mostramos el gráfico de esta sinusoide: c b

Figura 17. Gráfico de la función f(x) = 2sen(3x- π3 ). 6.2 La función tangente: Se define la tangente de un ángulo t como el cuociente entre sen(t) y el cos(t), es decir, sen(t ) tg(t)= , cos(t ) Observe que la tg(t) no está definida en los múltiplos impares de π/2, pues en esos puntos se anula cos(t). Otras funciones trigonométricas, de escaso interés en Medicina son: cosecante, secante y cotangente, que son las funciones recíprocas de seno, coseno y tangente. NOTA: Si durante el desarrollo del curso surgieran otros tipos de funciones, entonces las estudiaremos cuando así se requiera. 15