MATEMÁTICA

1 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

POLINOMIOS EN R EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es un conjunto de números y letras, enlazadas por cualquiera de las cuatro operaciones, además de la potenciación y radicación. EJEMPLO: −

2 x; 3

2y + 4 ;

x;

a 2 + 2ab + b 2 ;

x2 − y2;

etc.,

TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es un conjunto de números y letras donde no existen las EJEMPLO: 10 x 2 ;

operaciones de suma o resta.

12,5;

1 xy; 2

0,4a 2b3c 4 ;

etc., Todo problema contiene la semilla de su propia solución

PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:.- Se tiene: Signo

M

Exponente

IA L.

Coeficiente

CO

− 6x 3 y 2

GE N

Variables o Parte literal

Además: Toda variable consta de signo positivo, coeficiente uno, exponente uno y está

una

UN DO

POLINOMIO:-Es

x = 1.

x = +.x 1

dividido entre la unidad. Así.

expresión

algebraica

finita

de

x 1

la

forma:

.M

a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n

W

W

Donde n ∈ N; a 0 ; a1 ; a 2 ;...; a n son números reales (coeficientes) y a 0 recibe el nombre de

W

términos independientes.

CLASES DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS 1.

Monomios.- Consta término algebraico.

de

POR EL GRADO

un solo 1. Grado Absoluto de un Monomio.- Es la suma de todos los exponentes del − 6ab 2 monomio. 4ab 2 c 5 Es de octavo término 1+2+5 = 8

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

2 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

2. Bimonio.- Consta de dos términos o 2. Grado Relativo de un Monomio.- Es el exponente que tiene cada una de sus monomios. x 2 − 3x letras. 2 x 3 y 4 con respecto a x es de tercer grado. Con respecto a y es de cuarto grado 3. Trinomio.- Consta de tres términos o 4. Grado Absoluto de un Polinomio.- Es el 1 monomio de mayor grado. monomios. − 3 x + 0 ,5 x 2 2 2a 2 x 3 y 4 − y10 + a 6 Con respecto a todas sus letras es de décimo grado

CO

M

5. Polinomio.- Los polinomios que tienen 5. Grado Relativo de un Polinomio.- Es el de tres términos se les nombra por el mayor exponente que tiene dicha letra número de términos. del polinomio. 2b 2 x 3 y 4 − y 10 + b 6 1 x4 + x3 + x2 − x − , Con respecto a “b” , es de sexto grado 2 Con respecto a “x” es de tercer grado

IA L.

se llama:

Polinomio de 5 términos.

Con respecto a “y” es de décimo grado

GE N

Nota: Los polinomios de grado cero, se llama constantes: Ejemplos 1 0 1 x = ; 2 2

3a 0 = 3 ;

UN DO

− 23y 0 = −23

Si los exponentes de las variables son negativas: son expresiones algebraicas fraccionarias. x −1 =

1 ; x

a −1 =

.M

Ejemplos

1 ; a

‫ି ݕ‬ଷ ൌ

ଵ ௬య

W

POLINOMIOS COMPLETOS Y ORDENADOS.- Según el exponente de una variable, un

W

W

polinomio se ordena en forma creciente o decreciente.
En forma creciente con respecto a X

: :


En forma decreciente con respecto a xy

:

4 x 0 + 2 x − 4 x 2 + 0,8 x 3 − 6 − 6 x + 7 x 2 − 5,8 x 3 −

1 4 x ; 2

2 4 x + x5 5

x 3 y 3 − 4 x 2 y 2 − 0,8xy − 4


En forma decreciente con respecto a “x” y creciente con respecto a “y”:

x 3 − 3 x 2 y + 4 xy 2 − y 3 POLINOMIOS INCOMPLETOS Y ORDENADOS.- Se tiene: En forma creciente respecto a “b”

:

En forma decreciente con respecto a “y” :

4 − b 2 − 3b 4 +

4 7 b 5

y 6 − y 5 + 5y 4 + y 3 − 3y 2

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

3 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

EJERCICIOS COLOCAR VERDADERO (V) O FALSO (F) DESPUÉS DE ANALIZAR CUIDADOSAMENTE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1) La siguiente expresión − 0 ,9 x 0 , es un binomio

(

)

2) Los términos y 4 − 16 , son conocidos con el nombre de trinomios.

(

)

3) Los monomios, binomios y trinomios son polinomios

(

)

4) Si un polinomio tiene 16 términos, entonces se le conoce con el nombre de polinomio de 16 términos.

(

)

5) Dado el monomio 12 x 5 y 5 , el grado con respecto a la letra y es de noveno grado )

(

)

M

6) Se tiene el término x 2 y 5 z 4 , el grado con respecto a todas sus letras es 11

(

CO

7) Se tiene el polinomio mn 2 − 4m 3 + 1, el grado con respecto a “m” es 4 y con respecto a “n”

IA L.

es 2.

8) Dado el trinomio x 3 + 2 xy + y 4 , el grado con respecto a todas sus letras es 4

(

)

(

)

GE N

9) El polinomio 3 + a + a 2 − a 3 , es completo y ordenado en forma ascendentemente. )

10) El polinomio x 5 + x 3 + x 2 + 1, es incompleto y ordenado en forma descendente. (

)

11) El polinomio − 3x 2 + x − 2 es opuesto de 3x 2 + x − 2

(

)

12) Un polinomio puede tener dos variables.

(

)

.M

UN DO

(

(

)

W

W

W

13) Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes

14) El grado absoluto de un monomio está dado por la suma de los exponentes de las variables

(

)

15) Tratándose de un monomio, el grado absoluto es igual al grado relativo

(

)

16) Si ( −4a 2 x 3 )(P) = 8a 2 x 4 y 2 entonces P = −2xy 2

(

)

(

)

(

)

(

)

17) x ⋅ x n

18)

m

= x n ⋅m

xn = xn−m m x

19) Todo polinomio puede ordenarse en forma creciente o decreciente

20) Sólo existe el valor numérico de un polinomio que tiene una sola variable ( ) 21) Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva ( ) 22) Un polinomio es homogéneo si todos su términos son del mismo grado relativo( ) “La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

4 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

23) Un polinomio es homogéneo si todos su términos son del mismo grado absoluto(

)

24) Cuando un polinomio es constante, tiene grado cero

(

)

25) El grado absoluto de un polinomio está dado por el término de mayor grado 26) Dos términos son semejantes si tienen los mismos coeficientes 27) Un polinomio es homogéneo si sus coeficientes son iguales

( ( (

) ) )

28) ( −5x 2 y ).( −4 y 7 ) = 20 x 2 y 8

(

)

29) ( −5x 2 y 2 ).(8xy 7 ) = −40 x 2 y 9

(

)

30) ( 6a 7 b 9 ).( −4b 2 a 7 ) = 20a 9 b16

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

33)

2

= 5x 3 y 4

− 81x 8 y 2 − 9x y 2

2

− 48y 8 x 2 2

6x y

2

= 9x 6 y 4

M

− 9x y 2

CO

32)

45x 5 y 6

= −8x 4 y 6

IA L.

31)

GE N

34) − 34x 4 − 89x 4 = 123x 4 35) − 34x 6 − 89x 6 = −123x 6

UN DO

36) 34x 4 − 89x 4 = −55x 4 37) − 34x 4 + 89x 4 = −55x 4

.M

38) 34x 4 + 89x 4 = −123x 4

W

39) − 34 x 4 y 8 − 89 y 8 x 4 = −123 x 4 y 8

W

40) La siguiente expresión ( 2 x + 5).( x − 4).(3x − 9) , tiene 6 factores

W

DETERMINAR EL GRADO DE CADA UNO DE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES, CON RESPECTO A UNA LETRA.

8x 2 y 5 z 3

x, es de 2do grado

y,

es de 5to. grado

z,

es de 3er. grado

1 2 3 4 a b c − a 3b 5 2

a3 − b3 a 2 − 2ab + b 2 xy 2 + 2 x + y 3 z 6

− 30a 4 b 6 c 12 DETERMINAR EL GRADO ABSOLUTO DE CADA UNO DE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES:

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

5 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

4 x 4 − 2 xy + z 3

Es de 4to. grado

JRC

1,5 abc + 5 a 2 b 0

1 2 3 4 a b c − a 3b 5 2

3 xyz − x 2 y + y 7 4

a3 − b3

3 x 2 y 4 z 10

a 2 − 2ab + b 2

6 x 3 y 2 z − 2,3y 2 z 3

xy 2 + 2 x + y 3 z 6

n8 − n 6 + n 4 + n 2 − 1

− 30 a 4 b 6 c 12

x 2 − x3 + y6 − z5

Es de 6to. Grado.

ORDENAR EN FORMA DESCENDENTE Y ASCENDENTE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS:

CO

M

3 x 2 + 0,5 x − x 3 − x + 1

IA L.

2 x 0 − xy + +5 x 3 y 3 − x 2

GE N

a 4 − 10a 2 + 5 + a 3 + a 5 2 + z3 + z 2 − z 4 + z8

UN DO

m 2 − mn − m 3 + m 5 + m 7

.M

x n +1 − x n +1 + 2 x n + 2 + 5

W

W

ORDENAR EN FORMA DESCENDENTE:

W

x 4 y + x 12 − 10 x 2 − 2 x 5 + 18 x 3 y − x 10 − 5 x 2 y + 15 x 7 − 0,2 x 6

5 x 7 + 3x 2 + 2 − 5 x 3 + 3x − 5x 4 − x 6 + x 5

x 4 + 0 x 3 y + 0 xy 3 + 0 x 2 y 2 + y 4

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO EN R.- Se reemplazan las letras por los valores dados en el polinomio, luego se efectúan.

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

6 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

para: m =

EJEMPLO: 1) Hallar el Valor numérico de: 10m 2 n3 ;  −1 SOLUCIÓN: Se tiene: 10m n = 10   2 

2

2 3

( 3)

3

( )

 

 . 

E=

(

E=

(0)2 .(0)2

4

y = 16;

 y 

x −

)( 2

= 0 =0

)

2

m = 1;

 y 

x −

n

n=2

n

 16  

256 −

256 − 4 . 8 256 − 4 16

 . 

2

CO

1+1  256 − 16  .  

m +1

=

(4 − 4)2 .(2 − 2)2

IA L.

E =  

y  

GE N

SOLUCIÓN:

m+1

( )

x −

Para: x = 256;

x − y  

n= 3

10 5 15 1 = 10 . 27 =  3.3 2  = (3) 3 = . 3  2 4 2 4

EJEMPLO: 2) Hallar el valor numérico de: E =

E =  

−1 ; 2

JRC

M

MATEMÁTICA

UN DO

E = 0 Respuesta.

TÉRMINOS SEMEJANTES.- Son aquellos términos que tienen igual variable y exponentes. Se

.M

les conoce también con el nombre de monomios semejantes.

W

W

EJEMPLOS: son semejantes: − 4 x 4 y 3 ;

4 4 3 x y ; 5

− 0,9 x 4 y 3 z 0 ;

− x 4 y 3 ; etc.

W

Nota: Sólo los términos semejantes se pueden sumar o restar entre sí. Así: − 4x 4 y 3 +

4 4 3 x y + ( −0,9 x 4 y 3 z 0 ) + ( − x 4 y 3 ) = 5

− 4 x 4 y 3 + 0,8x 4 y 3 – 0,9 x 4 y 3 (1) – x 4 y 3 = ( −4 + 0,8 − 0,9 − 1)x 4 y 3 = − 5,1x 4 y 3

OPUESTO DE UN POLINOMIO.- Son términos semejantes iguales, pero de distinto signo, cuya suma es cero. Ejemplo: 1) El opuesto de 5xy 2 es − 5xy 2

2) El opuesto de − 5x 7 es

5x 7

EJERCICIOS COLOCAR VERDADERO (V) O FALSO (F) DESPUÉS DE ANALIZAR CUIDADOSAMENTE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 1)

Si x = – 3; y = 0,3 ; z = 0 , entonces x 2 + y + z = 9,3

(

)

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

7 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

2)

Dados: m 2 = 4, n = – 3, luego: m 2 + n 2 = −12

(

)

3)

Si a 2 = b 2 y

(

)

4)

Si a = –10, b = 0,1 , c = −

(

)

5)

Los siguientes términos

(

)

6)

Los monomios 3,5ab 2 c ;

no son semejantes

(

)

7)

Si se tiene dos monomios semejantes opuestos, no se pueden reducir

(

)

8)

Si se tiene los monomios 5x 2 y 2 z − 4,5x 2 y 2 z , la reducción es 0,5x 2 y 2 z

(

)

9)

El monomio opuesto de 3a 2 bc 2 es − 3a 2bc 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= 5x 2 y z − 2

(

)

20) ( 20 z 3 x 7 y 5 ).(5x 2 y 6 z −7 ) = 100 x 9 y 11 z −4

(

)

b 2 = 13 , entonces: a = 13 (a)(b) 6 5 entonces =− c 6 5 0,9 xy 2

4ab 2 c ;

son semejantes

2 2 b ac 4

CO

10) El polinomio opuesto de x 2 − y 2 es ( x 2 + y 2 ) − 2x 2

M

1 2 x y; 2

19)

− 18x12 y10 z 7 3 2 5

6x y z 30z 3 y 3 x 5 3 2 5

6x y z

= 3x 9 y 7 z 4

W

18)

W

W

.M

UN DO

GE N

IA L.

11) El trinomio opuesto de 4a 2 − 4ab + b 2 es − 4a 2 + 4ab + b 2 3 2 −3 2 12) El binomio b + 0,5b es el opuesto del binomio b − 0,5b 4 4 4 2 5 2 13) Los monomios son semejantes x y; x y; 8,7 x 2 y 5 4 2 2 2 14) Los monomios 62m 2n 2 ; no son semejantes m n ; 2m 2 n 2 7 15) Los monomios m 2 x − 1 ; 5m 2 m − 1 ; − 5 m 2 x − 1 son semejantes 4 2+y 4 y+2 16) Los monomios ; son semejantes x x 5 5 24x 6 y 8 z 9 = 4x 3 y 7 z 4 17) 3 2 5 6x y z

2 21) Dados a = –3; b = 1 ; c = − ; d = – 0,4 ; x = 3; y = 0; m = 2; n = π ; hallar el valor 3

numérico de: 2 y A) 0,6.c .d =

B) 3a 2 b − 5a 3 c + xy 2 =

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

8 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

C) x 3 + y 2 + a 2 − b 4 =

D)

−1 2 x − 5x + 0,5 + a 2 = 6

32

e

−16

=

UN DO

 b  

GE N

=

W

W

W

a B) A =  

 a  

.M

 A) F =  

IA L.

22) Si a = 2; b = 4 ; c = 3 ; d = 0 ; e = 1, hallar:

CO

M

E) 9n 2 − 3( −1 − n 2 + 4) =

(

)

a

2   d e   C) P =  a a a(a)   =    

D) Q = (a + b + c ) ÷ (a + b + c ) 30

28

=

23) REDUCIR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”

MATEMÁTICA

9 “La disciplina es la parte más importante del éxito”

JRC

1 A) 2b 2 c − 2b 2 c + b 2 c = 2

B) m 2 n − 3m 2n + 10 − 10m 2n + 100 − 20m 2 n − 82 = C) 2n m x + 4n m x − 20 n m x =

W

W

W

.M

UN DO

GE N

IA L.

CO

E) 2n 5 x + −9 xy − 4n 5 x + 20 − 20n 5 x − 3xy + 9 xy =

M

D) 2n 4 x + 4n 2 x − 20n 4 x =

“La fuerza de los genios no está en su ciencia; está en su fe, en su pasión, en su voluntad”