GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cuerpos geométricos

Matemática

Programa Entrenamiento Desafío

Una semiesfera tiene un área total de 4π cm2. Si se corta por la mitad, de manera de formar dos cuartos de esfera iguales, el volumen de cada uno de estos cuartos de esfera mide A)

8�3 π cm3 27

B)

2�2 π cm3 3

C)

16�3 π cm3 27

D)

4�2 π cm3 3

E)

32�3 π cm3 27

Mis observaciones

GUICEN032MT22-A16V1

Resolución

 

1

Programa Entrenamiento - Matemática

Marco teórico Cuerpos geométricos Cuerpo geométrico: es una figura tridimensional que ocupa un lugar en el espacio.

Poliedros: cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Arista: segmento donde se encuentran dos caras.

cara arista

2

Cuerpos redondos: cuerpos geométricos que poseen al menos una de sus caras curva.

Vértice: punto al que concurren tres o más aristas.

vértice

Cara: cada una de las superficies que limitan el cuerpo.

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Tipos de poliedros Prisma: poliedro que tiene dos caras basales paralelas y congruentes. Sus caras laterales son paralelógramos.

Pirámide: poliedro que tiene solo una cara basal. Sus caras laterales son triángulos y concurren a un mismo vértice.

Altura

Altura

base

base

Paralelepípedo: prisma de seis caras, cada una de las cuales es un paralelógramo.

largo ancho

Poliedros regulares convexos o sólidos platónicos: todas sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.

Tetraedro (4 triángulos equiláteros)

Cubo o hexaedro regular (6 cuadrados)

Octaedro (8 triángulos equiláteros)

alto Dodecaedro (12 pentágonos regulares)

Icosaedro (20 triángulos equiláteros)

3

Programa Entrenamiento - Matemática

Tipos de cuerpos redondos Cilindro: se forma por el giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados.

altura

Cono: se forma por el giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos.

generatriz

radio base

Esfera: se forma por el giro de un semicírculo en torno a su diámetro.

altura

radio

radio

Área y volumen de cuerpos geométricos Área: en general, se calcula como la suma de las áreas que limitan el cuerpo.

Prisma

Pirámide

Área = 2 • (largo • ancho + largo • alto + ancho • alto)

Área = 6 • arista2

Paralelepípedo

Cubo

Volumen = área base • altura

Volumen =

1 • área base • altura 3

Volumen = largo • ancho • alto

Volumen = arista3

Área lateral = 2π • radio • altura Cilindro

Volumen = π • radio2 • altura

Área total = 2π • radio • altura + 2π • radio2

Área lateral = π • radio • generatriz Cono

Volumen =

1 • π • radio2 • altura 3

Área total = π • radio • generatriz + π • radio2

Área = 4π • radio2

4

Esfera

Volumen =

4 • π • radio3 3

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Ejercicios PSU

1.

El área total de un cubo es 384 cm2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?



I) II) III)

La suma de todas las medidas de las aristas del cubo es 96 cm. El volumen del cubo es 24 cm3. La diagonal del cubo mide 8�3 cm.



A) B) C)

Solo I Solo III Solo I y II

2.

Si la capacidad de un cubo es 8 litros, entonces la suma de las medidas de todas las aristas del cubo es



A) 72 cm B) 96 cm C) 180 cm

3.

La razón entre las áreas de dos cubos es 9 : 16. ¿Cuál es la razón entre sus volúmenes?



A) B) C)

4.

Si un paralelepípedo mide 8 cm de largo, 6 cm de ancho y 3 cm de alto, entonces su área total mide



A) B) C)

5.

Un cubo tiene arista 2a y otro cubo mayor tiene arista 4a. Si a > 0, ¿cuántas veces el volumen del cubo menor está contenido en el volumen del cubo mayor?



A) B) C)

729 : 4.096 27 : 64 9 : 16

84 cm2 90 cm2 180 cm2

2 4 8

D) E)

Solo I y III I, II y III

D) 200 cm E) 240 cm

D) E)

D) E)

D) E)

9 : 12 3 : 4

510 cm2 1.020 cm2

16 64

5

Programa Entrenamiento - Matemática

6.

La medida del ancho, alto y largo de un paralelepípedo suman 18 cm y están en la razón 2 : 3 : 4. Su volumen mide



A)

96 cm3

D)

384 cm3



B)

192 cm3

E)

ninguna de las medidas anteriores.



C)

208 cm

7.

La cantidad de caras de un icosaedro es

3

A) 4 B) 6 C) 8 8.

D) 12 E) 20

En la figura, el prisma recto tiene una altura de �5 cm y la base es un hexágono regular de lado �2 cm. Su volumen mide

�15 A) cm3 2 B) �10 cm3 C) 3�15 cm3 D) 6�10 cm3

E)

ninguna de las medidas anteriores.

9.

Un cubo es un cuerpo geométrico clasificado dentro del grupo de los

I) poliedros. II) prismas. III) paralelepípedos.

6



Es (son) verdaderas



A) B) C)

solo III. solo I y II. solo I y III.

D) E)

I, II y III. ninguna de ellas.

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

10. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular de lado 4 cm. Si todas las caras del prisma tienen igual área, ¿cuánto mide el volumen del prisma?

A)

64 cm3

D) 192�3 cm3



B)

96�3 cm3

E)

432 cm3

C) 144�3 cm3 11. En la figura, la pirámide tiene base cuadrada de lado 15 cm y una altura de 22 cm. ¿Cuánto mide su volumen?

A)

220 cm3



B)

330 cm3



C)

660 cm3



D)

1.650 cm3

E) 4.950 cm3

12. Una pirámide recta de base cuadrada tiene todas sus aristas de igual medida. La razón entre el área basal y el área lateral de la pirámide es A)

2�3 �3 D)

B)

4�3 �3 E)

C)

�3

12 6

3 3

3

13. En la figura, ABCD es un rectángulo y AB : BC = 2 : 1. Si se rota indefinidamente el rectángulo ABCD en torno al lado AB , se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide

A)

900π cm3



B)

3.600π cm3



C)

6.750π cm3



D)

13.500π cm3



E)

ninguna de las medidas anteriores.

D

A

30 cm

C

B

7

Programa Entrenamiento - Matemática

14. El radio de un cilindro mide 4 cm y su altura mide 6 cm. ¿Cuánto mide su área total? A) 40π cm2

D) 64π cm2

B) 48π cm2

E) 80π cm2

C) 52π cm2 3 de su capacidad lleno 15. Se tiene un recipiente cilíndrico de 4 cm de radio y 10 cm de altura con 4 de agua. La cantidad de agua que tiene el recipiente es A) 160π cm3

D)

B) 120π cm3

E)



C)

30π cm3 ninguna de las medidas anteriores.

40π cm3

16. Considerando π = 3 en el cilindro de la figura, ¿cuánto mide la altura del cilindro si se llena completamente con 1,2 litros de agua?

A) B) C) D) E)

20 cm

1,0 cm 2,5 cm 3,4 cm 4,0 cm 6,5 cm

h cm

17. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado �8 . Si el cuadrado se rota indefinidamente en torno a una de sus diagonales, el volumen del cuerpo generado es

A)

16π



B)

8π

16π C) 3 D)

8

E)

8π 3 ninguno de los valores anteriores.

D

C

A

B

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

18. Si el segmento PQ de coordenadas P(6, 3) y Q(3, 7), se rota indefinidamente en torno a la recta x = 3, entonces el volumen del cuerpo generado, en unidades cúbicas, es A) 6π B) 12π C) 18π

D) 36π E) faltan datos para determinarlo.

19. Un triángulo ABC isósceles y rectángulo en C, se rota indefinidamente en torno a la trasversal de gravedad que nace en el ángulo C. Si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuál es el volumen que se genera? 125π cm3 3

A) 1.000π cm3

D)

1.000π B) cm3 3

E) Ninguna de las medidas anteriores.



C) 125π cm3

20. Sean A(0, a), B(3a, a) y C(3a, 3a) tres puntos en el plano cartesiano, tal que a es un número real positivo. Si se gira indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado BC , el volumen generado es

A)

4πa3

D) 18πa3



B)

6πa3

E) 27πa3



C)

9πa3

21. Con respecto a un cono recto, siempre es verdadero que

I) II) III)

la generatriz es mayor que el radio. el área lateral es mayor que el área basal. el radio es menor que la altura.



A) B) C)

Solo I Solo III Solo I y II

D) E)

Solo II y III I, II y III

22. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 cm y 20 cm. Al girar indefinidamente el triángulo en torno a su hipotenusa, el volumen del cuerpo generado mide A) 1.200π cm3 B) 1.348π cm3 C) 1.680π cm3

D) 1.800π cm3 E) 3.600π cm3

9

Programa Entrenamiento - Matemática

23. Si el volumen de una esfera mide 24π cm3, entonces su área mide 4π 3 A) • �36 cm2 3 3

B) 8π • �3 cm2

3

D) 12π • �12 cm2 3

E) 32π • �3 cm2

3

C) 3π • �12 cm2 24. Si el diámetro de una esfera mide 6 cm, entonces su volumen mide

A)

8π cm3

D)

36π cm3

B) 12π cm3

E)

ninguna de las medidas anteriores.

C) 24π cm

3

25. Si el radio de una esfera aumenta en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen? A) 20% B) 60% C) 66,6%

D) 72,8% E) 80%

26. Una esfera de plasticina de área A se divide en dos partes iguales. Una de esas partes se amolda de manera que toma forma de esfera. El área de esta esfera es A)

A A D) 4 �2

B)

A A E) 3 2 �2

A C) 3 �4 27. Se puede determinar el área de un cubo si: (1) (2)

10

A) B) C)

La diagonal del cubo mide 6�3 cm. El volumen del cubo mide 216 cm3. (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

28. El rectángulo de la figura, se rota indefinidamente en torno a AC. Se puede determinar el volumen del cilindro generado si:



D

C

B

A



(1) El área de una de las caras circulares del cuerpo formado es 16π cm2 y el área del rectángulo es 32 cm2. (2) La altura del cilindro formado mide 8 cm.



A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

29. Se puede determinar el volumen de un cono si:

(1) El perímetro de la base mide 12π cm. (2) La altura del cono mide 9 cm.



A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. Se puede determinar el área de una esfera si:

(1) (2)

El radio de la esfera mide 9 cm. El volumen de la esfera mide 972π cm3.



A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

11

Programa Entrenamiento - Matemática



Tabla de corrección Item

Alternativa

Habilidad

1

ASE

2

Aplicación

3

ASE

4

Aplicación

5

Comprensión

6

Aplicación

7

Comprensión

8

Aplicación

9

ASE

10

ASE

11

Aplicación

12

ASE

13

ASE

14

Aplicación

15

Aplicación

16

Aplicación

17

Aplicación

18

ASE

19

Aplicación

20

Aplicación

21

ASE

22

ASE

23

Aplicación

24

Aplicación

25

ASE

26

ASE

27

ASE

28

ASE

29

ASE

30

ASE

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