MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 GUIA DE TEORIA NO. 1 LO QUE DEBO SABER

Regla de Cramer Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:

 

Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero. En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución única). Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por lostérminos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita Xi según la fórmula:

siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.

Ejemplo de resolución de un sistema por la regla de Cramer. TOMADO EN INTERNET DE:

http://www.hiru.com/matematicas/resolucion-de-ecuaciones-mediante-matrices

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus: las diagonales azules se suman y las diagonales rojas se restan.

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular un determinante 3×3. Recibe su nombre del matemático francésPierre Frédéric Sarrus. Considérese la matriz de 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera: En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices de 2×2:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz.

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

TALLER EN CLASE NO. 1 2x – y – 3z = -1 2x – y + z = -9 x + 2y – 4z = 17

2a + b – 3c = -4 4a – 2b + c = 9 3a + 5b – 2c = 5

2m + 3n + 12p = 4 4m – 6n + 6p = 1 m+n+p=1

p + 4q – r = 6 2p + 5q – 7r = -9 3p – 2q + r = 2 Ló que nó termine en la clase se debe terminar en casa GUIA DE TEORIA NO. 2

Notación científica La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica. Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es más fácil entender con ejemplos: 732,5051 = 7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda) −0,005612 = −5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente. Nota importante: Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo.

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 La coma se desplazó 3 lugares. 2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 • 103

Operaciones con números en notación científica Multiplicar Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10. Ejemplo: (5,24 • 106) • (6,3 • 108) = 5,24 • 6,3 • 106 + 8 = 33,012 • 1014 = 3,301215 Veamos el procedimiento en la solución de un problema: Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s? 1. Convierte las cantidades a notación científica. 26,83 m/s = 2,683 • 101 m/s 1.300 s = 1,3 • 103 s

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo (t). d = Vt Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica d = (2,683 • 101 m/s) • (1,3 • 103 s) 3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial, (2,683 m/s) x 1,3 s = 3,4879 m. 4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes. (101) • (103) = 101+3 = 104 5. Del procedimiento anterior se obtiene: 3,4879 • 104 Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de 3,4879 • 104 m La cifra 3,4879 • 10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.

Dividir Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica. Hagamos una división:

(5,24 • 107) (6,3 • 104)

=

(5,24 ÷ 6,3) • 107−4 = 0,831746 • 103 = 8,31746 • 10−1 • 103 = 8,31746 • 102

Suma y resta Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo:

5,83 • 109 − 7,5 • 1010 + 6,932 • 1012 = lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos:

109 (5,83 − 7,5 • 101 + 6,932 • 103) = 109 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 • 109 Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda:

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 6,86283 • 1012, si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará 6,86 • 1012. Potenciación Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo (3 • 106)2 ¿qué hacemos? Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (3 2) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo: 9 • 1012 Tomando de internet en:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Notacion_cientifica.html}

1. Potencias de base 10

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

TALLER EN CLASE NO. 2

Resolver los ejercicios:

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

Tomado en internet en: http://www.ejerciciosweb.com/potencias/ejerciciosnotacion-cientifica.html

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

GUIA TEORIA NO. 2

6. Todo número elevado a la cero da como resultado 1

xo

=

1

7. Todo número elevado a una potencia negativa se sube o se baja según donde este

a-2

=

1/a2

ó

1/a-3

=

a3

8. Todo número elevado a la uno da el mismo número X1

=

x

TOMADO INTERNET EN http://es.slideshare.net/pelvis/teora-de-exponentes-24807909

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

TALLER EN CLASE NO. 3

Nota: Lo que no termina en clase lo hace en casa

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 TALLER EN CLASE NO. 4

1. Simplifique los siguientes radicales

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

PARA REFORZAR MAS SU CONOCIMIENTO

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

TOMADO DE INTERNET EN: http://www.uader.edu.ar/wpcontent/uploads/2014/04/PRIMERA-SEMANA-LIC-GESTION-UNIVERSITARIAUADER.pdf EJERCICIOS EXTRAS PARA REFORZAR SU CONOCIMIENTO

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

GUIA DE TEORIA NO. 3 SOBRE LOGARITMOS Lo que debo saber Definición El lo g a ri tm o d e u n nú me r o, en u n a b a se d ad a , e s e l ex p o ne nt e a l c u al se d eb e e l ev a r l a b as e p a r a ob te n er e l nú m er o.

Si en d o a l a b a se , x el n úm e ro e y el l og a r ít mo .

Ejemplos 1 2 3 4

5

6

7

8

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 D e l a d efi n i ci ón d e l og ari tm o p od e m os d edu ci r:

N o e xi st e el l oga ri tmo d e u n n ú m e r o c o n ba s e n ega ti va.

N o e xi st e el l oga ri tmo d e u n n ú m e r o n eg ati v o.

N o e xi st e el l oga ri tmo d e c er o .

El l og a ri tmo d e 1 es c e r o .

El l og a ri tmo en ba s e a d e a es u n o .

El l og a ri tmo en ba s e a d e u n a p ot en ci a en ba s e a e s i gu al al e xp on en t e .

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

Propiedades de los logaritmos Pr op i ed a d es 1 El l og a ri tmo d e u n p r odu ct o es i gu al a l a su m a d e l o s l oga ri tmo s d e l os fa ct o r es :

Ej em p lo

2 El l og a ri tmo d e u n c o ci en t e e s i gu al al l oga ri tm o d el di vi den do men o s el l oga ri tm o del di vi s o r:

Ej em p lo

3 El l og a ri tmo d e u n a p ot en ci a e s i gu al al p r odu ct o d el ex p on en t e po r el l oga ri tm o d e l a ba s e:

Ej em p lo

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

4 El l oga ri tm o d e u n a raí z e s i gu al al c o ci en t e en t r e el l oga r i tmo del ra di can d o y el í n di ce d e l a raí z :

Ej em p lo

5 Ca mbi o d e ba s e:

Ej em p lo

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

Logaritmos decimales y neperianos Logarítmos decimales L os l og a rí tmo s d e ci mal e s ti en en b a s e 10 . S e r e pr e s en t an po r lo g (x ) .

Logaritmos neperianos L os l og a ri tmo s n ep e ri an o s ti en en b as e e. S e r ep r e s en tan p o r l n (x ) o L( x ) .

TA LLE R E N C A S A N O .

1 Cal c u l ar p o r l a d efi n i ci ón d e l oga ri tm o el v al o r d e y . 1 2 3 4

5

2 Cal c u l a el v al o r de x a pl i can do l a d e fi n i ci ón d e l oga rí tm o . 1 2

3 4 5

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 6 7

3 C on o ci en d o qu e l o g 2 = 0 .3 010 , c al cu l a l o s si gu i en t e s l oga ri tmo s d e ci mal e s. 1 2 3 4

4 Cal c u l ar l o s l o ga ri tmo s d e d e l a s e xp r e si on e s qu e s e i n di ca n : 1

2

3

5 Cal c u l a m edi an t e l og ari tm o s el val or d e x . 1 2

3

Resolver las ecuaciones logarítmicas 1

2

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189 3

4

5

6

7

8

9

10

Tomado en internet en: http://www.vitutor.com/al/log/l_e.html

MATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: [email protected] cel 3158857189

TALLER EXTRA PARA RESOLVER EN CASA Resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales 1

2

3

4

5

https://www.youtube.com/watch?v=vuOdxZ5jpRQ consulta en internet esta dirección para resolver los ejercicios anteriores PARA TENER EN CUENTA:   



Debe traer todos los días los materiales de clase incluyendo las guías Debe entregar lo que entendió de la lectura de los cinco capítulos siguientes del “ Hombre que calculaba” en la última semana de mayo Siempre debo ir a la direcciones de internet propuesta en la guía para ampliar los temas, estudiar y aprender los contenidos todos los días Los estudiantes que tienen competencias pendientes deben pedir el plan de mejoramiento en la entrega de boletines de cada periodo y sustentarlo.