UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS Ingeniería Comercial

Matemática II

Clase Nº 14- 15

LA DERIVADA

La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, y permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física y otras disciplinas.

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Interpretación geométrica de la derivada. Si la función f(x) es continua, y se considera un punto P= x que pertenece al dominio de la función, y se incrementa x en un ∆x tal que el punto incrementado M = x + ∆x pertenezca también al dominio, entonces se tiene el valor que determina la función:

es

f(x)

x + ∆x

es

si se unen el punto M y P se obtiene una recta PM el incremento correspondiente de la función es:

Se forma un triángulo rectángulo con las variaciones en x e y, con este triángulo se puede hallar la pendiente de la recta PM, para ello aplicamos conocimientos de trigonométricas sea

o

fijándonos en la figura

podemos designar por ∆y

o sea

;

Si acercamos el punto M hacia el ∆x será cada vez más

pequeño por lo tanto, cuando ∆x sea igual a 0, el punto M coincidirá con P, y se tendrá una recta tangente a la curva f(x)

María Teresa Szostak

punto P,

1

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Clase Nº 14- 15

Por definición, llamaremos derivada de una función correspondiente en un punto

o pendiente de la curva

al límite del cociente incremental

cuando ∆x

0, de otra

manera:

TÉCNICA DE LA DERIVACIÓN 1 – Dar a la variable x un incremento (positivo o negativo) ∆x, a partir de x, con lo que se obtiene un punto nuevo x+∆x 2 – Calcular el nuevo valor de y (o sea de la función) 3 – Calcular el incremento de la función (∆y), para ello debemos restar de la función incrementada la función inicial. 4 – Formar el cociente incremental

.

5 – Calcular el límite del cociente incremental cuando ∆x tiende a 0.

Ejemplo

1 – Halla la deriva de

, aplicando la técnica de la derivación.

Para ello tendremos en cuenta los 5 pasos descriptos anteriormente. 1-

2-

, antes de realizar el punto 3, debemos desarrollar

toda la función incrementada.

para

hallar

el

incremento

3-

para formar el cociente incremental debemos dividir toda la expresión anterior por

María Teresa Szostak

debemos de restar a esta función incrementada la función inicial

2

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4-

realizando las correspondientes simplificaciones obtenemos: aplicando límite a la expresión obtenida se tiene:

5-

, reemplazando 𝑦

por 0 se tiene: 𝑥

REGLAS DE LA DERIVACIÓN

1 – Derivada de una constante: La derivada de una constante es nula.

Demostración: Sea

; siendo C una constante y si aplicamos la técnica de la derivación se

obtiene:

si dividimos por

y hallamos el límite del cociente incremental se tiene:

𝑦

2 – Derivada de una variable independiente: La derivada de la variable independiente es la unidad

Demostración: sea

aplicando la técnica de la derivación se demuestra:

buscando el cociente incremental y aplicando límite se obtiene

el límite de una constante es la misma constante

3 – Derivada

su derivada es igual al producto de la potencia por la función disminuida en un

exponente.

, incrementando tanto x e y se tiene;

; desarrollando

María Teresa Szostak

𝑦

3

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Clase Nº 14- 15 ; restando la función inicial para obtener la función incrementada

dividiendo por

y hallando el límite de la función resultante:

, por tanto

𝑦

𝑥

4 – Derivada de una constante por una variable: la derivada de una constante por una variable es igual al producto de la constante y la derivada de la variable ; incrementando tanto la variable como la función se tiene:

; hallando el límite del cociente incremental

𝑦

5 – Derivada de una suma algebraica: La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones sumandos. Se tiene la función

Aplicando las reglas anteriores, su derivada es: 𝑦

𝑥4

𝑥

6 – Derivada de una función elevada a otra función: la derivada de una función elevada a otra función es igual al producto del exponente de la función, por la función disminuida en uno, por la derivada de la función interna.

𝑦

6 𝑥

𝑥

𝑥

6𝑥 La derivada de la función interna

El exponente

la función disminuida en un exponente

María Teresa Szostak

Función interna

4

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7 – Derivada de un producto: la derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda, más la primera función por la derivada de la segunda función. Sean dos funciones:

, considerando la regla anterior se tiene:

𝑦

𝑢 𝑥 𝑣 𝑥

𝑢 𝑥 𝑣

Ejemplo 4

4

Sacando factor común obtenemos;

(

𝑥4 𝑥

𝑦

) reduciendo términos

𝑥

𝑥

8

8 – Derivada de un cociente la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividida esta diferencia por el cuadrado del denominador. Sean dos funciones

, aplicando la regla anterior se tiene

𝑦

𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥

𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥 𝑣

Ejemplo

]

𝑦

𝑥

𝑥 𝑥

]

=

[

4

]

= María Teresa Szostak

[ [

5

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9 – Derivada de un logaritmo neperiano (ln) la derivada del logaritmo neperiano o natural de una función es igual a la reciproca de la función, por la derivada de la función.

4

Ejemplo 4

4

=

Y’ =

(4𝑥 𝑥

) 𝑥

10 – Derivada de una función exponencial: la derivada de una función exponencial es igual al producto de la función, por el logaritmo neperiano de la base, por la derivada del exponente.

Ejemplo: 6

11 – Derivada de funciones trigonométricas:

A) La derivada de la función Demostración:

es igual a la función

si

el cociente incremental es

, el

numerador puede transformarse en un producto de acuerdo a las formulas trigonométricas , con lo que tenemos (

[

)

(

=

) si ahora se hace tender

a 0, el cociente

] tendrá a la unidad, de acuerdo a lo visto en trigonometría en los cursos

anteriores y como

(

) tiende a

, resulta

B) Derivada de la función cos x: la derivada de una función

es la función

Demostración:

por identidades trigonométricas

de un cociente: obtiene

, aplicando la derivada por identidades trigonométricas se

𝑦

𝑠𝑐 𝑥

María Teresa Szostak

C) Derivada de la función tg x: la derivada de una función

6

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D) Derivada de la función ctg x: la derivada de una funcón

Demostración

aplicando derivada de un cociente se tiene:

; factoreando el signo (-), y aplicando identidades trigonométricas se tiene:

𝑦

𝑐𝑠𝑐 𝑥

E) Derivada de la función sc x: la derivada de una función

Demostración: por identidades trigonométricas

es

, aplicando reglas de la derivación

se tiene:

por identidades

trigonométricas

𝑦

𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑐 𝑥

F) Derivada de una función cs x: la derivada de una función

es la función

Demostración

Por identidades trigonométricas se tiene

o

aplicando regla de la

derivación obtenemos:

por identidades

trigonométricas

𝑦

𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥

Ejercicios



1) y  2 x 3  3x 2  4



y   6 xx  1

2) 3) 4)

√

√

o

√

María Teresa Szostak

Deriva utilizando las reglas correspondientes y luego llévala a su más mínima expresión.

7

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Matemática II 5)



1  1 y   x2  x4  4  2



y  x x 2  1 6

6)

6

6

4

7) √

8) 9)

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√



y  13x 2  5x 2

10) y 



x2 x

y   26  195x 2

)

12) y  x  1x 1

y   ax 2

2x  3 3x  2

y 

1 x2 14) y  1 x2

y 

13) y 

5

2 x  32 4x

1  x 

2 2

(

4

15) √

16) 17)

2 x2

y 

(

11)

√

√

)

√

√

√

18) 19) 4

20) √

22)

√

6

√

23) 24) y 

2x 

25) y 

a ax

2 x

y 

x2 1 x2 y

y   axa  x 2 

3

2

(

26) 27)

4

√

√

)

4 √

2

María Teresa Szostak

21)

8

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Matemática II 28) y 

b x

29)

√

30)

(

a  x x

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y 

x2a  4 x 

2b a  x x √

)

(

y   1 ln x

31) y  x. ln x 32) y 

)

ln x  3 x  3

x2 33) y  ln 1 x2

1  ln x  3

y  y 

x  32

2 x 1 x2





34) 35)

√

√

36) 37) 38) 39) y  x 2 . cos x 40) y 

y   2 x. cos x  x 2 .senx

y   csc x1  x.ctgx 

x senx

41) y  cos 2 x  sen2 x

y   2cos 2 x  sen2 x 

42) [

43) 44) y 

1  senx 1  senx

y 

45) y 

cos x 1  cos 2 x

y  

47) 48)

1 sen 3 x 3

2 cos x

1  senx 2 sen 3 x

1  cos x 2

2

y   cos 3 x María Teresa Szostak

46) y  senx 

]

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