Autores: Margarita Ospina Pulido Lorenzo Acosta Gempeler Edici´on: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a
Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
1/1
Parte I Funciones Exponenciales y Logar´ıtmicas
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
2/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x .
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x
0
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
f (x)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x
0
f (x)
1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
-2
3
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x
0
1
f (x)
1
2
Universidad Nacional de Colombia
-1
2
-2
3
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
3
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
2
1 2
4
-2
3
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
4
1 4
3
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
3
4
1 4
8
-3
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
4
1 4
3
-3
8
1 8
Matem´ aticas B´ asicas
4
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
4
1 4
3
-3
4
8
1 8
16
Matem´ aticas B´ asicas
-4
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Definamos una nueva funci´ on en R as´ı: f (x) = 2x . Para hacer la gr´afica construimos la siguiente tabla: x f (x)
0 1
Universidad Nacional de Colombia
1
-1
2
1 2
2
-2
4
1 4
3
-3
4
-4
8
1 8
16
1 16
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
3/1
Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que: si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
4/1
Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que: si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta) 1 y que f (−n) = 2−n = n (cada vez m´as peque˜ no 2 pero siempre mayor que cero) tenemos la siguiente gr´afica
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
4/1
Funci´on exponencial f (x) = 2x y
4
2 1 -3 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
x
F. exponenciales
5/1
Funci´on exponencial f (x) = 2x y
4
2 1 -3 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
x
F. exponenciales
5/1
Funci´on exponencial f (x) = 2x y
4
2 1 -3 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
x
F. exponenciales
5/1
Funciones exponenciales
¿C´ omo es la gr´afica de y = 2−x ?
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
6/1
Funciones exponenciales
¿C´ omo es la gr´afica de y = 2−x ?
Sabemos que se obtiene de la anterior haciendo una simetr´ıa con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
6/1
Funci´on exponencial f (x) = 2−x y
4
2 1 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
3
x
F. exponenciales
7/1
Funci´on exponencial f (x) = 2−x y
4
2 1 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
3
x
F. exponenciales
7/1
Funci´on exponencial f (x) = 2−x y
4
2 1 -2 -1
Universidad Nacional de Colombia
1
2
Matem´ aticas B´ asicas
3
x
F. exponenciales
7/1
Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ?
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
8/1
Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ? 2−x = (2−1 )x =
Universidad Nacional de Colombia
x 1 2
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
8/1
Funciones exponenciales
¿Qu´e es 2−x ? 2−x = (2−1 )x =
x 1 2
Luego hemos construido la gr´afica de la funci´ on exponencial x 1 f (x) = 2
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
8/1
Funciones exponenciales
Generalicemos:
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
9/1
Funciones exponenciales
Generalicemos: Llamamos funci´ on exponencial de base a, con a > 0, a la funci´on definida por: f (x) = ax .
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
9/1
Funciones exponenciales
Generalicemos: Llamamos funci´ on exponencial de base a, con a > 0, a la funci´on definida por: f (x) = ax . La gr´afica de la funci´on depender´a del valor de a.
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
9/1
Funci´on exponencial f (x) = ax y
1 1
x
a>1
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
10 / 1
Funci´on exponencial f (x) = ax y
y
1
1 1
x
1
a>1
Universidad Nacional de Colombia
x
0 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta. Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
12 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y ) (f transforma sumas en productos)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y ) (f transforma sumas en productos) f (x) ax f (x − y ) = ax−y = y = a f (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y ) (f transforma sumas en productos) f (x) ax f (x − y ) = ax−y = y = a f (y ) (f transforma restas en cocientes)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y ) (f transforma sumas en productos) f (x) ax f (x − y ) = ax−y = y = a f (y ) (f transforma restas en cocientes) f (kx) = akx = (ax )k = (f (x))k
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces: f (x + y ) = ax+y = ax ay = f (x)f (y ) (f transforma sumas en productos) f (x) ax f (x − y ) = ax−y = y = a f (y ) (f transforma restas en cocientes) f (kx) = akx = (ax )k = (f (x))k (f transforma coeficientes en exponentes)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
13 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Observaci´on Sea f una funci´on inyectiva. La gr´afica de f est´a determinada por la ecuaci´ on y = f (x).
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
14 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Observaci´on Sea f una funci´on inyectiva. La gr´afica de f est´a determinada por la ecuaci´ on y = f (x). Si intercambiamos las variables x e y obtenemos la ecuaci´on x = f (y ) cuya gr´afica se obtiene de la anterior mediante una simetr´ıa con respecto a la recta y = x.
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
14 / 1
Funciones inyectivas e inversas y y = f (x)
x
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
15 / 1
Funciones inyectivas e inversas y y = f (x)
x = f (y )
x
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
15 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g .
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ?
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos:
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y ))
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y g ◦ f (x)
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y g ◦ f (x) = g (f (x))
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y g ◦ f (x) = g (f (x)) = g (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y g ◦ f (x) = g (f (x)) = g (y ) = x
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la gr´afica obtenida corresponde a la de una nueva funci´on g . ¿Qu´e relaci´ on hay entre f y g ? y = f (x) ⇐⇒ x = g (y ) Al componerlas tenemos: f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f (x) = y g ◦ f (x) = g (f (x)) = g (y ) = x La funci´on g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1 .
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
16 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relaci´ on entre f y f −1 : y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y )
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
17 / 1
Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relaci´ on entre f y f −1 : y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y )
Adem´as, Dom(f −1 ) = Im(f )
Universidad Nacional de Colombia
e
Im(f −1 ) = Dom(f )
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
17 / 1
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on logar´ıtmica de base 2: y = 2x ⇐⇒ x = log2 y
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
18 / 1
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on logar´ıtmica de base 2: y = 2x ⇐⇒ x = log2 y o bien: y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
18 / 1
Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejemplo La funci´on exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funci´on logar´ıtmica de base 2: y = 2x ⇐⇒ x = log2 y o bien: y = log2 x ⇐⇒ x = 2y Esta funci´on tendr´a la siguiente gr´afica:
Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
18 / 1
Funci´on logaritmo f (x) = log2 x y
2 1 1
2
4
x
-1 -2 -3 Universidad Nacional de Colombia
Matem´ aticas B´ asicas
F. exponenciales
19 / 1
Funciones logar´ıtmicas
En general, la inversa de la funci´ on exponencial de base a es la funci´on logar´ıtmica de base a. y = loga x ⇐⇒ x = ay Su gr´afica es de la forma: