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Matemáticas II - Geometría

2008.SEPTIEMBRE.1.- Dados los dos planos π1: x + y + z = 3 y π2: x + y – αz = 0, se pide que calculeis razonadamente: a) El valor de α para el cual los planos π1 y π2 son perpendiculares y, para este valor de α, obtened las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de estos dos planos. b) El valor de α para el cual los planos π1 y π2 son paralelos y, para este valor de α, obtened la distancia entre los dos planos π1 y π2. 2008.SEPTIEMBRE.2.- Dados el punto O = (0,0,0) y el plano π: x + y + z = 6, se pide que calculeis razonadamente: a) La ecuación de la recta r que pasa por O y es perpendicular al plano π. b) Las coordenadas del punto simétrico de O respecto al plano π. c) La ecuación del plano que contiene al eje X y a la recta r. 2008.JUNIO.1.- Se dan los puntos A=(2,1,1) y B(1,0,-1), y la recta de ecuación z2 r: x  5  y  . Se pide calcular razonadamente: 2 a) El punto C de r que equidista de A y B. b) El área del triángulo ABC. 2008.JUNIO.2.- Dadas l recta r, intersección de los planos y + z =0 y x – 2y – x 1 = 0, y la recta s de ecuación  y  1   z  3 , se pide: 2 a) Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de r y s. b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas r y s. c) Calcular la distancia entre las rectas r y s. SEPTIEMBRE.2007.1.- Dado el plano π : 2x + y + 3z -1 = 0 y el punto Q = (2,1,3), se pide calcular: a) La distancia del punto Q al plano π. b) El área del triángulo los vértices del cual P1,P2 y P3 son los puntos de intersección del plano π con los ejes coordenados. c) El volumen del tetraedro de vértices P1,P2, P3 y Q.

SEPTIEMBRE.2007.2.- Dados los planos π1 y π2 de ecuaciones: Π1 : x + 2y + z + 3 = 0;

π2 : 2x + y – z – 6 = 0, se pide:

a) Calcular el ángulo α que forman los planos π1 y π2. b) Calcular la ecuación paramétrica de la recta r, intersección de los planos π1 y π2. c) Comprobar que el plano π de ecuación x + y – 1 = 0 es el plano bisector de π1 y π2, es decir, π forma un ángulo α/2 con cada uno de los planos π1 y π2, donde α es el ángulo obtenido en el apartado a). JUNIO.2007.1.- Dadas las dos rectas r y s, que se cortan, de ecuaciones r:

x  1 2 y  1 2z  3 x  3 2y  3 z  1     y s: . Se pide calcular: 2 6 6 2 2 4

a) El punto P de corte de las rectas r y s. b) Un vector direccional de r y otro de s, y el ángulo que forman las rectas r y s en el punto de corte P. c) La ecuación implícita ax + by + cz + d = 0 del plano π que contiene a las rectas r y s. JUNIO.2007.2.- Dado el punto Q=(3,-1,4) y la recta r de ecuación paramétrica: r: x = -2 + 3λ, y = -2λ, z = 1 + 4λ, , se pide: a) Hallar la distancia del punto Q a la recta r. b) Justificar que la recta s que pasa por Q y tiene a (1, -1, 1) como vector direccional no corta a r. c) Calcular la distancia entre las rectas r y s. SEPTIEMBRE.2006.A.- En el espacio se consideran: La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas 2x - 2y - z = 9 y 4x - y + z = 42 y la recta s que pasa por los puntos (1;3;-4) y (3;-5;-2). Se pide: a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s. b) Justificar que las rectas r y s se cruzan. c) Calcular un vector direccional de la recta t, perpendicular común a las rectas r y s, y calcular el punto P de intersección de las rectas s y t. SEPTIEMBRE.2006.B.- En el espacio se consideran: El plano  que pasa por los puntos (11,1,2), (5,7,5) y (7,-1,-2)

La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas x + y + z = 15 y 2x - 7y + 2z =3. a) Calcular la ecuación paramétrica de r y la ecuación implícita del plano . b) Calcular el punto de intersección de r y  y el ángulo  que determinan r y . c) Calcular los puntos M y N de la recta r cuya distancia al plano  es igual a 3 u.l. JUNIO.2006.A.- En el espacio se consideran: La recta r intersección de dos planos de ecuaciones implícitas x+y-z=5 2x+y-2z=2

y

La recta s que pasa por los puntos P=(3,10,5) y Q=(5,12,6). Se pide: a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s. b) Calcular el punto H intersección de r y s y el ángulo que determinan r y s. c) Calcular los puntos M y N de la recta r para los que el área de cada uno de los triángulos de vértices PQM y PQN es 3 unidades de área. JUNIO.2006.B.- Dados los puntos A=(4,-4,9); B=(2,0,5) ; C=(4,2,6); L=(1,1,4); M=(0,2,3) y N=(3,0,5), se pide: a) Calcular la distancia del punto C al punto medio del segmento de extremos A y B y el área S del triángulo de vértices A, B, C. b) Calcular las ecuaciones implícitas del plano  que pasa por los puntos A, B y C y del plano ' que pasa por los puntos L, M, N. c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta r intersección de los planos  y ' y el ángulo que determinan los planos  y '. SEPTIEMBRE.2005.A.- Un paralelepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas: x  0  x  2y  0 2x  y  0 l: , m: y n: , y uno de sus vértices es (12;21;y  0 z  0 z  0 11). Se pide: a) Hallar los vértices restantes.

b) Calcular su volumen

SEPTIEMBRE.2005.B.- Dados los planos : 5x - y - z = 0, : x + y - z = 0 y el punto P(9;4;-1), determinar: a) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a  y a . b) El punto simétrico de P respecto a la recta r, intersección de los planos  y .

JUNIO.2005.A.- Se considera el plano : y + z - 12m = 0 (m parámetro real) y x  1 x  2 x  3 ,v :  y w: las rectas: u :  . Sean A, B y C los puntos de y  z  y  2z  y  3z intersección de  con u, v y w, respectivamente. a) Calcular las coordenadas de A, B y C en función de m. b) Hallar los valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a. JUNIO.2005.B.- Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7, 2, -3) y tales que las proyecciones perpendiculares del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x, y, z) = (0, 4, 1) + t(1, 0, 0) SEPTIEMBRE.2004.A.- a) Obtener el plano que pasa por el punto P(-2;4;-3) y es perpendicular a la recta r: (x,y,z) = (1,2,0) + t(1,-2,1). b)Calcular la distancia entre el punto P y la recta r. SEPTIEMBRE.2004.B.- Consideremos los puntos: A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) y D=(2,1,2). Se pide: a) Hallar el área del triángulo de vértices B, C y D. b) Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. c) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por los puntos B, C y D. JUNIO.2004.A.- Dados los planos 1: x+ y + z = -5, 2: x - 3y - z = 3 y la recta x  2 y 1 z   , se pide: r: 2 3 2 a) Determinar razonadamente la posición relativa de le recta r y la recta s intersección de los planos 1 y 2 b) Obtener razonadamente la ecuación del plano que contiene a la recta s anterior y es paralelo a r. JUNIO.2004.B.- Se consideran la recta r: (x,y,z)=(t+1,2t,3t), el plano : x-2yz=0 y el punto P(1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo a . b) Determinar la ecuación del plano 2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos anteriores 1 y 2 SEPTIEMBRE.2003.A.- En el espacio R3 se consideran el punto P = (3,2,3) y la recta r intersección de los planos de ecuaciones:

x + 3y -4z=0 y x + 2y - 2z = 1. Se pide determinar: a) La distancia d del punto P a la recta r. b) Los puntos M y N de la recta r que cumplan que su distancia al punto P es 5 .d

c) El área del triángulo de vértices P, M y N. SEPTIEMBRE.2003.B.- Sean  y ' los planos del espacio R3, determinados del modo siguiente: El plano  pasa por los puntos (0,2,1), (3,-1,1) y (1,-1,5) y el plano ’ pasa por los puntos (3,0,2), (2,1,1) y (5,4,–2). Se pide calcular: a) Una ecuación paramétrica de la recta r intersección de los planos  y ’. b) El ángulo  que forman los planos  y '. c) La ecuación del plano que contiene a la recta r y forma un ángulo de 90 grados con el plano . JUNIO.2003.A.- Sean r y r' las rectas del espacio R3, determinadas del modo siguiente: r pasa por los puntos A=(3,6,7) y B=(7,8,3) y r' es la recta intersección de los planos de ecuaciones: x - 4y - z = -10 y 3x - 4y + z = -2. Se pide: a) Calcular de cada una de las rectas r y r' una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas. b) Calcular la distancia d entre las rectas r y r'. c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, siendo C un punto cualquiera de la recta r'. JUNIO.2003.B.- Sean r la recta y  el plano de R3, determinados del siguiente modo: r pasa por los puntos (2,2,4) y (-1,2,1) y  pasa por los puntos (1,0,1), (1,-1,0) y (3,0,0). Se pide: a) Probar que la recta r no es paralela a . b) Calcular el punto P intersección de r y  y el ángulo que forman la recta r y el plano . c) Determinar los puntos S y T de la recta que cumplan que su distancia a  sea 4.

SEPTIEMBRE.2002.A.- Consideremos los planos 1: x + y - 6 = 0 2: 2x + 4y + z + 2 = 0 donde  es un parámetro real. Se pide: a) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos 1 y 2 cuando  = 4. b) Calcular razonadamente  para que los planos 1 y 2 se corten formando un ángulo de 45º. SEPTIEMBRE. 2002.B.- Dado el plano definido por la ecuación z = 3, hallar:

: 8x - 4y +

a) La ecuación de la recta perpendicular al plano  que pasa por el punto P(1,3,7), expresada como la intersección de dos planos. b) La distancia del punto P al plano . c) Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano . JUNIO.2002.A.- Dados los puntos A=(1,-2,3) y B=(0,2,1), se pide: a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. b) La ecuación del plano  que está a igual distancia de A y de B. c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y - z=0 con el plano del apartado b). JUNIO.2002.B.- a) Hallar la distancia del punto P(3,-1,4) a la recta intersección de los planos: 1: 2x + y - z + 5 = 0 2: 4x + 4y - z + 9 = 0 b) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta r y el punto P. SEPTIEMBRE.2001.A.- Sea r1 la recta que pasa por los puntos A=(0,0,0) y B=(80, 10, 0) y sea r2 la recta que pasa por C=(0, 0, 10) y D=(m, 10, 10). Obtener la distancia entre r1 y r2. Justificar geométricamente que la distancia entre r1 y r2 es independiente del valor de m. SEPTIEMBRE.2001.B.- Los puntos (x,y) que verifican la ecuación x2 +y2= 36 forman una curva. Explica la relación entre la ecuación x2 + y2=36 y alguna característica geométrica de esa curva.

JUNIO.2001.A.- Hallar razonadamente las ecuaciones de los dos planos paralelos al plano  de ecuación 12x + 3y - 4z = 7 que distan 6 unidades de . JUNIO.2001.B.- Obtener las ecuaciones de las rectas obtenidas al cortar cada uno de los planos 1 : x + y + z = 3, . 2 : x – z = 0 y 3 : y – z = 0 con el plano 4 : z = 0. Esos cuatro planos limitan un tetraedro del que se obtendrá el área de la cara situada en el plano 4 y la altura sobre esa cara, explicando el método utilizado. y  5 y r’:  z  0 .Comprueba que los puntos O=(0,0,0) y A=(1,1,1) pertenecen a la recta r, y que los puntos B=(0,5,0) y C=(10,5,0) pertenecen a la recta r’. Obtén la distancia entre esas dos rectas. SEPTIEMBRE.2000.A.- Considera las rectas r: x  y  z

Explica la relación entre el producto mixto de los vectores OA=i+j+k=(1,1,1), BC y OB, el producto vectorial de OA y BC y la distancia entre las rectas r y r’. SEPTIEMBRE.2000.B.- Obtener la distancia del punto (0,0,7) al plano determinado por los puntos (0,0,0), (0,2,2) y (2,0,2). JUNIO.2000.A.- Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A=(1,1,1), B=(2,1,1), C=(2,4,1) y E=(1,2,7). Hallar el área de una de las bases, el volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases. JUNIO.2000.B.- Hallar la distancia desde el punto (0,0,10) al plano que pasa por los puntos (0,0,1), (4,2,7) y (4,0,3). SEPTIEMBRE.1999.A.- Obtener la distancia del punto (0,0,7) al plano que pasa por los puntos (0,0,0), (0,2,4) y (4,0,2). Explica brevemente el método seguido. SEPTIEMBRE.1999.B.- Hallar el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que A=(1,0,0), B=(2,3,0), C=(4,0,5) y E=(7,6,3). Hallar las coordenadas de los restantes vértices del paralelepípedo. JUNIO.1999.A.- Indica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x + 3y - 8 = 0 es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x-6)2+(y3)2=25. Razona la respuesta. JUNIO.1999.B.- Sea r1 la recta que pasa por los puntos A=(2,4,0) y B=(6,2,0) y sea r2 la recta que pasa por C=(0, 0, 7) y D=(3,2,0). Obtener razonadamente la distancia entre r1 y r2. SEPTIEMBRE.1998.A.- Halla la ecuación del conjunto de puntos (x,y) desde los que se ve el segmento de extremos (-5,0) y (5,0) bajo un ángulo de /2 radianes. Describe la figura obtenida, indicando sus elementos principales.

Halla un punto de esa figura situado en el eje OY, y comprueba que desde ese punto se ve el segmento de extremos (-5,0) y (5,0) bajo un ángulo de /2 radianes. SEPTIEMBRE.1998.B.- De un paralelogramo ABCD se sabe que A=(3,4), B=(4,3), que las dos coordenadas del vértice C son positivas y que la diagonal AC y el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C y D. JUNIO.1998.A.- Hallar el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que A=(8,0,0), B=(0,8,,0), C=(0,0,8) y E=(8,8,8). Obtén también las coordenadas de los restantes vértices. JUNIO.1998.B.- Deduce razonadamente en que casos los planos 1 y 2 son o no paralelos: a) 1: x + y + z = 2 y

2: x + y - z = 4.

b) 1: x - y + z = 4 y

2: x - y + z = 2

Obtén la distancia entre los planos 1 y 2 cuando sean paralelos.

SOLUCIONES x  2    2008.SEPTIEMBRE.1.- a) α = 2 ; r :  y   ; z  1  x    2008.SEPTIEMBRE.2.- a) r :  y   z   

b) α = -1 ; d =

b) O' = (2;2;2)

3

c) y –

z=0 2008.JUNIO.1.- a) C = (4,5;-0,5;;-1);

b) S ≈ 4,06 u2.

 x  1  2  x  2   s :  y  1   b) Son paralelas 2008.JUNIO.2.- a) r :  y   z   z  3    

c) drs ≈ 2,89

SEPTIEMBRE.2007.1.- a) d ≈ 3,47 ; b) S ≈ 0,31u2 ; c) V ≈ 0,36 u3.

x  3    SEPTIEMBRE.2007.2.- a) α = 60º ; b) r :  y   ; c) α1 = α2 = 30º. z    JUNIO.2007.1.- a) P (2;-1;3); b) vr=(2;-3;3); vs = (-2;1;4); α = 76,55º; c) 15x + 14y + 4z – 28 = 0

JUNIO.2007.2.- a) d =

6 ; b) [PQ;vr;vs] ≠ 0 ; c) d =

6

x  1 t '  x  25 / 2  t   SEPTIEMBRE.2006.A.- s:  y  3  4t ' r:  y  8  2t b) [AB,v,w]0 ; vt = z  4  t ' z  2t   (2;1;2) P=(2;-1;-3).  x  12  t  SEPTIEMBRE.2006.B.- r  y  3 : x + 2y - 2z - 9 = 0; P= (9;3;3), = 45º ; z  t  M = (12;3;0) y N = (6;3;6).

 x  3    x  3  2   s :  y  10  2 b) H = (1;8;4) ;  =45º ; c) M = JUNIO.2006.A.- a) r :  y  8 z   z  5     (3;8;6) y N = (-1;8;2). JUNIO.2006.B.- a) d = 18 ; S = 9 u2 ; b) : 2x - y - 2z + 6 = 0 ; ' : y + z -5 = 0 1   x   2  2  ; c) r :  y  5    =45º z     SEPTIEMBRE.2005.A.- a) (0;0;0), (18;9;-11), (-6;12;-11), (12;21;0), (-6;12;0), (18;9;0) y (0;0;11) b) Volumen = 2970 u3. SEPTIEMBRE.2005.B.- a) x + 2y + 3z - 14 = 0

b) P' = (-7;0;7).

JUNIO.2005.A.- a) A(1; 6m; 6m), B(2; 8m; 4m) y C(3; 9m; 3m). m = - 2. JUNIO.2005.B.- 3x - 4y - z + 26 = 0

2 o

4x - 4y - z + 33 = 0

SEPTIEMBRE.2004.A.- a) x - 2y + z + 13 = 0.

SEPTIEMBRE.2004.B.- a) S =

b) m =

3 u2 .

b) d =

b) V =

2 3 u . 3

4 3 3 c) d =

u. JUNIO.2004.A.- a) Las rectas se cruzan.

b) 8x - 6y + z + 12 = 0.

2 3 3

JUNIO.2004.B.- a) x - 2y - z + 2 = 0.

SEPTIEMBRE.2003.A.- a) d = 3 u. 18 u2.

x  t  b) x + y - z - 1 = 0. c) r: y  1 z  t  b) M=(-3;5;3) y N=(5;-3;-1).

1   x  2  2  SEPTIEMBRE.2003.B.- a) r : y  2   . z     0

b)  = 45º.

x  4   x  3  4t  7 1   r : y  6  2 t r ' :  y    JUNIO.2003.A.- a) 2 2 z  7  4 t   z  

c) S =

c) 2x - y - 2z + 1 =

b) d= 6 u.

c) S = 18 u2.

JUNIO.2003.B.- a) vr = (-3;0;-3); w = (1;-2;2); v.w = -9  0. b) P = (1;2;3). c) S = (5;2;7)y T = (-3;2;-1).

x  13  2  SEPTIEMBRE.2002.A.- a) r : y  7  2 z    x  2 y  5  0 SEPTIEMBRE. 2002.B.- a)  y  4z  25  0 0; 8x -4y + z - 30 = 0.

x  1    JUNIO.2002.A.- a) r : y  2  4 z  3  2 

b)  = 4 o  = -4

b) d 

8 u. 3

c) 8x - 4y + z +24 =

b) 2x - 8y + 4z - 9 = 0.

c) d = 4,5 u. JUNIO.2002.B.- a) d = 6 u. b) 2x - 11y - 7z + 11 = 0 SEPTIEMBRE.2001.A.- d = 10 u. tanto si las rectas son paralelas como si se cruzan. La recta r1 se encuentra sobre el plano z = 0, mientras que la recta r2 se encuentra sobre el plano z = 10; por tanto la distancia entre ellas, cuando se cruzan, es la distancia entre estos dos planos, es decir, 10 u. Si las rectas son paralelas (m=80), el eje OZ es perpencicular a ambas, por lo que la distancia entre ellas es también la distancia entre los planos z=0 y z=10, es decir, 10 u. SEPTIEMBRE.2001.B.- Se trata de la ecuación de una circunferencia de centro (0,0) y radio 6. Todos los puntos de esa curva distan 6 unidades del origen.

JUNIO.2001.A.- 12x + 3y - 4z + 71 = 0

12x + 3y - 4z - 85 = 0.

x    JUNIO.2001.B.- r : y  3   z  0 

x    r ' ' : y  0 z  0 

x  0  r ' : y   z  0 

Vértices del

triángulo: (0;3;0); (3;0;0) y (0;0;0). S = 4,5 u2. Punto de corte de los tres planos: P = (1;1;1). h = dP = 1 u. 5 2  3,54 u. |Producto mixto|=|OA x BC|.dr r' (ya 2 que "volumen del paralelepípedo" = "área de la base" . altura). SEPTIEMBRE.2000.A.- d 

SEPTIEMBRE.2000.B.- d 

7 3  4,04 u. (: x + y - z = 0) 3

JUNIO.2000.A.- S = 3 u2. V = 18 u3. d = 6 u. JUNIO.2000.B.- d = 3,93 u. (: x + 4y - 2z + 2 = 0) SEPTIEMBRE.1999.A.- d = 3,06 u. (: x + 4y - 2z = 0) SEPTIEMBRE.1999.B.- V = 33 u3. D= (3;-3;5); F=(8;9;3); G=(10;6;8); H=(11;9;8). JUNIO.1999.A.- a) Si al resolver el sistema formado por las dos ecuaciones éste no tiene solución la recta es exterior, si tiene una solución es tangente y si tiene dos es secante. b) Si la distancia del punto (6,3) a la recta es mayor que 5 la recta es exterior a la circunferencia, si es 5 es tangente y si es menor que 5 es secante. JUNIO.1999.B.- d 

6 2

u.

SEPTIEMBRE.1998.A.- x2+y2=5. Se trata de una circunferencia de centro (0,0) y radio 5. Comprobación con el punto (0,5). SEPTIEMBRE.1998.B.- C(7,7) y D(6,8). JUNIO.1998.A.- V =128 u3. D= (8;-8;8); F=(0;16;8); G=(0;8;16); H=(8;0;16). JUNIO.1998.B.1 1 1 a)    No son paralelos 1 1 1 2 3 d u. 3

b)

1 1 1    Son paralelos 1 1 1

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