COLEGIO DE BACHILLERES COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

MATEMÁTICAS II (Versión preliminar)

MATEMÁTICAS II

MATEMÁTICAS II

Coordinador General del Proyecto •

Álvaro Álvarez Barragán

Dirección Técnica •

Uriel Espinosa Robles

Coordinación: •

Luis Antonio López Villanueva

Elaboración: •

Juan Pérez Rodríguez

Revisión de Contenido: • • • • • • • • • • • • •

Mario Ulises Alvarado Hernández Pedro Arrazola Calva Joel Díaz Guadarrama Ricardo Garnica Juárez Daniel González Frías José Carlos López Jiménez Miguel Ángel Marrufo Chan Sergio Muñoz Martínez Conrado Octaviano Pacheco Gasca José Javier Tecuapetla Díaz José Luis Pérez Coss Ernesto Manzano Méndez Elitania Hernández Zepeda

Asesoría Pedagógica: •

Obdulia Martínez Villanueva

Diseño Editorial • •

Rosa Maria Cedillo Aguilar Julia Mary Soriano Saenz

Asistencia Técnica: •

Esteban Hernández Salazar

 Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México. Colegio de Bachilleres, México Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa, 04920, México, D.F. La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.

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MATEMÁTICAS II

ÍNDICE PRESENTACIÓN

4

INTRODUCCIÓN

5

I.

OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA

6

II.

TEMAS FUNDAMENTALES

7

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES

8

3.1

COMPENDIO FASCÍCULO 1. FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. 9

3.2

COMPENDIO FASCÍCULO 2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

23

COMPENDIO FASCÍCULO 3. ANÁLISIS DE FUNCIONES: EJEMPLOS INTERESANTES.

50

3.3 IV.

HOJA DE COTEJO DE EVALUACIÓN

75

V.

EVALUACIÓN MUESTRA

85

5.1 5.2

HOJA DE RESPUESTA HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA

103 105

VI.

SÍMBOLOGÍA

106

VII.

GLOSARIO

107

BIBLIOGRAFÍA

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108

3

MATEMÁTICAS II

PRESENTACIÓN El presente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres. El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes obtenidos a través del estudio de tu compendio fascicular. Los elementos didácticos que lo estructuran son los siguientes: •

Objetivos de evaluación sumativa que te informa acerca de lo que se pretende lograr con el estudio del compendio fascicular.

•

Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan en el Cuaderno.

•

Retroalimentación y verificación de aprendizajes en el cual encontrarás instrucciones generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a contestar.

•

Hoja de cotejo de evaluación en la cual identificarás las respuestas correctas de la evaluación que respondiste.

•

Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar en tu evaluación final de la asignatura.

•

Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento independientemente del compendio fascicular. Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:

¡ TE DESEAMOS SUERTE !

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INTRODUCCIÓN El Departamento de Evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepción de evaluación que se tiene“...como un proceso integral, sistemático, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones...”1, ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación. El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de asesoría que desarrolla en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación sumativa de la asignatura a la que está dirigida; (cabe señalar que es un documento para uso del estudiante y del asesor). Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la asignatura. La asignatura de Matemáticas II tiene como objetivo general, continuar con el estudio del Álgebra, abordando todo lo correspondiente al tema de funciones matemáticas (algebraicas, trascendentes y sucesiones), tanto sus comportamientos gráficos como sus aplicaciones en la solución de problemas; todo esto con el fin de generar en el estudiante una metodología de estudio propio, útil en el desempeño académico general. Matemáticas II integra junto con Matemáticas I, III y IV la materia de Matemáticas que a su vez tiene relación con Cálculo Diferencial e Integral I y II, Estadística Descriptiva e Inferencial I y II, así como el Laboratorio de Informática I y II. Matemáticas II recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del Área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento. Con base a lo anterior, éste Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación Retroalimentación apoyará:

y

Al asesor. •

Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso formativo de los estudiantes , conjuntamente con los compendios fasciculares y materiales que haya dasarrollado como parte de su práctica educativa.

¡ ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD ! Al estudiante. • Para utilizarlo como evaluación sumativa.

un

apoyo

en su estudio independiente, proceso formativo y su

¡ ÉXITO !

1

COLEGIO DE BACHILLERES , La Evaluación del Aprendizaje en el SEA . Documento Normativo CAESA , 1988, pág. 12 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

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I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA COMPENDIO FASCÍCULO 1 1.1 Conocerá el concepto de función lineal y la relación que tiene con la ecuación de primer grado con dos incógnitas, para ver el comportamiento de las dos variables interrelacionadas. 1.2 Interpretará la representación gráfica de una función lineal de la forma: f(x) = ax y

f(x) = ax + b , advirtiendo el análisis de la constante y el parámetro de la función. 1.3 Planteará y resolverá problemas mediante la obtención del modelo matemático de la función lineal y su representación gráfica.

COMPENDIO FASCÍCULO 2 2.1 Planteará y resolverá el modelo matemático de la función polinomial cuadrática que interpreta al enunciado de un problema. 2.2 Reconocerá los elementos y los coeficientes de la función polinomial cuadrática, a partir del concepto de función. 2.3 Interpretará la representación gráfica de la función polinomial cuadrática, advirtiendo las características de dichas gráficas. 2.4 Planteará y resolverá el modelo algebraico de la ecuación cuadrática que representa al enunciado de un problema. 2.5 Determinará la solución o las raíces de una ecuación cuadrática por el método más adecuado, según las características de dichas ecuaciones. 2.6 Interpretará la representación gráfica de las funciones polinomiales, advirtiendo las características de las mismas. 2.7 Reconocerá las funciones algebraicas de acuerdo al concepto, clasificación y gráfica de las mismas. 2.8 Planteará y resolverá el modelo matemático de la función algebraica que representa al enunciado de un problema.

COMPENDIO FASCÍCULO 3 3.1 Reconocerá el modelo de la función exponencial que representa al enunciado de un problema. 3.2 Reconocerá los diferentes tipos de funciones algebraicas y trascendentes. 3.3 Interpretará la representación gráfica de la función exponencial y la función logarítmica. 3.4 Determinará el valor de la base y el exponente en expresiones exponenciales y logarítmicas, realizando las transformaciones correspondientes. 3.5 Interpretará la representación gráfica de sucesiones numéricas sencillas. 3.6 Obtendrá el resultado de problemas por medio de las sucesiones aritméticas sencillas. 3.7 Obtendrá el resultado de problemas por medio de las sucesiones geométricas sencillas. 3.8 Interpretará las características de las iteraciones mediante la representación gráfica de las sucesiones como casos particulares de las funciones.

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II. TEMAS FUNDAMENTALES

COMPENDIO FASCÍCULO 1 I.

FUNCIÓN LINEAL : SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

COMPENDIO FASCÍCULO 2 II.

FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA : SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE 2º GRADO.

III.

OTRAS FUNCIONES POLINOMIALES: SUS REPRESENTACIONES GRÁFICAS.

COMPENDIO FASCÍCULO 3 IV.

ANÁLISIS DE FUNCIONES: SU GENERALIZACIÓN.

V.

FUNCIONES DISCRETAS, SUCESIONES, ITERACIÓN Y RECURSIVIDAD.

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III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES

A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Es importante señalar que se trabaja con situaciones correspondientes a la realidad que se representan por diversas funciones a través de sus representaciones gráficas que implican el conocimiento de procesos operativos de la aritmética y el álgebra elemental aprendidos en la asignatura anterior, y que el estudiante debe dominar para permitirle el desarrollo del razonamiento y visualizar las aplicaciones prácticas de las asignaturas siguientes. Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tu compendio fascicular; si no fue así te pedimos que consultes dicho compendio fascicular y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados con los que te proporcionamos en la hoja de cotejo. Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, dicha evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus resultados en la hoja de respuestas. Las fórmulas que se aplican a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.

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3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1. FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS En el compendio fascículo 1 conociste el concepto y el modelo de la función lineal, su representación gráfica y la relación que tiene con la ecuación de primer con dos incógnitas; además aprendiste a obtener dichas funciones a partir del enunciado de un problema para ver el comportamiento de las dos variables interrelacionadas.

FUNCIONES. La función es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del 1er conjunto con uno y sólo un elemento del 2do conjunto; y = f(x). El 1er conjunto es el dominio de la función y sus elementos son los valores de “x” (variable independiente), do D = {x / x ∈ R } . El 2 conjunto es la imagen, recorrido, contradominio o codominio de la

función y sus elementos son los valores de “y” (variable dependiente), I = {y / y = f ( x )} .

CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES. 1. Se construye una tabulación de valores: se asignan valores arbitrarios a la variable independiente (x), se evalúa la función sustituyendo cada valor de “x” para obtener cada valor de “y” y se forman puntos de pares ordenados P(x,y). 2. Se construye la gráfica en el plano cartesiano: se representan los puntos en el plano y se unen para formar la gráfica de la función.

FUNCIÓN LINEAL. Es lineal porque su variable independiente “x” tiene como máximo exponente la unidad (1). De la ecuación de primer grado con dos incógnitas, se obtiene la regla de correspondencia de la función lineal mediante la aplicación de las propiedades de igualdad en la transposición de si Ax + By = 0 entonces términos: si Ax + By + C = 0 entonces f(x) = ax + b y f(x) = ax ; donde y = f(x) , con a y b constantes y a ≠ 0

EJEMPLO * Transformar la ecuación, 6x − 2y = 0 en una función lineal. - Se aplican las propiedades de campo de los números reales y de igualdad para despejar a la variable “y”, dejándola en el primer miembro de la igualdad.

−2y = −6 x y =

−6 x −2

∴

y = 3x

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- Se obtiene el modelo de la función lineal. Como y = f ( x ) ; entonces la función, es: f(x) = 3x * Transformar la ecuación, 2 y − x − 2 = 0 en una función lineal. 3 - Se aplican las propiedades de campo de los números reales y de igualdad para despejar a la variable “y”, dejándola en el primer miembro de la igualdad.

2 y =x+2 3 y =

3 ( x + 2) 2

∴

y=

3 x+3 2

- Se obtiene el modelo de la función lineal. Como y = f ( x ) , entonces la función, es:

f(x) =

2 x+3 3

* Obtener el modelo de la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores. 1 4

x y

2 8

3 12

4 16

- En la tabulación hay dos conjuntos de valores, el dominio “x” y el rango “y”; de esto se establece que a cada elemento de “x” le corresponde uno de “y”; por lo tanto, existe una correspondencia de valores, donde la constante o razón de cambio se obtiene despejándola del modelo general de la función lineal, y = ax con a = x y sustituyendo dichos valores. y - Se sustituyen valores en cada correspondencia. a = 4 = 4 ; a = 8 = 4 ; a = 12 = 4 ; a = 16 = 4 1 2 3 4 En cada caso el valor de la constante es igual; por lo tanto, la tabulación es de números proporcionales y está representada por una función lineal que se obtiene sustituyendo el valor de a en el modelo general, resultando la expresión, f(x) = 4x .

* Obtener el modelo de la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores. −6 3

x y

−4 2

4 −2

6 −3

- Se obtiene el valor de la constante o razón de cambio despejándola en el modelo general de la función lineal, y = ax , con a = x y - Se sustituyen valores en cada correspondencia. a=

3 1 =− −6 2

;

a=

2 1 =− −4 2

;

a=

−2 1 =− 4 2

;

a=

−3 1 =− 6 2

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Como el valor de “a” es constante, entonces la tabulación está representada por una función que se obtiene sustituyendo el valor de a en el modelo general, resultando la expresión,

f(x) = −

1 . x 2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA f(x) = ax Y f(x) = ax + b . La gráfica de la función lineal es una línea recta.

Obtención de la recta mediante la construcción gráfica de la función.

EJEMPLO * Dada la función, f(x) = 2x con dominio D = {−2, −1, 0, 1, 2}; obtener: A) Su representación gráfica. B) La notación del conjunto de valores para el dominio y la imagen. C) La correspondencia de valores entre los elementos del dominio y la imagen. - Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. x −2 −1 0 1 2

f(x) = 2x f(−2) = 2(−2) f(−1) = 2(−1) f (0) = 2 (0) f (1) = 2 (1) f (2) = 2 (2)

y −4 −2 0 2 4

P(x,y) P(−2,−4) P(−1,−2) P(0,0) P(1,2) P(2,4)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica:

y 4 3 2 1

x’

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

-2 -3 -4

y’

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B) Notación. Son los valores comprendidos para el dominio y el rango de la función. Dominio D = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} ; Imagen I = {y ∈ R / − 4 ≤ y ≤ 4} C) La correspondencia de valores. Es la relación existente entre cada elemento del dominio y cada elemento que le corresponde en la imagen. D I x f f(x) −2 −4 −1 −2 0 0 1 2 2 4 La correspondencia indica que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento de la imagen; con esto se concluye que en los pares ordenados de una función, a una misma abscisa no le pueden corresponder dos ordenadas distintas.

Obtención de la recta por medio de su intersección con los ejes coordenados. La intersección de la recta con el eje “x” (abscisas) es en el punto P(x,0) y con el eje “y” (ordenadas) es en el punto P(0,y).

EJEMPLO * Dada la ecuación, x + 2y + 2 = 0 ; obtener: A) Su representación gráfica de la función. B) La notación del conjunto de valores para el dominio y el recorrido de la función. C) La correspondencia de valores entre los elementos del dominio y el rango. - Se transforma la ecuación en una función lineal mediante la aplicación de las propiedades de campo de los números reales y de igualdad.

2y = − x − 2 y =−

1 2 x− 2 2

∴

f(x) = −

1 x−1 2

- Se sustituye la variable dependiente (y) por el cero y se resuelve la ecuación para obtener el punto de intersección de la recta con el eje de las abscisas (eje x). 0=−

1 x −1 2

 1  2( 0 ) = 2 − x − 1  2 

0 = −x − 2

x = −2

∴ el punto de intersección con el eje de las abscisas es P(−2,0)

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- Se sustituye la variable independiente (x) por el cero y se resuelve la ecuación para obtener el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas (eje y).

f (x ) = −

1 (0 ) − 1 2

y = −1 ∴ el punto de intersección con el eje de las ordenadas es P(0,−1) - Se representan las coordenadas de los puntos en el plano y se traza una recta que pase por dichos puntos para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica:

y 3 2 1

x’

x -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2 -3

y’ B) Notación. Como no se da la condición de valores para el dominio, entonces en dicho dominio se puede considerar a los números reales, ya que la recta es continua en el plano. D = {x / x ∈ R}; y el rango es, I = {y / y = f(x)}. C) Correspondencia de valores:

D x −2 0

I f

f(x) −1 0

Obtención de la recta mediante las características de la constante “a” y el parámetro “b” de la función. La constante “a” indica la inclinación de la recta; si a > 0 , se inclina hacia la derecha y si a < 0 , se inclina hacia la izquierda. El parámetro “b” es el valor de la intersección de la recta con el eje “y”; si b > 0 , la recta pasa arriba del origen del plano; si b = 0 , la recta intersecta en el origen, y si b < 0 , la recta pasa abajo del origen.

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EJEMPLO * Obtener la representación gráfica de la función, f ( x ) = − 2 x + 1 - Se obtienen las características de la constante y el parámetro de la función. La función f(x) = − 2x + 1 es de la forma f(x) = ax + b , donde a = − 2 y b = 1 ; como a < 0 , la recta se inclina hacia la izquierda, y como b = 1, entonces dicha recta pasa arriba del origen del plano en la ordenada y = 1. - Se asigna un valor arbitrario a “x” y se sustituye en la función para obtener el valor de “y”; con esto se forma un par ordenado P(x,y) que satisface a la recta de la función. Se asigna x = 2

f ( x ) = −2 x + 1 f ( x ) = −2(2) + 1 ∴ f(x) = − 3

el punto que satisface a la recta es P(2,−3)

- Se obtiene la gráfica ubicando el punto en el plano y tomando en cuenta las características de la constante y el parámetro de la función. y 3 2 1

x’

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

-1 -2 -3 -4

y’ Como el valor del parámetro “b” indica la intersección de la recta con el eje “y”; entonces se concluye que el valor de “b” es la ordenada al origen de la función lineal en el punto P(0,b).

Obtención de la función a partir de su recta determinada por un punto P(x,y) y su ordenada al origen P(0,b). Se sustituyen las coordenadas del punto P(x,y) y el parámetro “b” en el modelo general de la función, para obtener la constante “a” y representar la función correspondiente a la gráfica.

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EJEMPLO * Obtener la función lineal correspondiente a la siguiente gráfica. y 2 1

x’

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

-1 -2 -3 -4

y’ - Se sustituyen las coordenadas del punto P(2,-2) y el parámetro b = -3 en la función f(x) = ax + b , y se obtiene la constante “a” mediante la transposición de términos y las operaciones indicadas en la expresión.

( − 2) = a ( 2) + ( − 3 )

2a = 3 − 2

∴

a =

1 2

- Se representa el modelo de la función correspondiente a la gráfica especificada. f(x) = 1 x − 3 2

Obtención de la función lineal a partir de la gráfica representada por dos puntos. Se obtiene la constante “a” dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa (desplazamiento hacia arriba y a la derecha es positivo, hacia abajo y a la izquierda es negativo); Posteriormente se obtiene el parámetro “b” sustituyendo las coordenadas de uno de los puntos y la constante “a” en el modelo general de la función.

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EJEMPLO * Obtener la expresión de la función lineal que está representada por la siguiente recta. y 2

A(5,2)

1

x’ -2

-1 -1

0

x 1

-2

2

3

4

5

6

B(1,-2)

-3

y’ - Se realizan los desplazamientos de la ordenada (y) y la abscisa (x) de un punto a otro en la recta. y 2

A(5,2)

1

x’ -2

-1 -1

0

-2

x 1

2

3

B(1,-2)

4

5

6 C

-3

y’ La ordenada se desplaza 4 unidades hacia abajo, por lo tanto AC = −4 La abscisa se desplaza 4 unidades hacia la izquierda, por lo tanto CB = −4 - Se obtiene el valor de la constante “a” , dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa.

a=

AC −4 = CB −4

∴ a=1

- Se sustituye el valor de la constante “a” y las coordenadas de uno de los puntos en el modelo de la función lineal. [En este caso se trabaja con el punto A (5,2)].

f ( x ) = ax + b

2 = 1( 5 ) + b

- Se resuelve la ecuación para obtener el valor del parámetro “b”.

1( 5 ) + b = 2 5+b = 2 ∴ b = 2−5

b = −3

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- Se sustituye el valor de “a” y de “b” en el modelo general de la función lineal y se obtiene la función correspondiente a la gráfica.

f(x) = x − 3

f ( x ) = ax + b

Obtención de la función lineal a partir de la tabulación de dos o más puntos. Se representan gráficamente dos puntos de la tabulación para formar la recta, posteriormente se obtiene la función lineal a partir de la recta representada en el plano.

EJEMPLO * Obtener la función lineal que corresponde a la siguiente tabulación de valores. 0 1

x y

3 7

- Se representan los dos puntos en el plano formándose la recta de la función; también se realizan los desplazamientos de la abscisa y la ordenada en dicha recta. y P2(3,7)

P

7 6 5 4 3 2

P1(0,1)

1

x’ -2

-1

0 -1

x 1

2

3

4

5

y’ La ordenada se desplaza 6 unidades hacia arriba, por lo tanto P1 P = 6 La abscisa se desplaza 3 unidades hacia la derecha, por lo tanto PP2 = 3 - Se obtiene el valor de la constante “a”, dividiendo el desplazamiento de la ordenada entre el desplazamiento de la abscisa.

a=

P1P 6 = PP2 3

∴ a=2

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- Se obtiene el valor del parámetro “b” a partir de la intersección de la recta con el eje “y”. Como el punto de intersección es P(0,1), entonces el valor del parámetro es, b = 1 - Se sustituye el valor de “a” y de “b” en el modelo de la función lineal y se obtiene la función correspondiente a la tabulación dada.

f ( x ) = ax + b

f(x) = 2x + 1

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, CUYA INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA ES UNA FUNCIÓN LINEAL. El modelo de la función lineal se obtiene a partir de las condiciones del enunciado mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico, posteriormente se determinan las cantidades que nos pide el problema y se representan mediante la gráfica de la función.

EJEMPLO •

Resolver el siguiente problema. El promedio de goleo de un futbolista profesional es de 0.5 por partido. De acuerdo con esto, determinar: A) La expresión de la función lineal que determina el número de goles anotados en función del número de partidos jugados. B) ¿Cuántos goles anota si juega 2, 4, 6 u 8 partidos? C) La tabulación y la gráfica de los resultados obtenidos en el inciso anterior.

Solución A) - Se obtiene la función lineal mediante las condiciones del problema. Del análisis del enunciado se establece que, Nº de goles anotados = Promedio de goleo, por Nº de partidos jugados. Traducido al lenguaje algebraico se obtiene la función lineal, f(x) = 0.5x

B) - Se sustituye el número de partidos jugados, para obtener el número de goles anotados. Si juega 2 partidos, Si juega 4 partidos, Si juega 6 partidos, Si juega 8 partidos,

f (2) = 0.5(2) f (4) = 0.5(4) f ( 6 ) = 0.5( 6 ) f (8 ) = 0.5(8 )

f (2) = 1 ; entonces anota 1 gol. f (4) = 2 ; entonces anota 2 goles. f ( 6 ) = 3 ; entonces anota 3 goles. f (8 ) = 4 ; entonces anota 4 goles.

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C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. x

y

2 4 6 8

1 2 3 4

y (goles) 4 3 2 1

x’ -1

x

0

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

y’

* Resolver el siguiente problema. Un vendedor de automóviles gana $1500.00 a la semana más $500.00 por cada vehículo que venda. De acuerdo con esto, determinar: A) La expresión de la función lineal que determina la cantidad ganada en función del número de autos vendidos semanalmente. B) ¿Cuánto gana si vende 2, 3, 4 ó 5 autos? C) La tabulación y la gráfica de los resultados obtenidos en el inciso anterior? D) ¿Cuántos vehículos debe vender para ganar $5500.00 en una semana? Solución. A) - Se obtiene la función lineal mediante las condiciones del problema. Del análisis del enunciado se establece que, Sueldo total semanal = Sueldo base, más la Comisión de cada auto vendido por el Nº de autos vendidos. Traducido al lenguaje algebraico se obtiene la función, f(x) = 1500 + 500x ó f(x) = 500x + 1500 B) - Se sustituye el número de autos vendidos, para obtener el sueldo total semanal. Si vende 2 autos, Si vende 3 autos, Si vende 4 autos, Si vende 5 autos,

f (2 ) = f (3 ) = f (4 ) = f (5) =

500 ( 2 ) + 1500 500 ( 3 ) + 1500 500 ( 4 ) + 1500 500 ( 5 ) + 1500

f ( 2 ) = 2500 ; entonces gana $2500.00. f ( 3 ) = 3000 ; entonces gana $3000.00. f ( 4 ) = 3500 ; entonces gana $3500.00. f ( 5 ) = 4000 ; entonces gana $4000.00.

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MATEMÁTICAS II

C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. y (sueldo) x y 4000

2 3 4 5

2500 3000 3500 4000

3500 3000 2500 2000 1500

x’ -1

x

0

1

2

3

4

5

6

y’ D) - Como “x” es el número de autos que se venden, entonces se sustituye el valor de 5500 en la función lineal y se resuelve la ecuación para “x”, y así obtener el número de autos vendidos. f(x) = 500x + 1500 5500 = 500x + 1500 5500 − 1500 = 500x 4000 = 500x

x=

4000 = 8 ; Por lo tanto, debe vender 8 autos para ganar $5500.00 500

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MATEMÁTICAS II

EVALUACIÓN Contesta lo que se te pide en cada ejercicio. 1.

Transforma la ecuación, Ax + By + C = 0 en el modelo de una función lineal.

2.

Representa la ecuación, 3x + y = 6 mediante el modelo de una función lineal.

3.

4.

Obtén el modelo de la función lineal que tiene como razón de cambio el valor de a = 1 y 3 como parámetro el valor de b = −3. Determina la función lineal de la siguiente tabulación de números proporcionales. x y

5.

2.5 −18

3.5 −25.2

5 −36

7 −50.4

9.5 −68.4

Construye la gráfica de la función, f(x) = x − 2 con dominio D = {−2,−1,0,1,2} .

6.

Representa la regla de correspondencia de valores entre los elementos del dominio y el rango de la función, f(x) = − 2x + 5 con dominio D = {0,1,2,3} .

7.

Indica las coordenadas de los puntos donde intersecta la recta de la función, f(x) =

4 x+4 3

con los ejes coordenados del plano. 8.

Bosqueja la gráfica de una función lineal, cuya constante “a” y parámetro “b” son negativos.

9.

Determina el modelo de la función lineal de la recta que pasa por los puntos P(4,−5) y P’(0,5) del plano.

10.

Obtén la función lineal de la siguiente tabulación de valores. x y

0 −1

3 5

6 11

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21

MATEMÁTICAS II

11.

Determina la función lineal de la recta que se representa en el siguiente plano. y 3

P(0,1)

2 1

P(-5,0 x’ -6

-5

-4

-3

-2

x

0

-1

1

2

-1

y’ 12.

Si sabemos que el banco nos paga el 12% de interés anual por “x” cantidad depositada y recibimos “y” intereses generados; entonces, ¿Cuál es la función lineal que describe las condiciones del enunciado?

13.

Si el sueldo de un obrero es de $480.00 semanales, más $15.00 por cada hora extra que trabaja; entonces, ¿Cuál es la función lineal que describe el sueldo semanal del obrero si trabaja “x” horas extras?

14.

Resuelve el siguiente problema mediante la obtención del modelo de la función lineal. Una avioneta realiza su recorrido a una velocidad constante de 220 km/hr. De acuerdo con esto, determinar: A) La expresión de la función lineal que determina la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido. B) ¿Cuántos kilómetros recorre si transcurren 1, 3 ó 5 horas? C) ¿La gráfica de la función lineal que se obtiene con los valores especificados en el inciso anterior?

15.

Resuelve el siguiente problema mediante la obtención del modelo de la función lineal. Un camión de carga tiene un rendimiento de 3 km/lts y la capacidad de su tanque de gasolina es de 210 lts . De acuerdo con esto, determinar: A) La función lineal que describe la cantidad de gasolina que hay en el tanque después de recorrer “x” kilómetros. B) ¿Cuántos litros quedan en el tanque, si el camión recorre 150 , 300 ó 450 Km.? C) ¿La gráfica de la función lineal que se obtiene con los valores especificados en el inciso anterior?

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3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. En el compendio fascículo 2, conociste los modelos de las distintas funciones polinomiales, sus características, elementos, representaciones gráficas y aplicaciones. También aprendiste a resolver las ecuaciones de segundo grado aplicando métodos algebraicos, tales como fórmula general, factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y gráficamente.

FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA. Es cuadrática porque su variable independiente “x” tiene como máximo exponente el dos (2). Su regla de correspondencia es f(x) = ax 2 + bx + c ; donde a, b y c son constantes, con a ≠ 0. Las constantes a, b y c son valores reales correspondientes a los coeficientes de la función

EJEMPLO * La siguiente tabla muestra por separado a los coeficientes de algunas funciones cuadráticas. FUNCIONES CUADRÁTICAS

COEFICIENTES

f(x) = 2x 2

a 2

b 0

c 0

f(x) = x 2 − 3

1

0

−3

f(x) = − 3x 2 + x

−3

1

0

−1

4

½

f(x) = − x 2 + 4x +

1 2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA. La gráfica de la función cuadrática es una parábola que tiene concavidad, vértice, intersección con los ejes, eje de simetría y valor máximo o mínimo.

Obtención de la parábola mediante la construcción gráfica de la función.

EJEMPLO * Dada la función f(x) = x 2 − 6x con dominio D = {−1,0,1,2,3,4,5,6,7} ; obtener: A) La representación gráfica (la parábola). B) El conjunto de valores asociados a la imagen si el dominio es D = {x ∈ R / −1 ≤ x ≤ 7} . C) Las coordenadas del vértice, la intersección de la curva con los ejes coordenados, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la parábola.

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- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. x −1 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) = x2 − 6x f(−1) = (−1)2 − 6(−1) f (0) = (0)2 − 6 (0) f (1) = (1)2 − 6 (1) f (2) = (2)2 − 6 (2) f (3) = (3)2 − 6 (3) f (4) = (4)2 − 6 (4) f (5) = (5)2 − 6 (5) f (6) = (6)2 − 6 (6) f (7) = (7)2 − 6 (7)

y 7 0 −5 −8 −9 −8 −5 0 7

P(x,y) P(−1,7) P (0,0) P(1,−5) P(2,−8) P(3,−9) P(4,−8) P(5,−5) P (6,0) P (7,7)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica:

y 7

x’

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

-5

-8 -9

y’ B) El rango de la función para los valores comprendidos del dominio, es: I = {y ∈ R / −9 ≤ y ≤ 7} . C) - El vértice es el punto más alto (punto máximo) o el punto más bajo (punto mínimo) de la parábola, es decir, el punto donde la curva cambia la dirección de crecimiento o decrecimiento. En este caso es un punto mínimo y sus coordenadas son V(3,−9). La abscisa del vértice es igual a la abscisa del punto medio del segmento que une un par cualquiera de puntos simétricos. - La intersección con los ejes. La parábola intersecta con el eje “y” en el punto P(0,0) y con el eje “x” en los puntos P(0,0) y P(6,0). - La ecuación del eje de simetría. En una función cuadrática el eje de simetría es la recta paralela al eje “y” que pasa por el vértice y divide a la parábola en dos partes iguales. Por lo tanto la ecuación de dicho eje es igual al valor de la abscisa del vértice: x = 3 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

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- La concavidad es la abertura de la parábola y en este caso la concavidad es hacia arriba. * Dada la función f(x) = − x 2 + 4x − 3 con dominio f(x) = {−1,0,1,2,3,4,5} ; obtener: A) La representación gráfica (la parábola). B) El conjunto de valores asociados a la imagen si el dominio es D = {x ∈ R / −1 ≤ x ≤ 5} . C) Las coordenadas del vértice, la intersección de la curva con los ejes coordenados, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la parábola. - Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. X −1 0 1 2 3 4 5

f(x) = −x2 + 4x − 3 f(−1) = −(−1)2 + 4(−1) − 3 f(0) = −(0)2 + 4(0) − 3 f(1) = −(1)2 + 4(1) − 3 f(2) = −(2)2 + 4(2) − 3 f(3) = −(3)2 + 4(3) − 3 f(4) = −(4)2 + 4(4) − 3 f(5) = −(5)2 + 4(5) − 3

y −8 −3 0 1 0 −3 −8

P(x,y) P(−1,−8) P(0,−3) P (1,0) P(2,1) P(3,0) P(4,−3) P(5,−8)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. A) Gráfica:

y 1

x’ -2

-1

0

x 1

2

3

4

5

6

-3

-8

y’ B) El rango de la función para los valores comprendidos del dominio, es: I = {y ∈ R / −8 ≤ y ≤ 1} . C) Vértice P(2,1) (Punto máximo). La parábola intersecta con el eje “y” en el punto P(0,−3) y con el eje “x” en los puntos P(1,0) y P(3,0). La ecuación del eje de simetría es: x = 2 . Y la parábola es cóncava hacia abajo.

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Obtención de los elementos de la parábola a partir del análisis de los coeficientes a, b y c de la función cuadrática. Las características de las constantes, son: “a” Indica la concavidad y la abertura de la gráfica

“c” Indica la intersección de la curva con el eje “y”

(+) Abre hacia arriba (cóncava hacia arriba). (−) Abre hacia abajo (cóncava hacia abajo). −1 > a > 1 es contraída. −1 < a < 1 es expandida (con a ≠ 0). (+) intersecta al eje arriba del origen. (0) intersecta en el origen. (−) intersecta abajo del origen.

2  b b 2  ,c − Vértice: V  − b , 4ac − b  ó V  −  2a 4a  4a   2a 

EJEMPLO * Dada la función, f(x) = x 2 − 8x + 17 . Determinar: A) B) C) D) E)

La concavidad de la parábola. Las coordenadas del vértice de dicha parábola. La intersección de la curva con el eje de las ordenadas. La ecuación del eje de simetría de dicha curva. El valor máximo o mínimo de la función, según su gráfica.

- De la función se establece que los valores de las constantes, son: a = 1 , b = −8 y c = 17 A) Como la constante “a” es positiva, entonces la abertura de la parábola es hacia arriba, esto quiere decir que es cóncava hacia arriba. - Para obtener el vértice se sustituyen los valores de los coeficientes en la siguiente fórmula y se desarrollan las operaciones indicadas. 2 B) V  − b , 4ac − b  4a  2a 

 − ( − 8 ) 4(1)(17 ) − ( − 8 ) 2  V ,  4 (1)   2(1)

V(4,1)

C) Como la constante c = 17; entonces el punto donde intersecta la curva con el eje “y” es arriba del origen y dicho punto es P(0,17). D) La ecuación del eje de simetría es el valor de la abscisa del vértice de la curva; por lo tanto dicha ecuación es: x = 4 E) El valor máximo o mínimo de la función es el valor de la ordenada del vértice. Como en este caso la concavidad es hacia arriba, entonces la función tiene valor mínimo, el cual es, Vmín = 1

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Obtención del vértice de la parábola mediante procesos algebraicos. Una función cuadrática de la forma, f(x) = ax 2 + bx + c se puede transformar en la expresión,

f(x) = a (x + h ) + k donde a , h y k son constantes y a ≠ 0 con vértice en el punto V(−h,k). 2

EJEMPLO * Dada la función, f(x) = − x 2 + 2x + 8 ; transformarla a su forma, f(x) = a ( x + h ) + k y 2

obtener las coordenadas del vértice de su parábola. - La transformación de la expresión se realiza mediante los siguientes procedimientos algebraicos.

f ( x) − 8 = − x 2 + 2x f ( x ) − 8 = − 1( x 2 − 2 x ) f ( x ) − 8 = − 1( x 2 − 2 x + 1)

(Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el término constante en el 1º miembro de la igualdad) (Se factoriza el 2º miembro por factor común, para dejar al término cuadrático positivo). (Se completa el binomio del 2º miembro en un trinomio cuadrado perfecto, agregando el cuadrado de la mitad del coeficiente ) del término lineal,  − 2  2    2 

= 1

f ( x ) − 8 − 1 = −1( x 2 − 2 x + 1) (El término que se agrega en el 2º miembro, también se agrega f ( x ) − 9 = − 1( x − 1) 2 f(x) = − 1(x − 1) 2 + 9

en el 1º miembro para no afectar la igualdad). (Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto, y se realiza la operación del 1º miembro). (Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el término constante del 1º miembro en el 2º miembro y así obtener la expresión deseada).

- Una vez que se obtuvo la expresión, se procede a obtener el vértice de la parábola, sustituyendo los valores de h y k . V(−h, k) V[−(−1),9] V(1,9)

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, CUYA INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA ES UNA FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA. El modelo de la función cuadrática se obtiene a partir de las condiciones del enunciado, mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico, posteriormente se obtiene las cantidades (valor máximo o mínimo de la función) que nos pide el problema y se representan mediante la gráfica de la función.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema.

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En un terreno de cultivo, se destina una parte rectangular para sembrar rabano y se dispone de 68 metros lineales de malla de acero para cercar la parte que se va a sembrar; se desea que la parte cercada sea una máxima área sembrada. De acuerdo con esto; determinar: A) La función cuadrática que permite obtener la máxima área a sembrar, que se puede abarcar con los 68 metros lineales de malla. B) El valor de la máxima área obtenida con la función del inciso anterior. C) El comportamiento gráfico de las condiciones del problema. Solución. A) - Se obtiene la función cuadrática mediante las condiciones del enunciado. De las condiciones, se establece que con los 68 m lineales de malla se formará un rectángulo de área máxima, y que dicho rectángulo tiene un perímetro de 68 m, por lo tanto la suma de su base y su altura es la mitad del perímetro, es decir 34 m. Si se denomina “x” a la base del rectángulo, entonces la altura es 34 − x . Y como el área de dicha figura es base por altura, entonces la función que la describe es f(x) = x(34 − x) , desarrollando el producto, se obtiene la función cuadrática del problema. f(x) = − x 2 + 34x B) - La máxima área se obtiene con el vértice de la parábola de la función anterior, aplicando la 2 expresión: V  − b , 4ac − b  4a   2a - Sustituyendo valores y realizando operaciones, se obtienen las coordenadas del vértice.  − b 4 ac − b 2   − ( 34 ) 4( − 1)( 0 ) − ( 34 ) 2  V(17,289) V V , ,   4a 4( − 1)  2a   2( − 1)  - Del vértice se deduce que la parte sembrada tiene una área máxima de 289 m2 cuando la base de la figura mide 17 m. Si la base mide 17 m entonces la altura también mide 17 m y se concluye que la parte sembrada debe ser un cuadrado. C) - Como la variable independiente “x” indica la longitud de la base medida en metros, entonces se establece que dicha variable adquiere valores reales continuos entre 0 y 34; cuando esto sucede, se dice que la función es continua, por lo tanto su gráfica será una parábola sin interrupciones. De la gráfica se establece el dominio y el rango de la función. y 289

D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 34} I = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 289}

x’

0

17

34

x

y’

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MATEMÁTICAS II

* Resolver el siguiente problema. Un agente de bienes y raíces estima que la ganancia mensual de un edificio está descrita por la función f(x) = −250x 2 + 3000x , donde “x” es el número de pisos y f(x) es la ganancia en pesos. De acuerdo con esto, determinar: A) El número de pisos del edificio que arroje una máxima ganancia mensual. B) El comportamiento gráfico de las condiciones del problema. Solución. A) - La máxima ganancia se obtiene con el vértice de la parábola de la función establecida en el 2 problema, aplicando la expresión: V  − b , 4 ac − b   2a  4a   - Sustituyendo valores y realizando operaciones, se obtienen las coordenadas del vértice.  − b 4 ac − b 2   − (3000 ) 4 (250 )( 0 ) − (3000 ) 2  V(6,9000) V , , V   4a 4 (250 )  2a   2 (250 )  - Del vértice se deduce que con 6 pisos del edificio se obtiene una ganancia máxima que es de $9000.00 B) - Como la variable independiente “x” indica el número de pisos del edificio, entonces se Establece que dicha variable adquiere únicamente valores enteros, ya que no se puede tener fracciones de piso. Cuando esto sucede, se dice que la función es discreta, por lo tanto su gráfica será una parábola de un conjunto de puntos aislados. y

De la gráfica se establece el dominio y el rango de la función.

9000

D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 12} I = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 9000}

x’

x 0

6

12

y’ En los dos problemas anteriores, únicamente se está bosquejando las gráficas, de acuerdo con esto, el estudiante debe construir su tabulación de valores para representar exactamente los puntos correspondientes a dichas gráficas.

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Obtención de las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas (Ceros de la función). La ordenada de los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal vale cero. Como y = f(x), entonces f(x) = 0, y al igualar la función a cero, ésta se transforma en una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a , b y c son constantes y a ≠ 0.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS (DE 2º GRADO) CON UNA INCÓGNITA. La solución de la ecuación cuadrática es el valor o valores reales de la incógnita “x” que satisfacen la igualdad, dichos valores de “x” son los correspondientes a las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal del plano.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma, ax 2 + c = 0 . Se deja la incógnita en el 1º miembro y el término constante en el 2º miembro, aplicando las propiedades de campo de los números reales y de igualdad.

EJEMPLO * Resolver la ecuación, 3x 2 − 48 = 0 - Se trasponen términos, aplicando las propiedades de campo de los números reales y de igualdad.

3 x 2 = 48 x2 =

48 3

x 2 = 16 x 2 = ± 16 x = ±4

∴

Las soluciones o raíces de la ecuación, son: x1 = 4 y x2 = −4

De lo anterior se establece que toda ecuación cuadrática de la forma ax + c = 0 solución, dos valores reales, los cuales son simétricos entre si, (de signo contrario). 2

tiene como

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma, ax 2 + bx = 0 . Se factoriza el 1º miembro de la igualdad y cada factor se iguala a cero para obtener el valor de las incógnitas.

EJEMPLO * Resolver la ecuación, 3x 2 + 45x = 0

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MATEMÁTICAS II

- Se factoriza el primer miembro de la igualdad por factor común.

3 x 2 − 45 x = 0

3 x ( x − 15 ) = 0

- Como el 1º miembro de la igualdad es igual a cero, entonces cada factor de dicho miembro se iguala a cero y se resuelven las igualdades para obtener el valor de las raíces (solución) de la ecuación.

3 x = 0 ∴ x1 = 0

;

x − 15 = 0 ∴ x 2 = 15

De lo anterior se establece que toda ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx = 0 tiene como solución, dos valores reales: el cero y otro diferente de cero.

Solución de ecuaciones cuadráticas completas de la forma, ax 2 + bx + c = 0 . Se resuelven aplicando cualquiera de los siguientes métodos: factorización, completando el trinomio cuadrado perfecto, fórmula general y gráficamente.

Factorización. Se aplican las factorizaciones de los trinomios cuadrado perfecto y de la forma x 2 + bx + c y ax 2 + bx + c , dependiendo las características de la ecuación.

EJEMPLO * Resolver la ecuación, x 2 − 10x + 25 = 0 - Del análisis de la ecuación, se deduce que el 1º miembro de la igualdad es un trinomio cuadrado perfecto, ya que el término cuadrático y el término constante tienen raíz cuadrada exacta y el doble producto de ambas raíces es igual al término lineal; por lo tanto el trinomio se factoriza representando la diferencia de sus raíces elevada al cuadrado.

x 2 − 10 x + 25 = 0

(x − 5)2 = 0

( x − 5 )( x − 5 ) = 0

- Como los factores del trinomio son iguales, entonces uno de ellos se iguala a cero y se obtiene el valor de la raíz correspondiente a la solución de la ecuación.

x−5 =0

∴ x = 5

De lo anterior se establece que si el 1º miembro de la ecuación cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto, entonces la solución o raíz de la ecuación es un sólo valor real diferente de cero.

* Resolver la ecuación, x 2 − 4x − 21 = 0 - Del análisis de la ecuación, se deduce que el 1º miembro de la igualdad es un trinomio de la forma x 2 + bx + c ; entonces se factoriza buscando dos valores que multiplicados resulten la constante “c” y que sumados resulten la constante “b”; dichos valores se representan con la variable lineal en un producto de factores.

x 2 − 4 x − 21 = 0

( x + 3 )( x − 7 ) = 0

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MATEMÁTICAS II

- Como el 1º miembro de la igualdad es igual a cero, entonces cada factor de dicho miembro se iguala a cero y se resuelven las igualdades para obtener el valor de las raíces (solución) de la ecuación.

x +3 = 0

∴ x 1 = −3

;

x −7 = 0

∴ x2 = 7

* Resolver la ecuación, 2x 2 + 3x + 1 = 0 - Del análisis de la ecuación, se deduce que el 1º miembro de la igualdad es un trinomio de la forma ax 2 + bx + c ; entonces se factoriza buscando dos valores que multiplicados resulten el producto de las constantes “a” y “c”, y que sumados resulten la constante “b”; posteriormente se descompone el término lineal en los valores encontrados y se realiza la agrupación de términos correspondiente.

2x 2 + 3 x + 1 = 0

2 x 2 + 2x + x + 1 = 0

2x ( x + 1) + 1( x + 1)

( x + 1)( 2x + 1) = 0

- Cada factor del 1º miembro se iguala a cero y se resuelven las igualdades para obtener el valor de las raíces de la ecuación. ; x + 1 = 0 ∴ x 1 = −1 2x + 1 = 0 ∴ x 2 = − 1 2 De los ejemplos anteriores se establece que si el 1º miembro de la ecuación cuadrática es factorizable por medio de un trinomio de la forma, x 2 + bx + c = 0 ó ax 2 + bx + c ; entonces dicha ecuación tiene como solución dos valores reales diferentes de cero.

Completando el trinomio cuadrado perfecto. éste método se aplica generalmente cuando el 1º miembro de la ecuación cuadrática no es factorizable.

EJEMPLO * Resolver la ecuación, 3x 2 − 4x − 2 = 0

3x 2 − 4x = 2 x2 −

4 2 x = 3 3

(Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el término constante en el 2º miembro de la igualdad) (Se divide toda la igualdad entre la constante del término cuadrático para dejar a éste con la unidad)

4 4 2 4 x2 − x + = + 3 9 3 9

(Se completa el binomio del 1º miembro en un trinomio cuadrado perfecto agregando en ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente 2 del término lineal,  − 4 / 3  = 4 )  

2

 

9

2

2 10  x −  =  3 9

(Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se realiza la suma del 2º miembro)

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32

MATEMÁTICAS II

3  x −   2

2

= ±

10 9

(Se extrae raíz cuadrada a cada miembro de la igualdad, para dejar a la incógnita en forma lineal y al 2º miembro con dos raíces, una positiva y otra negativa)

x−

2 10 =± 3 3

(Se extraen las raíces correspondientes)

x=

2 ± 3

(Se aplican las propiedades correspondientes para dejar el término

10 3

constante del 1º miembro en el 2º miembro) - Como se tiene una raíz positiva y una negativa, entonces cada raíz es un valor real del conjunto solución de la ecuación. 2 + 10 2 − 10 ; x1 = x2 = 3 3

Fórmula general. Se sustituye el valor de los coeficientes de la ecuación en la fórmula,

x=

−b ±

b 2 − 4ac , la cual se deduce del método de completar el trinomio cuadrado perfecto. 2a

EJEMPLO * Resolver la ecuación, 2x 2 + 3x − 2 = 0 - Los coeficientes de la ecuación, son: a = 2, b = 3 y c = −2 - Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes para obtener el valor de las raíces de la ecuación.

x =

x =

x =

x =

−(3) ±

−3 ±

( 3 ) 2 − 4 ( 2 )( − 2 ) 2( 2 ) 9 + 16 4

− 3 ± 25 4 x1 =

−3 + 5 4

∴

x1 = 1

x2 =

−3 − 5 4

∴

x 2 = −2

2

−3 ± 5 5

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33

MATEMÁTICAS II

* Resolver la ecuación, 3x 2 − 6x + 3 = 0 - Los coeficientes de la ecuación, son: a = 3, b = −6 y c = 3 - Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes. x =

x =

x =

−(−6) ±

6±

( − 6 ) 2 − 4 ( 3 )( 3 ) 2( 3 )

36 − 36 6

6± 0 6

Como la raíz cuadrada es cero, entonces la ecuación únicamente tiene como solución un valor real.

x =

6±0 6

x1 =

6 6

∴ x1 = 1

* Resolver la ecuación, 4x 2 + 7x + 6 = 0 - Los coeficientes de la ecuación, son: a = 4, b = 7 y c = 6 - Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes.

x =

x =

x =

− (7 ) ± (7 ) 2 − 4 ( 4 )( 6 ) 2( 4 ) −7 ±

49 − 96 8

−7 ±

− 47 8

Como el radicando de la raíz es negativo, entonces no es un valor real, lo cuál indica que la ecuación no tiene raíces reales; por lo tanto, su parábola no intersecta con el eje “x” en ningún punto. La expresión, b 2 − 4ac de la fórmula general es el discriminante de la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales diferentes; si es igual a cero, tiene una raíz real y si es negativo, no tiene raíces reales.

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34

MATEMÁTICAS II

Gráficamente. Se aplica cuando los términos de la ecuación cuadrática aparecen en ambos miembros de la igualdad.

EJEMPLO * Resolver la ecuación, x 2 = 3x − 2 - Cada miembro de la igualdad se representa como una función.

f (x ) = x 2

;

g(x ) = 3x − 2

- Se construye una tabulación, asignando valores a “x” para obtener los de “y” en ambas funciones y así formar los puntos coordenados. Tabulación para la función del 1º miembro x f(x) = x2 y P(x,y) 2 9 −3 P(−3,9) f(−3) = (−3) 4 −2 P(−2,4) f(−2) = (−2)2 1 −1 P(−1,1) f(−1) = (−1)2 0 f (0) = (0)2 P(0,0) 0 1 f (1) = (1)2 P(1,1) 1 4 f (2) = (2)2 P(2,4) 2 9 f (3) = (3) 2 P(3,9) 3

Tabulación para la función del 2º miembro x y P(x,y) g(x) = 3x − 2 −3 −11 g(−3) = 3(−3) − 2 P(−3,−11) −2 −8 g(−2) = 3(−2) − 2 P(−2,−8) −1 −5 g(−1) = 3(−1) − 2 P(−1,−5) 0 −2 g (0) = 3(0) − 2 P(0,−2) 1 1 P(1,1) g (1) = 3(1) − 2 2 4 P(2,4) g (2) = 3(2) − 2 3 7 P(3,7) g (3) = 3(3) − 2

- Se representan los puntos en el mismo plano y se traza la gráfica de cada función. f(x) y 9

g(x)

4

P(2,4)

1

x’

-3

-2

-1

P(1,1) 0

-1

1

2

3

x

-2

-5

-8

y’

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35

MATEMÁTICAS II

Las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas, corresponden a las raíces o solución de la ecuación. x1 = 1 ; x2 = 2 .

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, CUYA INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA ES UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO. El modelo de la ecuación cuadrática se obtiene a partir de las condiciones del enunciado, mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico, posteriormente se resuelve la ecuación y con el valor de sus raíces se interpreta la solución del problema.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema. La sala de una residencia de forma rectangular tiene un perímetro de 14.4 m y una área de 12.8 m2. De acuerdo con esto; ¿Cuáles son las dimensiones de la sala? Solución. - A partir de las condiciones del enunciado, se obtiene el modelo de la ecuación cuadrática. El perímetro de un rectángulo es la suma de sus lados y como dicho rectángulo tiene dos largos y dos anchos, entonces la suma de un largo y un ancho es igual a la mitad de su perímetro. largo + ancho = 7.2 m. Si se denomina x a la longitud del largo, entonces la longitud del ancho, es 7.2 − x Como el área del rectángulo es el producto del largo por su ancho, entonces el área de la sala, es: (x)(7.2 − x) = 12.8 Desarrollando el producto e igualando a cero la expresión, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática,

− x 2 + 7.2x − 12.8 = 0 - Se resuelve la ecuación anterior, por cualquiera de los métodos expuestos. En este caso se aplica la fórmula general.

x =

−b ±

b 2 − 4ac 2a

x =

− 7.2 ±

(7.2 ) 2 − 4 ( − 1)( − 12.8 ) 2( − 1)

Realizando las operaciones correspondientes, se obtienen las raíces de la ecuación, x1=4 y x2 = 3.2 - Se considera una de las raíces como solución del problema, en este caso es x = 4, ya que es la que cumple con las condiciones del problema. De acuerdo con esto, el largo de la sala es x = 4 m y el ancho es 7.2 − x = 3.2 m.

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36

MATEMÁTICAS II

* Resolver el siguiente problema. Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba como lo muestra la figura.; la altura h (en pies) que recorre el proyectil en un instante especifico t (en segundos) está descrito por la función, h = − 16t 2 + 48t . De acuerdo con esto; ¿Cuál es el tiempo que tarda el proyectil en caer y hacer contacto con el suelo? h

t

0

- Al hacer contacto el proyectil con el suelo la altura vale cero; por lo tanto la función se iguala a cero y se transforma en una ecuación cuadrática. Si h = 0 , entonces − 16t 2 + 48t = 0 - La ecuación se resuelve factorizando el 1º miembro por factor común, 16 t ( − t + 3 ) = 0 , igualando cada factor a cero, se obtienen las siguientes raíces, t 1 = 0 y t 2 = 3 . El valor de las raíces indican el instante en que el proyectil hace contacto con el suelo. La raíz t = 0 es el instante en que sale disparado el proyectil y t = 3 segundos es el tiempo en que tarda el proyectil en caer y hacer contacto con el suelo.

INTERSECCIÓN ENTRE LAS PARÁBOLAS DE DOS FUNCIONES CUADRÁTICAS. Dos parábolas se intersecan, si los términos cuadráticos (ax2) de sus funciones son iguales.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema. Desde la base de un edificio es disparado un proyectil que sigue una trayectoria descrita por la función f(x) = − 5x 2 + 20x . Unos segundos después, se lanza un antiproyectil desde la parte alta del edificio, cuyo movimiento está descrito por la función g(x) = − 5x 2 + 70 De acuerdo con esto; ¿Cuál es el punto de intersección entre el proyectil y el antiproyectil? y ANTIPROYECTIL. PUNTO DE INTERSECCIÓN.

PROYECTIL.

0

x

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MATEMÁTICAS II

- Para determinar el punto de intercepción, se igualan las dos funciones y se resuelve la igualdad para obtener el valor de “x”. Si f ( x ) = g ( x ) , entonces − 5 x 2 + 20 x = − 5 x 2 + 70 Al sumar el inverso aditivo del término cuadrático en ambos miembros, éste se hace cero y se obtiene una ecuación lineal que se resuelve para obtener el valor “x”.

5 x 2 − 5 x 2 + 20 x = 5 x 2 − 5 x 2 + 70

20 x = 70

x =

70 ∴ x = 3.5 20

- El valor de “x” se sustituye en una de las funciones (cualquiera de las dos) para evaluarla y así obtener el valor de “y”.

f ( 3.5 ) = −5( 3.5 ) 2 + 70

f ( 3.5 ) = − 5(12.25 ) + 70

f(3.5) = 8.75

- Los valores obtenidos, son las coordenadas del punto de intersección entre el proyectil y el antiproyectil, el cual es, P(3.5,8.75). El punto de intersección de los proyectiles se puede verificar, al construir la gráfica de ambas funciones en el mismo plano. Con el estudio de las funciones polinomiales cuadráticas y sus gráficas, se generaliza que dichas funciones tienen gran diversidad de aplicaciones, entre las cuales se encuentran las de trayectorias de proyectiles, antenas parabólicas, cálculo de áreas máximas, puentes de suspensión, túneles, diseño de antenas de radar, espejos para telescopios, etc.

FUNCIÓN POLINOMIAL CÚBICA Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. Es cúbica porque su variable independiente “x” tiene como máximo exponente el tres (3). Su regla de correspondencia es f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; donde a, b y c son constantes y a ≠ 0 La gráfica de la función cúbica es una curva que crece y decrece en un intervalo de valores. Existen curvas que primero crecen y después decrecen o viceversa.

EJEMPLO * Dada la función, f(x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 4 con dominio D = {x ∈ R / − 1 ≤ x ≤ 5} ; obtener: A) Su representación gráfica. B) Las características de la curva (Intercepción con los ejes y coordenadas de sus puntos máximo y mínimo).

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MATEMÁTICAS II

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. x −1 0 1 2 3 4 5

f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 4 f(−1) = (−1)3 − 6(−1)2 + 9(−1) − 4 f(0) = ( 0 )3 − 6( 0 )2 + 9( 0 ) − 4 f(1) = ( 1 )3 − 6( 1 )2 + 9( 1 ) − 4 f(2) = ( 2 )3 − 6( 2 )2 + 9( 2 ) − 4 f(3) = ( 3 )3 − 6( 3 )2 + 9( 3 ) − 4 f(4) = ( 4 )3 − 6( 4 )2 + 9( 4 ) − 4 f(5) = ( 5 )3 − 6( 5 )2 + 9( 5 ) − 4

y −20 −4 0 −2 −4 0 16

P(x,y) P(−1,−20) P(0,−4) P(1,0) P(2,−2) P(3,−4) P(4,0) P(5,16)

- Se localizan los puntos en el plano y se unen para obtener la representación gráfica correspondiente. A) Gráfica:

y 16

x’

-2

-1 -2 -4

1

2

3

4

5

x

-20

y’ B) De la curva, se obtienen las siguientes características con valores aproximados. Intersección con el eje “x” P(1,0) ; P(4,0). Intersección con el eje “y” P(0,−4). Punto máximo P(1,0) ; Punto mínimo P(3,−4).

INTERPRETACIÓN DEL MODELO DE LA FUNCIÓN CÚBICA, A PARTIR DE LAS CONDICIONES DE UN PROBLEMA. El modelo de la función cúbica se obtiene a partir de las condiciones del enunciado, mediante la interpretación del lenguaje común al lenguaje algebraico.

EJEMPLO * Obtener la función cúbica que representa al siguiente problema. Para enlatar su producto, una empresa atunera utiliza latas cuyo radio es medio centímetro menor que su altura. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la expresión que representa el volumen de las latas en función del radio y cuál es el comportamiento gráfico para la función?

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- Se establece la variable independiente de la función, la cual es el radio de la lata, r. - Como el radio es medio centímetro menor que la altura, entonces se establece que dicha altura es medio centímetro mayor que el radio y su expresión es, altura = r + ½. radio “r” altura h = “r + ½”

- Como la lata es un cilindro de base circular, entonces su volumen es, V = πr 2 h , y sustituyendo las condiciones del enunciado, se obtiene la función cúbica del enunciado.

1  f ( r ) = πr 2  r +   2

f(r) = π r 3 +

1 πr 2 2

- Al asignarle valores al radio y sustituirlos en la función, se obtiene el valor del volumen y se forman los puntos coordenados que representan la gráfica para dicha función. f(r) r 0 1 2 3 4

f(r) = πr3 + (½)πr2 f(0) = π(0)3 + (½)π(0)2 f(1) = π(1)3 + (½)π(1)2 f(0) = π(2)3 + (½)π(2)2 f(0) = π(3)3 + (½)π(3)2 f(0) = π(4)3 + (½)π(4)2

f(r) 0 4.71 31.4 98.96 226.19

P[r,f(r)] P(0,0) P(1,4.71) P(2,31.4) P(3,98.96) P(4,226.19)

0

r

De la tabla y la gráfica se concluye que a medida que aumenta el radio, el volumen también aumenta. Generalmente las funciones cúbicas tiene aplicación en el cálculo de volúmenes y en el crecimiento o decremento de poblaciones.

FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADO “n” EN “x” Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. Son de grado “n” cuando el mayor exponente de la variable independiente es n = 0, 1, 2, 3, 4....... Su regla de correspondencia o modelo general, es: f(x) = a 0 x n + a 1 x n− 1 + a 2 x n− 2 + .......+ a n−1 x 1 + a n ; con a 0 ≠ 0 y a0, a1,..., an son constantes. Las gráficas de éstas funciones no tiene una curva definida específicamente.

EJEMPLO * Construir la gráfica de la función polinomial, cuya regla de correspondencia es, f(x) = 3x 4 − 20x 3 + 42x 2 − 36x + 10 , con un dominio D = { x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 4} .

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MATEMÁTICAS II

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. x 0 1 2 3 4

f(x) = 3x4 − 20x3 + 42x2 − 36x + 10 f(0) = 3(0)4 − 20(0)3 + 42(0)2 − 36(0) + 10 f(1) = 3(1)4 − 20(1)3 + 42(1)2 − 36(1) + 10 f(2) = 3(2)4 − 20(2)3 + 42(2)2 − 36(2) + 10 f(3) = 3(3)4 − 20(3)3 + 42(3)2 − 36(3) + 10 f(4) = 3(4)4 − 20(4)3 + 42(4)2 − 36(4) + 10

y 10 −1 −6 −17 26

P(x,y) P(0,10) P(1,−1) P(2,−6) P(3,−17) P(4,26)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. y 26

10

x’

-1

x

0

-1 -6

1

2

3

4

-17

y’ Entre las aplicaciones de la funciones polinomiales de grado mayor que tres, se encuentra el cálculo de momentos de flexión de vigas y diseño de estructuras.

CLASIFICACIÓN Y GRÁFICA DE LAS FUNCIONES. Función constante y su representación gráfica. Es constante porque su rango únicamente consta de un sólo elemento. Su regla de correspondencia es, f(x) = K ; donde K es un número real. Su gráfica es una recta paralela al eje de las abscisas que intersecta al eje de las ordenadas en el punto cuya ordenada es igual al valor de la constante.

EJEMPLO * Construir la gráfica de la función constante, cuya regla de correspondencia es, f(x) = 5 , con un dominio D = {x ∈ R / − 4 ≤ x ≤ 4} .

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- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) = 5 f(−4) = 5 f(−3) = 5 f(−2) = 5 f(−1) = 5 f(0) = 5 f(1) = 5 f(2) = 5 f(3) = 5 f(4) = 5

P(x,y) P(−4,5) P(−3,5) P(−2,5) P(−1,5) P(0,5) P(1,5) P(2,5) P(3,5) P(4,5)

y 5 5 5 5 5 5 5 5 5

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. y

5

x’ -5

-4

-3

-2

-1

0

1

y’

2

3

4

5

- Con los valores del dominio y la imagen, se obtiene la correspondencia de valores. D I x f(x) y -4 -3 -2 x -1 0 5 1 2 3 4

De la gráfica y de la correspondencia de valores se establece que la imagen de la función constante, únicamente tiene un elemento (en este caso el número 5).

Función identidad y su representación gráfica. Es identidad porque el elemento asignado a “x” es el mismo que le corresponde a “y”. Su regla de correspondencia es, f(x) = x y es un caso particular de la función lineal. Su gráfica es una recta que pasa por el origen del plano y forma un ángulo de 45º con respecto al eje de las abscisas (x).

EJEMPLO * Obtener la gráfica de la función, f(x) = x con un dominio D = {x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3} . - Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados.

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MATEMÁTICAS II

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) = x f(−3) = −3 f(−2) = −2 f(−1) = −1 f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3

P(x,y) P(−3,−3) P(−2,−2) P(−1,−1) P( 0 , 0 ) P( 1 , 1 ) P( 2 , 2 ) P( 3 , 3 )

y −3 −2 −1 0 1 2 3

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. y 3 2 1

x’

-3

-2

0

-1

1

2

3

x

-1 -2 -3

y’ De la tabulación se observa que los valores asignados al dominio, son los mismos para la imagen.

Funciones lineales: crecientes, decrecientes, discretas y continuas Es creciente si al aumentar el valor de “x”, el valor de “y” también aumenta. Es decreciente si al aumentar el valor de “x”, el valor de “y” disminuye. Es continua si el dominio es el conjunto de los números reales y su gráfica es ininterrumpida. Es discreta si el dominio adquiere ciertos valores y su gráfica son puntos aislados que mantienen una misma dirección.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema. Un beisbolista profesional recibe un sueldo de $8000.00 por cada juego que realiza y recibe $250.00 por cada carrera que anota. De acuerdo con esto, determinar: A) La función que describe el sueldo del jugador por cada juego realizado. B) La cantidad que percibe si no anota ninguna carrera y si anota 1, 2 ó 3 carreras en un juego. C) El comportamiento de la gráfica que describe los resultados obtenidos en el inciso anterior.

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Solución. - Se obtiene la función mediante las condiciones del problema. A) Del análisis del enunciado, se establece que: Sueldo por juego = Sueldo base, más sueldo de cada carrera por el número de carreras anotadas. Traducido al lenguaje algebraico, se obtiene la función,

f(x) = 8000 + 250x ó f(x) = 250x + 8000 B) - Se sustituye el número de carreras anotadas, para determinar el sueldo obtenido por el jugador en cada juego. Si no anota carrera, Si anota 1 carrera, Si anota 2 carreras, Si anota 3 carreras,

f (0 ) = 250 (0 ) + 8000 f (1) = 250 (1) + 8000 f ( 2) = 250 ( 2) + 8000 f (3 ) = 250 (3 ) + 8000

f (0 ) = 8000 ; f (1) = 8250 ; f ( 2 ) = 8500 ; f (3 ) = 8750 ;

entonces gana $8000.00 entonces gana $8250.00 entonces gana $8500.00 entonces gana $8750.00

C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. y (sueldo) X

Y

0 1 2 3

8000 8250 8500 8750

8750 8500 8250 8000

x’

x (carreras anotadas) 0

y’

1

2

3

4

Como el beisbolista no puede anotar medias carreras, la gráfica resulta un conjunto de puntos aislados entre sí, lo cual indica que la función es discreta. Además es creciente, ya que al aumentar el valor en su dominio, también aumenta el valor en su imagen.

* Resolver el siguiente problema. Una calculadora graficadora se deprecia linealmente, lo cuál indica que la depreciación en cada año es constante (es la misma). Si cada año se deprecia $140.00 y su costo original es de $840.00; entonces determinar: A) La función que describe la depreciación de dicho artículo. B) ¿Cuál es el valor de la calculadora al cabo de 1, 3 y 5 años de uso? C) El comportamiento de la gráfica que describe los resultados obtenidos en el inciso anterior. D) ¿En qué tiempo la calculadora carece de valor?

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Solución. - Se obtiene la función lineal mediante las condiciones del problema. A) Del análisis del enunciado se establece que, Depreciación de la calculadora = Costo original, menos la depreciación de cada año por el número de años transcurridos. Traducido al lenguaje algebraico se obtiene la función, f(x) = 840 − 140x ó f(x) = − 140x + 840 B) - Se sustituye el número de años, para obtener la depreciación de la calculadora. Si pasa 1 año , f (1) = − 140 (1) + 840 Si pasan 3 años, f (3 ) = − 140 (3 ) + 840 Si pasan 5 años, f (5 ) = − 140 (5 ) + 840

f (1) = 700 ; entonces tiene un costo de $700.00. f (3 ) = 420 ; entonces tiene un costo de $420.00. f (5 ) = 140 ; entonces tiene un costo de $140.00.

C) - Se construye la tabulación con los valores obtenidos y se representa la gráfica. y (costo) X

1 3 5

Y

840

700 420 140

700 560 420 280 140

x’

x (años transcurridos)

0

1

2

3

4

5

6

y’ D) - En la gráfica se observa que la calculadora carece de valor cuando han transcurrido 6 años, ya que en ese instante el costo es cero. Este resultado también se obtiene igualando a cero la función y resolviendo la ecuación para “x”. Como el tiempo transcurre en forma continua y el costo puede representarse en pesos y centavos, entonces la función es continua. Además es decreciente, ya que al aumentar el valor del tiempo, el costo disminuye. Con el estudio de las funciones lineales y sus gráficas, se generaliza que dichas funciones tienen gran diversidad de aplicaciones, entre las cuales se encuentran la depreciación de costos, diseño de dietas para disminución de peso, cálculo de interés simple, etc.

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MATEMÁTICAS II

EVALUACIÓN Contesta en tu cuaderno de notas lo que se te pide en cada ejercicio. 16. Completa la tabla, especificando los valores reales de los coeficientes de las siguientes funciones polinomiales cuadráticas. FUNCIONES CUADRÁTICAS 1 f(x) = − x 2 + 2x − 17 2 2 f(x) = x 2 − x 5

a

COEFICIENTES b

c

17. Construye la representación gráfica y establece la imagen de la función, f(x) = − x 2 + 6x − 8 ; cuyo dominio está especificado por los siguientes valores D = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 6} .

18. Representa la gráfica de la función, f(x) = x 2 + 2 e indica la concavidad de la parábola y los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados. 19. Determina la concavidad, el vértice, el valor máximo, la ecuación del eje de simetría y la intersección de la curva con los ejes coordenados de la parábola correspondiente a la función, f(x) = − x 2 + 2x + 15 .

20. Transforma la función, f(x) = 2x 2 + 4x − 4 a su forma, f(x) = a(x + h) 2 + k e indica las coordenadas de su vértice V(−h,k). 21. Establece el modelo de la función cuadrática que describe el producto de dos números, cuya suma es igual a 50. 22. Resuelve el siguiente problema mediante las características de la función cuadrática. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 49 m/s desde una altura de 24.5 m sobre la superficie de la Tierra; la altura h sobre la superficie t segundos después, está descrita por la función, h(t) = − 4.9t 2 + 49t + 24.5 . De acuerdo con esto; ¿En qué tiempo alcanza su máxima altura el objeto y de cuántos metros es dicha altura? 23. Determina las raíces o conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas de la forma, ax 2 + c = 0 . A) B) C)

2x 2 − 8 = 0 9x 2 − 4 = 0 − 36x 2 + 49 = 0

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46

MATEMÁTICAS II

24. Determina las raíces o conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas de la forma, ax 2 + bx = 0 . A) B) C)

x 2 − 7x = 0 − x 2 − 5x = 0 2x 2 − 3x = 0

25. Determina la solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas completas, mediante el método de factorización. A)

x 2 − 3x − 10 = 0

B)

x2 +

1 1 x− = 0 (Antes de factorizar la ecuación, transfórmala a su forma entera). 12 12

(Toda ecuación fraccionaria se transforma a ecuación entera, multiplicando todos los términos de la igualdad por el común denominador de todos los denominadores). 26. Determina la solución de la ecuación, 2x 2 + 3x − 3 = 0 por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

27. Determina la solución de la ecuación, 2x 2 − 7x + 3 = 0 , mediante la aplicación de la fórmula general.

28. De acuerdo con el valor del discriminante de una ecuación cuadrática, determina cuántas raíces reales tiene la ecuación, x 2 + 6x + 9 = 0 .

29. Obtén gráficamente las raíces o conjunto solución de la ecuación, x 2 = − x + 2 .

30. Resuelve el siguiente problema por medio de la solución de la ecuación cuadrática. Una pelota que se encuentra a una altura de 78.4 m del suelo, cae libremente a partir del reposo y sólo bajo la influencia de la gravedad; la trayectoria que sigue la pelota, está descrita por la función f ( x ) = 4.9 x 2 , donde “x” es el tiempo en segundos y f(x) el descenso en metros. De acuerdo con esto; ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

31. Obtén las coordenadas del punto donde se intersecan las parábolas de las siguientes funciones cuadráticas. f ( x ) = 2 x 2 + 1 y g ( x ) = 2 x 2 − 1 x . 3 3

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47

MATEMÁTICAS II

32. Escribe el nombre de cada función, según su regla de correspondencia y el grado mayor de su variable independiente. A)

f (x) = x 3

B)

f (x) = 3

C)

f (x ) = x 2 + 3x − 1

D)

f (x ) = 3x 4 − 5

E)

f (x) = 2x − 2

33. Indica las coordenadas de los puntos de intersección de la curva con los ejes del plano, el punto máximo y mínimo de la siguiente gráfica correspondiente a una función polinomial algebraica. y c

x’

a

b

0

e

f

x

d

y’ 34. Construye la representación gráfica de las siguientes funciones polinomiales cúbicas. A)

f ( x ) = x 3 − 2 Con dominio, D = { x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} .

B)

f ( x ) = x 3 − 3 x Con dominio, D = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3} .

35. Apoyándote en la construcción gráfica de las funciones, determina las coordenadas de los puntos donde se intersectan las curvas de las siguientes funciones con los ejes del plano.

{x

∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3} .

A)

f (x) = x 3 − 4x

B)

f ( x ) = x 5 + x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + x + 1 Con dominio, D = { x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} .

Con dominio, D =

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48

MATEMÁTICAS II

36. Resuelve el siguiente problema, por medio de la obtención del modelo de la función cúbica. Una industria elaboradora de jugos, enlata su producto en envases tetra brik. La condición que deben tener los recipientes es que la altura sea el doble del largo y el ancho la mitad del largo; de acuerdo con esta condiciones, establece la expresión que determina el volumen de los recipientes en función del largo. 37. Construye

la

representación

D = { x ∈ R / −5 ≤ x ≤ 5} .

gráfica

de

la

función,

f ( x ) = 4 con

dominio

38. ¿A qué conjunto de números deben pertenecer los valores del dominio e imagen de una función algebraica, para que ésta sea continua? 39. Bosqueja la representación gráfica de una función lineal discreta y decreciente. 40. Resuelve el problema, mediante la obtención del modelo de la función lineal. Si el tanque de gasolina de una motocicleta tiene una capacidad de 30 lts y dicha motocicleta tiene un rendimiento de 12 Km por litro. Entonces; ¿Cuál es la función que describe la cantidad de gasolina que hay en el tanque después de recorrer “x” kilómetros de distancia? 41. Resuelve el problema mediante las características de las funciones cuadráticas. En cierto instante se lanza un proyectil cuya trayectoria está descrita por la función, f ( x ) = − 0.2 x 2 + x . Unos segundos después se lanza un antiproyectil, cuyo movimiento lo describe la función, g ( x ) = − 0.2 x 2 + 3.5 y que está diseñado para interceptar al proyectil y destruirlo. De acuerdo con esto, determina el punto donde ocurre la destrucción del proyectil.

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49

MATEMÁTICAS II

3.3 COMPENDIO FASCÍCULO 3. ANÁLISIS DE FUNCIONES: EJEMPLOS INTERESANTES En el compendio fascículo 3, conociste los modelos de las funciones exponencial y logarítmica, sus características, elementos y sus representaciones gráficas; también conociste los modelos de las sucesiones numéricas, tanto aritméticas como geométricas y sus comportamientos gráficos para aplicarlos en la solución de diversos problemas.

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. Es exponencial porque la variable independiente es el exponente de la base de una potencia. Su regla de correspondencia, es f ( x ) = a x , donde a > 0 y a≠1. Si el exponente es positivo, entonces la función es decreciente cuando 0 < a < 1 y es creciente cuando a > 1 . Si la base y el exponente de la potencia no está afectada por una operación, entonces la gráfica de la función exponencial intersecta al eje “y” en el punto P(0,1).

EJEMPLO *

Graficar la función f ( x ) = 2 x con dominio D =

{x ∈ R / − 2 ≤

x ≤ 3} y representar la

correspondencia de valores entre los elementos del dominio y codominio (imagen). - Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. En la evaluación de la función, se aplican las leyes de los exponentes para obtener el valor de “y”. x −2 −1 0 1 2 3

f(x) = 2x f(−2) = 2(-2) f(−1) = 2(-1) f(0) = 2(0) f(1) = 2(1) f(2) = 2(2) f(3) = 2(3)

y 0.25 0.5 1 2 4 8

P(x,y) P(−2,0.25) P(−1,0.5) P(0,1) P(1,2) P(2,4) P(3,8)

- Se representan los puntos en el plano y se unen para obtener la gráfica correspondiente. y 8

4 2 1

x’

x -2

-1

0

1

2

3

y

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50

MATEMÁTICAS II

De la gráfica se observa que la función es creciente y continua, ya que a = 2 y x ∈ R. También se generaliza que el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números reales positivos. - Se construye la correspondencia de valores con los datos obtenidos en la tabulación. D I x y −2 0.25 −1 0.5 0 1 1 2 2 4 3 8 De la correspondencia de valores se observa que la función es uno a uno, y las funciones uno a uno se llaman biyectivas; por lo tanto, la función exponencial es biyectiva.

3 * Graficar la función, f ( x ) =    4

x

+ 1 con dominio D = { x ∈ Z / − 3 ≤ x ≤ 3} .

- Se construye la tabulación, sustituyendo los valores del dominio en la variable independiente de la función para obtener los valores de la variable dependiente y formar los puntos coordenados. En la evaluación de la función, se aplican las leyes de los exponentes para obtener el valor de “y”.

x

 3 f (x) =    4

−3

 3 f ( −3 ) =    4

−2

 3 f ( −2) =    4

−1

 3 f ( − 1) =    4

0

 3 f (0) =    4

1

 3 f (1) =    4

2

 3 f (2) =    4

3

 3 f (3) =    4

x

+1

y

( −3 )

P(x,y)

3.37

P(−3,3.37)

+1

2.77

P(−2,2.77)

+1

2.33

P(−1,2.33)

2

P(0,2)

+1

( −2 )

( − 1)

(0)

+1

( 1)

+1

1.75

P(1,1.75)

+1

1.56

P(2,1.56)

+1

1.42

P(3,1.42)

(2)

(3)

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51

MATEMÁTICAS II

- Se representan los puntos en el plano para obtener la gráfica correspondiente. Como el dominio de la función adquiere únicamente números enteros, entonces la gráfica es un conjunto de puntos aislados. y

3

2

1

x’ -3

-2

-1

0

x 1

2

3

y’ Como la gráfica es un conjunto de puntos aislados, entonces la función es discreta y de acuerdo al valor de la base de la potencia (0 1, la sucesión es creciente y tiende a ∞ Si q > 1, la sucesión es decreciente y tiende a −∞

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66

MATEMÁTICAS II

EJEMPLO * Representar la gráfica de la sucesión geométrica, cuyo 1º término es 3/2 y cuya razón es 1. - Como el 1º término es mayor que 0 y la razón es igual a 1, entonces la sucesión es constante. - Para graficar la sucesión, se establece el 1º término y se obtiene cada uno de los demás términos, multiplicando el anterior por la razón. Esto se hace en la siguiente tabla. f(n) = aqn-1 f(1) = (3/2)(1)1-1 f(2) = (3/2)(1) 2-1 f(3) = (3/2)(1) 3-1 f(4) = (3/2)(1) 4-1 f(5) = (3/2)(1) 5-1 f(6) = (3/2)(1) 6-1

n 1 2 3 4 5 6

P[n,f(n)] P(1,3/2) P(2,3/2) P(3,3/2) P(4,3/2) P(5,3/2) P(6,3/2)

- Los puntos obtenidos en la tabla se representan en el plano y se obtiene la gráfica de la sucesión. f(n)

3/2 1 1/2 1

2

3

4

5

6 .....

n

De la gráfica se observa que la sucesión es constante y los términos que la conforman, son: 3/2 , 3/2 , 3/2 , 3/2 , 3/2 , 3/2 , .......

* Representar la gráfica de la sucesión geométrica, cuyo 1º término es 1 y cuya razón es ½. - Como el 1º término es mayor que 0 y la razón es mayor que 0 pero menor que 1, entonces la sucesión es decreciente y tiende a 0. - Para graficar la sucesión, se establece el 1º término y se obtiene cada uno de los demás términos, multiplicando el anterior por la razón. Esto se hace en la siguiente tabla. n 1 2 3 4 5

f(n) = aqn-1 f(1) = 1(1/2)1-1 f(2) = 1(1/2) 2-1 f(3) = 1(1/2) 3-1 f(4) = 1(1/2) 4-1 f(5) = 1(1/2) 5-1

P[n,f(n)] P(1,1) P(2,1/2) P(3,1/4) P(4,1/8) P(5,1/16)

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67

MATEMÁTICAS II

- Los puntos obtenidos en la tabla se representan en el plano y se obtiene la gráfica de la sucesión. f(n) 1

1/2

1/4 1/8

n 1

2

3

4

5 .....

De la gráfica se observa que la sucesión es decreciente y tiende a 0. Los términos que conforman la sucesión, son: 1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , .......

ITERACIONES Es la dinámica de una función, donde un punto de la abscisa llamado órbita x1 se desliza mediante un movimiento que va de una función lineal en estudio y una función identidad. El comportamiento gráfico de la órbita depende del tipo de función lineal que se desee iterar: ARITMÉTICA Si y = x + d Si d > 0 , la órbita x1 se desliza a +∞ Si d = 0 , la órbita x1 es un punto fijo

Si d < 0 , la órbita x1 se desliza a −∞

GEOMÉTRICA Si y = qx Si q > 1 : la órbita x1 > 0 se desliza a +∞ la órbita x1 = 0 es un punto fijo la órbita x1 < 0 se desliza a −∞ Si 0 < q < 1, la órbita x1 se desliza a 0 Si −1 < q < 0 , la órbita x1 se desliza a 0 Si q < −1: la órbita x1 < > 0 se desliza a ∞ la órbita x1 = 0 es un punto fijo Si q = 1 , la órbita x1 < > 0 es un punto fijo Si q = −1, la órbita x1 < > 0 es un punto oscilante

El comportamiento de la órbita x1 en el plano tiene distintos valores para el dominio de la función, dependiendo si la iteración es aritmética o geométrica: Si y = x + d, los valores, son { x1 , F(x) = x1 + d , F2(x) = x1 + 2d , F3(x) = x1 + 3d , ....., x1 + (n − 1)d }. Si y = qx, los valores, son { x1 , F(x) = x1 q , F2(x) = x1 q2 , F3(x) = x1 q3 , ...... , x1 qn−1 }.

EJEMPLO * Representar gráficamente la iteración de la función lineal e indicar los cinco primeros valores del dominio correspondientes a la órbita x1 = 3 y d = −1. - Con los valores del enunciado se establece que la función a iterar, es y = x − 1.

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68

MATEMÁTICAS II

- Se bosqueja la gráfica de la función a iterar y de la función identidad en el plano y se analiza el comportamiento de la órbita. y y=x y=x+d ; d0.

A partir de la representación gráfica de la iteración, puedes establecer el comportamiento geométrico de la órbita que se desliza entre la función lineal y la función identidad. 64.

La órbita se desliza hacia cero.

Para establecer el comportamiento geométrico de la órbita, debes tener presente las características de la razón. También te puedes poyar en el comportamiento gráfico de la iteración para saber hacia donde se va la órbita.

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84

MATEMÁTICAS II

V. EVALUACIÓN MUESTRA

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

85

MATEMÁTICAS II

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

86

MATEMÁTICAS II

COLEGIO DE BACHILLERES COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO

EVALUACIÓN FINAL GLOBAL

MODELO: A ASIGNATURA:

MATEMÁTICAS II

SEMESTRE:

SEGUNDO

CLAVE:

EVALUACIÓN MUESTRA

DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN

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87

MATEMÁTICAS II

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88

MATEMÁTICAS II

INSTRUCCIONES GENERALES Este cuadernillo contiene reactivos que al resolverlos conforman tu evaluación final de acreditación, de la asignatura: Esta evaluación nos permitirá (a tí y a nosotros) saber el grado en que has alcanzado el propósito de la asignatura (nota valorativa I, A, B, C), de tal manera que si tu nota es positiva (A, B, C) ésta será considerada para tu calificación final, pero si llegase a ser insuficiente (I), sólo te informaremos de los objetivos que aún no dominas, sin considerar la nota obtenida para tu calificación de la asignatura. Antes que inicies la resolución de esta evaluación, es conveniente que sigas estas recomendaciones: I.

Este cuadernillo debe servirte ÚNICAMENTE para leer los reactivos, por ello no hagas NINGUNA anotación en él. EVITA QUE SE TE SUSPENDA LA EVALUACIÓN.

II.

Realiza una lectura general de todas las instrucciones para que puedas organizar tu trabajo.

III.

Además del cuadernillo, debes tener una HOJA DE RESPUESTAS en la que debes anotar, primero tus datos personales (nombre, matrícula, centro) y de la asignatura (clave, número de fascículo o global), así como las respuestas.

IV.

La HOJA DE RESPUESTAS presenta en cada una de las preguntas siete opciones posibles:

1

A

B

C

D

E

V

F

2

A

B

C

D

E

V

F

La forma de contestarla deberá ser la siguiente: *

En los casos en que se te presenten preguntas de OPCIÓN MÚLTIPLE o de RELACIÓN DE COLUMNAS sólo rellenarás con lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones, por ejemplo:

2.

Es elevarse de los casos o fenómenos específicos a conceptos o enunciados más amplios que los abarquen o los expliquen. a) b) c) d) e)

Introducción. Generalización. Ejemplificación. Desarrollo de la teoría. Planteamiento del problema.

1

A

B

C

D

E

V

F

2

A

B

C

D

E

V

F

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89

MATEMÁTICAS II

Relaciona las dos columnas e indica en tu hoja de respuestas la letra que señala el nombre de cada una de las expresiones algebraicas que aparecen del lado izquierdo. 3x4 - 3x2 16x4 - 12x3 + 17x 32xy - 5x2 + 6x - 13

3. 4. 5.

3

A

B

C

D

E

V

F

4

A

B

C

D

E

V

F

5

A

B

C

D

E

V

F

*

a) b) c) d)

Monomio. Binomio. Trinomio. Polinomio.

En el caso que se te presenten reactivos de VERDAD “V” y FALSO “F”, sólo rellenarás con lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones de “V” o “F”, por ejemplo: El compendio fascículo 1 de Química III aborda los conceptos de fermentación y sus aplicaciones, con respecto a la caracterización de las fermentaciones; marca la letra “V” si es VERDADERA o la letra “F” si es FALSA, cada una de las siguientes aseveraciones.

6.

La fermentación láctica es un proceso que se realiza en ausencia de oxígeno.

7.

En un proceso fermentativo se libera energía que en su mayoría se desprende como calor.

6

A

B

C

D

E

V

F

7

A

B

C

D

E

V

F

V.

Asegúrate de que el número del reactivo que contestas corresponda al mismo número en la hoja de respuestas.

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90

MATEMÁTICAS II

MATEMÁTICAS II EVALUACIÓN GLOBAL

COMPENDIO FASCÍCULO 1 En el compendio fascículo 1, conociste el modelo matemático de la función lineal y de la ecuación de primer grado con dos incógnitas; así como también analizaste ambos modelos y estableciste la relación existente entre ellos para aplicarlos en la solución de diversos problemas. Con base en esto; contesta los siguientes reactivos marcando la opción que satisface con la respuesta correcta en cada caso. 1.

De acuerdo con el concepto de función lineal. ¿En cuál de las siguientes tablas de valores se establece que la secuencia de números reales “x” es proporcional a la secuencia de números reales “y”? A) x y

2 1.6

3 2.55

4 3.2

5 4.5

6 4.8

x y

2 1.6

3 2.55

4 3.4

5 4.25

6 5.4

x y

2 1.7

3 2.55

4 3.4

5 4.25

6 5.1

x y

2 1.9

3 2.55

4 3.6

5 4.5

6 5.4

B)

C)

D)

2.

Si la ecuación, 1 x = 1 y − 2 se transforma en una función lineal; entonces la expresión 3 5 que se obtiene, es: A)

f (x ) =

1 2 x + 15 5

B)

f (x ) =

5 x + 10 3

C)

f (x ) =

3 2 x + 5 5

D)

f (x ) = 2x + 7

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91

MATEMÁTICAS II

3.

De acuerdo a la relación existente entre la ecuación de primer grado con dos incógnitas y la función lineal; ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa a la función, 1 3 ? f(x ) = x− 4 7 A) B) C) D)

4.

7 x − 28 y − 12 = 0 28 x + y − 12 = 0 8 x − 8 y − 16 = 0 7 x − y + 12 = 0

Es el diagrama que representa la tabla de correspondencia f que liga a cada valor de “x” con su pareja “y” de la siguiente función lineal. f(x ) = − 1 x + 3 2 2

5.

A)

x 1 3 5

f

f(x) −1 0 1

B)

x 1 3 5

C)

x 1 3 5

f

f(x) −3/2 −1/2 1/2

D)

x 1 3 5

f

f(x) −1 0 1

f

f(x) −3/2 −1/2 1/2

La gráfica que se muestra, corresponde a la función: y

3

x’

A)

f (x ) =

3 x +3 5

B)

f (x ) =

3 x −3 5

C)

f (x ) = −

3 x +3 5

D)

f (x ) = −

3 x −3 5

x 0

5

y’

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92

MATEMÁTICAS II

6.

Es la función de la recta que pasa por los puntos P1(−3,−7) y P2(0,2) del plano cartesiano.

f (x ) = 3 x + 2 f (x ) = 2x + 3 f (x ) = 2x − 3 f (x ) = −3 x + 2

A) B) C) D)

7.

Es la representación gráfica que corresponde a la siguiente función lineal. f(x ) = 1 x 4 y y A) B) 4

1/4

x’

0

4

x

x’

y’

C)

0

x

4

y’

y

D)

8

y 2 1

4

x’

x’

4

x

0

1

8

2

y’ 8.

x

0

y’

Resuelve el siguiente problema por medio de la obtención del modelo de la función lineal. En un taller de soldadura, Arturo decide fundir un metal, pero la escala de su máquina está en grados Farenheit y las indicaciones de la fundición indica grados centígrados; entonces le pide ayuda a un compañero y éste le dice: “multiplica los grados centígrados por nueve quintos y al resultado le sumas treinta y dos”. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la función que describe la equivalencia de los grados centígrados (x) a los grados Farenheit (y)? A)

f (x ) =

5 x + 32 9

B)

C)

f (x ) =

9 x + 32 5

D)

f (x ) =

f (x ) =

5 + 32 9x 9 + 32 5x

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93

MATEMÁTICAS II

9.

Resuelve el siguiente problema por medio de la obtención del modelo de la función lineal. Si un fabricante de grabadoras portátiles tiene un costo fijo mensual de $10,000.00 más un costo de producción de $110.00 por unidad producida; entonces, ¿Cual es la función y la gráfica que describen el costo total mensual al producir “x” grabadoras portátiles? A)

y

B)

f(x) = 10000x + 110

f(x) = 110x + 10000

y

10000 110

x’

x

0

x’

y’

C)

x

0

y’

y

D)

y

f(x) = 10000x − 110

x’

x

0

11 1000

y’

f(x) = 110x − 10000

x’

x

0

1000 11

y’

COMPENDIO FASCÍCULO 2 En el compendio fascículo 2, conociste los modelos de las funciones polinomiales cuadráticas y de grado mayor o igual que tres; también las graficaste para obtener las características principales de sus gráficas. Además, aprendiste a resolver ecuaciones de segundo grado y a resolver problemas mediante la aplicación de las funciones polinomiales algebraicas y las ecuaciones cuadráticas. Con base en esto, marca la opción que satisface con la respuesta correcta de cada uno de los siguientes reactivos. 10.

Es el modelo de la función cuadrática que representa a dos números enteros consecutivos, cuyo producto es igual a “y”. A) B) C) D)

f (x ) = x 2 + x f (x ) = x 2 + 1 f (x ) = 2x 2 f (x ) = x 2 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

94

MATEMÁTICAS II

11.

12.

13.

Es el conjunto de valores asociados al rango de la función cuadrática que tiene como regla de correspondencia la expresión, f(x) = 2x 2 + 3 y como dominio D = {x ∈ R / −3 ≤ x ≤ 3} . A)

I = {y ∈ R / 0 ≤ y ≤ 21}

B)

I = {y ∈ R / 3 ≤ y ≤ 21}

C)

I = {y ∈ R / − 3 ≤ y ≤ 3 }

D)

I = {y ∈ R / − 21 ≤ y ≤ 21}

Una función cuadrática es de la forma, f(x) = ax 2 + bx + c , donde los coeficientes a, b y c son números reales. De acuerdo con esto, marca la opción donde se están clasificando correctamente los coeficientes de la función polinomial cuadrática.

1 x+2 5

A)

f (x ) = − x 2 +

B)

f (x ) = −3 x 2 − 8 x +

C)

f (x ) =

D)

f (x ) = x 2 −

;

Donde: a = 1 , b = 5 , c = 2

2 3

;

Donde: a = 3 , b = 8 , c = 2/3

3 2 x − 14 x − 3 5

;

Donde: a = 3 , b = −14 , c = −3

1 x + 105 4

;

Donde: a = 1 , b = −1/4 , c = 105

Es la gráfica y las características de la curva que corresponde a la función, f(x) = (x + 7) 2 . Y y A) B)

x’ x’

-7

x

0

y’ Eje de simetría, x = −7 VMÍNIMO = 0 C)

-7

0

y’ Eje de simetría, x = −7 VMÁXIMO = 0

7

x

y’ Eje de simetría, x = 7 VMÍNIMO = 0

y x’

0

D) x

y x’

0

7

x

y’ Eje de simetría, x = 7 VMÁXIMO = 0

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95

MATEMÁTICAS II

14.

Es la forma, f(x) = a(x + h) + k y el vértice V ( − h,k) que se obtiene al transformar la 2

siguiente función cuadrática. f(x) = x 2 + 12x + 36 .

y = ( x + 12 ) 2 + 1 ; V ( −12,1) y = ( x + 6 ) 2 − 1 ; V ( − 6,− 1) y = ( x + 12 ) 2 ; V ( −12,0 ) y = ( x + 6 ) 2 ; V ( −6,0 )

A) B) C) D)

15.

Resuelve el siguiente problema por medio de la solución de una ecuación cuadrática. La función, y = − 3.6 x 2 + 1.8 x describe la trayectoria de un proyectil que es disparado desde una plataforma como lo muestra la figura. De acuerdo con el análisis de la siguiente figura; ¿Cuál es la distancia de la plataforma al punto de impacto? y A) 0.2 mts. PUNTO DE IMPACTO

Y metros

x

PLATAFORMA

16.

C)

1.8 mts.

D)

3.6 mts.

Una. Dos. Tres. Ninguna.

Es una de las raíces o solución de la ecuación cuadrática, x 2 + 1 x − 1 = 0 . 2 2 A) B) C) D)

18.

metros

0.5 mts.

De acuerdo con el valor del discriminante de una ecuación cuadrática; ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación, x 2 + 3 x + 3 = 0 . A) B) C) D)

17.

X

B)

x = 1/2 x = 1/3 x = 1/4 x=1

Al aplicar el método de completar un trinomio cuadrado perfecto para resolver la ecuación, 4 x 2 + 3 x − 3 = 0 ; su conjunto solución, es: A)

x = −

3 57 ± 8 64

B)

x =

3 57 ± 8 64

C)

x = −

3 ± 8

D)

x =

3 ± 8

57 8

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

57 8

96

MATEMÁTICAS II

19.

Es la representación gráfica de la función polinomial, f ( x ) = x 3 − 1 . A)

y

B)

y

1

x’

1

x

0

-1

1

x’

2

-2

-1

-1

-2

-2

y’

C)

D)

y

1

-1

1

x

0

1

-1

2

x’ -2

-1

-2

x

0

1

-1 -2

y’

20.

1

y’

y

x’

x

0

-1

y’

Dada la función polinomial, f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 8 x con un intervalo de valores para el dominio, D = { x ∈ R / −3 ≤ x ≤ 5} .

La gráfica intersecta con el eje de las abscisas, en los puntos: A) B) C) D)

P(0,0) ; P(0,−2) y P(0,4) P(0,0) ; P(−2,0) y P(4,0) P(0,0) ; P(2,0) y P(−4,0) P(0,0) ; P(0,2) y P(0,−4)

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97

MATEMÁTICAS II

21.

Resuelve el siguiente problema por medio de la obtención del modelo de la función algebraica. Un portero de fútbol soccer profesional, recibe un sueldo de $6500.00 por cada partido oficial que juega. Si le descuentan $250.00 por cada gol que le anotan dentro del juego disputado; entonces, ¿Cuál es el tipo de función que determina el sueldo neto del portero por cada partido que juega? A) B) C) D)

22.

Función continua, cuyo modelo es f(x) = 6500x − 250 Función continua, cuyo modelo es f(x) = 6500 + 250x Función discreta, cuyo modelo es f(x) = 6500x + 250 Función discreta, cuyo modelo es f(x) = 6500 − 250x

Resuelve el siguiente problema por medio de la obtención de la función cúbica. Una empacadora de leche en polvo utiliza recipientes cilíndricos para enlatar su producto. La condición para la elaboración de éstos recipientes, es que su altura debe ser la mitad de su diámetro. Si se establece que “x” es el radio del recipiente; entonces ¿Cuál es la función que describe su volumen en función del radio? A)

f ( x )= x 3 + π

B)

f (x ) =

C)

f ( x ) = 2 πx 3

D)

f ( x ) = πx 3

DIÁMETRO

ALTURA RADIO

1 πx 3 2

COMPENDIO FASCÍCULO 3 En el compendio fascículo 3, conociste las funciones trascendentes, sus características y sus representaciones gráficas; así como también conociste las sucesiones e iteraciones como casos especiales de las funciones discretas. Con base en ello, contesta los siguientes reactivos, marcando la opción que satisface con la respuesta correcta de cada uno de ellos. 23.

Resuelve el siguiente problema por medio del concepto de la función exponencial. Una población de bacterias se duplica cada hora siguiendo un crecimiento descrito por la función, f (t ) = N 0 (2) t donde No es el número de bacterias que contiene la población inicial. Si la población inicial es de 15 bacterias; entonces, ¿Cuántas habrá en un tiempo de 4 horas? A) B) C) D)

120 bacterias. 240 bacterias. 900 bacterias. 3600 bacterias.

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98

MATEMÁTICAS II

24.

25.

Es la expresión que corresponde a una función exponencial creciente. A)

f ( x ) = x 2/ 3

B)

f ( x ) = x 3/2  3 f (x ) =    2

x

C)

 2 f (x ) =    3

x

D)

Es el diagrama de Venn que está representando a una función biyectiva. A)

C)

26.

x a1 a2 a3

y

x a1 a2 a3

y b1 b2 b3

B)

x a1 a2 a3

y b1 b2 b3

D)

x a1 a2 a3

y b1 b2 b3

b1

Es la función inversa de la siguiente función algebraica. f ( x ) = − 3 x − 15 . A)

f −1 ( x ) = 5x

B)

f −1 ( x ) = 3 x + 15

C)

f −1 ( x ) = −

D)

f

−1

(x ) = −

1 x−5 3 1 x − 15 3

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99

MATEMÁTICAS II

27.

Es el bosquejo gráfico que corresponde a la función, f ( x ) = log3 x . A)

y

x’

o

B)

1

x

x’

y’

C)

x’

28.

D)

x

y’

o

3

x

y’

y

o

y

x’

y

o

1/3

x

y’

Es el valor de “x” que se obtiene al desarrollar la siguiente expresión logarítmica. log (x + 3) = 2 A)

x = −1

B)

x = −2

C)

x = 17

D)

x = 97

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100

MATEMÁTICAS II

29.

Es la representación gráfica de la sucesión numérica, f(n) = 2 (2n − 1) cuando su dominio adquiere los primeros 5 números naturales. A) f(n)

B)

62

f(n) 18

14

30

10

14

6

6 2

2

n

0

1

2

3

4

5

n

0

C) f(n)

D)

62

1

2

3

4

5

f(n) 18

14

10

30

6

14 6

n

2 0

30.

1

2

3

4

5

2

n 0

1

2

3

4

5

Resuelve el siguiente problema, apoyándote en la fórmula de la suma parcial de una sucesión aritmética. Un ingeniero recibió $100,800.00 de sueldo el primer año de su graduación. Si el recibió un aumento de $10,080.00 al final de cada año; entonces, ¿Cuál fue el ingreso total que percibió durante sus primeros 20 años de trabajo como ingeniero? A)

$4’032,000.00

B)

$3’931,200.00

C)

$2’217,600.00

D)

$2’016,000.00

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101

MATEMÁTICAS II

31.

Si el primer término de una sucesión geométrica es a = 6 y su razón q = −1; entonces su comportamiento gráfico, es: A) B) C) D)

32.

Decreciente. Constante. Alternante. Oscilante.

Analiza la siguiente figura.

1 1/2 1/4

1/8

Si se toma como área inicial f(1) = 1 y como razón q = ½, se genera una sucesión geométrica cuya suma de las áreas, es S(n) = 2 − (1/2)n−1. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la característica que cumple con la suma de las áreas?

33.

A)

Si “n” se hace muy grande, S(n) se aproxima a 0.

B)

Si “n” se hace muy grande, S(n) se aproxima a 2.

C)

Si “n” se hace muy grande, (1/2)n−1 se aproxima a 1.

D)

Si “n” se hace muy grande, (1/2)n−1 se aproxima a 2.

Es la opción donde se especifican las características gráficas de la siguiente iteración. y

0

x1

y=x

A)

x1>0 y se escapa a −∞ con d0

D)

x1>0 y se escapa a ∞ con d

Mayor que

<

Menor que

≥

Mayor o igual

≤

Menor o igual

±

Más menos

∪

Unión

∩

Intersección

a 

Valor absoluto de a

{ }

Notación de un conjunto

f(x)

Valor de f en x

f(x) = y Regla de correspondencia A → B A corresponde a B A = BN Potencia A de base B y exponente N

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106

MATEMÁTICAS II

VII. GLOSARIO ABSCISA

Valor real correspondiente al eje horizontal del plano. (Valor de “x”)

BASE

Factor que se debe multiplicar tantas veces como lo indique el exponente.

COEFICIENTE Valor real que está multiplicando a la parte literal de un término algebraico. CONCAVIDAD Dirección de la abertura de una curva (hacia arriba o hacia abajo). CONJUNTO

Colección de ideas u objetos de cualquier especie que tienen una característica en común como para decidir si pertenecen o no al conjunto.

DOMINIO

Conjunto de valores asignados a la variable independiente de una función.

ECUACIÓN

Igualdad compuesta por dos miembros separados por el signo igual.

EXPONENTE Número ubicado en la parte superior derecha de la base que indica las veces que se va a multiplicar dicha base. EXPRESIÓN

Expresión matemática conformada por uno o varios términos algebraicos.

ALGEBRAICA

FUNCIÓN

Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos (dominio y rango).

INTERVALO

Espacio o amplitud comprendido por un conjunto de valores abierto o cerrado.

Nº REALES

Conjunto de todos los números que se pueden representar.

ORDENADA

Valor real correspondiente al eje vertical del plano. (Valor de “y”).

PAR ORDENADO

Par de valores conformado por una abscisa y una ordenada que representa la ubicación de un punto P(x,y) en el plano.

PLANO Plano representado por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se interceptan CARTESIANO perpendicularmente en un punto llamado origen. POTENCIA

Valor obtenido al multiplicar la base tantas veces como lo indique el exponente.

RANGO

Conjunto de valores que adquiere una función al evaluarla con los valores de su dominio. Valores de la variable dependiente.

TABULACIÓN Tabla de valores correspondientes a la variable independiente y dependiente de una función. TÉRMINO Término algebraico cuya variable o literal aparece elevada al exponente dos. CUADRÁTICO TÉRMINO

Término algebraico constituido únicamente por una parte numérica (signo y número).

INDEPENDIENTE

TÉRMINO LINEAL

Término algebraico cuya variable o literal aparece elevada al exponente uno.

TRINOMIO

Polinomio algebraico conformado por tres términos.

VARIABLES

Letras utilizadas en una función. Variable independiente y dependiente.

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MATEMÁTICAS II

BIBLIOGRAFÍA

ARROYO Cervantes Emigdio, Gómez Alcaraz Guillermo y Matus Parra Juan. Matemáticas II Compendio Fascículo 3 Colegio de Bachilleres, México 2001. BRITTON R. Jack e Bello Ignacio. Álgebra y Trigonometría Contemporáneas Editorial Harla Novena Edición. México 1982. DOLCIANI Berman Freilich. Algebra Moderna y Trigonometría Publicaciones Cultural. México 1987. ESPEJEL Mendoza Rosa M., Flores Fuentes M. Luis, Ruiz Hernández M. Estela y Sosa Estrada Andrés. Matemáticas II Compendio Fascículo 2 Colegio de Bachilleres, México 2001. GETCHMAN Murray. Álgebra y Trigonometría con Geométría Analítica Limusa Noriega Editores México 1999. K. REES PAUL y W. Sparks Fred. Álgebra Intermedia Ediciones Castilla. Madrid España 1996 M. LOVAGLIA Florence , Conwal Donald y Elmore Merrit. Álgebra Editorial Harla México 1996. PULIDO Chunti Antonio. Matemáticas II Editorial Nueva Imagen. México 1994. ROSAS Snell Alejandro y Zúñiga Contreras Juan. Matemáticas II Compendio Fascículo 1 Colegio de Bachilleres, México 2001.

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DIRECTORIO

Jorge González Teyssier

Director General Javier Guillén Anguiano

Secretario Académico Francisco Lara Almazán

Coordinador Sectorial Norte Alfredo Orozco Vargas

Coordinador Sectorial Centro Rafael Velázquez Campos

Coordinador Sectorial Sur Álvaro Álvarez Barragán

Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto José Noel Pablo Tenorio

María Elena Saucedo Delgado

Director de Asuntos Jurídicos

Directora de Servicios Académicos

Ma. Elena Solís Sánchez

Ricardo Espejel

Directora de Información Y Relaciones Públicas

Director de Programación Francisco René García Pérez

Lilia Himmelstine Cortés

Director Administrativo

Directora de Planeación Académica Jaime Osuna García Mario Enrique Martínez de Escobar y Ficachi

Director de Recursos Financieros

Director de Extensión Cultural

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