Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato

Actividad 9. Razones y Proporciones.

Introducción En ocasiones requerimos realizar operaciones empleando proporciones. Imagina que necesitas preparar el desayuno en tu casa, donde se quedaron a dormir varios amigos, y se les antojó desayunar hot cakes, y necesitas preparar 12 hot cakes. Tú tienes la receta sólo para hacer 8, por lo que debes hacer uso de tus conocimientos matemáticos. La receta para 8 hot cakes es la siguiente: 2 tazas de harina, 2 huevos, una taza y media de leche y 2 cucharadas de mantequilla. ¿Cuáles deben ser las cantidades para preparar 12?

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Introducción

El concepto de proporcionalidad es uno de los más aplicados hoy en día por toda la población, ya que nos genera una buena medida intuitiva y de aplicación común. Se aplica para medir la relación entre magnitudes. Por lo que podemos calcular la cantidad de ingredientes que se requiere para preparar los 12 hot cakes a partir del concepto de proporcionalidad. Este problema se puede resolver como una regla de tres simple (concepto que aprenderás en esta actividad), y las cantidades a emplear serán: 3 tazas de harina, 3 huevos, dos tazas y un cuarto de leche y 3 cucharadas de mantequilla.

Objetivos Al finalizar la actividad serás capaz de: • Determinar los conceptos de razón y proporción. • Aplicar el principio de proporción para resolver problemas aritméticos.

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Razones y proporciones Vamos a recordar algunos conceptos, el primero de ellos es ¿qué es una razón? Una razón es la relación que existe entre dos valores de la forma a

b Ejemplo 1: Se hizo una encuesta entre 285 personas para ver si estaban de acuerdo con el resultado de la final de fútbol entre el Santos Laguna y el Cruz Azul, donde 57 personas manifestaron no estar de acuerdo. Vamos a plantear la razón: 57 personas en desacuerdo  285 personas encuestadas

Razones y proporciones Recuerda que una fracción se entiende mejor si se simplifica, por lo que nos queda:

57 57 / 57 1   285 285 / 57 5 Esto se interpreta como 1 de cada 5 personas no estuvieron de acuerdo.

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Proporción El segundo concepto es ¿qué es una proporción? Una proporción es la igualdad de dos razones. a c  b d

Se entiende: “a es a b como c es a d”. Una propiedad importante de las proporciones es: Dos razones son proporcionales si el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a y d se llaman extremos b y c se llaman medios ( a )( d)  (b)(c)

Proporciones Ejemplo 2: Comprobar que ambas razones son proporcionales. 16 4  8 2 Se entiende “16 es a 8 como 4 es a 2.

Vamos a comprobarlo ¿cómo? Comprobando la propiedad anteriormente descrita, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

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Proporciones Por lo que debemos realizar productos cruzados y comprobar que el resultado sea el mismo para decir si son o no proporcionales.

16 4  8 2

(16)(2)  (8)(4)

32  32 Ambas razones son proporcionales entre sí.

Regla de tres simple Una aplicación muy útil en las proporciones es el uso de la regla de tres simple. El cual a partir de tres cantidades conocidas se requiere obtener una cuarta que mantengan la proporción entre las razones. Esta regla se basa en el principio fundamental de las proporciones. (a)(d) =(b)(c) Ejemplo 3: Se tiene un cuarto que mide 5 m de ancho por 8 m de largo y se quiere construir otro que mantenga la misma proporción, se sabe que el ancho del nuevo cuarto es de 7m, ¿cuánto debe medir el largo?

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Regla de tres simple El planteamiento será “5 es a 8” como 7 es a ?” Esta interrogante le asignaremos la letra “x”

5 7  8 x La regla de tres simple me dice que los productos cruzados que tengan pareja se multiplican (se indican con la flecha) y se divide por el que no la tiene por lo que el valor de “x” será:

Regla de tres simple x

(7)(8) 56   11.20 m. 5 5

Quiere decir que para que los cuartos sean proporcionales debe medir 7m x 11.20m. En ingeniería a este concepto se le llama escala.

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Regla de tres simple Otra forma de resolver el problema, es planteando la siguiente tabla. Ancho

Largo

Referencia

5

8

Cuarto nuevo

7

x

Para obtener el valor de “x” se multiplican los factores cruzados y se divide entre el factor que no tiene pareja. x

(7)(8)  11.20 5

Por lo que el cuarto nuevo debe medir 7m x 11.20 m, para que guarden la misma proporción.

Reglas de tres simple Ejemplo 4: Voy al supermercado y quiero comprar naranjas, el ciento de ellas cuesta $ 57.50 si solo tengo $20.00 ¿cuántas naranjas puedo comprar? Volvemos a plantear nuestra tabla. N° de Costo naranjas referencia compra

100

$ 57.50

x

$ 20.00

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Reglas de tres simple Realizamos la operación:

x

(100)(20)  34.78 57.50

Como no puedo compra 34.78 naranjas debo comprar sólo 34 naranjas.

Proporciones Ejemplo 5: Si un litro de leche me cuesta $11.50 ¿cuánto me costarán 8 lts? Cantidad Costo Referencia

1

11.50

Calculo nuevo

8

x

Realizamos la operación:

x

(8)(11.50)  92 1

Por lo que deberé pagar $92.00 por los 8 lts. de leche.

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Bibliografía Zamora Muñoz, Salvador, Gerardo Vázquez Monroy y Lorenzo Sánchez Álvarez. Matemáticas I Álgebra Bachillerato. México: ST Editorial, 2007. (ISBN 970- 9807-366).

Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM

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