Material para la Enseñanza de las Funciones Hiperbólicas y su Aplicación en la Construcción de Puentes y Arcos.

1 Domo Cápsula del Tiempo UNAM. 2010

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Resumen  

El presente trabajo ha sido elaborado para mejorar el conocimiento del cálculo en estudiantes de ingeniería proporcionándoles el gusto por este conocimiento y la habilidad para aplicarlo en su profesión, vinculando las matemáticas a la ingeniería. Se contempla el aspecto histórico de la función coseno hiperbólico, se analizan físicamente los arcos de medio punto y los arcos catenarios utilizando conceptos de estática, energía y problemas estructurales. Utiliza material interactivo desarrollado con geogebra que permite al estudiante descubrir por sí mismo el resultado al realizar variaciones de parámetros. (Palabras clave: Catenaria, matemáticas, ingeniería, arcos funciones hiperbólicas)

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Abstract  

This work has been done to improve knowledge of calculus in engineering students by providing a taste for this knowledge and ability to apply it in their profession, linking mathematics to engineering. It provides the historical aspect of the hyperbolic cosine function are analyzed physically arches and catenary arches using static concepts, energy and structural problems. Use GeoGebra interactive material developed that allows students to discover for himself what happens when he makes changes of parameters. (Keywords: Catenary, mathematics, engineering, arc, hyperbolic functions)

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A mi familia

A mis maestros

A mis amigos

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Índice Resumen Abstract Agradecimientos Capítulo I 1.1 Antecedentes 1.2 Justificación 1.3 Descripción del problema. 1.4 Fundamentación teórica 1.5 Objetivos 1.6 Metodología 1.7 Resultados esperados.

1 1 2 4 4 7 7 9

Capítulo II Los Arcos y su Historia 2.1 Distintos tipos de arcos: Medio punto, ojival, parabólico y catenario 2.2 Desarrollo histórico de la función catenaria

10 10 13 15

Capítulo III Los Arcos y la Física 3.1 Estática del Arco de Medio punto 3.2 Estática del Arco Catenario. 3.3 Estática de una cadena 3.4 Cálculo de la ecuación de la catenaria 3.5 Estudio Energético de la Catenaria 3.6 La geometría y resistencia del huevo

17 17 17 23 26 31 33 35

Capítulo IV La Matemática y la Catenaria 4.1 Semejanzas y diferencias entre la catenaria y la parábola 4.2 Los puentes colgantes ¿son parabólicos o catenarios? 4.3 Desarrollo de Taylor de la función catenaria 4.4 Relación entre la catenaria y la exponencial 4.5 La hipérbola y las funciones hiperbólicas 4.6 Evoluta y Envolvente, dos funciones importantes geométricamente

37 37 37 39 43 45 47 49

Capítulo V Los Cables de Tendido Eléctrico

51 51

Capítulo VI Catenaria en la Arquitectura Moderna

53 53

Capítulo VII

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Proyecto

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Applets Applet 1 Applet 2 Applet 3 Applet 4

Fuerzas en la cúpula de la Basílica de San Pedro y arcos de medio punto La Función Catenaria Estática en la catenaria El arco de medio punto y el catenario

 

22 25 27 33

Applet 5 Obtener la ecuación de la catenaria Applet 6 La catenaria y la parábola Applet 7 Serie de Taylor Applet 8 La hipérbola y sus relaciones trigonométricas Applet 9 La catenaria y la función exponencial. Applet 10 Gráficas de las funciones hiperbólicas Applet 11 Evoluta y envolvente Citas Bibliográficas

35 38 44 46 47 49 50 64

Índice de Figuras Figura 1 Evaluación PISA 2006............................................................................................................... 2 Figura 2 Producción de patentes 2008 .................................................................................................... 3 Figura 3 Matrícula por áreas de estudio .................................................................................................. 3 Figura 4 Construcción arco de medio punto sobre el centrado ............................................................. 18 Figura 5 Fuerzas sobre el arco, al abrirse cae la clave y las dovelas..................................................... 18 Figura 6 Fuerzas sobre los apoyos, el peso se coloca en el centro de masa ......................................... 18 Figura 7 Fuerzas sobre uno de los apoyos y el punto más alto del arco................................................ 19 Figura 8 Fuerzas sobre un apoyo y cualquier otro punto del arco......................................................... 20 Figura 9 Centros de masa o centroides de arco circular........................................................................ 21 Figura 10 Cadena .................................................................................................................................. 26 Figura 11 Fuerzas sobre un segmento de cuerda................................................................................... 28 Figura 12 Diferencial de un segmento de cuerda ................................................................................... 28 Figura 13 Relaciones trigonométricas................................................................................................... 30 Figura 14 Cables de tendido eléctrico ................................................................................................... 32 Figura 15 Posición del centro de masa de un arco semicircular y uno catenario .................................. 34 Figura 16 Gráfica de la catenaria y la parábola..................................................................................... 37 Figura 17 Tipos de puente y longitud desde el año 1920 hasta 2000.................................................... 42 Figura 18 Esquema cables de tendido eléctrico ..................................................................................... 51 Índice de Imágenes 1 Domo Cápsula del Tiempo UNAM. 2010............................................................................................ i 2 Arco romano de Medinaceli S.I ......................................................................................................... 10 3 Puente de la Reina. Navarra S.XII ..................................................................................................... 10 4 Acueducto Querétaro S.XVIII............................................................................................................ 10 5 Arco Ojival San Juan Duero. Soria S.Xll........................................................................................... 11 6 Arco de herradura. Monasterio de las Claras. Tordesillas. S.XIV .................................................... 11 7 Arco Mixtilineo .................................................................................................................................. 11 8 Ibn Tulun, El Cairo S.I ....................................................................................................................... 11 9 Cúpula de San Pedro S.XVI............................................................................................................... 11 10 Taj Mahal S.XVII............................................................................................................................. 11 11 Biblioteca Toyo Ito. Tokio. S.XXI................................................................................................... 11 12 Planta Nestlé, Querétaro S.XXI ....................................................................................................... 11 13 Estudio de restauración de la Cúpula de San Pedro ......................................................................... 12 14 Agrietamiento de la Cúpula de Loyola............................................................................................. 12 15 Contrafuertes en Santa Rosa de Viterbo, Querétaro......................................................................... 13 16 Bóveda de cañón con contrafuertes.................................................................................................. 13 17 Arco Ctesifonte. Antioquía. Año 540............................................................................................... 13 18 Mezquita de la Roca de Jerusalén. Año 691 .................................................................................... 13 19 Arco de medio punto. Arcos del Sitio. Acueducto de Xalpa. Tepotzotlan. S.XVIII........................ 14 vi 

20 Arco ojival. Catedral de Reims ........................................................................................................ 14 21 Arco parabólico. Colegio de las Teresianas. Gaudí ......................................................................... 14 22 Arco catenario. Bodegas Protos Peñafiel ......................................................................................... 14 24 Acta Eruditorum (1691) ................................................................................................................... 16 25 Luxor. Viñedo egipcio...................................................................................................................... 23 26 La Mezquita de la Roca Jerusalén.................................................................................................... 23 27 Puente sobre el Ródano .................................................................................................................... 24 28 Puente de un oleoducto .................................................................................................................... 24 29 Arco de Ctesifonte............................................................................................................................ 24 30 ArchWay St Louis............................................................................................................................ 24 32 Forma del huevo en su razón áurea .................................................................................................. 36 33 Funciones sobre el huevo.. ............................................................................................................... 36 34 Puente colgante sobre el río. ............................................................................................................. 39 35 Preparación del Ichu......................................................................................................................... 39 36 Elaboración de las sogas .................................................................................................................. 39 37 Lanzamiento de sogas principales.................................................................................................... 39 38 Tensión de las sogas......................................................................................................................... 40 39 Tejido de las barandillas................................................................................................................... 40 40 Conclusión del puente ...................................................................................................................... 40 41 Puente terminado, vista interior ....................................................................................................... 40 42 Puente terminado, vista lateral ......................................................................................................... 40 43 Puente colgante catenario................................................................................................................. 41 44 Puente colgante parabólico............................................................................................................... 41 45 Cables de tendido eléctrico .............................................................................................................. 51 46 Gaudí Maqueta estereostática........................................................................................................... 53 47 Espejo bajo las cadenas .................................................................................................................... 53 48 Maqueta para el diseño del palacio Güell ........................................................................................ 53 49 Proyecto Original del Palacio Güell................................................................................................. 53 50 La Pedrera Gaudi.............................................................................................................................. 54 51 Masía Freixa (Barcelona) ................................................................................................................. 54 52 Pabellón de Rayos cósmicos en la UNAM ...................................................................................... 54 53 Bodegas Protos Peñafiel................................................................................................................... 54 54 Arch Way Sn Louis Missouri.......................................................................................................... 55 55 Estación de Santa Justa. Sevilla ....................................................................................................... 55 56 Centro Memorial Fidel y María Moreno.......................................................................................... 55 57 Puente Milenio Londres ................................................................................................................... 55 58 Cases obos de Camerún.................................................................................................................... 56 59 Puente de Alamillo Sevilla.............................................................................................................. 56 60 Museo oceanográfico Valencia ........................................................................................................ 56 61 San Francisco de Asis Pampulha Brasil .......................................................................................... 56 62 Iglú Catenario................................................................................................................................... 57 63 Calera Veracruz................................................................................................................................ 57 64 Cápsula del tiempo UNAM. Vista interior..................................................................................... 57 65 Cápsula del tiempo UNAM. Vista exterior ..................................................................................... 57 66 Bóveda Ctesiphon Sn Bartolo .......................................................................................................... 58 67 Conoide de la Fábrica Fernánde....................................................................................................... 58 68 Paraguas en las Aduanas .................................................................................................................. 58

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Capítulo I 1.1 Antecedentes Los programas de estudio de la Facultad de Ingeniería de la UAQ se encuentran en constante actualización para asegurar la calidad de sus egresados. Se ha mejorado la distribución de los cursos de matemáticas en el tronco común de las carreras de ingeniería y se han implementado laboratorios de matemáticas en los que se utiliza software especializado. Los libros de texto que se utilizan en los cursos de cálculo son muy buenos, sin embargo no están apegados al programa de esta facultad ni se encuentran contextualizados a ejemplos motivadores que entrelacen la matemática con las demás materias del currículo de ingeniería y mucho menos con su desempeño profesional futuro. Tampoco describen la necesidad histórica que el hombre ha tenido para responder a problemas de ingeniería, físicos o matemáticos en la creación de ideas y conceptos matemáticos. Si nos limitáramos en nuestra educación a una mera presentación de los resultados teóricos que se han desarrollado, dejando a un lado sus orígenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales problemas, estaríamos ocultando una parte muy interesante y substancial de lo que las matemáticas verdaderamente son. Aparte de que estaríamos con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelización y las aplicaciones poseen. En la facultad se ha formado un grupo de trabajo interdisciplinario que presenta un proyecto y tiene como objetivo dar una diferente presentación a los libros de textos comunes respondiendo a tres preguntas: ¿por qué nacen los conceptos matemáticos?, ¿cómo se estudian de manera formal? y ¿para qué sirven en ingeniería? Esta tesina forma parte del proyecto. Con argumentos apoyados en numerosos textos de ilustres matemáticos, pedagogos, historiadores y profesores, se reclama una función didáctica para la historia de las matemáticas como instrumento de comprensión de sus fundamentos y de las dificultades de sus conceptos para así responder a los retos de su aprendizaje. La Historia es fuente de inspiración, autoformación y orientación en la actividad docente y al revelar la dimensión cultural de la Matemática, el legado histórico permite enriquecer su enseñanza y su integración en el conjunto de los saberes científicos, artísticos y humanísticos que constituyen la Cultura. Ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como las matemáticas. (Bell 1985)

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Las modernas teorías didácticas utilizan la modelación como un método de aprendizaje en el aula. Las investigaciones realizadas sobre el uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas muestran que cuando se aprenden directamente los conceptos de las matemáticas resulta difícil aplicarlos a la solución de los problemas en cambio cuando se aprenden partiendo de alguna situación real que permite a los alumnos modificar las variables y observar el resultado, haciendo una experimentación ya sea física o utilizando las herramientas tecnológicas y reflexionando sobre los resultados obtenidos, el conocimiento que adquieren entonces es muy superior y duradero.

1.2 Justificación En todos los países del mundo, las matemáticas y las ciencias son una parte importante del currículo escolar y se consideran materias esenciales para la formación de los jóvenes. Esto es así porque ambas materias son un pilar para la integración del individuo en un mundo cada vez más tecnificado y le preparan para afrontar con éxito el reto tecnológico y científico. De igual manera, el estudio de las my las ciencias es considerado como un medio para desarrollar en el individuo hábitos de razonamiento riguroso y crítico. Los resultados del Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos, PISA en el año 2006 que contienen los promedios obtenidos en la comprensión lectora, matemáticas y ciencias se muestran en la Figura 1. El lugar que ocupa México es el 46°, este indicador nos muestra que debemos ocuparnos del aprendizaje de nuestros alumnos.

Figura 1 Evaluación PISA 2006

La producción tecnológica y de patentes durante 2008 se puede observar en la Figura 2, obtenida de UTC (GMT) de Organización para la Cooperación y Desarrollo Económicos, 2 

OCDE, en mayo de 2010. Se observa una relación entre el desempeño académico y la producción tecnológica y de patentes. Se deduce que si no hay investigación científica y tecnológica no hay una producción, por lo que es necesario incrementar el número y la calidad de los estudiantes en ciencias básicas e ingeniería.

Figura 2 Producción de patentes 2008

Por otro lado, hay una fuerte concentración de demanda y oferta en el área económico administrativa, así como en algunas carreras de corte tradicional como las de Derecho y Medicina; mientras que otras áreas, relacionadas con las ciencias, aportan porcentajes muy bajos al total nacional como se observa en la Figura 3, datos obtenidos por la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior ANUIES, anuario estadístico, ciclo escolar 2007/2008.

Figura 3 Matrícula por áreas de estudio

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Por lo anterior se puede ver la necesidad de no sólo incrementar la matrícula sino elevar el nivel académico de matemáticas y que esto influya en la generación de patentes e investigaciones.

1.3 Descripción del problema. Los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería llegan con mucha ilusión, se sienten orgullosos e importantes por el hecho de haber logrado el puntaje que les permite ser parte de esta facultad, tienen cierta habilidad por las matemáticas y a algunos de ellos hasta les gusta, están muy motivados y quieren comenzar sus cursos inscribiéndose en sus materias de primer semestre. Las materias que forman el tronco común en los programas de ingeniería son esencialmente matemáticas y física, ciencias que son el soporte de los conocimientos de ingeniería. La elaboración de este currículo está pensada en formar alumnos con bases para la comprensión de las materias de ingeniería que se soportan en estas ramas de la Ciencia, pero esto no es lo que ellos esperaban. Algunos muchachos son pacientes y se preparan paulatinamente aceptando esperar el tiempo necesario para su desarrollo como ingeniero, pero las características de la juventud actual es “lo instantáneo”, así se ha formado alrededor del desarrollo vertiginoso de la tecnología, comida rápida, control remoto, celulares, vehículos veloces, calculadoras que les resuelven cualquier algoritmo a gran velocidad, computadoras que los mantienen comunicados instantáneamente con cualquier parte del mundo. No es fácil para ellos aceptar que deben esperar y prepararse en materias científicas antes de comenzar su sueño. Teniendo en cuenta lo anterior, hay que reflexionar sobre la forma en que se están llevando los cursos de matemáticas y física. El conocimiento debe ser graduado pero motivador, debe acercarlos a su meta, no alejarlos

1.4 Fundamentación teórica Descritos ya los antecedentes y justificación del problema, se pretende en este proyecto realizar un material que permita a los alumnos de ingeniería de primero y segundo semestre mejorar su aprendizaje de las matemáticas. El constructivismo, como teoría epistemológica para el aprendizaje de las matemáticas, es el centro de interés actual de una gran cantidad de investigadores en la educación, es decir una teoría que intenta explicar cuál es la naturaleza del conocimiento humano.

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El constructivismo es una posición compartida por diferentes tendencias de la investigación psicológica y educativa, entre ellas se encuentran las teorías de Jean Piaget, Lev Vygotsky, David Ausubel, Jerome Bruner, y aun cuando ninguno de ellos se denominó como constructivista sus ideas y propuestas claramente ilustran las ideas de esta corriente y aunque parecieran tener enfoques distintos, cuando se analizan profundamente se podría decir que no difieren en mucho a lo que es su propósito en la educación.. El constructivismo sostiene que el aprendizaje es esencialmente activo. Una persona que aprende algo nuevo, lo incorpora a sus experiencias previas y a sus propias estructuras mentales. Cada nueva información es asimilada y depositada en una red de conocimientos y experiencias que existen previamente en el sujeto, como resultado podemos decir que el aprendizaje no es ni pasivo ni objetivo, por el contrario es un proceso subjetivo que cada persona va modificando constantemente a la luz de sus experiencias. Lo fundamental del enfoque de Vygotsky consiste en considerar al individuo como el resultado del proceso histórico y social donde el lenguaje desempeña un papel esencial. Para Vygotsky, el conocimiento es un proceso de interacción entre el sujeto y el medio, pero el medio entendido como algo social y cultural, no solamente físico. El aprendizaje y el desarrollo son una actividad social y colaborativa que no puede “ser enseñada” a nadie. Depende del estudiante construir su propia comprensión en su propia mente. Toda persona tiene cierto conocimiento y para poder aprender algo nuevo, deben desestabilizarse sus estructuras cognitivas, cuestionarse y el nuevo conocimiento deberá estar al alcance o lo que se denomina “la zona de desarrollo próximo” para que puedan formar parte del nuevo conocimiento. El docente debe tomar en consideración que el aprendizaje tiene lugar en contextos significativos, preferiblemente el contexto en el cual el conocimiento va a ser aplicado. La perspectiva histórica nos acerca a las matemáticas como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. La historia de la matemática permite conocer las cuestiones que dieron lugar a los diversos conceptos, las intuiciones e ideas de donde surgieron, el origen de los términos, lenguajes y notaciones singulares en que se expresaban, las dificultades que involucraban, los problemas que resolvían, el ámbito en que se aplicaban, los métodos y técnicas que desarrollaban, cómo fraguaban definiciones, teoremas y demostraciones, la ilación entre ellos para forjar teorías, los fenómenos físicos o sociales que explicaban, el marco espacial y temporal en qué aparecían, cómo fueron evolucionando hasta su estado actual, con qué temas culturales se vinculaban, las necesidades cotidianas que solventaban. 5 

Lo que actualmente necesita un estudiante universitario es que la educación matemática contenga una componente científica adecuada para su tarea específica, un conocimiento práctico de manera que pueda aplicar estos conocimientos en su vida profesional y un conocimiento integrado que le dé una cultura amplia y no aislada de la sociedad en la que vive. Desde que se ha establecido la conexión entre las aportaciones de la historia y epistemología de la ciencia y la didáctica de las ciencias, muchos han sido los trabajos que muestran las aplicaciones de aquéllas en la labor docente (Matthews 1990) Bajo el punto de vista de la eficacia pedagógica, no sólo a corto, sino a medio y largo plazo, además de transmitir un elenco de conocimientos, resultados estereotipados de las exposiciones cerradas y acabadas de la ciencia estática de los manuales que ocultan el zigzagueante camino de la creación científica, se debería despertar en el estudiante, futuro profesional, científico o técnico, unas actitudes y unos hábitos metodológicos acordes con el método científico. Como señala (Kline 1978) en su popular obra El fracaso de la Matemática Moderna: Enseñar científicamente sólo quiere decir inducir a pensar científicamente, de ningún modo enfrentar al alumno, desde el principio, con fríos sistemas científicamente pulidos. La teoría educativa denominada Matemática en el contexto de las Ciencias nace en 1982 en el IPN y considera al proceso de la enseñanza y el aprendizaje de esta materia, en carreras donde la Matemática no es una meta, como un sistema presente en el ambiente de aprendizaje. Esta teoría está constituida por cinco fases: cognitiva, epistemológica, didáctica, curricular y de formación docente. (Camarena 2009) Si bien, los programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería, no siempre contemplan todos los temas que son necesarios para los demás cursos de la propia ingeniería, también es cierto que existen elementos que quedan en tierra de nadie y que sin embargo, se supone que el ingeniero en ejercicio de su labor debe conocer y manejar con habilidad, entre estos elementos se localizan los modelos matemáticos. Por un lado no existe ninguna asignatura de la ingeniería que los trabaje y por otro, resulta que los profesores de matemáticas sienten que este punto compete a los profesores de los cursos propios de la ingeniería, mientras que estos últimos presuponen que los maestros de matemáticas son quienes deben enseñar al estudiantes a modelar fenómenos de la ingeniería a través del modelaje de diversos problemas que éste debe plantearle a los alumnos durante la enseñanza de las matemáticas.(Camarena 2009) El uso de la modelación en la escuela se muestra de diferentes maneras según los puntos de vista desde donde se mire la didáctica y de acuerdo a los objetivos de la actividad.

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Actualmente hay estudios con enfoques muy variados que han sido caracterizados dentro de grupos de acuerdo a algunas perspectivas comunes (Kaiser y Sriraman 2006) Las modernas teorías didácticas utilizan la modelación como un método de aprendizaje en el aula. Las investigaciones realizadas sobre el uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas muestran que cuando se aprenden directamente los conceptos de las matemáticas resulta difícil aplicarlos a la solución de los problemas en cambio cuando se aprenden partiendo de alguna situación real que permite a los alumnos modificar las variables y observar lo que ocurre, haciendo una experimentación ya sea física o utilizando las herramientas tecnológicas y reflexionando sobre los resultados obtenidos, el conocimiento que adquieren entonces es muy superior y duradero. La matematización de los fenómenos y problemas que se presentan en el campo laboral del futuro ingeniero es un punto de conflicto para el ingeniero, ya que éste recibió sus cursos de matemáticas por un lado y los de la ingeniería por otro lado, de forma tal que en el momento de hacer uso de las dos áreas del conocimiento sus estructuras cognitivas están desvinculadas y él debe integrarlas para poder matematizar el problema que tiene enfrente (Camarena2009).

1.5 Objetivos El objetivo que tiene este trabajo es integrar el cálculo diferencial e integral con las materias del área de Ingeniería: estática, dinámica, termodinámica y electromagnetismo que son materias del tronco común y que dan la formación inicial del futuro ingeniero quedarán de esta manera vinculadas. El alumno encontrará motivadora esta integración y trabajará con mayor gusto mejorando así sus calificaciones, teniendo una formación sólida y logrará resolver los problemas de ingeniería justificando matemáticamente sus respuestas. Así mismo, el alumno al egresar de la facultad será un profesionista con mente creadora e innovadora sabiendo que sus conocimientos se basan en la experiencia de tantos otros científicos que lograron realizar obras de reconocida calidad

1.6 Metodología Para la realización de este trabajo se iniciará realizando una extensa revisión bibliográfica, se buscarán ejemplos interesantes de importancia histórica y apegados a la formación del ingeniero. Durante esta revisión se dará gran importancia a buscar el origen y necesidad del desarrollo de los conocimientos de matemáticos, esta parte es muy delicada pues con el tiempo y el avance científico se han perdido u ocultado los orígenes, las dificultades por

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las que pasó el estudio, los errores que se tuvieron, dejando sólo el conocimiento terminado, pulido, descontextualizado y generalizado llegando a un conocimiento limpio y ordenado. Se revisarán los libros de cálculo diferencial e integral que actualmente se encuentran en uso en otras instituciones de educación superior que imparten las carreras de ingeniería lo que permitirá adecuar los conocimientos a los programas de ingeniería de esta facultad, tomar ejemplos y amoldarlos a las necesidades de materias posteriores logrando así la integración que se desea. Para poder integrar las matemáticas a otras áreas de la ingeniería se realizarán reuniones con profesores ingenieros con experiencia en el área de ingeniería civil, ingeniería en automatización, ingeniería mecatrónica e ingeniería agroindustrial y que imparten las materias de física e ingeniería, se discutirá la forma más adecuada para incorporar los contenidos de las materias en un texto. Se harán en forma de entrevistas buscando ejemplos en donde ellos hagan uso de los conceptos matemáticos. Posteriormente se hará una revisión de programas de cómputo que se encuentran en el mercado buscando aquellos que se adecúen más a las necesidades del material, se hará un análisis comparativo y de costo-beneficio de los programas tanto de software libre como los que requieren licencia pudiendo así elegir aquél que más se apegue a las necesidades del material y sea más eficiente para los alumnos. Se analizará el funcionamiento correcto de los applets que ya están creados y se crearán nuevos. Estos applets se probarán en los laboratorios de matemáticas en los cursos que actualmente se están impartiendo y que se realizan dentro del centro de cómputo para asegurarse que son adecuados al nivel de desarrollo de los alumnos en el área tecnológica y facilitan al alumno su propio aprendizaje Una vez realizado lo anterior, se conjuntarán los materiales, se analizarán varios puntos de vista y se seleccionará aquel material correspondiente a la teoría matemática básica para la formación sólida de los alumnos de la Facultad de Ingeniería, los ejemplos de ingeniería, así como las raíces históricas. La escritura del material didáctico se realizará iniciando con los hechos históricos interesantes que justifican el conocimiento, utilizando el lenguaje formal matemático, incorporando el lenguaje simbólico matemático en forma paulatina, dosificada y creciente que les permitan analizar y madurar, acompañados de ejemplos de aplicaciones ingenieril (apegado al programa de la Facultad de Ingeniería) finalizando con cierta complejidad. El tema elegido para este trabajo es: Las funciones hiperbólicas y sus propiedades estudiándolas desde el punto de vista de la catenaria y su aplicación en la construcción de puentes, arcos y cúpulas. Se inicia dando una revisión sobre los arcos y cúpulas que aún se encuentran de pie haciendo notar la diferencia en estabilidad de unos y otros tipos de arco 8 

avanzando por el conocimiento que no tuvieron las culturas occidentales sobre la forma y estabilidad de una cadena colgando y que al invertir produce arcos de gran resistencia que aún permanecen en pié en culturas orientales. Para terminar, se hará una revisión técnica, matemática, de ingeniería y de corrección de estilo para que el material que se produzca sea de muy alta calidad. Un marco temporal y espacial de las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes; de tal forma que apunten las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.

1.7 Resultados esperados. Se espera que los alumnos al utilizar este material tengan gusto hacia el aprendizaje de las matemáticas, adquieran la habilidad de razonar sobre los resultados obtenidos, comprendan y apliquen correctamente los fundamentos matemáticos en casos reales, mejoren su aprendizaje de las materias de ingeniería por tener el soporte matemático correcto.

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Capítulo II Los Arcos y su Historia ¿Qué forma debe tener un arco para tener la distribución óptima de cargas? Al realizar un viaje por el mundo ya sea físicamente o a través de imágenes podemos encontrar diversos tipos arcos en puentes, domos y cúpulas, antiguos y modernos, deteriorándose o en excelente estado de conservación. El arco se utilizó en Mesopotamia, Antiguo Egipto, Asiria y Etruria. Se cree que fueron los etruscos quienes transmitieron este conocimiento a los romanos. Las construcciones griegas utilizan la geometría, la simetría, las formas como elemento de elegancia y belleza, construyen sobre grandes columnas pero no se observa el uso de arcos. A los constructores griegos se les llamaba “arquitekton”, y eran personas que tenían los conocimientos básicos de construcción adquiridos de forma práctica. La cultura romana, hereda los conocimientos de los griegos, sus aportaciones son principalmente en aplicaciones de la ingeniería. Para extender sus dominios, los romanos necesitan construir caminos, acueductos y puentes además de la construcción de piezas de artillería para conquistar otros pueblos. En el año 200 d.C., inventaron un ariete para atacar las murallas a la que llamaron “ingenium”, de ahí se cree que proviene la palabra ingeniero. El arco de medio punto, con forma de medio círculo se difunde hacia las tierras conquistadas, podemos ver estos arcos desde los inicios de la era cristiana hasta nuestros días diseminados por todas partes del mundo.

2 Arco romano de Medinaceli S.I

3 Puente de la Reina. Navarra S.XII

4 Acueducto Querétaro S.XVIII

Además de los arcos de medio punto hay otras variedades de arco que también utilizan la circunferencia como elemento geométrico como son el arco ojival, el arco de herradura y el mixtilíneo.

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5 Arco Ojival San Juan Duero. Soria S.Xll

6 Arco de herradura. Monasterio de las Claras. Tordesillas. S.XIV

7 Arco Mixtilineo

Si revisamos ahora las cúpulas en distintos países y épocas, podremos encontrar que la esfera es el elemento geométrico que se utilizó en su construcción

8 Ibn Tulun, El Cairo S.I

9 Cúpula de San Pedro S.XVI

10 Taj Mahal S.XVII

Aún en construcciones modernas seguimos encontrando la circunferencia como elemento geométrico principal de diseño en la construcción como por ejemplo en la Biblioteca de la Tama Art University de Tokio construida por Toyo Ito y la planta Nestlé, aquí en Querétaro, construida en el año 2009 por el arquitecto Michel Rojkind.

11 Biblioteca Toyo Ito. Tokio. S.XXI

12 Planta Nestlé, Querétaro S.XXI

¿Qué forma debe tener un arco (o bóveda)? y ¿cuánto deben medir sus estribos?

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Estas son las preguntas claves en la construcción abovedada desde sus orígenes hace unos 6,000 años hasta la actualidad. En particular, toda la seguridad de la obra depende de los estribos; una bóveda mal proyectada se hundirá en el momento del descimbrado, si fallan los estribos toda la construcción se viene abajo. Ahora surge la pregunta, ¿por qué la circunferencia ha sido tan utilizada por el hombre en sus construcciones en lugares tan distantes y en épocas tan lejanas? Una explicación podría ser por la facilidad en el trazo, sólo se necesita mantener fijo uno de los extremos de una cuerda y amarrar un marcador en el otro extremo para dibujar una circunferencia de cualquier tamaño. Otra explicación es la belleza, por su regularidad, su simetría, su perfección y otra es porque el constructor haya descubierto en la circunferencia un elemento de optimización para rodear la mayor superficie con menor cantidad de material. Sea cual fuere el motivo, esperaríamos que la circunferencia proporcionara también estabilidad a las obras arquitectónicas, sin embargo, encontramos la necesidad de gruesas paredes y de contrafuertes para sostenerlas, hay estudios que se realizaron durante la reconstrucción de la cúpula de la Basílica de San Pedro en el Vaticano y de la cúpula del Santuario de Loyola en el País Vasco que muestran graves agrietamientos y se han tenido que cinchar con fuertes cadenas de hierro para evitar que sigan abriéndose.

14 Agrietamiento de la Cúpula de Loyola

13 Estudio de restauración de la Cúpula de San Pedro

Una estructura bien diseñada, debe soportar los esfuerzos para los que ha sido preparada sin deformarse ni presentar síntomas de debilitamiento, para que esto suceda, deben elegirse los materiales adecuados, la forma y el tamaño de la estructura.

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15 Contrafuertes en Santa Rosa de Viterbo, Querétaro

16 Bóveda de cañón con contrafuertes

Pero no sólo la circunferencia se ha encontrado en la construcción de arcos, un hecho muy interesante es que se encuentran construcciones muy antiguas construidas de adobe y que aún permanecen de pie como por ejemplo el Arco de Ctesifonte, construido por Cosroes I en el año 540 tras saquear Antioquía; la cúpula de la mezquita de la Roca en Jerusalén mandada construir por el califa Abd al-Malik entre los años de 687 y 691; los viñedos de Luxor en Egipto cuyos arcos no son circulares. Estos ejemplos hacen pensar que no es la circunferencia la forma óptima, estos arcos están construidos de materiales ligeros, pueden abarcar grandes extensiones y no necesitan contrafuertes para sostenerse. ¿Qué tendrán en común estos arcos? ¿Qué los ha mantenido en pie tantos años? ¿Qué les da estabilidad?

18 Mezquita de la Roca de Jerusalén. Año 691

17 Arco Ctesifonte. Antioquía. Año 540.

2.1 Distintos tipos de arcos: Medio punto, ojival, parabólico y catenario En el viaje a través de imágenes, hemos recorrido el mundo buscando la solución sobre cuál arco es más estable, hemos encontrado una gran cantidad de arcos de medio punto formados por medias circunferencias, también podemos encontrar otros tipos de arcos como los arcos ojivales formados por dos circunferencias no concéntricas, arcos parabólicos siguiendo la forma de la curva de ese mismo nombre y por último nombraremos a los arcos

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catenarios que tienen la forma de una cadena colgando invertida y cuyo nombre proviene de catena del latín cadena y vamos a explicar de forma muy amplia a lo largo de este trabajo. A excepción del arco de medio punto, la forma de los otros tres arcos es alargada y angosta, comparten todos ellos una forma común, por lo que se esperaría que tuvieran una resistencia similar. Los arcos ojivales se distinguen fácilmente porque terminan en pico, a esta terminación superior se le llama apuntado. Pero, cómo distinguir un arco parabólico de uno catenario, su aspecto a primera vista es muy similar.

19 Arco de medio punto. Arcos del Sitio. Acueducto de Xalpa. Tepotzotlan. S.XVIII

20 Arco ojival. Catedral de Reims

21 Arco parabólico. Colegio de las Teresianas. Gaudí

22 Arco catenario. Bodegas Protos Peñafiel

Un arco catenario es aquel que tiene la forma de una cadena invertida como puede observarse en la figura 23, el reflejo del puente sobre el río coincide exactamente con la forma de una cadena colgando. Esta es la prueba más rápida, directa y sencilla para distinguir entre un arco parabólico y un arco catenario, se puede invertir una imagen y colocar sobre ella una cadena.

14 

23 Puente Kintai Kyo

Como se mencionó anteriormente, las antiguas capillas románicas que utilizaron arcos de medio punto en puertas y ventanas necesitaron gruesas columnas, grandes muros o contrafuertes para sostenerlos y contrarrestar las fuerzas que empujan hacia fuera intentando abrirlos. El uso de arcos ojivales en otras construcciones disminuye este problema porque su forma es más alargada pero también tienen fuertes arbotantes exteriores para absorber dichas fuerzas. Ahora es el momento de estudiar el arco catenario para poder de explicar por qué este arco es la forma

más estable. Utilizando cadenas de la misma longitud pero de diferentes grosores y masas, se puede observar y comprobar que la forma que una cadena adquiere al ser colgada por sus extremos no depende del grosor ni de la masa, el requisito es que sea uniforme y perfectamente flexible.

2.2 Desarrollo histórico de la función catenaria Los primeros estudios sobre la forma que toma una cadena colgada por sus extremos se debe a Galileo S.XVI. Galileo era una persona con una gran capacidad de observación, ¿cuántas veces habremos visto una cadena, cuerda o cable colgando y no se nos ha ocurrido estudiar su forma? Pues Galileo sí lo hizo llegando a la conclusión de que la forma de una cadena colgada era parabólica. En 1646, cuando Christyan Huygens tenía apenas 17 años, estudió la forma de la curva que forma una cadena colgada a la que llamó catenaria (latín: catena - cadena) basándose en razonamientos físicos y sin poder precisar cuál era la forma verdadera concluyó que no era una parábola como lo había sugerido Galileo años antes. ¿Cómo es que un muchacho de 17 años pudo llegar a una conclusión así?, ¿cómo es que tuvo “el atrevimiento” de cuestionar lo que el Gran Galileo había afirmado el siglo anterior? Se llama catenaria o funicular a la forma que adopta una cuerda o cadena de masa distribuida uniformemente cuando se cuelga por sus dos extremos y se curva por su propio peso. Ahora nos preguntamos: ¿qué tiene de especial esta forma?, ¿por qué es tan importante estudiarla?, ¿por qué su forma no depende de su peso y grosor? En el año de 1691, Jacob Bernoulli, publicó un artículo en una revista matemática sobre un tema de cálculo integral y allí lanzó a sus colegas el reto de obtener la ecuación de la catenaria recibiendo tres respuestas independientes, una de su hermano Johann Bernoulli, otra de Leibniz y la tercera del mismo Huygens, ahora de 62 años. Las soluciones remitidas por

15 

Leibniz (izquierda) y Huygens (derecha) a Bernoulli se publicaron en 1691 en el Acta Eruditorum. Fig. 24

24 Acta Eruditorum (1691)

La respuesta a este reto fue expresada mediante la ecuación diferencial (1) ady

dx 

(1)

y2  a2

También puede expresarse en la forma de ecuación integral (2) ady

x

y2  a2

(2)

El valor del parámetro a puede variar dependiendo de qué tan colgada está la cadena. Actualmente la ecuación de la catenaria se expresa como un promedio de funciones exponenciales (3) y



a ax  ax e e 2



(3)

La catenaria también se puede expresar utilizando funciones hiperbólicas (4) y  a cosh

x . a

(4)

Es muy curioso pensar que en la época en que se determinó la ecuación de la catenaria no se conocían las funciones exponenciales.

16 

Capítulo III Los Arcos y la Física 3.1 Estática del Arco de Medio punto No hay mejor descripción de la construcción y estabilidad de un arco que el pasaje en que Marco Polo se lo explica a Kublai Kan, emperador de los tártaros. Calvino (1972):

Marco Polo describe un puente, piedra por piedra. ¿Pero cuál es la piedra que sostiene el puente? — pregunta Kublai Kan. —El puente no está sostenido por esta piedra o por aquélla — responde Marco—, sino por la línea del arco que ellas forman. Kublai permanece silencioso, reflexionando. Después añade: ¿Por qué me hablas de las piedras? Es sólo el arco lo que me importa. Polo responde: —Sin piedras no hay arco.

Los arcos románicos se construyeron utilizando un material de madera como cimbra llamado centrado que da la forma del arco, luego se colocaban las piedras, dovelas, con forma de trapecio circular siendo más anchas en su parte externa que en la interna. Las dovelas se colocaban sobre el centrado comenzando por los extremos y avanzando hacia el centro. La última piedra que se colocaba era la central del arco de nombre clave. Del nombre de esta piedra proviene la expresión “ahí está la clave”. Una vez que había fraguado el mortero se quitaba la cimbra de madera quedando formado el arco. El peso de las piedras tiende a hacerlas caer en vertical pero esto no ocurre y se mantienen en su lugar porque la forma más ancha de las dovelas impide que pase por la más angosta. Los puntos débiles en la construcción del arco de medio punto son los puntos donde arranca. Las fuerzas horizontales son las responsables de que se abra el arco. Si no estuviera colocado sobre paredes gruesas o contrafuertes, se abrirían aumentando el espacio entre las piedras y cayendo la clave. Esto hace pensar que los arcos que utilizan la circunferencia tienen problemas en la construcción. La fuerza resultante sobre cada dovela no es tangencial como en el caso de la catenaria.

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Figura 4 Construcción arco de medio punto sobre el centrado

Figura 5 Fuerzas sobre el arco, al abrirse cae la clave y las dovelas

Para realizar los cálculos de las fuerzas presentes, se consideran las dos condiciones de equilibrio: fuerza y momento resultantes nulos. La suma vectorial de las fuerzas presentes y la suma de momentos de torsión tomando A como eje de rotación para facilitar los cálculos se muestran en las tres posibles situaciones: el arco completo, medio arco y el caso general considerando P sobre cualquier punto el arco. I.

Análisis del arco completo. Se consideran los dos extremos del arco, los puntos A y B son aquéllos donde arranca el arco. El arco se considera uniformemente distribuido. Las fuerzas a las que está sometido el arco son: en A(0, 0) la fuerza de reacción es FA  ( a x , a y ) ; en B (2r , 0) la fuerza de reacción es FB  (bx , by )

Figura 6 Fuerzas sobre los apoyos, el peso se coloca en el centro de masa

y el peso del arco W aplicado en su centro de  2r  masa CM   r ,  .   

Fx  ax  bx  0 Fy  a y  by  W  0 M A  Wr  2by r  0

(5a) (6a) (7a)

Al resolver el sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las fuerzas que soportan verticalmente al arco distribuyéndose el peso total.

18 

a x  bx

a y  by 

W 2

(8a)

II. Análisis de la mitad del arco De la misma forma que en el caso I, se consideran los dos extremos del semi-arco, los puntos A y D. Las fuerzas a las que está sometido este semi-arco son: en A(0, 0) la fuerza de reacción es

FA  ( a x , a y ) ; en

D (r , r ) la fuerza de reacción es FD  ( d x , d y )

W aplicado en su 2 2r 2r   centro de masa, CM   r  ,  .    

y el peso del semi-arco

Figura 7 Fuerzas sobre uno de los apoyos y el punto más alto del arco

Fx  ax  d x  0 (5b) Fy  a y  d y  M A  

W 2

W 0 2

(6b)

2r    r    dxr  d yr  0   

(7b)

Al resolver el sistema de ecuaciones y sustituir los valores obtenidos en (4a) se obtienen las magnitudes de los vectores. Las componentes horizontales de las fuerzas son iguales en todo el arco, en el punto más alto del arco sólo hay fuerzas horizontales. a x  bx  d x 

W 2

 2 1    

19 

a y  by 

W ; dy  0 2

(8b)

III. Análisis de un segmento cualquiera sobre el arco. Ahora se debe considerar una sección cualquiera del arco, los dos extremos del segmento son: el punto A, donde arranca el arco y un punto cualquiera P. Las fuerzas a las que está sometido sección de arco son: en A(0, 0) la fuerza de reacción es FA  ( a x , a y ) ;

en

P  r  r cos(   ), r sin(   )  la fuerza de reacción es FP  ( p x , p y ) y el peso de esta sección del arco está dado por ws , donde w es el peso por unidad de longitud y s la longitud de segmento y se aplica en el centro de masa de la sección: Figura 8 Fuerzas sobre un apoyo y cualquier otro punto del arco

  1   1 CM   r  1  sin   , (1  cos  )  .      

M

F  a  p  0 x x x

(5c)

F  a  p  ws  0 y y y

(6c)

 1    wsr 1  sin    p r sin(   )  p r (1  cos(   ))  0 A x y   

(7c)

Del análisis de fuerzas desarrollado, se muestra que la componente horizontal de las fuerzas a todo lo largo del arco son iguales, aún en los extremos donde arranca el arco y que la componente vertical en cada punto del arco es variable teniendo el valor máximo en los puntos de arranque y cero en el punto más alto del arco px 

W 2 1   2 

py 

wr  2   sin   2(1  cos  )

(8c)

La posición del centro de masa o centroide se obtiene mediante integración

 x

b

a

 y

xdL

b

a

L

 

20 

ydL L

(9)

Medio arco circular

Cuarto de arco circular

Arco con abertura 2

 2r  CM   0,    

 2r 2r  CM   ,    

 r sin   CM   , 0   

Figura 9 Centro de masa o centroide de arco circular

21 

Applet 1. punto.

Fuerzas en la cúpula de la Basílica de San Pedro y arcos de medio

Modifica el valor del ángulo donde se calculan las fuerzas. Oculta la imagen y modifica tanto el peso como el radio del arco. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Al colocar el ángulo  en cero, parte superior de la cúpula, ¿qué dirección tienen las fuerzas presentes? ¿Cómo varían las fuerzas sobre la cúpula al aumentar el valor del ángulo  ? ¿Cómo varían las componentes verticales de las fuerzas en cada punto del arco, especialmente en la parte superior y en los puntos de arranque del arco? ¿Cómo varían las componentes horizontales de las fuerzas en cada punto del arco? Compara la dirección de la fuerza resultante con la recta tangente al círculo. ¿En qué parte del arco coinciden? Explica el motivo por el que algunas cúpulas de media naranja no se han logrado mantener y se están abriendo.

22 

3.2 Estática del Arco Catenario. Al invertir la forma de la catenaria se obtiene un arco que conserva las ventajas de fuerzas equilibradas de la cadena siendo un arco que se sustenta a sí mismo. El arco así formado se conoce como arco catenario. Las fuerzas de compresión a lo largo de todo el arco son tangenciales al arco, de la misma forma que ocurre con la cadena, las componentes horizontales sobre el arco quedan equilibrados a lo largo de todo el arco excepto en sus puntos extremos ligados a los cimientos y las verticales se transmiten directamente a los cimientos. Regresando a la interrogante planteada, podemos ver que la forma de las construcciones de adobe que aún se conservan en pie son arcos catenarios. En la arquitectura islámica se encuentran en algunas cúpulas de mezquitas como por ejemplo en la Mezquita de la Roca en Jerusalén que aunque no es una catenaria perfecta, se aproxima mucho a ella. En Sudán, Egipto y Antioquía (hoy Turquía) se construyeron amplias habitaciones rematadas con una cúpula catenaria en las que utilizando sólo adobe obtuvieron construcciones baratas y con una resistencia extraordinaria, el arco Ctesifonte construido por Cosroes I en el año 540 tras saquear Antioquía mide 40m x 30m x 60m y fue la mayor bóveda de ladrillo del mundo, hasta la construcción del Arch Way en Sn. Louis conocido también como la puerta hacia el oeste, cuya construcción inició en 1963 A pesar de la ventaja en estabilidad de los arcos catenarios y no necesitar de grandes columnas o contrafuertes que impidan que se agrieten, no fueron utilizados en la antigüedad en occidente, muy probablemente por no considerarlos estéticos o porque no tenían los conocimientos sobre la forma de calcularlos. No hay evidencia de que en el oriente tuvieran el conocimiento matemático en el que se sustenta la gran estabilidad, muy probablemente fue una construcción empírica.

25 Luxor. Viñedo egipcio

26 La Mezquita de la Roca Jerusalén

23 

¿Cuál será el motivo por el que en el mundo occidental no se utilizara esta forma?, ¿no tendrían tampoco los conocimientos necesarios?, ¿será la estética la que predominó?, ¿será la dificultad en su trazo?, ¿cómo se procederá para trazar correctamente un arco catenario? ¿Por qué tiene tanta estabilidad este arco?

27 Puente sobre el Ródano

28 Puente de un oleoducto

29 Arco de Ctesifonte

30 ArchWay St Louis

24 

Applet 2.

La Función Catenaria.

Abre la aplicación, modifica el valor del parámetro a de la catenaria y mueve P sobre la curva (aunque el punto salga de la gráfica puedes continuar moviéndolo si mantienes presionado el mouse. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Describe la forma de la función catenaria. ¿Cómo se modifica la forma de la catenaria al variar el parámetro a de la función? ¿Cómo se modifica la posición de la catenaria al variar el parámetro? ¿Cuál es el dominio de la función catenaria? ¿Cuál es la imagen? ¿En qué punto intersecta la función a los ejes cartesianos? ¿Qué ocurre cuando el parámetro de la catenaria a  0 ? ¿Qué ocurre cuando el parámetro de la catenaria es negativo, a  0 ?

Para determinar la ecuación que describe la forma de la catenaria se necesitan analizar las fuerzas a las que está sometido cada segmento de cadena que son: La tensión ejercida por el extremo derecho, la tensión ejercida por el extremo izquierdo y su propio peso, estas 3 fuerzas se equilibran de manera que la fuerza resultante es cero.

25 

La fuerza de tensión es tangente a lo largo de toda la curva y mantiene estirada la cadena dándole su forma característica. Las tensiones laterales se compensan por lo que no se desplaza hacia los lados. Todas las tensiones horizontales son iguales, pero las verticales van aumentando hacia los laterales siendo mayor en los puntos extremos.

3.3 Estática de una cadena Al colgar un cable uniforme sosteniendo sus dos extremos a la misma altura se obtiene una figura simétrica. La separación entre los cables se conoce como claro o luz y a profundidad que cae de la línea horizontal que une los cables se le llama flecha. Un hecho que puede causar sorpresa es que la forma de la cadena al colgarse, no depende de su grosor ni de su peso. Este hecho puede comprobarse experimentalmente con mucha sencillez, lo único que se debe tener en cuenta es que todas las cadenas tengan la misma longitud y se mantengan separadas la misma distancia.

Figura 10 Cadena

26 

Applet 3.

Estática en la catenaria.

Abre la aplicación, modifica el valor del peso de la cadena y el parámetro a de la catenaria, mueve P sobre la curva. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

¿Cómo varía la forma de la cadena al aumentar su peso sin modificar su longitud y puntos extremos? ¿Cómo varía la componente horizontal de la tensión en cada punto de la cadena? ¿Cómo varía la componente vertical de la tensión en cada punto de la cadena? ¿En qué punto de la cadena no hay componente vertical de la tensión? ¿En qué parte de la cadena la fuerza de tensión es máxima y en cuál es mínima? ¿De qué depende el parámetro de la catenaria? ¿Qué forma debe tener la cadena para disminuir las tensiones horizontales en los extremos? ¿Qué tan colgados deben estar los cables para disminuir la posibilidad de que se caigan los postes?

El estudio de una catenaria puede realizarse considerando un sistema discreto formado de eslabones individuales o uno continuo formado por una cuerda de densidad uniforme. Vamos a considerar el caso continuo tomando un segmento s desde el punto más bajo de la cadena A hasta otro punto cualquiera B a la derecha como se muestra en la figura (sección de color rojo).

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Figura 11 Fuerzas sobre un segmento de cuerda

El segmento considerado está sometido únicamente a 3 fuerzas. El peso W , la fuerza de tensión hacia el lado derecho T y la fuerza de tensión hacia el lado izquierdo T0 . Como el segmento se encuentra en equilibrio, debe cumplirse la fuerza resultante de estas tres fuerzas sea cero.

   T  T0  W  0

(10) De acuerdo con la Fig.11 por ser un triángulo rectángulo el que se forma, las magnitudes de las fuerzas cumplen T02  W 2  T 2 (11) El peso ejercido por la fuerza gravitacional sobre la cadena está dado por W  ws (12) donde w es el peso por unidad de longitud y s la longitud del segmento. Ahora consideremos un pequeño segmento ds en cualquier sección de la cadena, en la Fig.12 se observan las proyecciones del segmento dx y dy

Figura 12 Diferencial de un segmento de cuerda

Las proyecciones de ds sobre los ejes son dx  ds cos  dy  ds sin 

28 

 

(13)

Del triángulo rectángulo formado por las magnitudes de las fuerzas de la Fig.11 se obtiene T cos   0 T (14) Reduciendo (11), (13) y (14) T dx  0 ds T (15) T0 dx  ds T0 2  W 2 (16) Dividiendo (16) entre T0 1 dx  ds W2 1 2 T0 (17) Sustituyendo (12) 1 dx  ds w2 s 2 1 2 T0 (18) Reordenando 1 dx  ds 2  s  1  T   0w  (19) Eligiendo el valor

a

T0 w

(20) Sustituyendo (20) en (19) se obtiene una ecuación diferencial 1 dx  ds 2 s 1   a (21) Para obtener la función de la catenaria se necesita integrar la ecuación diferencial (21) por sustitución trigonométrica utilizando el triángulo de la Fig.13. Se realiza el cambio de 1 variable u  as ; du  ds a s0 au 1 1 x ds  a  du 2 2 0 0 s 1  u 1   a  (22)

29 

Figura 13 Relaciones trigonométricas

Del triángulo de la Fig.13 se obtienen las relaciones tan t  u;

du  sec 2 tdt ;

sec 2 t 1 2  sec t dt   sec t dt  ln sec t  tan t  ln 1  u  u  sinh u s   x   a sinh 1 0    a sinh 1 0  a  s x  a sinh 1 0 a

1  u 2  sec t (23) (24) (25)

En donde s0 es la mitad de la longitud del cable; despejando s0 y tomando s  2 s0 para tener la totalidad del cable x s  2a sinh a (26)

La relación entre las coordenadas ( x, y ) se obtienen de: dy  tan   dy  tan  dx dx W dy  dx T0 s dy  dx a

(27) (28) (29)

x dx a Integrando obtenemos la ecuación de la catenaria x y  a cosh a dy  sinh

30 

(30)

(31)

Resumiendo los resultados obtenidos: T0 w

Parámetro a de la catenaria (16):

a

Longitud del arco (22):

s  2a sinh

Tensión total del cable en cada punto:

T  wy  wa cosh

Tensión horizontal, mínima y constante(16)

T0  wa

Tensión vertical

Ty  wa cosh 2

Peso de la cadena (8):

W  ws

x a x a

x x  1  wa sinh a a

flecha  y  a

Flecha: Ecuación de la catenaria conociendo la flecha y el claro:

y  a  flecha  a cosh x

x a

L 2

3.4 Cálculo de la ecuación de la catenaria En esta sección se va a obtener el valor del parámetro a de la catenaria utilizando las medidas de la flecha y del claro o luz en diversos puentes y arcos utilizando el método gráfico de intersección entre dos funciones. x representa una familia de curvas con diferentes valores de a un parámetro a , una vez establecido el valor del parámetro, tendremos una función que caracterizará a una sola de entre todas las funciones de la familia.

La catenaria f ( x)  a cosh

En x  0 se tiene f (0)  a , punto en el que la función intersecta el eje y . En los extremos del arco de longitud L se tiene que en x 

L , la función tomará el valor de 2

x L f    a  flecha y deberá cumplir con y  a  flecha  a cosh . El valor del parámetro a 2 a no es posible obtenerlo algebraicamente por ser una ecuación implícita donde la a está en la misma ecuación como término, como factor y como cociente del argumento de la función hiperbólica. Los programas de cómputo no resuelven tampoco esta ecuación. Para obtener

31 

entonces el valor del parámetro a se procede a separar en dos ecuaciones y obtener el punto de intersección de las graficas de ambas funciones. f1 ( x )  a  flecha

f 2 ( x )  a cosh

x a

Ecuación 1 Ecuación 2

Hay que hacer notar que la altura del poste no necesariamente debe medirse a partir del eje X , pero el parámetro a siempre se mide a partir de él. En la figura 14 se muestra un puente cuyo claro tiene una longitud de 400m y la flecha mide 69.2m,

Figura 14 Cables de tendido eléctrico

32 

Applet 4.

Obtener la ecuación de la catenaria. L

Abre la aplicación, modifica los valores de la separación de los postes 2 y la longitud de la flecha f para obtener el valor del parámetro a y la ecuación de la catenaria. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Toma las medidas del claro y la flecha de puentes, arcos catenarios o imágenes que creas que tengan forma de catenaria, Utiliza esos valores para determinar el valor del parámetro a de la catenaria y su x ecuación f ( x)  a cosh utilizando la aplicación que aquí se enlaza. a Utiliza geogebra para comprobar tu resultado colocando las imágenes como fondo y sobreponiendo la ecuación de la catenaria obtenida

3.5 Estudio Energético de la Catenaria La forma que adquiere una cadena al ser colgada está basada en la optimización de energía. En la naturaleza se observan una gran cantidad de ejemplos de optimización, la forma esférica de una gota de agua que permite mayor volumen de agua con menor superficie externa, la forma de las espinas de los cactus para tener menor superficie de evaporación de agua en climas extremosos, la forma hexagonal de los panales de abejas para captar la mayor cantidad de miel.

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Para estudiar la energía de un objeto tridimensional, se supone que todo su peso se encuentra concentrado en el centro de masa (centro de gravedad) o centroide del objeto. El centroide de una semicircunferencia, de acuerdo con el método obtenido en la sección 2r 5 al estudiar la estática del arco de medio punto, se encuentra a una distancia de unidades  medidas desde el centro de la circunferencia. La energía mecánica de un objeto es la suma de su energía cinética y su energía potencial. La energía cinética de los objetos en reposo es cero por lo que únicamente se necesita calcular la energía potencial E p  Wh en donde W es el peso total del objeto y h es la altura medida desde un eje de referencia arbitrario hasta el centro de masa o centroide del objeto. Para poder comparar la energía mecánica de un objeto de forma semicircular con una cadena se toman dos segmentos de igual longitud s y peso W . El objeto semicircular debe ser rígido para evitar que se deforme al colgarse por sus dos extremos, la cadena debe conservar su flexibilidad para que adquiera la forma catenaria al colgarse en los mismos puntos. Como se puede observar en la figura, el centroide de la catenaria (azul) tiene menor altura que el de la semicircunferencia (rosa). Al calcular la energía potencial de ambos objetos E p  Wh y dado que tienen el mismo peso, se deduce que la energía potencial de la catenaria es menor que el de la semicircunferencia. Concluimos entonces que la catenaria es la forma que optimiza de la energía mecánica de un objeto colgando.

Figura 15 Posición del centro de masa de un arco semicircular y uno catenario

34 

Applet 5.

El arco de medio punto y el catenario.

Modifica el tamaño del arco y su altura. Ajusta la curva catenaria en su interior Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Ahora sabemos que el arco catenario es el más estable que el arco de medio punto¿Cómo podríamos aprovechar este conocimiento para calcular un arco de medio punto? Modifica el radio del arco de medio punto. Modifica el parámetro a de la catenaria y posiciónalo en el interior del arco. ¿Qué modificaciones se necesita hacer en las paredes para que la catenaria se mantenga en su interior? ¿Qué características necesita el arco pueda tener gran altura? ¿Qué características necesita el arco pueda tener mayor amplitud? ¿Puedes explicar la necesidad de poner muros gruesos y contrafuertes utilizando este applet?

3.6 La geometría y resistencia del huevo Un hecho muy conocido es la gran resistencia que tienen los huevos de gallina al aplicar presión a lo largo de los polos y la fragilidad al aplicar la fuerza sobre los laterales o desde el interior al momento de salir el pollito del cascarón. Los huevos de las aves son esféricos o redondos en el interior del animal y tienen una cáscara blanda y maleable. Cuando llega el momento de poner el huevo, va siendo empujado hacia el exterior a través del oviducto y es en este momento en que adquiere la forma ovalada con un extremo redondeado y el otra mas agudo o puntiagudo.

35 

El duro cascarón de los huevos de aves es una defensa contra los depredadores, por la dificultad que implica levantar un objeto liso, duro y redondo. En cambio, los huevos de tortuga son suaves, esféricos y tienen un cascarón correoso. No necesitan cascarón duro, ya que los huevos quedan enterrados hasta que nacen las crías. Regresando al tema de la catenaria, ¿tendrá alguna relación la resistencia del huevo al aplicarle fuerza sobre sus extremos? Algunos autores mencionan que la forma del cascarón de huevo es parabólica y tiene relación con el número 31 Huevo presionado por sus polos

de oro o razón áurea  

32 Forma del huevo en su razón áurea

1 5  1.618... 2

33 Funciones sobre el huevo. En azul, catenarias y en rojo funciones cuadráticas (parábolas).

36 

Capítulo IV La Matemática y la Catenaria 4.1 Semejanzas y diferencias entre la catenaria y la parábola Cuando Galileo se interesó en la forma de la cadena llegó a la conclusión de que una cadena colgante tenía la forma de una parábola, aunque esto no es verdadero matemáticamente, ambas curvas son muy semejantes. Al graficar en un mismo sistema cartesiano la parábola y  x 2  1 (rojo) y la catenaria y  cosh x (azul) pueden observarse sus similitudes y sus diferencias y explicar el motivo por

el que estas funciones son confundidas con mucha frecuencia. Ambas funciones coinciden en su punto mínimo (0,1) y en dos puntos simétricos, la parábola es más cerrada en su vértice y los brazos se abren hasta coincidir con su recta tangente en cambio la catenaria es más ancha en su vértice y los brazos se aproximan a la vertical. ¿Qué relación tendrá esto con la estabilidad de los arcos?

Figura 16 Gráfica de la catenaria y la parábola

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Applet 6.

La catenaria y la parábola.

Abre la aplicación, modifica el valor del parámetro a de la catenaria y de los parámetros b y c de la parábola. Mueve P1 y P2 sobre las curvas para observar la dirección de las rectas tangentes. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Describe cómo se modifica la gráfica de la catenaria al variar su parámetro. Describe cómo se modifica la gráfica de la parábola al variar el coeficiente del término cuadrático Describe cómo se modifica la gráfica de la parábola al variar el coeficiente del término independiente ¿Por qué la ecuación de la parábola no tiene término de primer grado? Compara las rectas tangentes a la catenaria y a la parábola, ¿cómo son en el vértice?, ¿cómo son en puntos cercanos al vértice?, ¿cómo son al alejarse del vértice? Relaciona las características de la recta tangente a la catenaria con la estabilidad de la cadena y del arco catenario Calcula la derivada de ambas funciones y compara

38 

4.2 Los puentes colgantes ¿son parabólicos o catenarios? Desde épocas muy antiguas el hombre ha necesitado atravesar ríos, montañas o barrancas, la forma básica de hacerlo es lanzado una cuerda de un extremo a otro y colgarse a través de ella. Los puentes más antiguos se hicieron con 4 cuerdas, dos de ellas más bajas sobre las que se colocan tablas de madera y dos más altas para sujetarse y no caer y así poder atravesar de un lado a otro llevando sus animales o carretas de mercancías. No se conservan restos de puentes antiguos porque los materiales con que los fabricaban son perecederos pero se tiene el conocimiento de que las antiguas culturas americanas y orientales utilizaron puentes colgantes. Actualmente, en Perú, en la región de Cuzco se conserva la tradición de la construcción de puentes colgantes siguiendo la técnica antigua transmitida de forma oral de generación en 34 Puente colgante sobre el río. Apurímac. Perú generación. Anualmente, durante la segunda semana de junio, las cuatro comunidades del distrito Quehue se reúnen para construir el puente colgante Q’eswachaca, sobre el río Apurimac que ha sido declarado Patrimonio Cultural de la Nación Peruana el 5 de agosto de 2009. El gran imperio Inca construyó sobre este río gran cantidad de puentes que utilizaron para vencer su difícil geografía, comunicarse con otras regiones, comerciar, llevar sus ejércitos y conquistar nuevos territorios. El único puente que aun puede verse tal y como lo construyeron los antiguos es el puente Q’eswachaca gracias a 800 familias que mantienen los ritos y tradiciones y dan testimonio de la extraordinaria técnica que heredaron de sus antepasados. El puente se construye únicamente con sogas, no tiene ningún otro tipo de material ni en los puntos de arranque.

35 Preparación del Ichu

36 Elaboración de las sogas .

39 

37 Lanzamiento de sogas principales

38 Tensión de las sogas

39 Tejido de las barandillas

41 Puente terminado, vista interior

40 Conclusión del puente

42 Puente terminado, vista lateral

La construcción de puentes colgantes no se ha quedado en el pasado, el hombre ha aprendido cómo hacerlos más resistentes, más duraderos, más largos y más anchos. Después de los puentes de cuerda, se comenzaron a construir puentes de piedra sostenidos por un arco circular. La limitante de este tipo de puente era que mientras más ancho era el río, más alto debía ser el arco y más cantidad de piedra se necesitaba en su construcción llegando al punto en que el puente colapsaba bajo su propio peso. La piedra fue sustituida por acero por primera vez en el siglo XVIII en Inglaterra con el puente Ironbridge de 30 m de longitud que conserva la forma semicircular. Un puente colgante aún con tablero conserva la curvatura de la cuerda, esto no permite alargarlo demasiado. A partir del siglo XIX, el conocimiento y tecnología en la construcción de puentes colgantes ha avanzado a gran velocidad. Se comienzan a hacer puentes con un tablero horizontal queda colgando horizontalmente mediante cables de acero formados por haces de cientos de alambres logrando así puentes con vanos cada vez más largos. Se tienen entonces dos tipos de puentes colgantes, los puentes colgantes que tienen distribuida la carga a lo largo de la curva y adquieren la forma de la catenaria como se ha estudiado en las secciones anteriores, y los puentes en que la carga se distribuye 40 

uniformemente sobre el tablero horizontal colgado mediante cables paralelos a una, el equivalente de fuerzas es que sobre el cable, se aplica un sistema de fuerzas paralelas , tomará la forma necesaria para que en él sólo se produzcan esfuerzos axiales de tracción La forma del cable coincidirá forzosamente con la línea generada por la trayectoria de una de las posibles composiciones del sistema de fuerzas que actúan sobre él. Esta línea es el funicular del sistema de cargas, que se define precisamente como la forma que toma un hilo flexible cuando se aplica sobre él un sistema de fuerzas. Un hilo sometido a carga vertical uniforme por unidad de abscisa x adopta una parábola como configuración de equilibrio. Este es el caso de un puente colgante, en que el peso del tablero es soportado por los cables mediante péndolas. El cable principal es el elemento básico de la estructura resistente del puente colgante. Su montaje debe salvar el vano entre las dos torres y para ello hay que tenderlo en el vacío. Esta fase es la más complicada de la construcción de los puentes colgantes. Se inicia montando cables auxiliares que ayudarán a que los gruesos cables de acero que formarán el puente puedan ser transportados de un lado a otro.

43 Puente colgante catenario

44 Puente colgante parabólico

41 

Método de construcción: Garcilazo de la Vega reportó, en 1604, sobre las técnicas de elaboración de cables. Las fibras, escribió, eran trenzadas para formar cuerdas del largo necesario para el puente. Tres de estas cuerdas eran unidas para hacer una cuerda más grande, y tres de éstas volvían a ser trenzadas para tener una todavía más grande y así sucesivamente. Los cables gruesos eran pasados de uno a otro lado del río con cuerdas pequeñas y sujetadas a contrafuertes de piedra en cada lado. Tres de los cables gruesos servían como el piso del puente, otros dos servían como pasamanos y se ataban pedazos de madera al piso de cable. Finalmente, el piso era cubierto con ramas para proporcionarles mejor pisada a las bestias de carga. Más ramas y pedazos de madera eran ensartados para hacer muros a todo lo largo del puente. La pared lateral, explicó un historiador, era tal que “si un caballo caía sobre sus cuatro patas, no se caía del puente”.

En la figura.17, se muestra la longitud que se ha alcanzado con diversos tipos de puentes desde el año de 1920 hasta 2000. Como puede verse, los puentes colgantes son los que mayor longitud pueden alcanzar.

  Figura 17 Tipos de puente y longitud desde el año 1920 hasta 2000

42 

4.3 Desarrollo de Taylor de la función catenaria Todas las funciones infinitamente derivables en un intervalo pueden aproximarse mediante el desarrollo de Taylor que establece que: 

f ( x)  

f

n 0

n

a

n!

 x  a

n

(32)

Al realizar el desarrollo de Taylor del coseno hiperbólico alrededor de x  0 se obtiene cosh( x) 

cosh(0) 0 sinh(0) cosh(0) 2 sinh(0) 3 cosh(0) 4 sinh(0) 5 x  x x  x  x  x  ... 0! 1! 2! 3! 4! 5! (33)

Como el cosh(0)  1 y el sinh(0)  0 La expresión anterior se transforma en: cosh( x)  1 

x 2 x 4 x 6 x8    ... 2! 4! 6! 8!

1 1 cosh( x)  1  12 x 2  241 x 4  720 x 6  40320 x8 ...

(34) (35)

Las gráficas de los polinomios de segundo cuarto sexto y octavo grado se muestran junto con la gráfica del coseno hiperbólico. f1 ( x)  1  12 x 2 f 2 ( x)  1  12 x 2  241 x 4 1 f3 ( x)  1  12 x 2  241 x 4  720 x6 1 1 f 4 ( x)  1  12 x 2  241 x 4  720 x 6  40320 x8

(36)

Cuando el desarrollo de la serie de Taylor se realiza alrededor de x  0 se conoce como serie de McLaurin La aproximación de la función coseno hiperbólico a una función polinomial permite en casos especiales sustituir la función trascendental al utilizarse en un intervalo dado.

43 

Applet 7.

Serie de Taylor.

Abre la aplicación, muestra u oculta las funciones f1  x  , f 2  x  , f3  x  y f 4  x  Compara las gráficas con la función f  x   cosh x . Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Observa y compara las funciones polinomiales ¿Cuál de las funciones polinomiales “se parece” más a la catenaria? ¿En qué intervalo, las funciones polinomiales y la catenaria son prácticamente indistinguibles? ¿Qué forma tiene la gráfica de la función cuadrática?, ¿todas las parábolas tienen esta forma? Explica cuál puede ser la diferencia. ¿Y las gráficas de las otras funciones polinomiales? ¿Cuántas raíces tienen estas funciones? ¿En dónde está el vértice de estas funciones? De acuerdo a la simetría, clasifica estas funciones en pares, impares o ninguna de las dos ¿Para qué intervalos son crecientes las cuatro funciones? ¿y decrecientes? ¿Qué esperarías de la gráfica del polinomio de décimo grado o mayor? ¿Hasta qué grado es “prácticamente indistinguible” una función polinomial de Taylor y la catenaria?

44 

4.4 Relación entre la catenaria y la exponencial Cuando Huygens y Leibnitz lograron obtener la función que representa la curva que forma una cadena al estar colgada por sus extremos, recordemos que no se conocía la función exponencial, fue expresada como una ecuación diferencial o integral. Actualmente la expresión de la función catenaria, coseno hiperbólico, se da basándose en las funciones exponenciales que la generan. Las funciones hiperbólicas dependen de un parámetro a . Para simplificar la forma de expresión de las funciones hiperbólicas se eligen cuidadosamente nuevos ejes cartesianos de referencia. La función coseno hiperbólico de expresa entonces: y x  cosh a a

(37)

Comparando con la forma unitaria de donde el parámetro a  1 y  cosh a

(38) Para transformar la forma no unitaria (37) en la forma unitaria (38) se hace un cambio en el sistema coordenado transformando

 x a , y a    x, y

(39)

Expresión de las seis funciones hiperbólicas en su forma exponencial 1 x x e  e  2 1 f  x   cosh x   e x  e x  2

2 e  e x 2 f  x   sech x  x  x e e

f  x   sinh x 

f  x   tanh x 

f  x   csch x 

e x  e x e x  e x

f  x   coth x 

45 

x

e x  e x e x  e x

Applet 8.

La catenaria y la función exponencial.

Abre la aplicación, mueve P sobre la catenaria y verifica la relación existente con la función exponencial. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Ajusta el parámetro de la catenaria a  1 . Mueve P hasta x  1 ¿cuál es el valor de las funciones exponenciales f ( x )  e x y f ( x)  e  x ? Obtén el promedio de estos dos valores ¿cuánto vale la función f ( x )  cosh x en x  1 Repite para x  2, 3,  1,  2... moviendo P ¿se verifica para todo valor de x? ¿Qué ocurre cuando el valor del parámetro a de la catenaria es diferente a 1 Describe la gráfica de las dos funciones exponenciales ¿Cuál es el dominio e imagen de las funciones exponenciales? ¿En qué punto intersecta la función exponencial al eje Y? ¿y al eje X? ¿Por qué el eje X es asíntota de la función exponencial? Explica la relación entre el exponente de la función exponencial y su crecimiento Calcula el límite de la función exponencial cuando x tiende a infinito  

46 

Applet 9.

Gráficas de las funciones hiperbólicas.

Abre la aplicación, muestra u oculta las funciones hiperbólicas haciendo clic en el botón. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Describe la forma de las funciones hiperbólicas ¿Cuál es el dominio y la imagen de las funciones hiperbólicas? Escribe los intervalos en que las funciones hiperbólicas son crecientes y decrecientes ¿Cuáles funciones hiperbólicas tienen un valor máximo o mínimo diferente al infinito? Realiza el proceso algebraico que verifique las identidades cosh 2 ( x)  sinh 2 ( x)  1 , cosh( x)  sinh( x)  e x y cosh(x)  sinh( x)  e  x

4.5 La hipérbola y las funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se llaman así porque se obtienen de la hipérbola x 2  y 2  1 , se toma un punto P ( x, y ) sobre la hipérbola y se traza una recta desde el origen hasta el punto

OP . Llamamos A(1, 0) al vértice de la hipérbola, punto donde intersecta al eje X, se trazan dos rectas verticales, una sobre A y otra sobre P , la intersección de la recta que pasa por A con la recta OP se llamará B y el punto donde intersecta el eje X la recta que pasa por P se llamará C. Los segmentos formados serán AB  t , OC  c, PC  s

47 

.

Las coordenadas del punto P (c, s ) por pertenecer a la hipérbola cumplen c 2  s 2  1 y de t s  . “x” es el área de la región 1 c sombreada comprendida entre las rectas que van del origen a la hipérbola y la hipérbola

acuerdo con el teorema de Tales se tiene la relación

Observando una simetría axial, podemos calcular el área como la mitad superior. Si llamamos x al área de la región sombreada Área = x  cs  2

c

1

x 2  1dx

(40)

Al realizar la integral por sustitución trigonométrica obtenemos que Área = x  ln c  c 2  1 y despejando c

(41)

ex  c  c2 1

(42)

e

(43)

x

 c   c2 1 2

e 2 x  2e x c  c 2  c 2  1

(44)

e2 x  1 c 2e x

(45)

c

e x  e x 2

(46)

¿Reconoces esta expresión?, de aquí se desprende que el valor del coseno hiperbólico es equivalente a la distancia OC  c  cosh x . Siguiendo con las relaciones entre s , c y t , se obtienen las demás funciones hiperbólicas s  sinh x c  cosh x t  tanh x

48 

(47)

Applet 10.

La hipérbola y sus relaciones trigonométricas.

Abre la aplicación, mueve P sobre la catenaria y verifica que la expresión exponencial de la catenaria para cada punto. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

¿Qué ocurre con el área de la figura al colocar P en el punto A(1, 0) ? ¿Cuál es el valor de los segmentos s , c y t ? ¿Cuál es el valor de las funciones hiperbólicas? Sustituye los segmentos en la ecuación de la hipérbola, ¿qué identidad se obtiene? Realiza las sustituciones adecuadas para obtener las funciones seno hiperbólico y tangente hiperbólica relacionándolas con la longitud del segmento correspondiente

4.6 Evoluta y Envolvente, dos funciones importantes geométricamente Envolvente, del inglés-involute, de una curva base plana es otra curva plana que se obtiene por desenrollar un cordel o hilo que se ha apoyado previamente sobre la curva base. Evoluta es el lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva plana dada. Por análisis geométrico intuitivo puede deducirse que evoluta y evolvente son resultados de «operaciones geométricas inversas». Toda curva base de una evolvente es a la vez evoluta de la misma.

49 

Applet 11.

Evoluta y envolvente.

Abre la aplicación, mueve P observa el rastro que dejan las rectas. Observa, reflexiona y responde las preguntas.

Evoluta

Envolvente

La función conocida como Evoluta se forma con los centros de curvatura de la catenaria. . La envolvente es una función que se forma con la recta normal a la curva en el punto

Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la proyección de su centro de masa cae dentro de la base de sustentación, por el contrario, cuando esto no ocurre, el objeto cae o gira hasta alcanzar el equilibrio. Mientras más bajo está el centro de gravedad mayor será el equilibrio del objeto. En el caso de la cadena, su centro de masa de encuentra en un mínimo de energía potencial.

50 

Capítulo V Los Cables de Tendido Eléctrico Con el descubrimiento de la electricidad fue necesario estudiar el comportamiento de las fuerzas presentes en cables colgantes para transportar la energía eléctrica de las plantas eléctricas a las ciudades. Los cables eléctricos ligeros se acostumbran más tendidos pero los cables de alta tensión que van de una ciudad a otra a campo traviesa se encuentran mucho más colgados ¿qué explicación podría tener esto?

Figura 18 Esquema cables de tendido eléctrico

45 Cables de tendido eléctrico

Un tendido eléctrico está formado con cable cuyo peso por unidad de longitud es w  50 N / m . Los postes se encuentran separados una distancia de 11 m y la tensión horizontal ejercido sobre el cable es de 0.04 kN. Obtener: a. b. c. d. e.

la ecuación de la catenaria, la altura de los postes, suponiendo que están apoyados sobre el eje X la tensión máxima (módulo y vector) la flecha la longitud del cable

w  50 N / m T0  400 N d AB  11m

a. Obtención del parámetro de la catenaria y su ecuación: a  51 

T0 ; w

f ( x)  a cosh

x a

400 N  8m 50 N / m x f  x   8cosh 8 b. Obtención de la altura de los postes. Se calcula el valor de la función en x  5.5m 5.5 f  5.5   8cosh  9.966m  10m 8 c. Obtención de la tensión que soportará el cable a lo largo de sí mismo T  wy a

T   50 N / m 10m   500 N es tangencial al cable y es la tensión máxima en los puntos donde se une al poste.

Esta tensión se descompone en sus componentes rectangulares

T  Tx , Ty  . La componente vertical de la tensión Ty  T 2  Tx 2

Ty  5002  4002  300 N El ángulo que forma el cable con el poste está dado por tan   3  36.87 4 La tensión máxima expresada como módulo-ángulo

ángulo será

Ty Tx



300 por lo que el 400

  tan 1

T  (500 N , 36.87 )

y en

componentes rectangulares T  400 N i  300 N j d. La flecha se obtiene por la diferencia entre la altura y el parámetro a f  y  a , f  10 m  8 m  2 m e. La longitud del cable se obtiene utilizando el seno hiperbólico s  a sinh

x a

5.5  5.94m  6m que es la longitud del cable del lado derecho de x  0 a 8 x  5.5m por lo que el cable total mide 12 m de largo s  8sinh

Si calculamos el peso total del cable W   50 N / m 12m   600 N observaremos que cada poste soporta la mitad de ese peso como componente vertical de la tensión.

52 

Capítulo VI Catenaria en la Arquitectura Moderna Los arcos y cúpulas catenarias en occidente, como parte de la arquitectura moderna se comenzaron a utilizar hasta el siglo XIX por el arquitecto Gaudí, estos arcos están presentes en sus obras como la Sagrada Familia, a la casa Batlló, la Pedrera, la casa de Milà, o el parque Güell. El gran problema de los arcos catenarios es que no pueden trazarse utilizando la Geometría euclidiana. La primera solución que encontró Gaudí fue colgar una cadena sobre una madera, ya fijada su amplitud dibujaba el perfil de la cadena sobre la madera, cortaba la madera y luego la invertía obteniendo así la forma que debía tener el arco. Otra solución que encontró fue colgar cadenas en su estudio y formar una maqueta invertida a escala y reflejarlas en un espejo o fotografiarlas para obtener las medidas reales.

46 Gaudí Maqueta estereostática

 

47 Espejo bajo las cadenas

48 Maqueta para el diseño del palacio Güell

49 Proyecto Original del Palacio Güell

 

53 

La Pedrera Casa Milà. Arcos catenarios de ladrillos en el altillo del edificio Güell. 1906-1910. Antoni Gaudí. Barcelona, España

50 La Pedrera Gaudí

Edificio modernista de la ciudad de Tarrasa situado en el parque de San Jorge y adyacente a la masía. Construida en 1896 fue reformada entre los años 1907 y 1914 por Lluís Muncunill i Parellada. El arquitecto Muncunill la transformó después en la residencia familiar del industrial textil Joaquín Freixa i Argemí.

51 Masía Freixa (Barcelona)

El Pabellón de Rayos cósmicos es una hiperboloide parabólica, su perfil corresponde muy cercanamente a una curva catenaria. Félix Candela es conocido por el diseño del techo del Palacio de los Deportes que se construyó como una de las olímpicas en 1968

52 Pabellón de Rayos cósmicos en la UNAM

Bodegas Protos de Peñafiel. Empresa viticultora en la ribera del Duero. Arq. Richard Rogers of Riverside 2004

53 Bodegas Protos Peñafiel

54 

En 1963, se inició la construcción en la ciudad de San Louis Missouri en un arco conmemorativo a la conquista del oeste, el arco conocido como el ArchWay tiene forma catenaria la separación en la base es de 630 pies al igual que la altura aunque a la vista aparente más alta que ancha, es un simple efecto óptico, el arco quedó terminado 2 años después

54 Arch Way St Louis Missouri

Estación de Santa Justa. Arq. Antonio Cruz y Antonio Ortiz 1987-1991. Comunica Andalucía con Castilla, La Mancha, Extremadura y Madrid- Sevilla España

  55 Estación de Santa Justa. Sevilla

Centro religioso Memorial Fidel y María Moreno, en Escobar. El auditorio tiene capacidad para 220 personas; la cubierta está hecha de ferrocemento y posee nervaduras con forma de catenaria invertida.

56 Centro Memorial Fidel y María Moreno

Puente el Milenium es un puente de suspensión lateral de 320 m de largo. Se abrió el 10 de junio de 2000. En la inauguración empezó a oscilar por la sincronización de los peatones. Londres

57 Puente Milenio Londres

55 

Domo catenario de piedra utilizada para la regulación del bioelectromagnetismo, se supone poseen la cualidad de inducir y sostener la frecuencia de las ondas cerebrales dentro de los rangos de las ondas “alpha.

58 Cases obos de Camerún

Puente del Alamillo. Arq. Santiago Calatrava. Puente atirantado sobre el río Guadalquivir 1992 Un único pilar que actúa ce contrapeso sostiene los 13 largos cables que sostienen el puente. Sevilla, España

59 Puente de Alamillo Sevilla

Museo oceanográfico en la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia, contiene el mayor acuario de especies marinas de Europa. diseñada por Santiago Calatrava y Félix Candela

60 Museo oceanográfico Valencia

Iglesia de San Francisco de Asís en la laguna de la Pampulha, en Belo Horizonte. Oscar Nienmeyer. Brasil. Esta obra fue muy criticada por la iglesia católica 1943

61 San Francisco de Asís Pampulha

56 

Iglú utilizado como hotel en Cantwell, Alaska

62 Iglú Catenario 

Iglesia en un pequeño pueblito en el camino de Santiago Tuxtla hacia el Salto de Eyipantla en Veracruz

 

63 Calera Veracruz

Durante la elaboración de este trabajo ocurrió un evento muy especial en la Universidad Nacional Autónoma de México, el 16 de noviembre guardaron una cápsula del tiempo con información científica, cultural, artística y deportiva que va a permaneces cerrada durante 50 años. El espacio donde se instaló la cápsula tiene una cúpula catenaria hecha con bambú, diseñada por Andrés Casares como su tesis de Arquitectura.

64 Cápsula del tiempo UNAM. Vista interior

65 Cápsula del tiempo UNAM. Vista exterior

57 

Capítulo VII Proyecto Hay varias formas de aprender a lo largo de este trabajo, los alumnos han leído, han observado imágenes que apoyan visualmente el aprendizaje, han realizado un recorrido histórico y han manipulado los applets. Falta ahora otra forma de aprender y es realizando un proyecto, una actividad manual. Se propone ahora que los alumnos fabriquen un cascarón de papel y engrudo en forma de domo. El domo debe cubrir la mayor área con la menor cantidad de material. Cuando Félix Candela quería aprender el comportamiento de sus cascarones, realizaba cascarones de hormigón armado a escala. La experimentación directa le permitió capacitarse, comprender las leyes de la Estática, Mecánica y Resistencia de Materiales. Una vez terminados hacía pruebas de resistencia. Su primer cascarón experimental fue la Bóveda Ctesiphon de San Bartolo, posteriormente su imaginación y deseos de innovación lo llevaron a realizar una gran cantidad de geometrías diferentes.

66 Bóveda Ctesiphon Sn Bartolo

67 Conoide de la Fábrica Fernández

68 Paraguas en las Aduanas

En este proyecto el alumno utilizará los conocimientos adquiridos y desarrollará habilidades manuales, creativas e innovadoras, aprenderá a trabajar en equipo. Se sugieren equipos de 3 o 4 personas Todos los equipos construirán un domo catenario de 80 cm de altura cubriendo una superficie de 60cm2 y se evaluará la resistencia por unidad de peso. Para obtener la forma de la catenaria, dibujar sobre un papel la forma que toma una cuerda al dejarse colgada por sus extremos. Construir la forma del arco, construir la

58 

cimbra, recubrir la cimbra con papel y engrudo, cuando esté seco, quitar la cimbra y verificar qué equipo construye el arco con mayor resistencia

59 

Applets Los applets se realizaron utilizando GeoGebra http://www.geogebra.org . GeoGebra es un software libre de matemática para educación en todos sus niveles disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría, álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización. Ha recibido numerosas distinciones y ha sido galardonado en Europa y USA en organizaciones y foros de software educativo. Este trabajo tiene 12 applets, con ellos, el alumno podrá descubrir, justificar, comparar, desarrollar, aplicar haciendo simulaciones y variaciones de parámetros. Applet 1 Fuerzas en la cúpula de la Basílica de San Pedro y arcos de medio punto

Applet 2 La Función Catenaria

60 

Applet 3 Estática en la catenaria

Applet 4 El arco de medio punto y el catenario

Applet 5 Obtener la ecuación de la catenaria

61 

Applet 6 La catenaria y la parábola

Applet 7 Serie de Taylor

Applet 8 La hipérbola y sus relaciones trigonométricas

62 

Applet 9 La catenaria y la función exponencial.

Applet 10 Gráficas de las funciones hiperbólicas

Applet 11 Evoluta y envolvente

63 

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65