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Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Materiales de dibujo técnico
Lápices de grafito: Los lápices de grafito tienen una mina protegida por una cubierta de madera. También se puede usar la mina dentro de un portaminas. O en barra, que nos permite hacer trazos muy gruesos. La mina es un compuesto de carbón y arcilla mezclados a altas temperaturas. Las minas que poseen más arcilla son más duras y manchan menos. Por el contrario, cuanta menos arcilla lleven son más blandas y el negro que producen es más intenso (dibujo artístico), y por tanto más difíciles de borrar. Por eso, para el dibujo técnico se usan minas duras y que manchan menos. La dureza de las minas suele indicarse con números o con siglas, formadas por letras y números. la escala numérica está graduada desde 00, 0, 1, hasta 9, aunque lo normal es que sólo encontremos una graduación del 1 al 4. La escala alfanumérica comienza en 6B (la más blanda) y llega hasta 9H (la más dura) pasando por durezas intermedias como 2B, B, HB, F, H, 2H. El significado de las siglas es el siguiente: B = Black = Negro F = Firm = Fijo H = Hard = Duro HB = Hard-black = Semiduro La equivalencia entre las dos escalas , al menos en lo que podemos encontrar normalmente en el mercado escolar es : 1 = B, 2 = HB, 3 = H, 4 =2H. Portaminas: Existen portaminas de diferentes grosores: 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 y 2 mm. El de 0.5 mm es el más utilizado en dibujo técnico. El de 2 mm es el más versátil porque permite trazar líneas de distinto espesor e intensidad. Tanto el lápiz como el portaminas hay que manejarlos con suavidad y soltura. El trazo producido sobre el papel se debe poder suprimir con la goma de borrar cuando no sea necesario o nos hayamos equivocado. Si al dibujar la línea se aprieta demasiado se produce un pequeño surco que resulta imposible de quitar con la goma. Durante el trazado de las líneas en dibujo técnico es conveniente girar lentamente el lápiz o portaminas entre los dedos, de manera que la mina se gaste uniformemente y el trazo sea igual en toda su longitud.
Gomas de borrar: La goma de borrar lápiz ha de ser blanda, flexible y de color claro. Hay que borrar con suavidad y despacio, siempre en el sentido del trazo, y no con movimientos de vaivén para no producir arrugas en el papel. La goma de borrar tinta es más dura y se le ha incorporado un abrasivo que, al frotar quita una capa fina de papel y, con ella, el trazo de tinta. Existen otro tipo de gomas de tinta (indicadas para papel vegetal) que tienen, en lugar del abrasivo, un disolvente con el que consiguen eliminarla. Actualmente se pueden encontrar en el mercado portagomas. Poseen un mecanismo similar a los portaminas por lo que se puede sacar y meter la goma lo necesario. Se suelen emplear para borrar trazos pequeños. Su misma función se puede conseguir utilizando una cuña de goma con seg uid
portagomas goma de portagomas a mediante el corte con unay cuchilla.
0.7 - HB 0.5 - 2H
0.3 - 3H
portaminas diferentes recambios de minas, por su grosor y dureza
adaptador universal y adaptador para estilógrafo
Compás: Es un instrumento que se emplea para trazar arcos y circunfe-
Materiales de dibujo técnico borde recto
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rencias, y para transportar medidas. Está compuesto por dos brazos articulados por un extremo, y, abrazando a dicha articulación, una pieza sobre la que se acopla una pieza cilíndrica estriada. En un extremo de uno de los brazos hay una aguja de acero. El otro brazo tiene, algo más abajo de su mitad, un tornillo de presión que permite acoplar y desacoplar el soporte de la mina y otros piezas diferentes como puede ser el adaptador. La mina del compás debe estar afilada en forma de cuña y se colocará en el compás de manera que la parte más fina quede lo más interior posible. Los brazos del compás deben quedar con la misma longitud. Si no fuese así, quedaría cojo y no nos permitiría dibujar circunferencias de radio pequeño. Tanto la aguja como la mina deben sobresalir, al menos, 5 mm de los extremos de los brazos., siendo recomendable entre 8 y 10 mm. El manejo del compás se hará con una sola mano, tomándolo por la parte cilíndrica estriada con los dedos pulgar e índice. El trazado de circunferencias o arcos se llevará a cabo siguiendo el giro de las manecillas del reloj para los diestros, y en sentido contrario para los zurdos. Regla: Su longitud oscila normalmente entre los 30 y los 60 cm y suele llevar una graduación en milímetros y centímetros. Se emplea para trazar rectas y para transportar o medir segmentos. Si se desea transportar sobre una recta unas dimensiones dispuestas de manera consecutiva se debe ha cer sin mover la regla para cada nueva medida. No se debe usar el compás para tomar directamente las dimensiones sobre la regla, puesto que la deterioraremos y cometeremos imprecisiones. Escuadra y cartabón: Son plantillas de forma triangular y pueden llevar adosada una graduación en centímetros y milímetros. Las hay con bordes biselados o con un pequeño escalón para facilitar el trabajo a
borde con bisel
borde con escalón brazos del compás
Secciones de bordes de plantillas
8 a 10 mm misma longitud
60º 45º 135º
90º
120º
90º
cartabón
escuadra
75º
ÁNGULOS CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN
105º
15º
165º
Materiales de dibujo técnico
tinta, pero son más aconsejables las de borde recto. Aquellas, cuando se usan juntos la escuadra y cartabón, suelen encajarse dificultando su manejo. La escuadra tiene forma de triángulo rectángulo isósceles. sus ángulos son por tanto: dos de 45º y uno de 90º. El cartabón es un triángulo rectángulo escaleno con ángulos de 90º, 60º y 30º.
paralelas a una dirección 1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección 2. fijar el cartabón 3. desplazar la escuadra y trazar paralelas
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Ángulos con la escuadra y el cartabón: Los ángulos que se pueden formar directamente con la escuadra son de 45º, 90º y 135º. Con el cartabón son de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º. Si combinamos la escuadra y el cartabón podremos conseguir ángulos de 15º y 165º, 75º y 105º. Manejo de la escuadra y el cartabón: Hay que manejar la escuadra y cartabón con soltura y suavidad, sin ejercer sobre ellas una excesiva presión, pero sí la necesaria para evitar todo movimiento. Para trazar paralelas a una dirección debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se coloca la hipotenusa (lado más largo) de la escuadra coincidiendo con la recta a la que queremos trazar paralelas. 2. Se apoya en un cateto de la escuadra la hipotenusa del cartabón. 3. Se fija el cartabón y se desplaza la escuadra, trazando por su hipotenusa las paralelas deseadas. Si queremos trazar perpendiculares a una dirección tendremos que dar los dos primeros pasos del caso anterior y, a continuación: 1. Fijando el cartabón, se gira la escuadra sin levantarla del papel hasta que apoyemos el otro cateto sobre el cartabón. 2. Trazar la perpendicular por la hipotenusa de la escuadra.
perpendiculares a una dirección 1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección 2. fijar el cartabón 3. girar la escuadra 90º 4. desplazar la escuadra y trazar perpendiculares
Elementos geométricos fundamentales
A
B
línea
D
C
curv a
representación del punto
A
ea
b
c
O
A
a O Ángulos consecutivos
a Ángulo
qu eb rad a
segmento
B
b
lín
semirrecta
 +Ê = 90º E ángulos complementarios
b
 + Ê = 180º c
a O Ángulos adyacentes
co Ar
A E ángulos suplementarios
B
flecha
A C
s
círculo
a erd cu etro diám Ra O dio
te
d ua
c
E lúnula
te
c cir
u l ar
ran
ad
cu
ran
D
lo
cu
cír
i em
la
Círculo: es la porción de plano limitada por la circunferencia.
s
A
nu
Circunferencia: es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo O llamado centro. Elementos de la circunferencia: Radio: distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro. Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia. Flecha: es la altura de un arco, medida perpendicularmente a la cuerda y pasando por el centro.
recta
corona
Ángulo: Es la porción de plano comprendido entre dos semirrectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto, denominado vértice. Tipos de ángulos según su valor: Ángulo recto: mide 90º Ángulo agudo: mide menos de 90º Ángulo obtuso: mide mas de 90º Ángulo llano: Mide 180º Otros tipos de ángulos: Ángulos consecutivos: Tienen el mismo vértice y un lado común. Ángulos adyacentes: Son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta. Ángulos complementarios: Son todas aquellas parejas de ángulos cuya suma vale 90º. Ángulos suplementarios: Son todas aquellas parejas de ángulos cuya suma vale 180º.
r
lú
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Punto: es la intersección de dos rectas. Se nombran por letras mayúsculas: A, B, C... Línea recta: Es la sucesión infinita de puntos en una misma dirección. No tiene ni principio ni fin. Se nombran con letras minúsculas: r, s, t... Semirrecta: es una recta limitada por un punto. Segmento: es la parte de recta comprendida entre dos puntos. Se nombra con una letra mayúscula en cada uno de sus extremos. Línea curva: es la linea cuyos puntos van variando de dirección. Linea quebrada: es la que está compuesta por segmentos en distintas direcciones unidos por sus extremos.
Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) Suma de segmentos: 1. Dibujar una semirrecta con origen en A’ 2. Transportar los segmentos dados, uno a continuación de otro, con ayuda del compás. 3. El segmento resultante es el A’D’
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Resta de ángulos: 1. Dibujar una semirrecta con origen en A’ 2. Transportar el segmento AB B’ 3. Transportar el segmento CD sobre el A’B’ desde B’ 4. El segmento resultante es el A’C’
A B C
B A
C D
s
A’
B
C
B’
C’
D
s
A’
C’
D’
B’
C’ TEOREMA DE THALES
Teorema de Thales: Si dos rectas coplanarias (que están en el mismo plano) son cortadas por una haz (conjunto) de paralelas , los segmentos determinados sobre una de las rectas son proporcionales a los determinados sobre la otra. División de un segmento en partes iguales: 0. Aplicaremos el teorema de Thales para la división. 1. Dibujar una semirrecta cualquiera con origen en A 2. Sobre la semirrecta, y a partir de A, transportar n veces una magnitud arbitraria, pero siempre la misma puntos 1’, 2’, 3’, ..., N’. 3. Unir el último punto (N’) con B 4. Trazar paralelas por los puntos 1’, 2’, 3’, etc. a la recta BN’ hasta que corten al segmento AB puntos 1, 2 ,3, … Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Trazar la mediatriz a un segmento: 1. Dibujar un arco con centro en A y radio mayor que la mitad del segmento. 2. Dibujar otro arco con centro en B y el mismo radio anterior CyD 3. Mediatriz CD Dada la recta r y un punto P, exterior a la recta, trazar una perpendicular a esa recta por dicho punto: 1.Trazar un arco con centro en P que corte a la recta r 2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario C 3. Perpendicular PC
C’ B’
1
A A’
3
2
4
B
1’ 2’ 3’
O A
B
AB
BC
C N’
OA O’A’
=
A’B’
=
B’C’
C P
A
B r B
A
D
C
Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) C
4
Dada la recta r y un punto P de la misma, trazar una perpendicular por ese punto a dicha recta: 1. Seguir los mismos pasos que en el ejercicio anterior.
3 2
r
Dibujar la circunferencia que pasa por tres puntos, A, B y C, no alineados: 1. Trazar la mediatriz a los segmentos AB y BC O 2. Circunferencia de centro O y radio OA
A
B
P
Transportar un ángulo con el compás (procedimiento de arco y cuerda): 1. Dibujar una semirrecta con origen en O’ 2. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario AyB 3. Arco con centro en O y el mismo radio anterior A’ 4. Arco con centro en A’ y radio AB B’ 5. Unir O’ con B’
s
1
A
B
C
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O
Suma de dos ángulos: 1. Dibujar una semirrecta con origen en O 2. Dibujar arcos con centros en O y radio arbitrario yCyD 3. Arco con centro en O’ y el mismo radio anterior 4. Arco con centro en A’ y radio AB B’ 5. Arco con centro en B’ y radio CD D’ 6. Unir O’ con D’.
A
O B
A y B,
B’
A’
A O’
Resta de ángulos: 1. Seguir los mismos pasos del ejercicio anterior. Hay que fijarse en que al transportar el segundo ángulo se hace sobre el primero, y no a continuación como en el caso de la suma de ángulos.
D
B
B
O
A
D’
A’
O
C
D
O
C
D’
B’-C’
C’
O
A
B’ O’
A’
O’
A’
Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) s
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Trazar la bisectriz a un ángulo: 1. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario AyB 2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario (puede ser distinto del anterior) C 3. Bisectriz OC Dibujar la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s que se cortan fuera del papel: 1. Dibujar una recta cualquiera que corte a r y s en los puntos MyN 2.Trazar las bisectrices de los ángulos formados por la recta MN y las rectas r y s AyB 3. Bisectriz AB
N
C
B
B
B
C D
A r O
O
M
A
A
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
A
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División de un ángulo recto en tres partes iguales: 1. Trazar un arco con centro en O y radio arbitrario 2. Arco con centro en A y el mismo radio anterior 3. Arco de centro en B y el mismo radio D 4. Unir O con C y D.
AyB C
Construcción de ángulos con el compás: Cada construcción es válida también para conseguir el ángulo suplementario al indicado. Así, por ejemplo, podemos conseguir el ángulo de 105º con los mismos pasos que se darían para obtener el ángulo de 75º. El ángulo de 90º se consigue siguiendo el mismo trazado que se hace al trazar la perpendicular a una recta por un punto de la misma. Para dibujar el ángulo de 60º basta con trazar dos arcos de igual radio de centros en O y A que se cortan en el punto B. Si se quiere dibujar cualquiera de los demás ángulos basta con trazar bisectrices a los ángulos de 90º ó 60º, o a una combinación de ambos, como en el caso del ángulo de 75º.
Ángulo de 90º
O
B
Ángulo de 60º
Ángulo de 45º
Ángulo de 30º
Ángulo de 75º
Ángulo de 15º
Tiángulos Según sus lados C
TLos triángulos son figuras planas limitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. También puede definirse como polígono de tres lados. Los vértices se designan por letras mayúsculas (A, B y C), y los lados opuestos a los vértices mediante las mismas letras pero en minúsculas.
a
b c
B
A
EQUILÁTERO
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Propiedades fundamentales de los triángulos: 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º 2. Un lado debe ser siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo.
Según sus ángulos
Clasificación y características de los triángulos: Según sus lados: Equilátero: los tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales y uno desigual. Escaleno: los tres lados desiguales. Según sus ángulos: Acutángulo: los tres ángulos son agudos. Rectángulo: tiene un ángulo recto. Los lados que lo forman se llaman catetos y el opuesto hipotenusa. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. Construcción de triángulos: Dibujar un triángulo equilátero conociendo el lado: 1. Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado 2. Triángulo ABC
ESCALENO
ISÓSCELES
RECTÁNGULO
ACUTÁNGULO
l
C
OBTUSÁNGULO
ld
A A
B
li
C
C C
Dibujar un triángulo isósceles conociendo el lado igual y el lado desigual: 1.Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado igual C 2. Triángulo ABC
l A
B
A
B
Triángulos
C
B A A
Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: 1. Transportar el ángulo de vértice A 2. Arco con centro en B y radio BC C y C’ 3. Triángulos ABC y ABC’
A
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C
l A
B
C
B A
A
B
A
B
B
C
Dibujar un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes: 1. Transportar el ángulo de vértice A 2. Transportar el ángulo de vértice B C 3. Triángulo ABC
Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la hipotenusa (segundo procedimiento): 1. Mediatriz de AB (hipotenusa) M 2. Arco centro en M y radio MA 3. Arco centro en A y radio AC (cateto) C 4. Triángulo ABC
B
C
A
Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la hipotenusa (primer procedimiento): 1. Levantar la perpendicular sobre el extremo A 2. Arco con centro en B y radio BC (hipotenusa) C 3. Triángulo ABC
C
B
Dibujar un triángulo escaleno conociendo los tres lados: 1. Dibujar un arco con centro en A y radio AC 2. Arco con centro en B y radio BC C 3. Triángulo ABC Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido: 1. Transportar el ángulo de vértice A 2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo C 3. Triángulo ABC
A A
C
A
B C
C’
A
A B
B
A
B
C
A A
B
B
C
C
C
M A
A
B
B
Triángulos
B
A
B
A A
C A
Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un ángulo: 1. Mediatriz de AB (hipotenusa) M 2. Transportar el ángulo de vértice A C 3. Triángulo ABC
M A
B
Dibujar un triángulo isósceles conociendo el ángulo y el lado desigual: 1. Prolongar el lado AB 2. Transportar el ángulo de vértice C de manera que uno de los lados sea la prolongación anterior M 3. Trazar la bisectriz del ángulo MBN Transportar, con vértice en A, el ángulo que resulta al dibujar la bisectriz anterior C 4. Triángulo ABC
M
A
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N
B
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES Alturas
Medianas
Rectas y puntos notables de los triángulos: Medianas: Son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del ado opuesto. El punto donde se cortan las tres medianas se llama baricentro, que resulta ser el centro de gravedad del triángulo. Alturas: Son las distancias de cada vértice a su lado opuesto. También podemos decir que son cada una de las perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en el ortocentro (puede caer fuera del triángulo o, incluso, en uno de sus vértices). Bisectrices: Son las rectas que dividen cada ángulo del triángulo en dos ángulos iguales. Se cortan en el incentro:, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a los tres lados). Mediatrices: Son las rectas perpendiculares a cada lado trazadas por su punto medio. Se cortan en el circuncentro (puede caer fuera del triángulo), que es el centro de la circunferencia circunscrita.
C
C
C
Mb
Ma
G
A
H
B
Mc
A
Mediatrices
B
Bisectrices
C
C
I O A
B
A
B
Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Tienen cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales. Las diagonales son los segmentos que unen pares de vértices que no están situados en el mismo lado.
PARALELOGRAMOS
Propiedad de los cuadriláteros: La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos en que queda dividido al trazar una diagonal. Es decir: 2 x 180º = 360º
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Clasificación: Paralelogramos: Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trapecios: Rectángulo Isósceles Escaleno Trapezoide Características: Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos. Cuadrado: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio. Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacentes desiguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son iguales y se cortan en el punto medio. Rombo: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos. las diagonales son desiguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio. Romboide: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacentes desiguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos. Sus diagonales son distintas y se cortan en el punto medio. Trapecios: Son los cuadriláteros que tienen dos lados paralelos (bases) y otros dos no. La altura de un trapecio es la distancia entre las bases.
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
TRAPECIOS
Rectángulo
Isósceles
romboide
TRAPEZOIDE
Escaleno
Trapecio rectángulo: Es el trapecio que tiene dos ángulos rectos. Trapecio isósceles: Es el trapecio que tiene los lados no paralelos iguales. Sus diagonales son iguales. Trapecio escaleno: No posee ninguna característica de los dos . Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro.
Cuadriláteros
d
l
C
D
C
Construcción de cuadriláteros: Dibujar un cuadrado conociendo el lado: 1. Levantar una perpendicular por A 2. Dibujar un arco con centro en A y radio el lado (AB) 3. Arcos con centros en B y C y radio el lado D 4. Cuadrado ABDC Dibujar un cuadrado conociendo la diagonal: 1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal) O 2. Dibujar la circunferencia de centro O y radio OA 3. Cuadrado ACBD
d
A
B
O
C
A
B
D
CyD l d
Dibujar un rectángulo conociendo los dos lados: 1. Levantar una perpendicular por A 2. Arco con centro en A y radio AC C 3. Arco con centro en B y radio AC 4. Arco con centro en C y radio AB D 5. Rectángulo ABCD
C
A A
B
C
C
D l d
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A
Dibujar un rectángulo conociendo la diagonal y un lado: 1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal d) O 2. Dibujar la circunferencia con centro en O y radio OA 3. Arcos con centros en A y B y radio el lado l CyD 4. Rectángulo ABDC
l A
B D
Dibujar un rombo conociendo el lado y un ángulo: 1. Transportar el ángulo 2. Dibujar un arco con centro en A y radio AB C 3. Arcos con centros en B y C y radio el lado D 4. Rombo ABDC Dibujar un rombo conociendo las dos diagonales: 1. Mediatriz de AB (d2) O 2. Arcos con centro en O y radio la mitad de la diagonal d1 CyD 3. Rombo ACBD
B
O
d2 d1 C l A C
D d2
A O
l A
B D
B
Cuadriláteros A
B C
A A
Dibujar un romboide conociendo los lados y un ángulo: 1. Transportar el ángulo 2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo C 3. Dibujar un arco con centro en B y radio el lado menor AC 4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB D 5. Romboide ABDC
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Dibujar un romboide conociendo los dos lados y una diagonal: 1. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal d 2. Arco con centro en B y radio el lado menor AD C 3. Arco con centro en A y radio el lado menor AD 4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB D 5. Romboide ABCD Dibujar un trapecio escaleno conociendolas dos bases y las dos diagonales: 1. Prolongar la base mayor AB 2. Sumar la base menor CD a la base mayor a partir de B E 3. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal AC (d1) 4. Arco con centro en E y radio la diagonal BD (d2) C 5. Arco con centro en C y radio la base menor CD 6. Arco con centro en B y radio la diagonal BD.(d2) D 7. Trapecio ABCD
C
B
A A A
D
D d
C
C
D d
A
C A A B
D B
d1
C
d2
D
D
C d1
A
A
B
d2
d2
B
E
B
POLÍGONO REGULAR
POÍGONO INSCRITO
POLIGONO CIRCUNSCRITO
HEPTÁGONO ESTRELLADO 1 HPTÁGONO ESTRELLADO 2 OCTÓGONO ESTRELLADO
go na l
Se entiende por polígono a la porción de plano comprendida por líneas rectas que se cortan. De otra manera, también podemos decir que se trata de toda figura cerrada y limitada por segmentos, denominados lados. Cuado el polígono tiene todos sus lados iguales se le llama equilátero, y si tiene todos sus ángulos iguales se le llama equiángulo. Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, son equiláteros y equiángulos. Polígonos irregulares son aquellos en los que no son iguales todos sus lados y todos sus ángulos. Polígono inscrito es el que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia. Polígono circunscrito es el que tiene todos sus lados tangentes a una circunferencia. Según su número de lados, los polígonos se llaman: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8), eneánogono (9), decágono (10), undecágono (11), dodecágono (12), y polígonos de n lados. Polígonos cóncavos son aquellos que tienen, al menos, un ángulo interior mayor de 180º. Polígonos convexos son los que tienen todos sus ángulos interiores menores de 180º. Poligonos estrellados son aquellos que resultan al unir de dos en dos, de tres en tres, etc. los vértices de un polígono convexo. Partiendo de estos polígonos se pueden conseguir diseños decorativos con forma de estrella. Se llaman diagonales de un polígono a aquellos segmentos que unen vértices no consecutivos. La apotema de un polígono regular es la distancia que hay desde el centro del polígono hasta cualquiera de sus lados. Los polígonos se pueden construir conociendo la circunferencia que los inscriben o a partir del lado del polígono. Para dibujarlos a partir de la circunferencia tendremos primero que dividirla en partes iguales y luego unir cada una de estas divisiones.
dia
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Polígonos
g dia
l ona
O ap
POLÍGONO CÓNCAVO
POLÍGONO COVEXO
ot e
m a
Polígonos
A
A
D
C
División de la circunferencia en 3 y 6 partes iguales (hexágono y triángulo equilátero): 1. Trazar un diámetro AB 2. Dibujar un arco con centro en A y radio el mismo radio de la circunferencia CyD 3. Arco con centro en D y el mismo radio EyF 4. Hexágono y triángulo equilátero.
C
E
F
B
División de la circunferencia en 12 partes iguales (dodecágono): 1. Trazar dos diámetros AB y CD perpendiculares 2. Trazar con centro en A, B, C y D arcos con radio igual al de la circunferencia. 3. Dodecágono
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División de la circunferencia en 4 y 8 partes iguales (cuadrado y octógono): 1. Trazar dos diámetros AB y CD perpendiculares 2. Trazar las bisectrices a los ángulos de 90º que forman los diámetros 3. Cuadrado y octógono
División de la circunferencia en 9 partes iguales (eneágono): 1. Trazar dos diámetros AB y CD perpendiculares
B
C E
C
F
G
l7
O
A
B
E
A
D
D
C
C E
E
l5
A
B
O
F
H
División de la circunferencia en 7 partes iguales (heptágono): 1. Dibujar un diámetro AB 2. Dibujar un arco con centro en B y radio BO CyD 3. Unir C y D E (CE = lado) 4. Arco con centro en E y radio CE F 5. Transportar el lado sobre la circunferencia vértices del heptágono. División de la circunferencia en 5 y 10 partes iguales (pentágono y decágono): 1. Trazar dos diámetros AB y CD perpendiculares 2. Arco con centro en B y radio BO EyF 3. Unir E con F G 4. Arco con centro en G y radio GC H (CH = lado del pentágono) (HO lado del decágono) 5. Transportar el lado del pentágono sobre la circunferencia
D
G
l10
H
O
B
A
l9
H
B
O
F
D
F
D
G
l6
Polígonos
A 1’
l7
D
2
2. Dibujar dos arcos con centros en C y D y radio el de la circunferencia EyF 3. Arcos con centro en C y D, y radio CF y DE G 4. Arco con centro en G y radio GC H (AH = lado) 5. Transportar el lado sobre la circunferencia
F
D
2’ 3’
O
C E
C
n’
División de la circunferencia en un número cualquiera de partes iguales (polígono de n lados): 1. Dibujar un diámetro AB 2. Dividir el diámetro Ab en tantas partes iguales como lados ha de tener el polígono. 3. Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el diámetro de la circunferencia C 4. Unir C con la división número 2 del diámetro y prolongar hasta que corte a la circunferencia (AD = lado del polígono de n lados) 5. Transportar el lado (AD) sobre la circunferencia.
B
A
l5
F
C
G
E
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Dibujar un hexágono conociendo el lado: 1. Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado O 2. Dibujar una circunferencia con centro en O y radio OA 3. Transportar el lado sobre la circunferencia C ,D ,E y F Dibujar un pentágono conociendo el lado: 1. Prolongar el lado AB 2. Levantar una perpendicular al lado por el punto B 3. Trazar l mediatriz de AB M 4. Dibujar un arco con centro en B y radio el lado C 5. Arco con centro en M y radio MC D 6 Arco con centro enA y radio AD EyF 7 Arcos con centros en A y F y radio el lado G 8. Pentágono ABEFG Figuras con forma de estrella obtenidas a partir de la construcción de polígonos estrellados.
M A
B
D
B
Tangencias POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Se dice que dos líneas son tangentes cuado tienen un único punto en común. En general, las tangencias tienen por objeto unir circunferencias y rectas por medio de otras circunferencias y rectas, y están presentes en numerosos diseños, estructuras arquitectónicas e innumerables formas decorativas y objetos de uso común. Posiciones relativas entre dos circunferencias: Exteriores: Cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre los centros es mayor que la suma de los dos radios Secantes: Se cortan en dos puntos. La distancia entre los centros es menor que la suma de los radios Concéntricas: Cuando tienen el mismo centro. Interiores: No tienen ningún punto en común y la distancia entre los centros es menor que la diferencia entre los dos radios. Tangentes exteriores: Tienen un punto en común (punto de tangencia) y la distancia entre los centros e igual a la suma de los radios. Tangentes interiores: Tienen un punto en común, quedando una en el interior de la otra, y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. El punto de tangencia de dos circunferencias tangentes se encuentra en la recta que une los centros Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia: La recta puede ser exterior, secante o tangente. Si la recta es exterior no hay ningún punto en común, y la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio. Si la recta es secante a la circunferencia tendrán dos puntos en común, siendo la distancia de la recta al centro de la circunferencia menor que el radio Cuando la recta sea tangente sólo habrá un punto en común (punto de tangencia), y la distancia de la recta al centro de la circunferencia será igual al radio. El punto de tangencia se encuentra en le radio de la circunferencia perpendicular a la recta tangente. Dicho de otra forma, el radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta.
O2
O1
O1
Exteriores
O
O2
Secantes
O2
T O1
O2
O1
Interiores
Tangentes exteriores
r
Concéntricas
T O1
O2
Tangentes interiores
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
O s .
T
t
r: recta exterior s: recta secante t: recta tangente t. Recta tangente
Tangencias t
s
Dibujar la circunferencia tangente a tres rectas: 1. Trazar las bisectrices a dos de los ángulos que forman las rectas O 2.Trazar las perpendiculares desde O a cada una de las rectas puntos de tangencia T 3. Dibujar la circunferencia de centro en O y radio OT
C
T B
T
O
T O
A
r T
Dibujar la recta tangente a una circunferencia conociendo el punto de tangencia T en la circunferencia: 1. Dibujar el radio OT y prolongarlo 2. Trazar la perpendicular al radio OT por el punto T (recordar que la tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia)
C B
T
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Dibujar la recta tangente a un arco de circunferencia, del que desconocemos su centro, por un punto T de dicho arco: 1. Dibujar un arco con centro en T y radio arbitrario A 2. Arco con centro en A y el mismo radio anterior B 3. Arco con centro en T y radio TB C 4. Tangente TC
A
M
P
O
T
Trazar las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior: 1. Unir P con O 2. Trazar la mediatriz de OP .M 3. Circunferencia de centro en M y radio MO puntos T 4. Unir P con los puntos de tangencia T Trazar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: 1. Unir O1 con O2 2. Restar el radio de la circunferencia pequeña al de la grande 3. Dibujar una circunferencia con centro en O2 y radio r2 - r1 4. Trazar la mediatriz de O1O2 M 5. Dibujar una circunferencia con centro en M y radio MO1 AyB 6. Unir O2 con A y B y prolongar T2 y T’2 7. Trazar paralelas por O1 a O2T2 y O2T’2 T1 y T’1 8. Tangentes T1T2 y T’1T’2 Trazar las rectas tangentes interiores a dos circunferencias: 1. Unir O1 con O2
T
T2
A T2
A
T1
T1’
r1
r2+
r1 r2-
O1
T1’
M
O2
M
O1
O2 T1
B
T2’
T2’ B
Tangencias radio
radio
2.Sumar el radio de la circunferencia pequeña al de la grande 3. Dibujar una circunferencia con centro en O2 y radio r2 + r1 4. Trazar la mediatriz de O1O2 M 5. Dibujar una circunferencia con centro en M y radio MO1 AyB 6. Unir O2 con A y B T2 y T’2 7. Trazar paralelas por O1 a O2T2 y O2T’2 T1 y T’1 8. Tangentes T1T2 y T’1T’2
rad
ra d
io
+r
io
radio
O T O
O’ radio
radio
r
r T
T
s
Dibujar una circunferencia de radio conocido tangente a una recta y a una circunferencia (primer caso: tangentes exteriores) 1. Trazar una recta paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la circunferencia pedida. 2.Dibujar un arco con centro en O y radio la suma del radio dado y el radio de la circunferencia dato O’ 3. Obtener los puntos de tangencia y dibujar la circunferencia con centro en O’
radio
o
T
-r
2
+r dio
radio
O’ T
ra
di
radio +
o
di
ra
r1
radio
radio
Dibujar una circunferencia de radio conocido tangente a una recta y a una circunferencia (2º caso: tangentes exteriores) 1. Trazar una recta paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la circunferencia pedida. 2.Dibujar un arco con centro en O y radio la diferencia entre el radio dado y el radio de la circunferencia dato O’ 3. Obtener los puntos de tangencia y dibujar la circunferencia con centro en O’
O1
O
O2 O’ r
radio
Dibujar una circunferencia de radio conocido tangente exterior a dos circunferencias dadas. 1. Dibujar un arco de circunferencia de centro en O1 y radio la suma del radio dado y r1. 2. Dibujar un arco de circunferencia de centro en O2 y radio la
T
ra
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Dibujar una circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas que se cortan: 1. Trazar una recta paralela a cada una de las dos rectas dadas a una distancia igual al radio de la circunferencia pedida O 2.Trazar las perpendiculares desde O a cada una de las dos rectas puntos de tangencia T 3. Dibujar la circunferencia con centro en O
T T
Tangencias
suma del radio dado y r2 O 3.Obtener los puntos de tangencia y dibujar la circunferencia con centro en O
r2
radio
radio
ra
di o
+
T
Dibujar una circunferencia de radio conocido tangente interior con dos circunferencias dadas. 1. Dibujar con centro en O1 un arco de circunferencia radio la diferencia entre el radio dado y r1. 2. Dibujar con centro en O2 un arco de circunferencia radio la diferencia entre el radio dado y r2 O 3.Obtener los puntos de tangencia y dibujar la circunferencia con centro en O
radio
O1
rad
io -
r1
O2
T
O’
Dadas dos circunferencias. dibujar una circunferencia de radio conocido tangente exterior a una y tangente interior a la otra. 1. Dibujar con centro en O1 un arco de circunferencia radio la diferencia entre el radio dado y r1. 2. Dibujar con centro en O2 un arco de circunferencia radio la suma del radio dado y r2 O 3.Obtener los puntos de tangencia y dibujar la circunferencia con centro en O.
radio
T
O2 rad
T
io
io
rad
-r 1 radio
dio ra
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Aplicaciones de las tangencias al dibujo de curvas: Enlaces: Se entiende por enlace, la unión armónica de dos o más líneas, curvas entre sí o rectas y curvas, de modo que aparezca como una sola línea continua. Los seis ejercicios anteriores se pueden considerar como ejercicios de enlaces si en lugar de dibujar la circunferencia completa dibujásemos únicamente el arco que une las dos líneas dadas. Óvalo: Es una curva cerrada y plana, formada por arcos de circunferencia tangentes entres sí, y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares. Dibujar un óvalo conociendo el eje mayor: 1. Dividir el eje AB en tres partes iguales puntos 1 y 2 2. Dibujar dos circunferencias con centros en 1 y 2 y de radio A1 puntos 3 y 4 3. Unir 1 y 2 con 3 y 4 y prolongar puntos de tangencia T 4. Dibujar un arco con centro en T y radio 3T 5. Dibujar un arco con centro en 4 y radio 4T
- r2
O1
O’
T
T
3
O
A 1
A
2
B
B
C T
4
T
T
T
Tangencias T 2
Ovoide: Es una curva cerrada y plana, formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí, y simétrica respecto a un solo eje. Dibujar un ovoide conociendo el eje menor: 1. Trazar la mediatriz de AB (eje menor) O 2. Dibujar una circunferencia con centro en O y radio OA C 3. Unir A y B con C y prolongar 4. Dibujar dos arcos, con centros en A y B y radio AB puntos de tangencia T 5. Arco con centro en C y radio CT
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Voluta: Es una curva abierta compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos los vértices de un polígono. Dibujar una voluta de dos centros: 1. Sobre una recta, marcar dos puntos y dibujar alternativamente semicircunferencias con centros en uno y otro punto. Dibujar una voluta de tres centros: 1. Dibujar un triángulo (equilátero en este caso) y prolongar sus lados en un mismo sentido. 2. Dibujar un arco con centro en 1 y radio 1-3 3. Arco con centro en 2 y el radio necesario para continuar la curva 4.Arco con centro en 3 y el radio necesario para continuar la curva 5. Arco con centro en 1 6. Repetir los pasos tantas veces como haga falta. Dibujar una voluta de cuatro centros: 1. Dibujar un rectángulo y prolongar los lados en sentidos contrarios 2. Dibujar un arco con centro ene 1 y radio 1-4 3. Arco con centro en 2 y radio suficiente para continuar la curva. 4. Seguir trazando arcos con centros sucesivos en los puntos 3, 4, 1, 2, etc.
1 T
1 T
2
T
T T
T 3
2 T
T 4
T
1
T 3