´ Matrices Invertibles y Elementos de Algebra Matricial Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008

´Indice 12.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Propiedades de la transpuesta . . . . . . . . 12.4. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Motivaci´ on del algoritmo de inversi´on . . . 12.6. Algoritmo para invertir una matriz . . . . . 12.7. Comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8. Propiedades de la inversa . . . . . . . . . . 12.9. Ecuaciones con matrices . . . . . . . . . . . 12.10.Complejidad computacional de la inversi´on

12.1.

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1 1 2 2 2 3 4 4 5 8

Introducci´ on

En esta lectura veremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada (En caso de que la matriz inversa a ella exista). Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta de una matriz as´ı como un m´etodo eficiente de inversi´on. Terminaremos con la aplicaci´on de estos conceptos a la soluci´on de cierto tipo de ecuaciones matriciales.

12.2.

Transpuesta

Definici´ on 12.1 La matriz transpuesta de una matriz A n × m es una matriz con dimensiones m × n cuyo elemento (i, j) es precisamente el elemento (j, i) de la matriz A. A esta matriz se le simboliza AT . Una forma f´ acil de construir T A es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas. Ejemplo 12.1 Determine AT si A=



1 2 3 4 5 6



.

Soluci´ on Siguiendo la indicaci´ on de tomar los renglones de A como columnas para AT tenemos:   1 4 AT =  2 5   3 6

12.3.

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: AT


T

= A.

2. La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B)T = AT + BT . 3. (c A)T = c AT . 4. (A B)T = BT AT . La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario

12.4.

Matrices invertibles

Definici´ on 12.2 Se dice que una matriz A cuadrada n × n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe una matriz B n × n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple: AB = I y BA = I

(1)

Una matriz invertible s´olo tiene una inversa, es decir, la inversa es u ´ nica. La u ´nica inversa de una matriz invertible A se representa por A−1 . As´ı A A−1 = I = A−1 A

(2)

Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen matrices cuadradas que no pueden ser invertibles (La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices se llama matriz singular o matriz no invertible.

12.5.

Motivaci´ on del algoritmo de inversi´ on

Veamos un ejemplo que motivar´ a el algoritmo para obtener la inversa de una matriz. Ejemplo 12.2 Determine la inversa de   1 −2 A= 3 −5 Suponga que buscamos una matriz B, 2 × 2 tal que A B = I2×2 :      1 0 1 −2 b11 b12 = 0 1 b21 b22 3 −5 As´ı se debe cumplir: Para elemento (1,1) del producto: 1 · b11 − 2 · b21 = 1 Para elemento (2,1) del producto: 3 · b11 − 5 · b21 = 0 Para elemento (1,2) del producto: 1 · b12 − 2 · b22 = 0 Para elemento (2,2) del producto: 3 · b12 − 5 · b22 = 1 Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otro b21 y b22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan:     1 −2 1 1 0 −5 → 3 −5 0 0 1 −3 2

y 

1 −2 0 3 −5 1



→





1 0 2 0 1 1

Y as´ı b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversa como   −5 2 A−1 = B =  −3 1 Observemos que Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes: exactamente A. Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben reducirse con las mismas operaciones de rengl´ on. En cada sistema, la columna de las constantes es una columna de I. Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de coeficientes y las operaciones de rengl´ on para la reducci´ on son las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo formando la matriz aumentada [A|I] y reduciendo. Despu´es del proceso de reducci´ on, la inversa queda exactamente acamodada en la posici´ on donde entr´ o I.

12.6.

Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar A−1 , si existe, haga los siguiente: 1. Construya la matriz aumentada [A|I]. Aqu´ı I representa la matriz identidad n × n. 2. Reduzca la matriz [A|I]. Digamos que se obtenga [B|C]. 3. Si la matriz B es la matriz identidad, entonces A s´ı es invertible y A−1 = C. 4. Si la matriz B no es la identidad, entonces A no es invertible. Ejemplo 12.3 Invierta las matrices: A1 =



1 3 −2 −7



y A2 =



1 2 2 4



Soluci´ on Para A1 : [A1 |I] =



1 3 1 0 −2 −7 0 1





R2 ←R2 +2 R1



1 3 1 0 0 −1 2 1

R2 ←−1 R2



1 3 1 0 0 1 −2 −1



R1 ←R1 −3 R1



1 0 7 3 0 1 −2 −1



−−−−−−−−→

−−−−−−−→

−−−−−−−−→

3

Como en el resultado final B es la matriz identidad, A1 es una matriz invertible y   7 3 −1 A1 = . −2 −1 Para A2 : [A2 |I] =



1 2 1 0 2 4 0 1





R2 ←R2 −2 R1



1 0 1 2 0 0 −2 1

R2 ←− 12 R2



0 1 2 1 0 0 1 −1/2



R1 ←R1 −R2



1 2 0 1/2 0 0 1 −1/2



−−−−−−−−→

−−−−−−−→

−−−−−−−→

= [B|C].

Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A2 no es una matriz invertible. Observe con cuidado que en c´alculo para A2 que no hace falta concluir por completo hasta la forma reducida: en el momento que aparezca un rengl´ on en ceros en la parte correspondiente a B la matriz ya no ser´ a invertible 

12.7.

Comentario

Recuerde que para una matriz A n × n la matriz inversa de ella se defini´ o como una matriz B n × n que cumple A B = In = B A y en nuestra deducci´on del algoritmo s´olo buscamos que se cumpla A B = I. En los resultados te´ oricos de algebra de matrices se tiene que ´ Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal que A C = I, entonces A es invertible. Es decir, que es suficiente tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados. Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matriz cuadrada que cumple A B = I, entonces A−1 = B. Es decir, que la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible coincide con la inversa de la matriz. Estos resultados te´oricos justifican que s´olo busquemos la inversa derecha de una matriz para decir si la matriz es invertible y que la matriz encontrada es precisamente su inversa.

12.8.

Propiedades de la inversa

1 Si la matriz A, n × n, puede invertirse, entonces el sistema A x = b tiene soluci´ on u ´nica para cada vector b. Esta soluci´ on puede calcularse como x = A−1 b 2 Sean A y B dos matrices cuadradas n × n invertibles cualquiera entonces AB es invertible y (A B)−1 = B−1 A−1 . 3 La inversa de una matriz invertible tambi´en es una matriz invertible y A−1 4


−1

= A.

4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz c A tambi´en es invertible y (c A)−1 =

1 −1 A . c

5 Si k es un n´ umero entero postivo, entonces Ak tambi´en es una matriz invertible y Ak

−1


k = A−1 .

AT


−1

= A−1

 6 La matriz AT tambi´en es invertible y

12.9.


T

.

Ecuaciones con matrices

Ahora pondremos en pr´actica nuestra ´ algebra con matrices para resolver ecuaciones donde se involucran inc´ognitas que representan matrices. Ejemplo 12.4 Resuelva para X cX + A = B Soluci´ on Los pasos que se siguen son muy similares al a´lgebra b´asica

sumamos en ambos miembros la matriz −A:

(c X + A) − A = B − A Como la suma / resta de matrices es asociativa se pueden agrupar los sumando para dejar juntos A y −A: c X = c X + 0 = c X + (A − A) = B − A  Siendo estos c´alculos para suma y resta de matrices tan similares a los del a´lgebra b´asica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece sumando o restando una matriz en un miembro la podemos pasar al otro miembro restando o sumando: Z+C=D→Z=D−C

(3)

Ahoara debemos despejar X de la expresi´ on cX = B − A procedemos a multiplicar por el escalar 1/c: X = 1X =



 1 1 1 c X = (cX) = (B − A) c c c

Siendo estos c´alculos para la multiplicaci´ on o divisi´ on con escalares tan similares a los del a´lgebra b´asica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece multiplicando (resp. dividiendo) un escalar lo podemos pasar al otro miembro dividiendo (resp. multiplicando).

5

cZ = D → Z = Por tanto, el valor de la inc´ognita X es X=

1 D c

(4)

1 (B − A)  c

Ejemplo 12.5 Asumiendo que la matriz A sea invertible, despeje la matriz X de la ecuaci´on: AX = B Soluci´ on Este tipo de problemas presenta a los alumnos cierta dificultad en los primeros despejes de ecuaciones matriciales. Se debe tener bien en claro que la matriz A a eliminar est´a a la izquierda de la inc´ognita est´a multiplicando a la izquierda y que por consiguiente debe de multiplicarse por la izquierda por la matriz inversa de A:
X = I X = A−1 A X = A−1 (A X) = A−1 B Es equivocado hacer cancelar A pretendiendo multiplicar por la derecha: X = AXA−1 = BA−1 un m´ as grave dividir entre A pretendiendo cancelar A: Y representa un error a´ X=

AX B = A A

La regla v´ alida para cancelar matrices cuando ´estas poseen inversas que multiplican es la siguiente: A X = B → X = A−1 B

(5)

X A = B → X = B A−1

(6)

Ejemplo 12.6 Suponiendo que A y B son matrices invertibles, despeje X de: ABX = C Soluci´ on Otro problema que los alumnos enfrentan en los primeros despejes aparece en este tipo de problemas. Hay dos formas correctas de pensar el problema. En la primera la ecuaci´on original se debe pensar agrupada de la siguiente manera: (A B) X = C En cuyo caso el despeje de X es directo por las reglas vistas: X = (A B)−1 C Otra manera correcta de plantear el problema es: A (B X) = C 6

De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero: B X = A−1 C Para despu´es obtener: X = B−1 A−1 C Note que ambos resultados sin id´enticos en vista de la igualdad: (A B)−1 = B−1 A−1  Ejemplo 12.7 Despeje x de la ecuaci´on: XT = A Soluci´ on
T En este caso se debe tener presente la propiedad XT = X. Por consiguiente, tomando la transpuesta en cada miembro:
T X = XT = AT  Ejemplo 12.8 Despeje x de la ecuaci´on: X−1 = A Soluci´ on
−1 En este caso se debe tener presente la propiedad X−1 = X. Por consiguiente, tomando matriz inversa en cada miembro:
−1 X = X−1 = A−1 Ejemplo 12.9 Suponiendo que A es invertible y c 6= 0 , despeje X de: A (c X + B) + C = D Soluci´ on Procediendo como anteriormente: A (c X + B) cX + B cX X

= D−C = A−1 (D − C) = A−1 (D − C) − B
= 1c A−1 (D − C) − B 

Ejemplo 12.10 Suponiendo matrices invertibles donde se requiera despeje X de:  T A (BX)−1 + C + D = E Soluci´ on Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el orden: Pasando al segundo miembro D:  T A (BX)−1 + C = E − D 7

Multiplicando por A−1 por la derecha: 

T (BX)−1 + C = A−1 (E − D)

Tomando la transpuesta en ambos miembros:
T (BX)−1 + C = A−1 (E − D)

Pasando al segundo miembro C:


T (BX)−1 = A−1 (E − D) − C

Tomando inversa en ambos miembros:

BX =



−1
T A−1 (E − D) − C

X = B−1



A−1 (E − D)

Finalmente, eliminando la matriz B:

12.10.

−1  −C


T

Complejidad computacional de la inversi´ on

Supongamos entonces que aplicamos el algoritmo de eliminaci´ on gaussiana para invertir una matriz n por n. Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 y posteriormente el trabajo realizado en el paso 5. Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columna de trabajo:                         

a1,1

a1,2

···

a1,m−1

a1,m

···

0 . . .

a2,2 . . .

···

a2,m−1 . . .

a2,m . . .

0 0

0 0

··· ···

am−1,m−1 0

am−1,m am,m

··· . . . . . . ···

. . .

. . .

.

..

. . .

. . .

. . .

0

0

···

0

an,m

···

..

.

b1,1 . . . . . . . . . bm,1

...

. . . . . . ...

b1,n . . . . . . . . . bm,n

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

                      

1 Ciclo del paso 1 al 4 Al asumir que am,m es diferente de cero, pasamos al paso 3. En el paso 3 hay que hacer cero debajo del elemento (m, m), para cada uno de los m − n renglones inferiores Ri ; para ello habr´ a que calcular el factor f = ai,m /am,m por el cual debe multiplicarse el rengl´ on Rm , lo cual implica realizar una divisi´ on, y posteriormente realizar la operaci´ on: Ri ← Ri − f Rm . En este caso, en el rengl´ on i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento (i, m) quedar´ a un 1 (el factor f fue calculado para ello), as´ı que los u ´nicos elementos que deber´an calcularse son los elementos del rengl´ on i desde la columna (m + 1) y hasta terminar, es decir, hasta la columna n + n, es decir, un total de 2 n − m elementos, y para cada uno de ellos habr´ a que hacer am+1,j ← am+1,j − f × am,j , es decir para cada uno de ellos habr´ a que hacer 2 FLOPs, siendo un total de 2 (2 n − m) elementos, el n´ umero total de FLOPs que habr´ a que realizar para hacer la operaci´ on Ri ← Ri − f Rm es, incluyendo la divisi´ on para calcular f , 2(2 n − m) + 1 = 4 n − 2 m + 1.

8

Como esto habr´ a que aplicarlo a todos los renglones por debajo del rengl´ on m y hasta el n, entonces para realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse (n − m) (4 n − 2m + 1) FLOPS. El ciclo del paso 1 al paso 4 y su repetici´on ir´ a avanzando m desde 1 hasta n − 1. Por consiguiente el total de FLOPs ser´ a: n−1 X 5 3 1 (n − m) (4 n − 2 m + 1) = n3 − n2 − n. 3 2 6 m=1

2 Ciclo del paso 5. Las operaciones implicadas en el paso 5 ser´ an 1 Rm : n divisiones Rm ← am,m Para esto se requiere n divisiones; la del pivote entre si mismo ya sabemos que dar´a 1 y no se realizar´a, simplemente en la posici´ on (m, m) pondremos un 1

Rj ← Rj − aj,m Rm : n multiplcaciones y n restas Esta operaci´ on s´olo requiere n multiplicaciones y n restas; estas operaciones s´olo tienen que ver con los t´erminos en la parte aumentada. Los nuevos elementos aj,m ser´ an cero. Como hay m − 1 renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 ser´ a: (m − 1) · (2 n) + n Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 ser´ a: 1 X

(2 n (m − 1) + n) = n3 − 2 n2 + n

m=n

Por consiguiente, en general cuando se aplica en algoritmo de eliminaci´ on gaussiana a un sistema n × n el n´ umero de FLOPs es: 8 3 7 2 5 (7) n − n + n 3 2 6

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