Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
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Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (In).. Es posible encontrar matrices cuadradas A para las cuales existe una matriz cuadrada B de forma que A·B=B·A=I Por ejemplo:
Estas matrices cuadradas son muy interesantes y reciben un nombre especial: matrices invertibles o matrices inversibles. En este capí capítulo enseñ enseñamos có cómo distinguir las matrices invertibles a travé través de su determinante y explicamos mé métodos para calcular de un modo eficaz la inversa de A..
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Las matrices invertibles son indispensables en el Álgebra Lineal, principalmente para cá cálculos algebraicos y deducciones de fó fórmulas. Hay tambié también ocasiones en las que una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemá matemático de una situació situación de la vida real.
"
es regular si
"
es singular si
"
es invertible si
esta matriz B es única y se denomina inversa de A :
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MATRICES INVERTIBLES " " Si
tal que entonces A es regular y
"
o
,
con siendo la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de A por sus adjuntos. Esta ffórmula órmula apenas se utiliza en la pr áctica práctica
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Técnicas útiles para calcular la inversa de una matriz regular A " Operaciones elementales de filas
" Resolución de un sistema de ecuaciones lineales " Matrices que satisfacen una ecuación del tipo:
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" Operaciones elementales de filas
¿Cómo llegamos a la matriz unidad I? Conseguimos ceros debajo de la diagonal principal
Conseguimos unos en la diagonal principal
Sin deshacer lo conseguido: conseguimos ceros encima de la diagonal principal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
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-EJEMPLO.EJEMPLO.- Calcular la inversa de la matriz:
Sugerencia.- Comprobar el resultado
A · A-1-1 = I 7
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Resolució n de ecuaciones lineales: -EJEMPLO.EJEMPLO.-
un
sistema de
Esta té écnica ttécnica suele resultar úútil til para matrices triangulares
Escribiendo en forma matricial:
Sugerencia.- Comprobar el resultado Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
A · A-1-1 = I 8
-EJEMPLO.EJEMPLO.-
Matrices que satisfacen una ecuación del tipo:
Sea A una matriz regular que satisface la ecuación: Calcular A-1
, luego, según la definición:
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PROPIEDADES DE LAS MATRICES REGULARES : matrices regulares de orden n Sean 1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Atenció Atención
7.- Si A es triangular, entonces A-1 es triangular. Enunciamos a continuació continuación un teorema que nos permite caracterizar las matrices invertibles en varias formas bá básicas, utilizando conceptos estudiados previamente: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2005-06
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Teorema de la matriz invertible.invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. Esto es, para una matriz A dada, los enunciados son o todos ciertos o todos falsos.
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.-
A es una matriz invertible. A es una matriz regular. A es equivalente por filas a la matriz In , es decir: . Los vectores columna de A son linealmente independientes. Los vectores columna de A generan . Los vectores columna de A forman una base de . Los vectores fila de A son linealmente independientes. Los vectores fila de A generan . Los vectores fila de A forman una base de AT es una matriz invertible.
.
Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A · B = In. Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C · A = In. r ( A ) = n.. .
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POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO DE MATRICES REGULARES Cuando , es decir es una matriz regular de orden n, o lo que es lo mismo, una matriz invertible, tiene sentido hablar de potencias de A con exponente entero, como por ejemplo: Si
y
:
-PROPIEDADES.-
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MATRICES ORTOGONALES Su inversa y su traspuesta coinciden
se dice ortogonal si: , es decir : -PROPIEDADES.- Sean
Nuestra ón acerca observaci Nuestra primera primera observació observación acerca de de las las matrices matrices ortogonales ortogonales es es que que son son matrices invertibles matrices invertibles. invertibles..
1.2.-
Se én que tambi Se cumple cumple tambié también que la la inversa inversa de de una una matriz matriz ortogonal ortogonal es es su su traspuesta. traspuesta. En En este este caso caso no no hay hay que que hacer hacer inversiones inversiones complicadas. complicadas.
3.4.-
Las án de surgir Las matrices matrices ortogonales ortogonales surgirá surgirán de nuevo ítulo 7. cap nuevo en en el el curso curso en en el el capí capítulo 7. 13
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