´ Facultad de Ciencias Basicas c

Programa de Matem´aticas

Vol. I , No 2, (2014) Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

Matrices Rectangulares Invertibles Rectangular Invertible Matrices ´ German Esteban Gomez Angarita1 1 Programa

de Matem´aticas, Universidad del Atl´antico [email protected]

Oswaldo Dede Mej´ıa2 2 Programa

de Matem´aticas, Universidad del Atl´antico [email protected]

Recibido: 02/12/2013 - Aceptado: 03/03/2014

Resumen ´ Sea n un entero positivo y R un anillo con elemento identidad; notamos por Rn el R-modulo izquierdo cuyos elementos   x1   son de la forma:  ...  tal que xi ∈ R para cada 1 ≤ i ≤ n. En el presente trabajo, se estudian condiciones de invertibilixn dad de matrices rectangulares sobre R v´ıa relaciones de congruencia en N = {1, 2 · · · }, estipulando que anillos tienen ´ numero de base invariante. ´ Palabras claves: Anillos con elemento identidad, matrices invertibles sobre un anillo, numero de base invariante, congruencias.

Abstract Let n be a positive integer and R a ring with identity element, I noticed for Rn the left R-module whose elements are of   x1  .  the form:  ..  such that xi ∈ R for each 1 ≤ i ≤ n. In this paper, invertibility condition of rectangular matrices over R xn are studied via congruence relations in N = {1, 2, 3 · · · } stipulating that rings have invariant basis number. Keywords: Rings with identity element, invertible matrices over a ring, invariant basis number, congruences.

1.

Introduccion ´

Este trabajo est´a basado en algunas ideas tomadas de [1]. Nuestra labor consistio´ en analizar y detallar las demostraciones all´ı presentadas. En los cursos b´asicos de teor´ıa de algebra lineal, solo se estudia el concepto de invertibilidad para matrices cuadradas con entradas en un campo; sin embargo hay situaciones en las

cuales se presentan matrices rectangulares ˜ m×n ´invertibles´, esto es, matrices de tamano sobre un anillo R, digamos P para la cual existe ´ ˜ n × m sobre R una matriz unica Q de tamano tal que PQ = Im y QP = In , donde Im e In son ˜ m×myn×n las matrices identidad de tamano respectivamente.

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26

Cuando toda matriz invertible en un anillo R es

R tal que ∀ x ∈ R x · 1 = 1 · x = x, diremos

necesariamente cuadrada, el anillo R se dice que

que R es un anillo con elemento identidad.

´ tiene un Numero de Base Invariante. Muchos

Escribimos simplemente xy en vez de x · y

anillos tales como los campos o los enteros

´ y al modulo de la suma lo notaremos 0.

tienen esta propiedad y existen resultados que

En R1 ) cuando decimos que ( R, +) es un grupo

muestran que tal propiedad puede transmitirse

abeliano significa:

de un anillo a otro. ´ (i) En el conjunto R est´a definida la operacion binaria: ( x, y) 7→ x + y;

En el presente trabajo se dan algunos ejemplos ´ de anillos que no tienen numero de base inva-

´ es asociativa: ( x + y) + z = (ii) La operacion

riante, los cuales pueden clasificarse mediante

x + (y + z), para todos los x, y, z ∈ R;

´ de congruencia sobre los numeros ´ una relacion (iii) R posee el elemento neutro (unidad) 0: 0 +

naturales, lo que nos permite determinar el

x = x + 0 = x para todo x ∈ R;

˜ permitido de las matrices invertibles. tamano ´ de congruencia es a su vez deterTal relacion

(iv) Para cada elemento x ∈ R, existe el inverso

minado por su tipo (w, d) , el cu´al es llamado el

− x: x + (− x ) = (− x ) + x = 0;

tipo del anillo o el tipo de la congruencia. (v) R es conmutativo: x + y = y + x para todos los x, y ∈ R.

Para este estudio utilizaremos los conceptos de congruencia en N = {1, 2, 3, ...}, anillos con ele-

Sea {0} , R un anillo y ∅ , S ⊆ R. Diremos que

mento identidad y homomorfismo de anillos.

S es un subanillo de R si se verifica: 2.

Preliminares (i) ∀ x,∀y x − y ∈ S;

´ se estudian los anillos, los En esta seccion (ii) ∀ x,∀y x − y ∈ S

´ subanillos, los ideales, los modulos, las relaciones de equivalencia, etc. Tales temas pueden consultarse en: [5],[6],[7].

Sea R , {0} un anillo. Para 0 , a ∈ R diremos que a es un divisor de cero si existe b ∈ R, b , 0

Sea R un conjunto no vac´ıo, dos operaciones de-

tal que ab = ba = 0.

finidas en R, “ + ” y “ · ”. Diremos que ( R, +, ·)

Si R es un anillo conmutativo sin divisores de

es un anillo si se verifica:

cero y con elemento identidad diremos que R es

R1 ) ( R, +) es un grupo abeliano;

un dominio entero.

R2 ) ( R, ·) es asociativo; Todo campo es un dominio entero. R3 ) Se cumplen las leyes distributivas:

( x + y) · z = x · z + y · z

´ R y S anillos. DireSea ψ : R → S una funcion,

x · (y + z) = x · y + x · z

mos que ψ es un homomorfismo de anillos si se satisface:

Si el anillo satisface: i) ψ( x + y) = ψ( x ) + ψ(y); R4 ) x · y = y · x para todo x, y ∈ R entonces R es un anillo conmutativo; adem´as si existe 1 ∈ 26

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(⇐) Dado que existe ψ−1 entonces ψ es biyecti-

ii) ψ( xy) = ψ( x )ψ(y)

va y adem´as como ψ : R → S es un homomor-

para todo x, y ∈ R.

´ ψ es un fismo de anillos entonces por definicion

Sea ψ : R → S un homomorfismo de anillos,

isomorfismo de anillos. 

entonces: 1) ψ(0R ) = 0S ;

Una matriz A con n filas y n columnas se deno-

2) ψ(− x ) = −ψ( x );

mina matriz cuadrada de orden n.

3) ψ(nx ) = nψ( x ) para todo n ∈ Z y todo x ∈

Si A es una matriz cuadrada y si se puede en-

R;

˜ tal que contrar una matriz B del mismo tamano AB = BA = I entonces se dice que A es invertible

4) Si R y S son dominios enteros entonces o ψ

y B se denomina una inversa de A.

´ constante cero o ψ(1R ) = 1S . es una funcion ´ donde 0R , 1R y 0S , 1S son los modulos de + y ·

Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, en-

para R y S respectivamente.

tonces B = C.

ψ : R → S es un isomorfismo de anillos si cum-

Si A y B son matrices invertibles del mismo ta-

ple las siguientes condiciones:

˜ entonces mano,

i) ψ es biyectiva ;

a) AB es invertible,

ii) ψ es un homomorfismo de anillos

b) ( AB)−1 = B−1 A−1

Si los anillos R y S son isomorfos lo denotaremos como sigue: R ≈ S. Si A es una matriz cuadrada, entonces las potencias enteras no negativas de A se definen co-

ψ : R → S es un isomorfismo de anillos si y so-

mo A0 = I

lamente si ψ : R → S es un homomorfismo de

An = AA |{z} · · · A ( n > 0). n f actores

anillos y ψ−1 : S → R es un homomorfismo de

Adem´as, si A es invertible, entonces las poten-

anillos. Demostracion ´

cias enteras negativas de A se definen como

(⇒) Por ser ψ biyectiva tenemos que ψ( x ) =

A−n = ( A−1 )n = A−1 A−1 |{z} · · · A −1 . n f actores

y ⇔ ψ−1 (y) = x.

Si A es una matriz cuadrada y r y s son enteros,

Sean y, yb ∈ S, dado que ψ es biyectiva entonces

entonces Ar As = Ar+s y ( Ar )s = Ars .

existen x, xb tal que ψ( x ) = y, ψ( xb) = yb. Entonces ψ−1 (y) = x y ψ−1 (yb) = xb. Dado que ψ es un

Si A es una matriz cuadrada e invertible, enton-

homomorfismo de anillos entonces:

ces

i) ψ( x + xb) = ψ( x ) + ψ( xb) = y + yb;

a) A−1 es invertible y ( A−1 )−1 = A.

ii) ψ( xb x ) = ψ( x )ψ( xb) = yb y Por i) tenemos que ψ−1 (y + yb)

b) An es invertible y ( An )−1 = ( A−1 )n para

=

x +

n = 0, 1, 2 · · ·

xb = ψ−1 (y) + ψ−1 (yb) y por ii) tenemos que

c) Para cualquier k ∈ R diferente de cero, la 1 matriz kA es invertible y (kA)−1 = A−1 . k

ψ−1 (yb y) = xb x = ψ−1 (y)ψ−1 (yb). Por tanto ψ−1 es un homomorfismo. 27

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i) R/I es un anillo, llamado anillo cociente de Si A es una matriz invertible, entonces

AT

R por I ;

tam-

bi´en es invertible y ( A T )−1 = ( A−1 ) T .

ii) Si 1 es el elemento identidad de R entonces 1 + I es el elemento identidad de R/I ;

Sea R un anillo, I un subanillo de R.

iii) Si R es conmutativo entonces R/I es con-

i) Si para todo i ∈ I y para todo r ∈ R se ve-

mutativo.

rifica que ri ∈ I, diremos que I es un ideal izquierdo de R ;

Cada anillo con elemento identidad posee al

ii) Si para todo i ∈ I y para todo r ∈ R se ve-

menos un ideal maximal.

rifica que ir ∈ I, diremos que I es un ideal derecho de R.

Sea R un anillo conmutativo con elemento

Si se cumple i) y ii) diremos que I es un ideal

identidad. Entonces M es un ideal maximal de

bilateral de R o simplemente un ideal de R.

´ si R/M es un campo. R si y solo

Si R es un anillo, aR = { ar | r ∈ R} y Ra =

Si R1 , R2 son anillos con elemento identidad,

{ra | r ∈ R} son ideales derecho e izquierdo de

( R1 , +, ·), ( R2 , +0 , ·0 ), D = R1 × R2 . En D se

R respectivamente.

define para x ∈ R1 , y ∈ R2 , u ∈ R1 , v ∈ R2 ;

( x, y) ⊕ (u, v) = ( x + u, y +0 v) y ( x, y) (u, v) = Si I y K son ideales entonces definimos I + K =

( x · u, y ·0 v). Con estas operaciones D es un anillo

{i + k | i ∈ I, k ∈ K } e

con elemento identidad.

m

IK = { ∑ ai bi | ai ∈ I, bi ∈ K, m ∈ N}

Sea R un anillo con identidad y sea V un grupo

i =1

´ ·: abeliano escrito aditivamente. Si la aplicacion

.

R × V −→ V, definida por ·( x, v) = x · v := xv satisface las siguientes propiedades:

Si I y K son ideales de un anillo R, entonces:

( M1 ) x (u + v) = xu + xv, para todo x ∈ R, u, v ∈

i) I ∩ K es un ideal de R ;

V;

i) I + K es un ideal de R ;

( M2 ) ( x + y)v = xv + yv, para todo x, y ∈ R,

i) IK es un ideal de R

v ∈ V;

( M3 ) ( xy)v = x (yv), para todo x, y ∈ R, v ∈ V;

Sea R un anillo e I un ideal de R. En R/I = { x + I | x ∈ R} las operaciones + y · se definen: + :

( M4 ) 1v = v, para todo v ∈ V.

R/I × R/I → R/I, definido por ( x + I, y + I ) 7→

´ Entonces V se dice un R-modulo a izquierda o

( x + I ) + (y + I ) = ( x + y) + I y · : R/I × R/I →

´ un R-modulo izquierdo. An´alogamente se defi-

R/I, definido por ( x + I, y + I ) 7→ ( x + I ) · (y +

´ ne R-modulo a derecha.

I ) = ( x · y) + I

A menos que expl´ıcitamente se mencione lo con´ ´ trario, el t´ermino modulo significar´a modulo iz-

Sea R un anillo e I un ideal de R. Si R/I = { x +

quierdo.

I | x ∈ R} entonces: 28

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´ de la La escritura a  b expresa la negacion ´ Modulos sobre un campo F y espacio vectoriales

equivalencia entre los elementos a, b ∈ X.

sobre F son lo mismo.

El subconjunto x = { x 0 ∈ X | x 0 ∼ x } ⊆ X de todos los elementos equivalentes a un x dado,

Un subconjunto S = {s1 , s2 , . . . , sn } de un R-

se denomina clase de equivalencia contenedora de

´ modulo, se dice linealmente independiente(L.I)

x.

´ ´ lineal nula con los elesi la unica combinacion

Dada una familia { Bi }i∈ I no vac´ıa de subcon-

mentos de S es a trav´es de escalares nulos de R.

juntos de X, { Bi }i∈ I es una partici´on de X si

M´as exactamente, S es linealmente independientes si para cualesquiera escalares a1 , · · · , an ∈ R se cumple que

∑in=1 ai si

P1 :

= 0 ⇒ ai = 0, 1 ≤ i ≤

S

i∈ I

Bi = X

P2 : Para cualesquiera Bi , Bj , o bien Bi = Bj o

n.

bien Bi

´ asumimos que el conjunto Nota. Por definicion

T

Bj = ∅.

vac´ıo es L.I. Un subconjunto cualquiera S de V es L.I si cada subconjunto finito de S es L.I. S es

´ de equivalencia en un conSea ∼ una relacion

linealmente dependiente (L.D) si no es L.I.

junto X y para todo x ∈ X sea x = { x 0 ∈ X | x 0 ∼ x }. Entonces la familia

Si S = {s1 , s2 , . . . , sn } es un subconjunto de un

´ de X. de conjuntos { x | x ∈ X } es una particion

´ R- modulo V, diremos que S genera a V, si para

El conjunto de clases de equivalencia se denota

todo v ∈ V existen c1 , c2 , . . . , cn ∈ R tales que

por X/ ∼, que es llamado el conjunto cociente.

n

v=

∑ ci si

i =1

3.

Anillos con numero ´ de base invariante

lo denotaremos por hSi = V. Normalmente se habla de matrices invertibles cuando son cuadradas. Sin embargo hay

´ Un subconjunto no vac´ıo S de un R- modulo V,

situaciones en las que se producen matrices

es una base para V si se cumplen las siguientes

rectangulares invertibles .

condiciones: (a) < S >= V;

Durante todo el trabajo usaremos anillos R con elemento identidad y

(b) S es L.I.

N = {1, 2, · · · }. ´ Un R-modulo es libre si posee al menos una base. ˜ m×n Decimos que una matriz P de tamano ´ binaria ∼ en X se llama relaci´on de La relacion

con entradas en R, es invertible si existe una

equivalencia, si para toda x, x 0 , x 00 ∈ X se cumplen

˜ n × m con entradas en R tal matriz Q de tamano

las condiciones:

que PQ = Im y QP = In , donde Im e In son las ˜ matrices identidad de tamanos m×m y n×n

(i) x ∼ x (reflexividad);

respectivamente. (ii) x ∼

x0

⇒

x0

∼ x (simetr´ıa);

(iii) x ∼ x 0 ∧ x 0 ∼ x 00 ⇒ x ∼ x 00 (transitividad). 29

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ii) T (rx ) = rT ( x ), r ∈ F

Si la matriz Q de n × m existe entonces es ´ unica. Demostracion ´

Demostracion ´

˜ n × m tal que Sean S y Q matrices de tamano

Sean x, y ∈ F n , r ∈ F. Entonces

PS = Im y SP = In y PQ = Im y QP = In

S( PQ)

=

30

(SP) Q

=

In Q

=

T ( x + y) = P( x + y) = Px + Py = T ( x ) + T (y) y

Q y

T (rx ) = P(rx ) = r ( Px ) = rT ( x )

S( PQ) = SIm = S. Entonces Q = S. 

´ lineal. Por tanto T es una transformacion

´ Un anillo R se dice que tiene un Numero de

Si F es un campo, P es una matriz invertible de

Base Invariante si y solamente si toda matriz

F n −→

˜ m × n sobre F y T : tamano

invertible con entradas en R es cuadrada.

F m es

´ lineal entonces los vectores una transformacion

´ Si un anillo tiene Numero de Base Invariante lo

T (e1 ) = Pe1 , · · · , T (en ) = Pen forman una base

denotaremos NBI. Es decir, R tiene NBI ⇔ (∀

para F m . Demostracion ´

P)(P es invertible ⇒ P es cuadrada).

˜ Dado que P es una matriz invertible de tamano Algunos anillos conocidos como los enteros y

˜ n × m tal m × n entonces existe Q de tamano

los campos gozan de esta propiedad. Algunos

que PQ = Im y QP = In .

resultados fundamentales muestran que la pro-

Veamos que T (e1 ) = Pe1 , · · · , T (en ) = Pen

´ piedad de tener un numero de base invariante

son

puede transmitirse de un anillo a otro (mediante

c1 , · · · , cn ∈ F, tales que

homomorfismo de anillos).

c1 ( Pe1 ) + c2 ( Pe2 ) + · · · + cn ( Pen )

=

0

⇒

P ( c 1 e1 ) + P ( c 2 e2 ) + · · · + P ( c n e n )

=

0

⇒

linealmente

independientes.

P ( c 1 e1 + c 2 e2 + · · · + c n e n ) Sea n un entero, n ≥ 1 y R un anillo. Rn

Escribimos      x       1   ..   .  : xi ∈ R, i = 1, · · · , n .           x n

=

=

Sean

0

⇒

QP(c1 e1 + c2 e2 + · · · + cn en )

=

0

⇒

In (c1 e1 + c2 e2 + · · · + cn en )

=

0

⇒

c 1 e1 + c 2 e2 + · · · + c n e n = 0 ⇒ c 1 = c 2 =

· · · = cn = 0, pu´es {e1 , · · · , en } forma una base para F n .

F n −→

F m es sobreyectiva.

´ El rango de un R-modulo es la cardinalidad de la

Veamos que T :

base.

Sea w ∈ F m , definamos x = Qw entonces x ∈ F n y T ( x ) = Px = P( Qw) = ( PQ)w = Im w = w.

´ Rn es un R-modulo libre de rango n.

Por tanto T es sobreyectiva.

Si F es un campo, P es una matriz de m × n so-

Veamos que T (e1 ) = Pe1 , · · · , T (en ) = Pen

bre F y T :

F n −→

genera a

F m , definida por T ( x ) =

F m . Sea s

´ lineal, es Px; entonces T es una transformacion

es sobreyectiva existe q

decir, para todo x, y ∈ F n y paratodor ∈ R

T (q)

=

s pero q

F m , como T

∈

=

∈

F n tal que

∑in=1 ci ei entonces

s = T (∑in=1 ci ei ) = ∑in=1 ci T (ei ) = ∑in=1 ci Pei .

i) T ( x + y) = T ( x ) + T (y) 30

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31

Supongamos que R no tiene NBI entonces existe Si F es un campo entonces F tiene NBI.

˜ m×n y una matriz invertible P de tamano

Demostracion ´

m , n con entradas en R. Entonces existe Q ˜ n × m tal que PQ = Im y QP = In . de tamano

˜ m×n Sea P una matriz invertible de tamano

Tenemos que:

´ anterior se tiene sobre F. Por la proposicion

f ( Im ) = f ( PQ) = f ( P) f ( Q) y f ( In ) = f ( QP) =

que T (e1 ) = Pe1 , · · · , T (en ) = Pen forman una

f ( Q) f ( P)

base para F m con n elementos. Dado que F m

Es decir f ( P) es una matriz invertible de m × n

´ es un espacio vectorial entonces el numero de

y m , n, es decir no cuadrada, esto significa que

´ que elementos de una base es la dimension

S no tiene NBI .

´ sabemos que es unica entonces n = m. Por tanto toda matriz P invertible sobre F es cuadrada, por tanto F tiene NBI .

Supongamos que R es conmutativo entonces existe un homomorfismo φ :

R −→

F para

´ campo F. Demostracion algun ´ Supongamos que f :

R −→

S es un homo-

morfismo de anillos y P es una matriz invertible

Dado que R es un anillo conmutativo con

con entradas en R. Supongamos que P tiene

elemento identidad entonces tiene un ideal

inversa Q, entonces f ( P) tiene inversa la cu´al es

m´aximal M y entonces F = R M es un campo.

f ( Q). Demostracion ´

Ahora φ : R → F, la definimos r 7→ r + M y adem´as definimos la + y · en F = R M .

h i   P = pij y Q = q jk h i PQ = ∑ pij q jk  1 si i = k 0 si i , k

=

i) (r + M ) + (r 0 + M) = (r + r 0 ) + M

=

[δik ], donde δik

ii) (r + M ) · (r 0 + M ) = (r · r 0 ) + M Veamos que φ es un homomorfismo de anillos.

f ( PQ) = f (

h

∑ pij q jk

i

)=

h

=

h

∑ f ( pij q jk )

i

∑ f ( pij ) f (q jk )

def

φ (r + r 0 ) = (r + r 0 ) + M = (r + M ) + (r 0 + M ) i

= φ (r ) + φ (r 0 )

= f ( P) f ( Q)

Es decir φ(r + r 0 ) = φ(r ) + φ(r 0 ).

Es decir, f ( PQ) = f ( P) f ( Q), pero PQ = IR , entonces f ( P) f ( Q) = f ( PQ) = f ( IR ) = IS , entonces

f ( P) f ( Q)

=

def

φ (r · r 0 ) = (r · r 0 ) + M = (r + M ) · (r 0 + M )

IS , an´alogamente

= φ (r ) · φ (r 0 )

f ( Q) f ( P) = IS , entonces f ( P) tiene inversa f ( Q ). 

Sea

f :

Es decir, φ(r · r 0 ) = φ(r ) · φ(r 0 ) .

R −→

S es un homomorfismo de

Todo anillo conmutativo con elemento identi-

anillos. Si S tiene NBI entonces R tiene NBI.

dad tiene NBI. Demostracion ´

Demostracion ´ por contrarec´ıproca 31

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

Dado que existe un homomorfismo φ : R → F

1

  0 t ββ =   0  .. .

´ campo F y F tiene NBI entonces por para algun ´ R tiene NBI.  proposicion

El ejemplo de un anillo sin NBI es provisto por el cono C ( R) de un anillo R. IC( R)

Los elementos de C ( R) son las matrices infinitas

y

sobre R, con filas y columnas indexadas por ´ los numeros naturales, cada fila y columna

0

0···

32



  0 · · ·   0 1 · · ·  .. .. . .  1   0 γγt =   0  .. . 1

=



0

0···

1

  0 · · · =  1 · · ·  .. .

0 .. .

IC( R)

´ ´ tiene unicamente un numero finito de entradas  distintas de cero.

Los elementos



1   0   0  .. .

0

0

0

0

0

1

0

0

0 .. .

0 .. .

0 .. .  0   0   0  .. .

1 .. . 1

β=  0···   0 · · ·   0 · · ·  .. . 0

0

0···

0···

0

  0 · · ·   0 · · ·   0 · · ·   1 · · ·   0 · · ·  .. . 0 0   1 0   0 0   0 1   0 0   0 0  .. .. . .

0 0 0 .. .

0



  0 · · ·  y  0 1 · · ·  .. .. . .   0 0 0···     0 1 0 · · ·      0 0 0 · · ·    .. .. .. . . .



0

  0 βγt =   0  .. .

0C ( R )

y

γt γ =

0

0···



  0 · · ·   0 0 · · ·  .. .. . .  0   0 γβt =   0  .. . 0

=



0

0···

0

  0 · · · =  0 · · ·  .. .

0 .. .

0C ( R )



0

1

  0 βt β =   0  .. .

0···

Adem´as βt β + γt γ = IC( R)



  0 0 1 0 0 · · ·   0 0 0 0 1 · · ·  .. .. .. .. .. . . . . .   β de C ( R) da una matriz λ =   de 2 × 1, con γ   0 la matriz inversa transpuesta λ = βt γt . En efecto,  1   0   0   β t = 0   0   0  .. .

0

γ=

y

0

1

Entonces,

    β   λλ = = βt γt 1×2 γ 2 × 1     ββt βγt IC( R) 0C( R)    = = E2 y t t γβ γγ 0C( R) IC( R) 2×2  2×2   β 0   λλ = = βt γt 1×2 γ 2×1     = IC( R) = E1 βt β + γt γ 0

y

0···

γt =



  0 · · ·   0 · · ·   0 · · ·   0 · · ·   1 · · ·  .. .

1×1

32

1×1

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Por tanto, C ( R) no tiene NBI. PQ( FW ) = P( QF )W 4.

Congruencias en N y matrices rectangula-

= P( Ib×b )W

res invertibles

= ( PIb×b )W = PW = Ia×a

Dados un anillo R y a, b ∈ N, decimos que ´ si existe una matriz P invertible a ∼R b si y solo ˜ a × b sobre R. de tamano

( FW ) PQ = F (WP) Q ∼R es una congruencia en N, es decir, que ∼R

= F ( Ib×b ) Q

´ de equivalencia y satisface la es una relacion

= F ( Ib×b Q)

propiedad aditiva en N, esto es:

= FQ

Si a ∼R b ∧ c ∼R d ⇒ a + c ∼R b + d. Demos-

= Ic×c

tracion ´

Por tanto ( PQ)( FW ) = Ia× a y ( FW )( PQ) = Ic×c . Entonces a ∼R c. As´ı, ∼R es transitiva. Por lo

(i) ∼R es reflexiva. En efecto, a ∼R a, ya que

´ de equivalencia. tanto ∼R es una relacion

existe una matriz P = Ia×a sobre R que es invertible.

Veamos que ∼R satisface la propiedad aditiva.     P=   

1R

0

···

0



Supongamos que a ∼R b ∧ c ∼R d, veamos que

0 .. .

      

a + c ∼R b + d.

0 .. .

1R .. .

··· .. .

0

0

· · · 1R

Es decir, existe una matriz Pb invertible de b ˜ a × b sobre R y existe una matriz Q tamano

a× a

˜ c × d sobre R. invertible de tamano

(ii) Supongamos que a ∼R b, entonces existe una matriz P invertible en R tal que P es



˜ a × b. Entonces por definicion ´ de tamano

H=

Pb

O

O

b Q

 .



˜ b × a tal que existe una matriz Q de tamano

( a+c)×(b+d)

Esta matriz Hes invertible. En efecto, definamos  b W O  G= b O F

PQ = Ia× a y QP = Ib×b . Entonces Q es ˜ b × a, entonces invertible y Q es de tamano b ∼R a. Por tanto ∼R es sim´etrica.

 HG = 

(iii) Supongamos que a ∼R b ∧ b ∼R c entonces

Pb

O

O

b Q

˜ a × b, inverexiste una matriz P de tamano



˜ b × c, invertible. tible y existe Q de tamano



˜ b × a tal que Entonces existen W de tamano



˜ PW = Ia× a y WP = Ib×b y F de tamano

GH = 

c × b tal que QF = Ib×b y FQ = Ic×c . ˜ a × c, Entonces PQ es una matriz de tamano veamos que PQ es invertible.

b W

 

b W

O

O

Fb 

Ia × a

O

O

Ib×b

O



Pb





=

b PbW O



= b Fb Q

 ( a+b)×( a+b)

O





b Pb W

 = b O Fb O Q O   I O  b×b  O Ic×c

(b+c)×(b+c)

33

O

O b FbQ

 =

German Esteban G´omez Angarita / Matua Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

34

As´ı, a + c ∼R b + d. Por tanto ∼R es una con-

( a + x ) + (c + z) ∼ (b + x ) + (d + z), entonces

gruencia en N .

( a + c) + ( x + z) ∼ (b + d) + ( x + z). Entonces a+c ≡ b+d.

Observacion. ´ ´ Si R tiene NBI, las unicas matrices invertibles

´ siempre usaremos ∼ para Para evitar confusion,

son las cuadradas, entonces a ∼R b ⇔ a = b.

la congruencia en N y ≡ para la congruencia en

´ ∼R es simpleEs decir, si R tiene NBI la relacion

Z. 

mente la igualdad (=). ´ de congruencia en N, que no Sea ∼ una relacion Supongamos que ∼ es una congruencia en N.

´ de congruencia sea la igualdad, y ≡ la relacion

Entonces podemos extender ∼ a una congruen-

´ de ∼; el en Z, determinada por ampliacion

´ si existe cia ≡ en Z diciendo que a ≡ b si y solo

´ menor numero natural d tal que d + x ∼ x para

´ un numero natural x tal que a + x ∼ b + x.

´ x ∈ N se denomina el m´odulo de ≡. algun

Demostracion ´

La existencia del d se justifica por lo siguiente: ´ de congruencia en N, Dada ∼ una relacion

Veamos que ≡ es una congruencia en Z.

´ ≡ en Z extendida desde tomamos la relacion N: dados a, b ∈ Z, a ≡ b si existe x ∈ N tal que

(i) ≡ es reflexiva. En efecto,

a + x ∼ b + x.

Si a > 0, a ≡ a pu´es ∼ es reflexiva en N.

Tomemos

Si a ≤ 0, basta tomar x > − a. Entonces a +

´ [0] = {z ∈ Z | z + x ∼ x, para algun

x ∼ a + x, pu´es ∼ es reflexiva en N. Por

x ∈ N}. Supongamos que existe z ∈ [0], z ∈ Z

tanto a ≡ a.

´ y z , 0. Si z < 0 entonces z + x ∼ x, para algun

la

clase

[0]

en

Z,

esto

es,

x ∈ N. Dado que ∼ es una congruencia en N y

(ii) ≡ es sim´etrica. En efecto,

−z > 0 entonces x = z + x + (−z) ∼ x + (−z),

supongamos que a ≡ b, entonces existe x ∈

entonces x ∼ x + (−z) y por tanto −z ∈ [0].

N tal que a + x ∼ b + x, como ∼ es sim´etrica

´ Tomemos S = {m ∈ N | m + x ∼ x, para algun

en N entonces b + x ∼ a + x entonces b ≡ a.

x ∈ N} , ∅ y S ⊆ N. Por el principio de buena

(iii) ≡ es transitiva. En efecto,

´ existe d tal que d = minS. As´ı, d ordenacion,

supongamos que a ≡ b ∧ b ≡ c entonces

´ es el m´ınimo en N de los numeros y ∈ N tal

existen x, z ∈ N tal que a + x ∼ b + x y

´ x ∈ N. En particular, que y + x ∼ x para algun

b + z ∼ c + z y como ∼ es una congruencia

existe x ∈ N tal que d + x ∼ x y para todo

en N, entonces tenemos que ( a + x ) + (b +

´ x ∈ N, d ≤ y. y ∈ N con y + x ∼ x, para algun

z) ∼ (b + x ) + (c + z) entonces a + ( x + b + z) ∼ c + ( x + b + z), entonces a ≡ c. Si ≡ es una congruencia en Z, definimos para

´ de equivalencia. Por tanto ≡ es una relacion

n, m ∈ N ⊆ Z, m ≈ n ⇔ m ≡ n. Entonces ≈ es Ahora, veamos que ≡ es una congruencia en Z.

una congruencia en N, es decir restringiendo ≡

Supongamos que a ≡ b ∧ c ≡ d entonces existen

a N. Demostracion ´

x, z ∈ N tal que a + x ∼ b + x y c + z ∼ d + z, como ∼ es una congruencia en N, tenemos que

a) n ≈ n pu´es n ≡ n ; 34

German Esteban G´omez Angarita / Matua Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

b) n ≈ m ⇒ n ≡ m ⇒ m ≡ n ⇒ m ≈ n;

´ no es la igualdad. Entonces existen numeros naturales w y d tal que el conjunto de

c) Si n ≈ m ∧ m ≈ s ⇒ n ≡ m ∧ m ≡ s ⇒

clases de equivalencia bajo ∼ comprende

n ≡ s ⇒ n ≈ s;

w − 1 clases {1}, {2}, · · · , {w − 1}. Junto

d) Si n ≈ m ∧ l ≈ s ⇒ n ≡ m ∧ l ≡ s ⇒

con d clases infinitas

n + l ≡ m + s ⇒ n + l ≈ m + s.

´ de N da Rec´ıprocamente, cualquier particion ´ de congruencia en N. Demostrauna relacion

Si ≡ es la congruencia ordinaria en Z, esto es:

≡ b (mod d) si existe k ∈ Z tal que

a

= b + (k − 1)d. Restringiendo ≡ en N,

{e, e + d, e + 2d, · · · },

e = w, w + 1, · · · , w + d − 1.

Por tanto ≈ es una congruencia en N. 

a

35

cion ´ ´ de conSupongamos que ∼ es una relacion

tenemos que para a, b ∈ N, a ≡ b (mod d) si

gruencia en N que no es la igualdad, y sea d el

existe k ∈ N tal que a = b + (k − 1)d.

´ ´ de ∼ a modulo de la congruencia ≡, extension

Por tanto, para tal congruencia en N sus clases

Z.

de equivalencia son de la forma:

´ d es el menor numero ´ Dado que por definicion ´ natural congruente a 0 entonces por definicion

{e + (k − 1)d | k ∈ N} = {e, e + d, e + 2d, e +

´ existe un numero natural x tal que x ∼ x + d.

3d, · · · }, donde e = 1, · · · , d. ´ w es el menor numero ´ Por definicion natural

´ si a ≡ b En efecto, dado que a ∼ b en N si y solo

que satisface que w ∼ w + d. Para cualquier

(mod d) en N. Entonces,

e > w, por ser ∼ una congruencia tenemos que e − w ∼ e − w, tambi´en tenemos w ∼ w + d y

{ x | x ∼ e} = { x | x ≡ e (mod d)}

utilizando la propiedad aditiva tenemos que

= { x | x = e + (k − 1)d, k ∈ N}

e = w + (e − w) ∼ w + d + (e − w) = e + d.

= { e + ( k − 1) d | k ∈ N}

Si e = w entonces dado que w ∼ w + d entonces e

donde e = 1, · · · , d.

quier e

≥

∼

e + d. Por tanto para cualw (1) entonces tenemos que

e ∼ e + d. Por tanto la clase de equivalenw = min{ x ∈ N | x ∼ x + d}. La existencia de

cia de e contiene {e, e + d, e + 2d, · · · }. As´ı,

w se justifica por lo siguiente:

e ∩ {e, e + d, e + 2d, · · · } , ∅, por lo tanto son

´ Si S = { x ∈ N | x ∼ x + d} ⊆ N, por definicion

iguales.

de d, dado que d ∈ [0] entonces existe x ∈ N tal que x + d ∼ x, entonces S , ∅, por el principio

Para u

´ existe w tal que w = minS. de buena ordenacion,

equivalencia de u es un conjunto unitario.

<

w, mostremos que la clase de

Supongamos que u (la clase de equivalencia Para d y w definido anteriormente, el par (w, d)

de u), u = {u, v, · · · } y que v es el menor

es llamado el tipo de la congruencia o el tipo del

miembro de u pero que excede a w − 1. Entonces

anillo.

v > w − 1, por lo que v ≥ w, por (1) tenemos que v ∼ v + d y dado que u ∼ v y por la propiedad

´ de congruencia en N que Sea ∼ una relacion

aditiva tenemos que u + d ∼ v + d. Entonces u + d ∼ v + d y v + d ∼ v y v ∼ u entonces por 35

German Esteban G´omez Angarita / Matua Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

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transitividad tenemos que u + d ∼ u, es decir,

Por la Observacion ´ esto es equivalente a decir:

´ de w. u ∼ u + d contradiciendo la definicion

a ∼ b ∧ c ∼ d ⇔ a ∈ b¯ ∧ c ∈ d.¯ Pero a + c ∼ b + d ⇔ a + c ∈ b + d. Entonces

As´ı, las clases unitarias son {1}, {2}, · · · , {w −

lo que tenemos que probar es lo siguiente:

1}, y las clases restantes son como fue dicho.

a ∈ b¯ ∧ c ∈ d¯ ⇒ a + c ∈ b + d.

Rec´ıprocamente, veamos que cualquier parti-

Definamos b + d = b¯ + d¯ y b¯ + d¯ = { x + y | x ∈

´ de N da una relacion ´ de congruencia en N. cion

¯ y ∈ d¯}. b,

Supongamos que N =

Entonces si a ∈ b¯ ∧ c ∈ d¯ ⇒ a + c ∈ b¯ + d¯ =

[

Cx y Cx

T

Cy , ∅ ⇒

x ∈N

Cx = Cy .

´ de congruenb + d. Entonces ∼ es una relacion cia en N .

´ ∼, a ∼ b si y solo ´ si a y Definamos una relacion Observacion. ´

b pertenecen a un mismo subconjunto Cδ .

Tomamos el s´ımbolo ∞ para exceder todos los ´ numeros naturales. (i) ∼ es reflexiva. En efecto, dado que a y a pertenecen a un mismo subconjunto Cδ , a ∼ a.

Notas.

(ii) ∼ es sim´etrica. En efecto, dado que si a y b

(a) Las congruencias en N que son obtenidas

pertenecen a un mismo subconjunto Cδ (es

´ de una congruencia en Z son por restriccion

decir, a ∼ b) entonces b y a pertenecen a un

las de tipo (1, d).

mismo subconjunto Cδ (es decir, b ∼ a).

En efecto, dado que N = {1, 2, · · · }. Como

(iii) ∼ es transitiva. En efecto, si a ∼ b y b ∼ c

d ≡ 0 ⇒ d + 1 ≡ 1 ⇒ d + 1 ≈ 1, 1 es el

⇒ a y b pertenecen a un mismo subconjunto

´ menor numero natural que satisface d + 1 ≈

Cδ1 y b y c pertenecen a un mismo subcon-

1.

junto Cδ2 . Entonces Cδ1

T

(b) Es conveniente dar a la igualdad el tipo

Cδ2 , ∅ entonces Cδ1 = Cδ2 .

(∞, 0). En efecto, a + 0 = a

Entonces a y c pertenecen a un mismo sub-

∀ a ∈ N.

conjunto, es decir, a ∼ c.

(c) El cono de cualquier anillo R tiene tipo (1, 1)

´ de equivalencia. Por tanto ∼ es una relacion

ver el ejemplo del anillo sin NBI.

Ahora, veamos que a ∈ Cδ ⇒ a¯ = Cδ . En efecto, dado que a¯ = { x | x y a est´an en Cδ } ⊂ Cδ .

Observacion. ´

Sea y ∈ Cδ , es decir a ∼ y que es lo mismo que

Note que los anillos con NBI son precisamente

y ∈ a¯ , entonces Cδ ⊂ a¯ . Por tanto, a¯ = Cδ .

los de tipo (∞, 0). En efecto, Si R tiene NBI ´ ∼R es simplemente la entonces la relacion

Veamos que ∼ es una congruencia en N.

igualdad (=) y dado que la igualdad tiene tipo

(∞, 0). Entonces R tiene tipo (∞, 0). Observacion. ´ ( p ⇔ r ∧ q ⇔ s) ↔ p ∧ q ⇔ r ∧ s.

Veamos que a ∼ b ∧ c ∼ d ⇒ a + c ∼ b + d,

Sea f :

pero a ∼ b ⇔ a ∈ b¯ ∧ c ∼ d ⇔ c ∈ d.¯

llos. Si a ∼R b entonces a ∼S b. Demostracion ´ 36

R −→

S un homomorfismo de ani-

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37

´ existe una Si a ∼R b entonces por definicion ˜ a × b sobre R matriz invertible P de tamano

Sean R y S anillos y supongamos que (w, d),

´ tenemos que f ( P) es entonces por proposicion

(w0 , d0 ) son los respectivos tipos de R y S. Si

˜ a × b sobre S, una matriz invertible de tamano

R ≈ S ⇒ w = w0 y d = d0 . Demostracion ´

es decir a ∼S b.  Dado que R ≈ S entonces existe ψ : R → S tal que ψ es un homomorfismo de anillos y ψ−1 es un homomorfismo de anillos. Por proposi-

Si a ∼R b ⇒ a ∼S b, entonces decimos que ∼R es

´ tenemos que ∼R es m´as fina que ∼S pues cion

m´as fina que ∼S .

ψ : R → S es un homomorfismo de anillos y tambi´en tenemos que ∼S es m´as fina que ∼R

Sea ∼R m´as fina que ∼S . Para z ∈ [ x ]S entonces

pues ψ−1 : S → R es un homomorfismo de ani-

´ [z] R ⊆ [ x ]S . Demostracion

llos. Dado que (w, d), (w0 , d0 ) son los respectivos

Sea y ∈ [z] R entonces y ∼R z, entonces y ∼S z

tipos de R y S y ∼R es m´as fina que ∼S entonces

pu´es ∼R es m´as fina que ∼S , pero z ∼S x

´ anterior tenemos que w0 ≤ w por la proposicion

entonces y ∼S x, es decir y ∈ [ x ]S . Por tanto

y d0 | d. An´alogamente, dado que (w, d), (w0 , d0 )

[z] R ⊆ [ x ]S . 

son los respectivos tipos de R y S y ∼S es m´as ´ anterior fina que ∼R entonces por la proposicion tenemos que w ≤ w0 y d | d0 . Entonces w = w0 y

(w, d) y (u, c) son los respectivos tipos de R y

d = d0 . 

S, adem´as si ∼R es m´as fina que ∼S , entonces u ≤ w y c divide a d (c | d). Demostracion ´

(w, d) y (u, c) son los respectivos tipos de las

Veamos que u ≤ w. Razonando por el absurdo,

congruencias ∼ y ≈ en N, y si u ≤ w y c divide a

supongamos que u > w entonces u − 1 > w − 1

d, entonces ∼ es m´as fina que ≈. Demostracion ´

entonces {u − 1} , {k}, k = 1, 2, · · · , w − 1.

Dado que u ≤ w y c divide a d, entonces

Entonces por el Teorema 3.1, {u − 1} es una

´ k ∈ N y d = rc para algun ´ w = u + k para algun

∼R -clase de equivalencia infinita (absurdo).

r ∈ N. Las clases de equivalencia de ∼ son:

Entonces u ≤ w.

1∼ = {1}, · · · , w − 1∼ = {w − 1} y e∼ , donde

Veamos que c divide a d. Dado que u ≤ w,

e = w, w + 1, · · · , w + d − 1

entonces existe k ∈ N tal que u + k = w .

Las clases de equivalencia de ≈ son:

As´ı, [u + k]S = [w]S , como ∼R es m´as fina que

1≈ = {1}, · · · , u − 1≈ = {u − 1} y t≈ , donde

∼S entonces [w] R ⊆ [w]S y en consecuencia

t = u, u + 1, · · · , u + c − 1.

[w] R ⊆ [u + k]S , as´ı {w, w + d, w + 2d, · · · } ⊆

Pero w = u + k y d = rc , por tanto las clases de

{u + k, u + k + c, · · · } = {w, w + c, w + 2c, · · · }.

equivalencia de ∼ son:

Entonces o´ w + d = w + c o´ existe r ∈ N tal que

1∼ = {1}, · · · , u + k − 1∼ = {u + k − 1} y e∼ ,

w + d = w + rc.

donde e = u + k, u + k + 1, · · · , u + k + rc − 1. Las clases de equivalencia de ≈ son:

En el primer caso, d = c y c es divisor de d. En

1≈ = {1}, · · · , u − 1≈ = {u − 1} y t≈ , donde

el segundo caso, w + d = w + rc y por lo tanto

t = u, u + 1, · · · , u + c − 1.

´ r; as´ı c es divisor de d. d = rc para algun

37

German Esteban G´omez Angarita / Matua Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

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Vemos que 1∼ = 1≈ , · · · , u − 1∼ = u − 1≈ .

Entonces p = 0 en Fq (absurdo), por tanto no

{u} = u∼ ⊆ u≈ , tambi´en {u + k − 1} =

existe un homomorfismo de F p a Fq . Dado que

u + k − 1∼ ⊆ u + k − 1≈ = {u + k − 1, u + k −

F p y Fq son campos entonces tienen NBI y por

1 + c, · · · }.

´ tanto tienen tipo (∞, 0). Supongase que (∞, 0)

Veamos que las clases infinitas tambi´en satisfa-

son los respectivos tipos de las congruencias ∼

cen que e∼ ⊆ e∼ .

y ≈ en N y por lo que vimos anteriormente ∼ es

En efecto, e∼ = {e} ∪ {e + δrc | δ ∈ N} y

m´as fina que ≈. 

e≈ = {e} ∪ {e + nc | n ∈ N}. ´ Sea y ∈ e∼ , entonces y = e + δrc, para algun n z}|{ δ ∈ N. Entonces y = e + (δr ) c, es decir, y ∈ e≈ .

Ejemplo Supongamos que D = R1 × R2 , el producto directo de anillos, y R1 y R2 tienen tipo (w1 , d1 ) y

Dado que toda clase de equivalencia de ∼

(w2 , d2 ) respectivamente. Entonces D tiene tipo

est´a contenida en al menos una clase de equiva-

(min(w1 , w2 ), mcm(d1 , d2 )), donde mcm significa

lencia de ≈ se tiene que, ∼ es m´as fina que ≈. En

´ multiplo. ´ m´ınimo comun

efecto, si x ∼ y entonces x ∈ y∼ ⊆ y≈ entonces x ≈ y. 

Demostracion ´ Supongamos que hay un homomorfismo de S . Supongamos

´ de congruencia en N y ≡ Sean ∼ una relacion

que S tiene NBI, entonces R tiene NBI. Demos-

´ de ∼ a Z. una congruencia en Z por la extension

tracion ´

En D definimos ( x, y) ∼ (u, v) ⇔ x ∼ u ∧ y ∼ v

´ Supongase que (w, d) es el tipo de R, como S es

y (z1 , z2 ) ≡ (z10 , z20 ) ⇔ z1 ≡ z10 ∧ z2 ≡ z20 ,

de tipo (∞, 0) y como hay un homomorfismo de

esto es una congruencia en N. Dado que exis-

anillos esto implica que ∼R es m´as fina que ∼S

ten x ∈ N y y ∈ N tales que d1 + x ∼ x

´ tenemos que ∞ ≤ w y entonces por proposicion,

y d2 + y ∼ y. Entonces d1 + (d1 + x ) ∼ d1 +

0 es divisor de d entonces w = ∞ y d = 0, es de-

x ∧ d1 + x ∼ x

cir, el tipo de R es (∞, 0) entonces R tiene NBI. 

´ se prueba que mente 2d2 + y ∼ y, por induccion

anillos de R a S, f :

R −→

⇒ 2d1 + x ∼ x, an´aloga-

∀k ∈ N, kd1 + x ∼ x ∧ kd2 + y ∼ y. Si d ∈ N Observacion. ´

y cumple d + x ∼ x ∧ d + y ∼ y y d es el

´ para que exista un homomorfismo No hay razon

m´ınimo que satisface las dos condiciones ante-

de un anillo R a un anillo S cuando ∼R es m´as

riores, entonces d = k1 d1 y d = k2 d2 , para algu-

fina que ∼S . Por ejemplo, no existe homomorfis-

´ ´ de nos k1 , k2 ∈ N, es decir d es multiplo comun

mo entre los campos finitos F p y Fq , p , q.

d1 y d2 ; luego d = mcm(d1 , d2 ). Ahora como w1

f :

F p −→

es el m´ınimo que satisface w1 + d1 ∼ w1 y w2

Fq , f es un homomorfismo,

f (0) = 0 y f (1) = 1.

es el m´ınimo que satisface w2 + d2 ∼ w2 . Bus-

Supongamos que p < q, la clase q − p pertenece

camos el m´ınimo w tal que w + d ∼ w, sabien-

a Fq pu´es 0 < q − p < q.

do que w1 + d1 ∼ w1 y w2 + d2 ∼ w2 , entonces

f ( p) = f (0) = 0.

w1 + d ∼ w1 y w2 + d ∼ w2 .

p−veces

z}|{ f ( p ) = f (1 + · · · +1) p−veces

z}|{ = f (1) + · · · + f (1), f es un homomor f ismo

= p f (1) = p1 =p

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German Esteban G´omez Angarita / Matua Revista Del Programa De Matem´aticas (2014) 25–39

Si w = w1 ⇒ w1 + d ∼ w1 ⇒ w + d ∼ w.

39

[4] P. M. Cohn, Some remarks on the invariant basis property, Topology 5 (1966), 215-228.

Si w = w2 ⇒ w2 + d ∼ w2 ⇒ w + d ∼ w.

[5] P. M. Cohn, Algebra II, Wiley & Sons, Chichester, 1977.

En consecuencia, si tomamos w = min(w1 , w2 ),

[6] P. M. Cohn, Universal Algebra, Reidel, Dordrecht, 1981.

se satisface w + d ∼ w.

[7] P. M. Cohn, Algebra I, Wiley & Sons, Chichester, 1982. [8] K. Goodearl, P. Menal, and J. Moncasi, Free and resi-

5.

dually artinian regular rings, J. Algebra 156 (1993), 407-

Conclusiones

432.

Existen matrices rectangulares invertibles

[9] J. M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, London Math. Soc. Monograph 7, Academic Press, London,

en el sentido definido anteriormente.

1976.

A diferencia de espacios vectoriales de di-

[10] W. van der Kallen, Injective stability for K2 , Lecture No-

´ finita, en donde cualesquier par de mension

tes in Math. 551, Springer, Berlin, 1976, pp.77-154. [11] W. G. Leavitt, Modules without invariant basis number,

bases en un mismo espacio vectorial, tienen

Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 322-328.

´ ´ el mismo numero de elementos(Dimension

[12] W. G. Leavitt, The module type of a ring, Trans. Amer.

´ del espacio vectorial), en R-modulos puede

Math. Soc. 103 (1962), 113-130. [13] W. G. Leavitt, The module type of a homomorphic ima-

suceder que existan bases para el mismo R-

ge, Duke Math. J. 32 (1965), 305-311.

´ ´ modulo con distinto numero de elementos,

[14] L. N. Vaserstein , Stable ranks of rings and dimensio-

´ de NBI. a menos que tenga la condicion

nality of topological spaces, Funct. Anal. And Appl. 5 (1971), 102-110. [15] Lous H. Rowen, Ring Theory, Volume I, 1.3 p. 61.

Referencias [1] A. J. Berrick and M. E. Keating, Rectangular Invertible Matrices.

´ Para citar este art´ıculo: German Gomez et al . 2014,

[2] M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, Introduction to Com-

“Matrices

Rectangulares

Invertibles”.

Disponible

en

Re-

vistas y Publicaciones de la Universidad del Atl´antico en

mutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1969.

http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA.

[3] G. M. Bergman, Coproducts and some universal ring constructions, Trans. Amer. Math. Soc. 200 (1977), 33-88.

39