Divulgaci´ on

Matriz inversa generalizada y descomposici´on del valor singular Fernando Velasco Luna∗ y Jes´ us Hern´andez Su´arez∗∗

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Laboratorio de Investigaci´ on y Asesor´ıa Estad´ıstica, Facultad de Estad´ıstica e Inform´atica, Universidad Veracruzana, ´ Av. Xalapa esq. Av. Avila Camacho s/n, Xalapa, Veracruz.

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∗ [email protected]

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∗∗ [email protected]

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recibido: abril de 2005 aceptado: septiembre de 2005

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resumen

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Contenido

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P

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En la teor´ıa estad´ıstica son de gran utilidad las diversas descomposiciones que tiene una matriz, por ejemplo la descomposici´on QR, la descomposi´on de Schur. La descomposici´on de una matriz en valores singulares tiene m´ ultiples aplicaciones en la teor´ıa estad´ıstica, as´ı como la matriz inversa generalizada. En la secci´on 2 de este trabajo se presenta la definici´on de la matriz

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´n 1. Introduccio

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La descomposici´on de una matriz en valores singulares tiene m´ ultiples aplicaciones en la teor´ıa estad´ıstica, as´ı como la matriz inversa generalizada. En este trabajo se presenta la definici´on de la matriz inversa generalizada. La teor´ıa de la descomposici´on del valor singular de una matriz. Finalmente se presenta una caracterizaci´on de la matriz inversa generalizada en t´erminos de la descomposici´on del valor singular.

´ ´ F. VELASCO LUNA Y J. HERNANDEZ SUAREZ

inversa generalizada y su principal objetivo. La teor´ıa de la descomposici´on del valor singular de una matriz se presenta en la secci´on 3. Finalmente se presenta una caracterizaci´on de la matriz inversa generalizada de una matriz A en t´erminos de la descomposici´on del valor singular de tal matriz. 2. G-inversa de una matriz

Consideremos la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales consistente

donde A es una matriz m × n de rango r ≤ m´ın(m, n). Si las dimensiones de la matriz coinciden, as´ı como su rango, es decir, si m = n = r, entonces existe una u ´nica soluci´on del sistema Ax = y, la cual est´a dada por x = −1 A y, donde A−1 es la matriz inversa de A. Sin embargo, cuando A es rectangular o cuadrada singular, una representaci´ on simple de una soluci´on del sistema Ax = y en t´erminos de A es m´as complicada. Brevemente hablando, una matriz inversa generalizada de A es una matriz A∗ tal que A∗ y es una soluci´on del sistema Ax = y para cualquier y que hace al sistema consistente. Definici´ on 1.1. Sea A una matriz de orden m × n de rango r ≤ m´ın(m, n). La matriz A− es llamada una matriz inversa generalizada (g-inversa) de la matriz A si se cumple la siguiente condici´on

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Ax = y,

Teorema 1.1. Sea A cualquier matriz, siempre existe una matriz A− la cual es una g-inversa de A. Demostraci´ on: Sea A una matriz m × n de rango r ≤ m´ın(m, n); as´ı, tenemos la existencia de dos matrices invertibles T y S tales que Ã

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0

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!

= TAS.

(2.1)

Definamos por

Ã

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Ir

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P

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AA− A = A

R=

Ir

0

0

0

!

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Contenido

MATRIZ INVERSA GENERALIZADA

y por

Ã

R− =

Ir

D1

D2

D3

!

,

donde D1 , D2 y D3 son matrices cualesquiera de orden adecuado. Se tiene que la matriz R− es una matriz g-inversa de la matriz R. Ahora por (2.1) se tiene que R = TAS y por ser las matrices T y S invertibles tenemos que A = T−1 RS−1 . Definiendo A− = SR− T, se tiene que la matriz A− es una matriz g-inversa de la matriz A, como se puede ver: AA− A = T−1 RS−1 SR− TT−1 RS−1 = T−1 RR− RS−1 = T−1 RS−1 = A.

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En la teor´ıa general de matrices g-inversas, el objetivo principal es encontrar expresiones para las soluciones de sistemas de ecuaciones consistentes. El siguiente resultado nos da la relaci´on existente entre la soluci´on de sistemas de ecuaciones consistentes del tipo Ax = y y las matrices g-inversas de la matriz A.

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Lema 1.1. La matriz A− es una g-inversa de la matriz A, si y s´ olo si − A y es una soluci´ on del sistema Ax = y para cualquier y la cual hace al sistema consistente.

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Demostraci´ on: Sup´ongase que A− es una matriz g-inversa de la matriz A. Por hip´otesis, el sistema Ax = y es un sistema consistente; as´ı, existe x tal que Ax = y. Ahora tenemos

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A(A− y) = AA− (y) = AA− (Ax) = AA− A(x) = Ax = y;

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Contenido

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P

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Observaci´ on 1.1. La matriz A− es una g-inversa de la matriz A, si y s´olo − si yA es una soluci´on del sistema xA = y para cualquier y, la cual hace al sistema consistente. Por el lema anterior, una forma de encontrar expresiones para las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales consistentes, Ax = y, es encontrando una matriz g-inversa de la matriz A.

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AA− A = A.

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as´ı, A− y es una soluci´on del sistema consistente Ax = y. Denotando por ai al i-´esimo vector columna de la matriz A, se tiene que el sistema Ax = ai es un sistema consistente; as´ı, por hip´otesis, se tiene que A− ai es una soluci´on de Ax = ai , es decir, AA− ai = ai , lo anterior se cumple para todos los vectores columna de la matriz A; as´ı, tenemos

´ ´ F. VELASCO LUNA Y J. HERNANDEZ SUAREZ

´ n del valor singular 3. Descomposicio

Definici´ on 2.1. Sea B una matriz de orden m × m. Un valor propio de la matriz B es un escalar d, para el que existe un vector x distinto de cero tal que Bx = dx. Sea d un valor propio de la matriz B. Un vector propio de la matriz B es un vector x distinto de cero tal que Bx = dx, y ´este se denomina vector propio asociado al valor propio d. Sea A una matriz de orden m × n. Se tiene que la matriz AAt es de orden m × m y la matriz At A es de orden n × n. Teorema 2.1. (Descomposici´ on en valores singulares.) Sea A una matriz real de orden m × n.

A = UDVt . as agreb) Los n´ umeros σi2 conforman los valores propios de AAt (quiz´ g´ andole algunos ceros), y los vectores propios asociados son las columnas vi de V; igualmente, las σi2 conforman los valores propios de At A (quiz´ as agreg´ andole algunos ceros), y los vectores propios asociados son las columnas ui de U. Las σi se llaman los valores singulares de A, los vectores ui se llaman los vectores singulares izquierdos de A y los vectores vi se denominan los vectores singulares derechos de A que se relacionan por Avi = σ1 ui , para 1 ≤ i ≤ s. Demostraci´ on: V´ease Noble y Daniel (1989, p. 378). Denotando por Sc (A) al subespacio generado por los vectores columna de la matriz A:

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Teorema 2.2. (Rango y valores singulares.) Sea A una matriz de orden m × n, entonces a) El rango de A es igual al n´ umero de valores singulares de A distintos de cero; b) Los primeros k vectores singulares izquierdos u1 , u2 , . . . , uk forman una base ortonormal para el espacio columna Sc (A).

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a) Existen una matriz ortogonal U de orden m × m, una matriz ortogonal V de orden n × n y una matriz diagonal D = diag(σ1 , σ2 , . . . , σs ), con σi ≥ 0, siendo σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σs , donde s = m´ın{m, n}, tal que es valida la descomposici´ on en valores singulares, i.e.,

Demostraci´ on: V´ease Noble y Daniel (1989, p. 380). 10

Contenido

MATRIZ INVERSA GENERALIZADA

De los teoremas 2.1 y 2.2 se tiene el siguiente resultado: Sea A una matriz de orden m × n de rango r ≤ m´ın(m, n) y sean d1 , d2 , . . . , dr las ra´ıces cuadradas positivas de los valores propios distintos de cero de la matriz At A. Adem´as, sean C = [C1 , C2 ] y V = [V1 , V2 ] las matrices m × m y n × n conteniendo los vectores propios de AAt y de At A, respectivamente. Las submatrices C1 y V1 corresponden a los valores propios distintos de cero d21 , d22 , . . . , d2r y son de orden m × r y n × r, respectivamente. Entonces la descomposici´on del valor singular de la matriz A es igual a A = C1 DVt1 , (3.1) con D = diag(d1 , d2 , . . . , dr ). ´n 4. Representacio

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M22

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M21

#

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M12

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M=

M11

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"

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Las matrices C y V de la descomposici´on en valores singulares de la matriz A tienen la propiedad de que Ct C = CCt = Im y VV = VV = In . Sea M una matriz de orden n × m la cual es particionada como

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con M11 de orden r × r, M12 de orden r × (m − r), M21 de orden (n − r) × r y M22 de orden (n − r) × (m − r). A partir de la matriz M, y tomando las matrices V y C, se puede formar la matriz producto VMCt . Definiendo

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#

,

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Ct2

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= [V1 , V2 ]M

Ct1

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A−

Ct2

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;

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M22

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P

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(4.1)

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A− = V1 M11 Ct1 + V1 M12 Ct2 + V2 M21 Ct1 + V2 M22 Ct2 .

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desarrollando el producto de matrices se obtiene

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M21

#"

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M12

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A− = [V1 , V2 ]

M11

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"

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se tiene

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V2t V2 = In−r ,

Ct1 C1 = Ir ,

Contenido

Ct2 C2 = Im−r

0

V1t V1 = Ir ,

1

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3

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Las submatrices C1 , C2 , V1 y V2 cumplen

´ ´ F. VELASCO LUNA Y J. HERNANDEZ SUAREZ

y

V1t V2 = 0rx(n−r) ,

Ct1 C2 = 0rx(m−r) .

Por definici´on A− es una inversa generalizada de A si se cumple AA− A = A. Desarrollando el producto AA− , se tiene, de (3.1) y (4.1), que AA− = (C1 DVt1 )(V1 M11 Ct1 + V1 M12 Ct2 + V2 M21 Ct1 + V2 M22 Ct2 ) = C1 DVt1 V1 M11 Ct1 + C1 DVt1 V1 M12 Ct2 + C1 DVt1 V2 M21 Ct1 + C1 DVt1 V2 M22 Ct2 = C1 DIr M11 Ct1 + C1 DIr M12 Ct2 + C1 D0M21 Ct1 + C1 D0M22 Ct2 = C1 DM11 Ct1 + C1 DM12 Ct2 ;

AA− A = (C1 DM11 Ct1 + C1 DM12 Ct2 )(C1 DVt1 ) = C1 DM11 Ct1 C1 DVt1 + C1 DM12 Ct2 C1 DVt1 = C1 DM11 Ir DVt1 + C1 DM12 0DVt1 = C1 DM11 DVt1 ; as´ı, AA− A = C1 DM11 DVt1 , de donde se tiene que para que A− sea una inversa generalizada de la matriz A es necesario y suficiente que M11 = D−1 . La caracterizaci´on de una inversa generalizada de la matriz en t´erminos de la descomposici´on en valores singulares de la matrix A, A = C1 DVt1 esta dada por:

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donde las matrices M12 , M21 y M22 son arbitrarias, con la u ´nica restricci´on en el orden de ´estas con M12 de orden r × (m − r), M21 de orden (n − r) × r y M22 de orden (n − r) × (m − r).

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A− = V1 D−1 Ct1 + V1 M12 Ct2 + V2 M21 Ct1 + V2 M22 Ct2 ,

5. Referencias

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as´ı, se tiene AA− = C1 DM11 Ct1 + C1 DM12 Ct2 . Ahora el producto AA− A toma la forma

´ [1] Noble, Ben, y James W. Daniel, Algebra lineal aplicada, Prentice Hall Hispanoamericana, 1989. [2] Halmos, P.R., Finite-Dimensional Vector Spaces, segunda edici´on, Van Nostrand, Princeton, Nueva Jersey, 1958. 12

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MATRIZ INVERSA GENERALIZADA

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´ [3] Hoffman, K., y K. Kunze, Algebra lineal, Prentice Hall Hispanoamericana, 1973. [4] Rao, O.R., y S.K. Mitra, Generalized Inverse of Matrices and its Applications, John Wiley, Nueva York, 1971.

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