Mecánica de sólidos Sesión 23

Flujo viscoso, medición de la viscosidad

Reología de la corteza REOLOGIA: Estudio  de  la  conducta  mecanica  (flujo)  de  los  materiales.  Elastico, Plastico, Viscoso y sus combinaciones

Quebradiza o plástico

Conducta ductil o flujo viscoso

Elasticidad, viscosidad, conducta de  sólidos y fluidos, y plasticidad z z z

Liquido → viscosidad Sólido → elasticidad Aplicando un esfuerzo constante y pequeño: – –

z

Aplicando un esfuerzo constante y pequeño que varia con el tiempo: – –

z

Si el material resiste la deformación, es un sólido; Si fluye, es un fluido. Si la deformación es proporcional a la fuerza el material es elástico; Si la derivada en tiempo de la deformación (tasa de deformación) es  proporcional al esfuerzo el material es viscoso (newtoniano)

La plasticidad aparece con esfuerzos mas grandes: – –

Un material que se comporta como sólido a esfuerzos pequeños puede  llegar a fluir En este caso la plasticidad esta caracterizada por un esfuerzo de  cedencia, mas allá del cual el material fluye

Flujo dúctil a partir de experimentos en minerales

En términos de los esfuerzos principales

La reología de estos fluidos esta caracterizada por una ley de potencias Si n=1 es un fluido newtoniano Un fluido no newtoniano con n=3 se utiliza para representar el manto

La viscosidad disminuye exponencialmente con la  temperatura y se incrementa exponencialmente con la  presion!!

Reología: comportamiento dúctil Comportamiento ductil: la roca se deforma continuamente sin perder Æ

la cohesion a lo largo de fracturas o fallas. La resistencia de las rocas es dependiente de la velocidad de deformacion pero independiente de la presion.

Newtonian: ε& =σ/η Non-Newtonian: ε& = A (σ)n

Caracteristica de: z Cobertura (e.g., evaporitas, arcilla) y rocas metamorficas z Corteza inferior continental z Manto litosférico inferior

Viscosidad z z z z z z z z z

Resistencia que ofrece un fluido a deformarse. Puede ser pensada como una especie de fricción fluida Viscosidad es el coeficiente de viscosidad que determina la dinámica de fluidos newtonianos incompresibles; Viscosidad cinemática es la viscosidad dinámica dividida ente la densidad de un fluido Newtoniano; Viscosidad de volumen es el coeficiente de viscosidad que determina la dinámica de fluidos newtonianos compresibles; Viscosidad neta o Bulk viscosity es la viscosidad de volumen Viscosidad de cizalla es la viscosidad cuando se aplica una esfuerzo de cizalla en un fluido no newtoniano; Viscosidad extensional es la viscosidad cuando se aplica un esfuerzo extensivo en un fluido no newtoniano. Viscosidad efectiva es la viscosidad a una tasa de deformación dada

Para un flujo paralelo, recto y uniforme, el esfuerzo de cizalla, τ, entre  capas es proporcional al gradiente de velocidad, ∂u/∂y, en la dirección  perpendicular a las capas de fluido  z

z z z

z

Viscosidad es la relación entre la fuerza ejercida sobre la superficie de un fluido en dirección horizontal con el cambio en la velocidad (gradiente). A temperatura ambiente Agua tiene una viscosidad del orden de 1.0 x 10-3 Pa·s Aceite de motor tiene una viscosidad aparente de 250 x 10-3 Pa·s Valores de viscosidad típicos de materiales terrestres (manto) 10-17 a 10-22 Pa·s

velocidad Placa móvil Esfuerzo de cizalla τ Gradiente, δu/δy Fluido Placa de frontera fija

Medidas de la viscosidad

z z

z

eta (η), viscosidad; mu (μ) viscosidad dinámica.  Unidad SI pascal‐segundo (Pa∙s), es 1 kg∙m−1∙s−1.  – Un fluido de 1 Pa∙s colocado entre dos placas y una de estas es empujada  con un esfuerzo de cizalla de un pascal se moverá una distancia igual al  espesor del fluido en un segundo. Unidad cgs poise (P), → Jean Louis Marie Poiseuille.  – – –

Se utiliza el centipoise por que el agua tiene una viscosidad de 1.0020 cP (at 20  °C). 1 P = 1 g∙cm−1∙s−1 Relación entre poise y pascal‐segundo: z z

10 P = 1 kg∙m−1∙s−1 = 1 Pa∙s 1 cP = 0.001 Pa∙s = 1 mPa∙s

Viscosidad cinemática, ν, relación entre las  fuerzas viscosas y fuerzas de inercia  caracterizadas por la densidad del fluido ρ.

. donde μ viscosidad dinámica y  ρ densidad. La viscosidad cinemática (símbolo: ν) tiene unidades SI (m2∙s−1).  La unidad cgs es el stokes (S or St).  1 stokes = 100 centistokes = 1 cm2∙s−1 = 0.0001 m2∙s−1. 1 centistokes = 1 mm2/s

Viscosidad dinámica contra viscosidad cinemática La conversión entre estas esta dada por  νρ = η.  Notar que los parámetros deben estar dados en unidades SI. Por ejemplo, si  ν = 1 St (=0.0001 m2∙s‐1) y ρ = 1000 kg m‐3 entonces η = νρ = 0.1 kg∙m−1∙s−1 = 0.1 Pa∙s.

Fluidos newtonianos z

Es un fluido cuya curva de flujo pasa por el origen y su constante de proporcionalidad es la viscosidad. En otras palabras, el material continua fluyendo independiente de las fuerzas que actúan sobre el. τ es el esfuerzo de cizalla ejercido por el fluido [Pa] μ es la viscosidad [Pa·s] Es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección de cizalla [s−1]

z

La viscosidad depende solo de la presión y temperatura

Fluidos newtonianos Si el fluido es incompresible y la viscosidad constante a través del fluido, la ecuación para el  esfuerzo de cizalla en un sistema cartesiano es 

Con un tensor de esfuerzos          =

τij is the shear stress on the ith face of a fluid element in the jth direction ui is the velocity in the ith direction xj is the jth direction coordinate

El tensor de esfuerzos viscosos lineal z z

Las fuerzas viscosas de un fluido son funcion de la tasa a la cual la  velocidad del fluido cambia sobre la distancia. La velocidad es especificada por el vector de velocidad y la velocidad a una distancia pequeña puede ser escrita como una serie de Taylor

Donde es una simplificacion del producto entre el operador del y la  velocidad, el Jacobiano del campo de velocidad z Las fuerzas viscosas son el resultado del desplazamiento relativo entre los elementos del fluido y por lo tanto se pueden expresar como una funcion del campo de velocidad.  z En otras palabras, las fuerzas son funcion de las derivadas en ese punto, en el caso de viscosidad lineal, las fuerzas viscosas seran funcion del tensor Jacobiano z Esto es valido para muchos de los casos reales

z

Si representamos x, y, z por índices 1, 2, y 3, el componente  i,j puede quedar  escrito como

z

Donde      es una simplificación  para  –

Notar que cuando los términos derivativos son cero,  la velocidad de todos los elementos del fluido es  paralela y no hay fuerzas de inercia

z

El campo de velocidad puede ser aproximado por:

z

índices repetidos en un producto son sumados implícitamente. El segundo  termino es la parte asimétrica del termino derivativo y representa la  rotación rígida del fluido alrededor de     con una velocidad angular ω donde:

z

Para tal rotación rígida no hay cambio en las posiciones relativas de los  elementos del flujo, así que no hay fuerzas viscosas asociadas con este  termino. 

z z

z z

z

El termino simétrico restante es responsable de las fuerzas  viscosas del fluido. Para un fluido isotrópico, la forma mas general en la que el  termino simétrico (tensor de tasa de deformación) puede ser  expresado en una forma independiente de las coordenadas es  como la suma de una tensor constante (la tasa de expansión) y  un tensor simétrico (la tasa de cizalla):

Donde δij es el tensor unitario.  Entonces la relación lineal mas general entre los esfuerzos y la  tasa de deformación es una combinación lineal de estos dos  tensores:

donde ζ es el coeficiente de viscosidad neta (bulk) y η es el  coeficiente de viscosidad de cizalla.

z

Las fuerzas en el fluido son debidas a las velocidades de las  moléculas individuales. La velocidad de una molécula puede ser pensada como la  suma de la velocidad del fluido y la velocidad térmica. El tensor de esfuerzo viscoso arroja la fuerza solo de la  velocidad del fluido. La fuerza sobre un área de elemento en  el fluido es la presión hidrostática. Ester termino de presión (  − pδij) debe añadirse al tensor de esfuerzo viscoso para  obtener el esfuerzo toal en el fluido:

z

La fuerza infinitesimal dFi sobre un área dAi es:

z z

Fluidos no newtonianos z

Son fluidos en los  cuales la viscosidad cambia con respecto al esfuerzo y la tasa de  deformacion aplicados. Como  resultado pueden no  tener una viscosidad bien definida. Fluidos no newtonianos http://video.google.com/videoplay?docid=9179973177789877596

Fluidos newtonianos y  no‐newtonianos

Materiales analogos para deformacion ductil Newtoniano

2500

1500 1000

No-Newtoniano potencias

500 0 0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

strain rate

Silicon SGM36 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

strain rate

Silicon- arena de cuarzo 100:55

Silicon-arena corindon 100:30

9000 8000 7000

Graficas esfuerzo – deformacion para diferentes materiales

shear stress

0

shear stress

shear stress

2000

6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0

0.05

0.1

0.15

strain rate

0.2

0.25

El numero de Reynolds Reynolds number (Re):

Re = Inertial forces / Viscous forces = m a / {[η (V/L)]/L2} = ρ V2 L2 / {[η (V/L)]/L2} = ρ V2 L2 / (η V L) Re = ρ L V/ η

z z z z z

V – velocidad media de flujo, [m s-1] L - Longitud, [m] μ - (absolute) dynamic fluid viscosity, [N s m-2] or [Pa s] ν - kinematic fluid viscosity: ν = μ / ρ, [m² s-1] ρ - fluid density, [kg m-3].

Materiales Análogos: deformación dúctil

Viscometro conicilindrico del LAMMG

Permite obtener la curvas de esfuerzo vs tasa de deformacion de diferentes materiales

Materiales analogos para la deformacion ductil

Silicones Mezclas de silicon y otros materiales (e.g., arena, barita) Æ estas mezclas se utilizan para aumentar la densidad y la resistencia del material ductil

Asthenosphere: glycerol (+gypsum), honey Magma: glycerol; low viscosity silicone (silicone+oleic acid)

To measure the rheological properties, viscometers are normally used

Materiales analogos: deformacion ductil