Medida de Propiedades Acústicas en Sistemas Mecánicos Mediante Equipos de Bajo Coste Autor: G. Herrera Tutor: V. Etxebarria

Abstract Describiremos un sistema para medir y representar gráficamente la respuesta en frecuencia de sistemas mecánicos en el rango de la banda de audio. La perturbación se provoca con un martillo piezoeléctrico y la respuesta se captura mediante un micrófono. Las señales se adquieren mediante la tarjeta de sonido de un PC ordinario y se procesan mediante un programa desarrollado en el lenguaje Matlab. Mostraremos también la aplicación de dicho sistema en la realización de curvas características de emisión sonora de diferentes elementos mecánicos, incluyendo barras de xilófono, una lámina metálica (parte de un brazo de robot flexible), o instrumentos musicales completos, como un violín y una viola.

Introducción Es bien conocido por científicos y luthiers la importancia que tiene la caracterización de la respuesta en frecuencia de materiales acústicos, tanto instrumentos musicales completos como partes de ellos. Las propiedades vibracionales de sistemas mecánicos son ampliamente descritos por la posición y características de las resonancias que se observan en los gráficos de respuesta en frecuencia. Sus propiedades son importantes en numerosos campos, incluidos la ciencia de materiales [1], la acústica [2] y en particular acústica musical [3], e incluso la robótica [4]. Sin embargo pocos luthiers hacen uso de estos principios de física experimental, entre otras razones, por el alto coste y la dificultad de uso. Aquí explicaremos un método de caracterización de esas propiedades, sencillo de usar y de coste reducido, pero funcionalmente equivalente al que disponen laboratorios y luthiers profesionales [5]. El trabajo que presentamos aquí puede considerarse la continuación y mejora de otro dispositivo experimental de bajo coste [6] desarrollado en el Dpto. de Electricidad y Electrónica de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU), con el que se midieron y analizaron algunas de las muestras que también mediremos nosotros aquí. Comenzaremos por describir en qué consiste el método. Seguidamente irán los componentes de equipo y su interconexión para configurar el sistema de medida, comparando el precio del conjunto con otros de la bibliografía. Después hablaremos de la forma de uso y el procesamiento que se da a las señales obtenidas antes de mostrar los resultados de forma gráfica. También se incluirá en este apartado una consideración sobre la validez de los resultados obtenidos. En los dos siguientes apartados veremos la aplicación de dicho sistema de medida en la caracterización de diversos sistemas mecánicos. En el primero, partes de instrumento y objetos de forma alargada: barra de xilófono afinada a Sol, prisma de palisandro y lámina metálica para brazo de robot flexible. Y en el segundo, instrumentos musicales completos: un violín y una viola. En estos apartados se concretará la técnica usada para cada tipo de caso. En el apartado siguiente, se hablará de unas mejoras adicionales que se han incluido en el programa con el fin de facilitar el manejo a un usuario sin experiencia con Matlab y directamente orientado a la posible utilización de un luthier.

Descripción del sistema de medida El método se basa en la perturbación de un sistema mecánico con una señal impulso provocada por el golpe de un martillo piezoeléctrico, la recogida del sonido emitido por un micrófono y el procesamiento de la señal por un ordenador con tarjeta de sonido. Esos son los componentes fundamentales aunque además usamos acondicionadores de señal para el martillo y el micrófono; los iremos describiendo uno a uno junto con su precio aproximado: •

El martillo piezoeléctrico (IMPACT HAMMER modelo 086D80, de la casa PCB Piezotronics, 600€, figura 1) puede usarse manualmente aunque es recomendable la utilización de algún dispositivo estanco (como un péndulo) para facilitar la uniformidad de los golpes. Va acoplado a un acondicionador de señal que alimentamos con baterías para evitar Figura 1:Martillo piezoeléctrico posibles interferencias. De entre las posibles configuraciones nos decantamos por un mango ligero y la cabeza de acero (en lugar de cubierta por una funda de goma), con la que obtuvimos un espectro plano en frecuencia hasta los 20kHz.

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El micrófono omnidireccional de condensador AT899C de la casa AudioTechnica, Stow, OH (EEUU) (200€) se escogió por su respuesta plana incluso a bajas frecuencias. Es estéreo pero sólo usamos un canal. Va conectado a un acondicionador de señal microfónica a línea de audio. Hemos usado en distintas mediciones -a fin de comparar- dos acondicionadores. Uno comercial SP-SPSB6 de la casa 'The Sound Profesionals', Hainesport, NJ (EEUU), (49€) y otro de manufactura propia (8€) siguiendo el Figura 2: Acondicionador de micrófono a linea de audio; circuito de la figura 2. El propio mantiene la información sustancial aunque la señal es de R=2.2KΩ; C=10µF; V=9Voltios; peor calidad que la del comercial. Es posible que el acondicionador no fuera necesario si se usara una entrada de micrófono en el ordenador.

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Entre el cableado que conecta los acondicionadores de martillo y micrófono con la entrada de línea de audio del ordenador, se encuentra un sencillo dispositivo que coge ambas señales y las junta (sin mezclar) en los canales izquierdo y derecho de una línea de audio estéreo que finalmente se introduce en el PC. Esto sólo es necesario porque el conector del martillo es distinto al de la entrada de la tarjeta de sonido aunque además nos permite aprovechar los dos canales de la entrada de audio.

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Programa comercial Matlab 7.0 de la casa 'The Mathworks', Natick, MA (EEUU), con el toolbox adicional de adquisición de datos1 [7] que usamos para procesar las señales y la obtención de gráficas significativas. Incluyendo el toolbox, una licencia individual ronda los 1.000€, pero son obtenibles versiones de estudiante a precios mucho más bajos.

1 'Data Acquisition Toolbox'.

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Un PC ordinario con entrada de línea de audio. No hace falta que el ordenador cumpla más especificaciones de las que requiera le versión de Matlab. La entrada de línea de audio la obtuvimos por medio de de una tarjeta de sonido WAVE FORCETM 192XG de Yamaha de calidad CD que nos da una frecuencia de muestreo de 44100 Hz aunque presumiblemente valga cualquier tipo de dispositivo de audio, incluidos los incorporados en algunas placas-base. En este campo el mercado es muy amplio y depende de las necesidades o preferencias, siendo posible su uso para otras aplicaciones. Un posible precio de un equipo de primera mano puede ser 700€.

En conjunto el equipo completo cuesta unos 2.500€ mientras que sistemas de medida, que típicamente se usan para realizar medidas acústicas en frecuencia, incluyen instrumental caro como analizadores de espectro, cuyo precio suele estar comprendido entre 20.000€ y 25.000€ [8]. Tenemos el esquema de montaje completo en la figura 3. La disposición de martillo y micrófono utilizada de forma particular en las mediciones se describirá en los apartados dedicados a la aplicación del sistema. Figura 3: Esquema de montaje del sistema completo; A: PC; B,D: acondicionadores; C: martillo;E: micrófono; F: baterías; G: objeto de estudio.

Descripción de la forma de utilización y procesamiento de las señales

En este apartado describiremos las características que debe poseer la excitación del sistema realizada con el martillo piezoeléctrico, y el tratamiento que da el programa a las señales obtenidas antes de obtener las gráficas. También comentaremos la validez de estas. Es de importancia que el martillo dé un golpe seco y con la fuerza apropiada. Si la superficie es muy dura, un golpe medianamente fuerte provoca que el espectro frecuencial del martillazo no sea plano y parezca un diagrama de interferencias (“rebotes”). Mientras que si el golpe es demasiado suave, la perturbación abarcará menos frecuencias y la intensidad del sonido resultante también será menor; lo que hace al sistema más sensible al ruido ambiental y al electrónico, favoreciendo la aparición de picos de resonancia no vinculados al objeto medido. La disposición del martillo, del micrófono y del objeto de estudio, dependerá del interés del análisis. Explicaremos más tarde las configuraciones que utilizaremos en nuestras mediciones. El micrófono es omnidireccional con lo que captará el ruido ambiente, pero no hemos necesitado ningún tipo de aislamiento acústico y en las medidas parece superior el error instrumental. Tras iniciar la aplicación de muestreo en el PC, disponemos de unos segundos (ajustable) para usar el martillo. En el programa nos quedaremos con un entorno de unos 0.4s de radio torno al instante de impacto. Son 215 muestras por canal a 44100 muestras por segundo y el punto de impacto lo consideramos el de valor máximo en la señal del martillo. Aplicamos a esto una ventana de Hanning y realizamos una transformada rápida de Fourier, la cual de por sí nos limita el rango de frecuencias practicables [1-22050]Hz. El resultado de estas operaciones son los espectros en frecuencia de ambos canales. Si dividimos para cada frecuencia ambas magnitudes y las representamos en escala logarítmica obtenemos la susodicha curva de respuesta acústica. No obstante, esta gráfica presenta mucha dispersión en cada punto, debido a errores instrumentales. Tras el promedio de varias mediciones (bastan unas diez para que la figura se acerque a la definitiva y diez serán las usadas en los ejemplos de aplicación presentados) aún no se tiene una gráfica

limpia, por lo que utilizamos una función de suavizado; Esta función sustituye el valor en cada frecuencia con el promedio en un intervalo que la contiene. La anchura de ese intervalo es dependiente de la frecuencia para tomar menos puntos a frecuencias bajas donde la densidad relativa de puntos es menor. De hecho, crece de forma lineal; de manera que la anchura del intervalo es independiente de la frecuencia en una representación logarítmica y la frecuencia objeto está centrada en él. Al hacer la media no se ha tenido en cuenta ningún peso estadístico, por lo que estos intervalos no deben ser demasiado grandes. Las curvas obtenidas están en unidades de presión sonora (SPL) por Newton salvo por un factor dependiente de la sensibilidad. En las diversas mediciones observamos que se mantienen ciertos picos reincidentes a determinadas frecuencias, independientes del objeto a medir. Estos picos tienen amplitud constante y no forman parte de las características del objeto; deben conocerse para descartarlos a la hora de interpretar las gráficas. Estos picos recalcitrantes se deben a interferencias (como el de 50Hz) y a resonancias en el sistema de medida mismo. Debe recordarse aquí que una tarjeta de sonido de bajo coste no está tan pensada para recibir sonido como para emitirlo (esto es: su componente analógico-digital no está tan cuidada como su componente digital-analógica). Por ello parece lógico esperar errores de medida sistemáticos que se deben rechazarse a posteriori.

Aplicación a barras de xilófono, barra de palisandro y lámina metálica En esta sección comenzaremos a presentar resultados de medida de la repuesta en frecuencia de diferentes muestras. En particular empezaremos midiendo muestras de forma alargada de distintos materiales (maderas y metal). Hemos posado horizontalmente estos elementos sobre pequeños apoyos blandos (aproximadamente a 1/3 y 2/3 de su longitud, buscando no entorpecer los modos de oscilación principales) y colocando el micrófono sobre la mediatriz a unos 10 cm. En el medio golpeamos con el martillo. Esta disposición se ilustra en la figura 4.

Figura 4: Disposición de elementos en medición de tablas o láminas

Figura 5: Respuesta sonora de tabla de palisandro afinada a sol (195Hz)

La tabla de xilófono está hecha de palisandro, tiene forma de prisma rectangular y posee una

ondadura en el medio para afinarla a sol (195Hz); La figura 5 muestra -como ha de ser- una resonancia importante y comparativamente no tan estrecha, en esta frecuencia. Lamentablemente, debido al sonido tan tenue junto a esta frecuencia aparecen otros picos que no provienen del xilófono, según mencionamos en el apartado anterior. Al ser debidos a las limitaciones de la tarjeta de sonido estos picos son eliminables directamente. El siguiente pico que debemos tener en cuenta se encuentra en 813 Hz que puede ser el cuarto armónico (813/195 ~ 4,17). Más a la derecha tenemos otros dos posibles armónicos 1977/195 ~ 10.14, 2136/195 ~ 10.95. El que estos armónicos se encuentren con un valor superior se puede justificar en que el espectro del martillo empieza a caer a esas frecuencias. Recordar que en la gráfica se muestra el cociente entre el espectro del micrófono y el del martillo lo que implica que en esas frecuencias la sensibilidad del sistema es mayor. En resumen, la localización de las resonancias coincide con las que aparecen en [6], donde se midió esta misma muestra con otro sistema de medida.

Figura 6: Respuesta sonora de tabla de palisandro

La tabla de palisandro2 es un prisma rectangular sin ahondadura. Los resultados que se pueden observar en la figura 6, también concuerdan sustancialmente con lo obtenido en [6] donde también se estudia la misma tabla. Encontramos una primera resonancia en 738 Hz muy picuda, seguida por otra con poca armonicidad 1341/738 ~ 1.82, y 1919/738 ~ 2.6 claramente inarmónica. En frecuencias más altas aparece otro pico dominante que tiene una escasa relación de armonicidad con el primero 3542/738 ~ 4.80, pero de los siguientes sí que poseen la relación con el segundo pico 5339/1341 ~ 3.98 y 6688/1341 ~ 4.99, este último y el que se encuentra inmediatamente a su derecha encuentran también una relación armónica con el primero 6688/738 ~ 9.06, y el otro próximo a 10. Todos estos resultados son perfectamente coherentes con los modelos de EulerBernouilli [2] que predicen relaciones no armónicas entre las frecuencias de los distintos modos de vibración de un prisma homogéneo. La lámina metálica que mediremos a continuación es una pieza rectangular de unos milímetros de espesor que se puede usar para construcción de brazos flexibles de robot. Por sus dimensiones y propiedades mecánicas es fácil arrancarle sonidos audibles. Podemos ver en la figura 7 el resultado obtenido. De entre los picos que se encuentran en por debajo de 300 Hz hay algunos que debemos ignorar por la muy dudosa coincidencia con los de la gráfica del palisandro y con la del xilófono y en conclusión con otras mediciones en similares circunstancias. Esto justifica el ignorar estas frecuencias cuya aparición se achacará, como ya se ha dicho, a la tarjeta de sonido. Estos picos recalcitrantes están en 119.8, 166.9, 207.3 y 234.2 Hz. Por encima de los 2000 Hz encontramos picos muy definidos y estrechos como cabe esperar que una pieza metálica. El más importante es el que se encuentra en 2057 Hz y a continuación aparecen en las siguientes frecuencias: 2421, 2879, 2 Madera de densidad elevada.

Figura 7: Respuesta sonora de lámina metálica para brazo de robot flexible

3816, 3997, 4904, 6167, 6572 y 7662 en Hz.

Aplicación a violín y viola En las mediciones sobre el violín (e idénticamente sobre la viola) se usó un pie de laboratorio para sostener los instrumentos en vertical por el mástil del instrumento (ver figura 8). El micrófono se situó de cara al violín a la altura de los orificios de salida del sonido llamados “las efes” por los músicos. Luego, soportando el martillo en un péndulo, se golpeó el puente en dirección perpendicular a las cuerdas y al micrófono, pretendiendo excitar el violín de una forma similar a como lo haría el frotamiento del arco sobre las cuerdas. Previamente a la colocación del instrumento, éste fue afinado y se colocó un material blando y ligero entre las cuerdas y el mástil. Esto se hace para anular la contribución de las cuerdas al sonido sin variar las tensiones en el resto del instrumento. El montaje completo se muestra en la figura 8, y en la figura 9 se muestran

Figura 8: Sistema de medida completo

Figura 9: Detalle del impacto en el puente del violín

superpuestos varios fotogramas de un detalle del montaje en que el martillo golpea el puente. En esta última imagen, el objeto metálico que aparece en la parte inferior es el soporte del micrófono. Para el violín, y -siguiendo el método- promediando diez medidas, obtenemos los resultados de la figura 10. En ésta podemos ver una estructura con partes diferenciadas. Resonancia de Helmholtz (A0) con máximo en 290Hz, resonancias de cuerpo con máximos locales en 388Hz y 537Hz, y

Figura 10: Respuesta sonora de un violín

resonancias de puente con picos entre 1080Hz y 2830Hz con máximo en 2594Hz. Estos resultados parecen muy razonables y creemos que un especialista podría sacar conclusiones sobre la calidad del violín [9]. En el caso de la viola (construida por el tutor firmante) obtenemos la resonancia de Helmholtz en 227Hz y la de cuerpo en 414Hz. Deberíamos obtener una figura similar a la del violín y desplazada a la izquierda debido a la diferencia de tamaño entre la viola y el violín. Esto se puede observar en la figura 11.

Figura 11: Respuesta sonora de la viola

Utilidades adicionales en el programa Para facilitar el uso del sistema a un luthier hemos dispuesto una interface auto-explicativa, que permite usar las utilidades del sistema, e incorpora utilidades adicionales para gestionar los resultados. Una interesante es la que destaca en la gráfica los armónicos correspondientes a una frecuencia, expresada ésta numéricamente en Hz o como nota musical. Además esta utilidad permite memorizar colecciones de frecuencias lo que agiliza la contrastación entre diferentes mediciones. Por supuesto, la gráfica queda finalmente a disposición de otras utilidades de Matlab. Todo el sistema de medida se gobierna desde un interface gráfico de usuario totalmente intuitivo y pensado para un usuario sin conocimientos técnicos especiales.

Conclusiones Hemos presentado un sistema de medida y representación gráfica de la respuesta acústica en frecuencia de sistemas mecánicos, de precio asequible y fácil manejo. El dispositivo experimental puede emplearse para caracterizar las propiedades vibratorias (en el rango de audio) de virtualmente cualquier sistema mecánico, pero es especialmente útil para caracterizar las propiedades de respuesta acústica de instrumentos musicales o partes de ellos. Se han realizado medidas de muestras muy diversas (incluyendo barras de xilófono, una lámina metálica de un robot flexible, un violín y una viola) y puede concluirse que el sistema de medida es capaz de captar de forma solvente sus respuestas en frecuencia. Debido a limitaciones en la tarjeta de sonido de bajo coste que se emplea, el método introduce -en algunas condiciones- picos de resonancia indeseados que son desechables, y deforma ligeramente la forma real de la curva de resonancia, pero mantiene la información sustancial. En resumen, consideramos que el montaje experimental que presentamos es interesante tanto para acústicos, como para luthiers que pueden incorporar este sistema a su lugar de trabajo como herramienta de análisis.

Agradecimientos Queremos agradecer la generosidad de Lorena e Inés del Campo que nos prestaron el violín. También agradecemos, al Conservatorio Superior de Música “Juan Crisotomo de Arriaga” de Bilbao, la cesión de la tabla de xilófono y la muestra de palisandro. Bibliografía [1]

Hibbeler, R.C. (1995), Statics and mechanics of materials. MacMillan.

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Kinsler, L.E., Frey, A.R. and Coppens, A.B. (1999), Fundamentals of acoustics. John Wiley and sons. 4th Ed.

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Fletcher, N.H. and Rossing, T.D. (1998), The physics of musical instruments. SpringerVerlag.

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A.Sanz, y V. Etxebarria, (2003), Simulación, caracterización experimental de modos de vibración y control de robots flexibles. “Actas de las XXIV Jornadas de Automática. Universidad de León”, 10-12 Septiembre.

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Schleske M. (2002), Wired for Sound. The Strad, vol. 113, Nº 10, Octubre, pag. 1110-1117.

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Etxebarria V. y Riera I. (2002), Measuring the Frecuency Respose of Musical Instruments with a PC-Based System. Catgut Acoustical Society Journal, Series II, Noviembre, Vol. 4, Nº 6 , pag. 26-30.

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The Mathworks (1999), Data Acquisition Toolbox User's Guide.

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Página oficial de Agilent:

[9]

Moral, J.A. and Jansson, E.V. (1982), Eigenmodes, input admitance and the function of de violin. “Acustica”, vol. 50, n 5, pag. 329-337.