Cap´ıtulo IV

Medidas producto La medida de Lebesgue en Rn como modelo Definici´ on: Dados intervalos J1 , J2 , J3 ,..., Jn de R (finitos o no), al producto cartesiano R = J1 × J2 × ... × Jn lo denominaremos rect´ angulo en Rn . Definici´ on: Si |J1 |1 , . . . , |Jn |1 "= 0, se define el volumen n-dimensional del rect´angulo R como |R|n = |J1 |1 · |J2 |1 · ... · |Jn |1 ,

donde | · |1 denota la longitud en R (Si no hay problema de confusi´on, escribiremos | · | en lugar de |·|n ). Si se tuviera |Jk |1 = 0 para alg´ un k, es decir Jk es el vac´ıo o consta de un solo punto, entonces se define |R|n = 0 incluso si alguna de las otras coordenadas fuera infinita. Lema 1 : La intersecci´on de dos rect´angulos es un rect´angulo. Demostraci´ on: Sean los rect´angulos R! = J1! × J2! × ... × Jn!

R = J1 × J2 × ... × Jn entonces

R ∩ R! = (J1 × J2 × ... × Jn ) ∩ (J1! × J2! × ... × Jn! ) = (J1 ∩ J1! ) × (J2 ∩ J2! ) × ... × (Jn ∩ Jn! ) Q.E.D. Lema 2 : La uni´on finita de rect´angulos se puede escribir como uni´on disjunta y finita de rect´angulos. Demostraci´ on: Basta hacerlo con dos y luego usamos inducci´on. Sea R! = J1! × J2! × ... × Jn!

R = J1 × J2 × ... × Jn 37

38

Teor´ıa de la integral y de la medida

R = [(J1 \ J1! ) ∪ (J1 ∩ J1! )] × ... × [(Jn \ Jn! ) ∪ (Jn ∩ Jn! )] ≡ uni´on disjunta de, como mucho, 3n rect´angulos R! = [(J1! \ J1 ) ∪ (J1! ∩ J1 )] × ... × [(Jn! \ Jn ) ∪ (Jn! ∩ Jn )] ≡ uni´on disjunta de rect´angulos disjuntos a su vez de los anteriores de R, salvo por R ∩ R! Q.E.D. Lema 3 : La clase B0 = { Uniones finitas de rect´angulos } es un ´algebra. Demostraci´ on: ! " Basta probar que B0 es cerrado por complementos y, como ( Rj )c = Rjc , basta probarlo con un rect´angulo por el Lema 1. Si R = J1 × J2 × ... × Jn entonces #$ % c R = K1 × ... × Kn \ R donde Ki es Ji o su complementario Jic (que es la uni´on, como mucho, de dos intervalos)

Q.E.D. Definici´ on: Definimos el volumen de un elemento B ∈ B0 escribiendo B como la uni´on disjunta de rect´angulos (que podemos por el Lema 2) B=

m $

Rj

m &

|Rj |

j=1

y poniendo |B| =

j=1

Lema 4 : | · | es una premedida en B0 Demostraci´ on: S´olo hay que comprobar que si Bj ∈ B0 (disjuntos) y entonces ∞ & |Bj | = |B|

'∞

j=1 Bj

= B con B ∈ B0 ,

j=1

La prueba es semejante a la de una dimensi´on. (Primero se ve para una uni´on finita y luego, si B es acotado, se usa la caracterizaci´on de compactos de Borel). Q.E.D.

Teor´ıa de la integral y de la medida

39

Definici´ on: (Medida de Lebesgue en Rn ) La extensi´on de Caratheodory de la terna (Rn , B0 , | · |n ), nos da un espacio de medida completa (Rn , Ln , mn ) con mn (R) = |R| ∀R rect´angulo. Por ser | · |n σ-finita, esta extensi´on es u ´nica sobre la m´ıma σ-´algebra que contiene a B0 que, como veremos, coincide con la clase de los Borel en Rn . La clase Ln es la σ-´algebra de Lebesgue en Rn y mn = m = dx la medida de Lebesgue. Propiedades de la σ-´ algebra y de la medida de Lebesgue en Rn (a) Ln contiene a los abiertos de Rn . (y por tanto a la σ-´algebra de Borel, Bn que se define como aquella generada por los abiertos) de hecho se tiene: Lema 5 : Todo abierto es uni´on numerable casi disjunta de cubos de Rn , es decir, dado U abierto, ∃{Qj } cubos tales que U = ∪i Qi y Q0j ∩ Q0k = ∅, j "= k. Eligiendo cubos de la forma Q = J1 ×J2 ×· · ·×Jn con Jk = (ak , ak +h], la uni´on es, de hecho, disjunta. Demostraci´ on: Dado k = 0, ±1, ±2, ... sea Dk la colecci´on de cubos de Rn de lado 2−k y v´ertices de coordenadas (m1 2−k , m2 2−k , ..., mn 2−k ) con m1 , m! 2 , ..., mn ∈ Z. Estos cubos se llaman ! di´ adicos y tienen la propiedad de que si Q, Q ∈ k∈Z Dk entonces o bien son casi disjuntos o bien uno est´a contenido en el otro. (Basta probarlo para Q, Q! en el mismo Dk y luego observar que si Q! ∈ Dk+1 , Q es uno de los 2n cubos iguales en que se divide cierto cubo de Dk ). Dado el abierto U , elegimos los cubos de D0 contenidos en U , a continuaci´on los de D1 contenidos en U pero no en la uni´on de los ya elegidos y asi sucesivamente. La colecci´on elegida es la que buscamos 1. Es numerable (porque cada Dk lo es) 2. Es casi-disjunta 3. Su uni´on es U , porque si x ∈ U exisite un cubo di´adico Q con x ∈ Q ⊂ U , ya que si √ dist(x, U c ) = δ > 0 y tomando k ∈ N con 2−k < δ/ n, entonces x est´a en una celda de Dk contenida en U . Q.E.D. (b) ∀A ∈ Ln ,

m(A) = ´ınf

(∞ & i=1

|Ri | : Ri rectangulos,

∞ $

i=1

)

Ri ⊃ A .

40

Teor´ıa de la integral y de la medida

(c) La medida de Lebesgue en Rn es regular (misma demostraci´on que en R): m(A) = ´ınf{m(U ) : A ⊂ U, U abierto } m(A) = sup{m(K) : K ⊂ A, K compacto }. (d) La medida de Lebesgue en Rn es invariante por traslaciones: Teorema: 1. Si A ∈ Ln , x0 ∈ Rn entonces x0 + A ∈ Ln y m(x0 + A) = m(A) 2. Sea f medible f : Rn → R, si f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (Rn , dm) se tiene ∀x ∈ Rn * * f (x0 + x)dm = f (x)dm Demostraci´ on: 1.) Por la construcci´on de m, basta suponer que A es un rect´angulo y en ese caso, el resultado es trivial. 2.) Basta suponer que f ≥ 0 y, por un paso al l´ımite, podemos suponer que f es adem´as simple. + Ahora bien, si f (x) = N j=1 cj χAj (x) entonces f (x + x0 ) =

N &

cj χAj (x + x0 ) =

j=1

N & j=1

cj χ−x0 +Aj (x)

(observamos que x + x0 ∈ Aj ⇔ x ∈ (−x0 ) + Aj ) y por tanto *

f (x + x0 )dm(x) =

N & j=1

cj m(−x0 + Aj ) =

N & j=1

cj m(Aj ) =

*

f (x)dm(x) Q.E.D.

Teorema: 1. Si A ∈ Ln , c ∈ R \ {0} entonces c · A ∈ Ln y m(c · A) = |c|n · m(A) 2. Sea f : Rn → R medible. Si f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (Rn , dm) se tiene ∀c "= 0 * * 1 f (c · x)dm(x) = n f (x)dm(x) |c| Demostraci´ on: 1.) La demostraci´on es semejante a la anterior. Si A es un rect´angulo, c · A tambi´en lo es y |c · A| = |c|n · |A|. De aqu´ı se extiende a abiertos

Teor´ıa de la integral y de la medida

41

y, por regularidad de m, a todo A ∈ Ln . 2.) Basta suponer que s es simple y positiva, y observar que χA (c · x) = χ 1 A (x) y por c tanto * 1 1 χA (c · x)dm(x) = m( A) = n m(A) c |c| Q.E.D. Teorema (F´ormula del cambio de variable para aplicaciones lineales) Sea T una aplicaci´on Rn → Rn lineal y regular (det(T ) "= 0, i.e., la matriz que define a T pertenece a GL(n, R)). Entonces se tiene: 1. Si A ∈ Ln entonces T (A) ∈ Ln , y m(T (A)) = |det(T )|m(A) 2. Sea f : Rn → R medible. Si f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (Rn , dm) se tiene * * f (x)dm = |det(T )| f (T (x))dm Corolario de 1 : Invarianza por rotaciones. Si T es una rotaci´on (de forma que |detT | = 1) se tiene m(T (A)) = m(A), ∀A ∈ Ln Demostraci´ on: 1.) Lo probamos primero para cubos. Sea Q0 = (0, 1]n = (0, 1] × ... × (0, 1]. Dado un cubo cualquiera “semicerrado”por la derecha, Q, existen c > 0 y b ∈ Rn tal que Q = c · Q0 + b c = lado de Q, por tanto |Q| = cn . Adem´as T (Q) = c · T (Q0 ) + T · b, y, por resultados anteriores, se tiene m(T (Q)) = cn · m(T (Q0 )) = m(T (Q0 )) · |Q| es decir, Ejercicio: m(T (Q0 )) = |detT |.

m(T (Q)) = |detT | · m(Q)

El resultado es cierto para abiertos, pues si U es un abierto, U es la uni´on disjunta de cubos , Qj U= j

42

Teor´ıa de la integral y de la medida

y T (U ) = m(T (U )) =

& j≥1

,

T (Qj )

j

m(T (Qj )) = |detT |

& j≥1

|Qj | = |detT |m(U )

y como m es regular, (m(A) = ´ınf{m(U ) : A ⊂ U, U abierto }). Por tanto, si G es un abierto que contiene a T (A), T −1 (G) es un abierto que contiene a A y se sigue m(G) = m(T (T −1 (G))) = |detT |m(T −1 (G)) ≥ |detT |m(A) Tomando ´ınfimos resulta m(T (A)) ≥ |detT |m(A)

La desigualdad contraria es inmediata cambiando T por T −1 m(A) = m(T −1 (T (A))) ≥ |detT |−1 m(T (A)) 2.) Como siempre, basta suponer que f es simple y positiva N &

f (x) =

cj χAj (x)

j=1

y observar que f (T (x)) =

N &

cj χT −1 (Aj ) (x)

j=1

de forma que *

f (T (x)) dm(x) =

N &

N

cj m(T −1 (Aj )) =

j=1

j=1

=

1 |detT |

1 & cj m(Aj ) = |detT |

*

f (x)dm(x) Q.E.D.

Corolario: Si D es un conjunto medible y f , T son como en el teorema anterior, entonces se tiene: * * f (y)dm = |det(T )| f (T (x))dm T (D)

D

Demostraci´ on: Sea B = T (D) y g = f χB . Entonces g(T (x)) = f (T (x)) · χD (x) y por el teorema se tiene: * * * * f (x)dm = g(x)dm = |detT | g(T (x))dm = |det(T )| f (T (x))dm T (D)

D

Teor´ıa de la integral y de la medida

43 Q.E.D.

El Teorema del cambio de variable permite sustituir la aplicaci´on T por cualquier difeomorfismo ϕ, de forma que si J(x) = detDϕ(x) (Jacobiano de ϕ en x) entonces *

f (x)dx =

ϕ(D)

*

D

(f ◦ ϕ(x))|J(x)|dx.

Antes introduciremos un caso especial: Medidas inducidas Definiciones: 1. Dados dos espacios X e Y dotados de ciertas σ-´algebras MX y MY respectivamente, se dice que ϕ : X −→ Y es medible (con respecto a MX y MY ) si ϕ−1 (B) ∈ MX ∀B ∈ MY

2. Si µ es una medida sobre la σ-´algebra MX entonces ϕ induce una medida sobre MY de la siguiente forma: µϕ (B) = µ(ϕ−1 (B)) Ejercicio: Comprobar que µϕ es en efecto una medida. Teorema: Sean MX , MY , µ y µϕ como la definici´on anterior. Si f : Y → R es medible y f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (dµϕ ) entonces * * f dµϕ = f ◦ ϕdµ Y

X

Demostraci´ on: Basta observar que dado cualquier B -∈ MY la identidad se cumple para - f = χB (porque f ◦ ϕ(x) = χB (ϕ(x)) = χϕ−1 (B) y Y f dµϕ = µϕ (B) = µ(ϕ−1 (B)) = f ◦ ϕdµ). Luego la identidad se cumple para f simple y de aqu´ı para funciones positivas pasando al l´ımite, etc. Q.E.D. Este resultado es un teorema de cambio de variables donde la parte “m´ as −1 dif´ıcil”, la identidad µϕ (B) = µ(ϕ (B)) se cumple por definici´ on de la medida inducida µϕ . Sea Ω un abierto de Rn y ϕ : Ω ⊂ Rn → Rn un difeomorfismo regular; es decir ϕ ∈ C 1 (Rn ), es inyectivo, y su inversa, ϕ−1 ∈ C 1 (Rn ). Si ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ) son sus funciones coordenadas, entonces su diferencial en el punto x, Dx ϕ es una aplicaci´on lineal dada por la matriz jacobiana

44

Teor´ıa de la integral y de la medida 

  Ax =  

∂ϕ1 ∂x1 (x) ∂ϕ2 ∂x1 (x)

...

∂ϕn ∂x1 (x)

∂ϕ1 ∂x2 (x) ∂ϕ2 ∂x2 (x)

... ... ... ... ∂ϕn ∂x2 (x) ...

∂ϕ1 ∂xn (x) ∂ϕ2 ∂xn (x)

...

∂ϕn ∂xn (x)

    

Se denomina jacobiano de ϕ en x al determiante de esta matriz J(x) = detAx = detDx ϕ Notas: 1. Si ϕ es una aplicaci´on lineal regular (ϕ = T ∈ GL(n, R)) entonces Dx ϕ = T ∀x y J(x) = detT 2. Como ϕ ◦ ϕ−1 =Identidad, se tiene Dx ϕ ◦ Dϕ(x) ϕ−1 = I y por tanto det(Dx ϕ) · det(Dϕ(x) ϕ−1 ) = 1 es decir Jϕ (x) · Jϕ−1 (ϕ(x)) = 1 y tambi´en Jϕ−1 (x) · Jϕ (ϕ−1 (x)) = 1

Teorema del cambio de variable: Sea ϕ : Ω ⊂ Rn → Rn un difeomorfismo regular C 1 sobre el abierto Ω, y sea f : ϕ(Ω) → R medible (Lebesgue). Si f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (dx). Entonces: * * f (y)dy = (f ◦ ϕ(x)) · |J(x)|dx ϕ(Ω)

Ω

Observaci´ on: Llamando dµ(x) = |J(x)|dx, lo que queremos probar es que dµϕ (y) = dy, es - decir, que dy es la medida inducida por ϕ. Para ello, debemos probar m(ϕ(B)) = B |J(x)|dx ∀B ⊂ Ω, medible. Lema: Si Q es un cubo de Ω entonces

m(ϕ(Q)) ≤

*

Q

|J(x)|dx

Antes de probarlo, veamos que este lema es lo u ´nico que necesitamos para dar una demostraci´on del teorema.

Teor´ıa de la integral y de la medida

45

Demostraci´ on del teorema: En primer lugar observamos que si ∀ϕ probamos la desigualdad * * (%) f (y)dy ≤ f ◦ ϕ(x)|J(x)|dx ϕ(Ω)

Ω

entonces la otra es inmediata aplicando el resultado a ϕ−1 pues entonces, si g = f ◦ ϕ(x)|Jϕ (x)| se tiene * * * * f ◦ ϕ(x)|Jϕ (x)| = g(x)dx ≤ g ◦ ϕ−1 (x)|Jϕ−1 (x)|dx = f (x)dx Ω

ϕ−1 (ϕ(Ω))

ϕ(Ω)

ϕ(Ω)

Como siempre, basta probar (%) para funciones simples positivas f (y) =

N &

cj χAj (y)

j=1

Aj ⊂ ϕ(Ω) medible, y por linealidad de la integral, basta suponer que f = χA , con A ⊂ ϕ(Ω) medible. Es decir, tomando B = ϕ−1 (A), el teorema se reduce a probar * (%%) m(ϕ(B))) ≤ |Jϕ (x)|dx, ∀B ⊂ Ω, medible B

Por el lema sabemos que el resultado (%%) es cierto para cubos. De ! ah´ı lo deducimos para abiertos, porque todo abierto U es uni´on disjunta de cubos U = j Qj y por tanto * & &* m(ϕ(Qj )) ≤ |Jϕ (x)|dx = |Jϕ (x)|dx m(ϕ(U )) ≤ j

j

Qj

U

Para probarlo en general para un B ⊂ Ω medible arbitrario podemos suponer que B es acotado y que B ! ⊂ Ω (en caso contrario, si escribimos Ω como uni´on casi-disjunta de cubos cerrados Ω = j Qj se tiene $ B = (B ∩ Qj ) j

cada Bj = B ∩ Qj es acotado, Bj ⊂ Qj ⊂ Ω y si lo probamos para Bj , el argumento anterior lo da para B) Si B es acotado, existe una cadena decreciente de abiertos U1 ⊃ U2 ⊃ ... ⊃ Um ⊃ ... ⊃ B tal que m(B) = l´ım m(Um ). m−→∞

Podemos suponer que U1 es acotado y U1 ⊂ Ω. La funci´on |Jϕ (x)| es acotada en U1 por tanto, y el T.C.D. nos da * * |Jϕ (x)|dx m(ϕ(B)) ≤ l´ım m(ϕ(Um )) ≤ l´ım |Jϕ (x)|dx = m−→∞

m−→∞ U m

B

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Teor´ıa de la integral y de la medida Q.E.D.

Demostraci´ on del Lema: Por el Teorema de Taylor, ϕ(x + u) = ϕ(x) + Dx ϕ(u) + ◦(|u|). Dado & > 0, existe Q cubo centrado en el origen tal que ∀x ∈ Q, ∀u ∈ Q se tiene 5 4 ϕ(x + u) ∈ ϕ(x) + Dx ϕ (1 + &)Qu ,

donde Qu es el m´ınimo cubo centrado en el origen que contiene a u. Dividimos Q en cubos casi-disjuntos Qj N

Q=

2 $

Qj ,

j=1

de lado menor que Q. Si xj es el centro de Qj , entonces Qj − xj ⊂ Q y, por tanto, si xj + u ∈ Qj ϕ(xj + u) ∈ ϕ(xj ) + Dxj ϕ ((1 + &)(Qj − xj )) .

En particular,

ϕ(Qj ) ⊂ ϕ(xj ) + Dxj ϕ ((1 + &)(Qj − xj )) ,

y deducimos, por el resultado previo para aplicaciones lineales, m(ϕ(Qj )) ≤ |J(xj )|(1 + &)n |Qj | Es decir, N

2 &

m(ϕ(Q)) ≤ (1 + &)

n

j=1

|J(xj )| · |Qj |. N

La parte de la derecha es una suma de Riemann asociada a la partici´on {Qj }2j=1 de |J(x)|. Tomando particiones mas finas queda * n m(ϕ(Q)) ≤ (1 + &) |J(x)|dx; Q

como & es arbitrario, obtenemos m(ϕ(Q)) ≤

*

Q

|J(x)|dx Q.E.D.

Teor´ıa de la integral y de la medida

47

Ejemplos del Teorema del cambio de variable Nota: Todav´ıa no hemos visto que dm(x, y) = dxdy iterado (Teorema de Fubini), aunque lo usaremos eventualmente en estos ejemplos. Coordenadas polares Cambio de variables en coordenadas polares: ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) ϕ trasforma el rect´angulo (0, ∞) × (0, 2π) en R2 \ {(x, 0) : x > 0}. Como

67 86 6 6 cos θ sin θ 6 6 Jϕ (r, θ) = 6 −r sin θ r cos θ 6

se tiene |Jϕ (r, θ)| = r Por tanto, para f medible, f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (R2 ) * * f (x, y) dm(x, y) = f (rcosθ, r sin θ) · r dm(r, θ) R2

(0,∞)×(0,2π)

Ejemplos para los cuales es muy u ´til el cambio de coordenadas polares:

1. Dominios circulares. Ejemplo: Sea el dominio D = {(x, y) : x2 + y 2 < R2 , x, y ≥ 0} y la funci´on f (x, y) = xy. Calculamos su integral en el dominio D: *

f (x, y)dxdy =

D

=

*

0

π 2

*

0

R

*

(0,R)×(

0, π2

)

(r cos θ) · (r sin θ) · r drdθ

R4 r cos θ sin θ drdθ = 4 3

*

π 2

cos θ sin θ dθ =

0

T ma. F ubini

=

R4 1 R4 · = 4 2 8

2. Funciones circulares. Ejemplo: 2 2 Sea el dominio D = R2 y la funci´on f (x, y) = e−(x +y ) . Calculamos su integral *

R2

−(x2 +y 2 )

e

dxdy =

*

−r2

e

r drdθ

T ma. F ubini

0

(0,∞)×(0,2π)

=

=

*

*

0

2π

1 dθ = π 2

2π

*

0

∞

2

e−r r drdθ =

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Teor´ıa de la integral y de la medida Coordenadas esf´ ericas Cambio de variables en coordenadas esf´ericas:   x = ρ sin β cos α y = ρ sin β sin α ϕ(ρ, α, β) =  z = ρ cos β

ϕ trasforma el rect´angulo (0, ∞) × (0, 2π) × (0, π) en R3 \ { conjunto de medida cero }. Como

6 6 6 6 sin β cos α sin β sin α cos β 6 6 6 0 Jϕ (ρ, α, β) = 66 −ρ sin β sin α ρ sin β cos α 6 6 ρ cos β cos α ρ cos β sin α −ρ sin β 6

se tiene |Jϕ (ρ, α, β)| = | − (ρ2 cos2 β sin β + ρ2 sin3 β)| = ρ2 sin β. Por tanto, para f medible, f ≥ 0 ´o f ∈ L1 (R2 ), el teorema nos dice entonces: *

R3

f (x, y, z) dxdydz =

*

0

π

*

0

2π

*

0

∞

f (ρ, α, β) · (ρ2 sin β) dρdαdβ

El cambio es u ´til de nuevo para funciones esf´ericas o regiones esf´ericas.

Medidas Producto En este apartado extendemos el caso particular de la medida de Lebesgue en Rn a cualquier par de medidas. Sean (X, M, µ) y (Y, N , ν) dos espacios de medida. Dados A ∈ M y B ∈ N , definimos el rect´ angulo medible A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} (convenio: A × ∅ = ∅ × B = ∅) Al igual que en el caso de la medida de Lebesgue, se tiene: Lema 1 : La intersecci´on de rect´angulos es un rect´angulo. Demostraci´ on: Sean A, A! ∈ M, B, B ! ∈ N , (A × B) ∩ (A! × B ! ) = (A ∩ A! ) × (B ∩ B ! ) Q.E.D.

Teor´ıa de la integral y de la medida

49

Lema 2 : La uni´on de un n´ umero finito de rect´angulos medibles se puede escribir como la uni´on disjunta y finita de rect´angulos medibles. Demostraci´ on: Basta probarlo con dos rect´angulos. Observamos que A × B = [(A \ A! ) ∪ (A ∩ A! )] × [(B \ B ! ) ∪ (B ∩ B ! )] = = (A \ A! ) × (B \ B ! ) ∪ (A ∩ A! ) × (B \ B ! ) ∪ (A \ A! ) × (B ∩ B ! ) ∪ (A ∩ A! ) × (B ∩ B ! )

De forma similar

A! × B ! = (A! \ A) × (B ! \ B) ∪ (A! ∩ A) × (B ! \ B) ∪ (A! \ A) × (B ! ∩ B) ∪ (A ∩ A! ) × (B ∩ B ! ) Por tanto, la uni´on (A × B) ∪ (A! × B) est´a formada por, como mucho, 7 rect´angulos, todos ellos disjuntos Q.E.D. Lema 3 : La familia A= ´ es un Algebra.

 N $ 

j=1

(Aj × Bj ) : Aj ∈ M, Bj ∈ N

  

Demostraci´ on: Solo hay que probar que A es cerrado por complementarios y como  c N N $ ?  Aj × Bj  = (Aj × Bj )c j=1

j=1

por el lema 1 basta probarlo para un rect´angulo A × B

(A × B)c = (X × Y ) \ (A × B) = (A ∪ Ac ) × (B ∪ B c ) \ (A × B) = = (A × B c ) ∪ (Ac × B) ∪ (Ac × B c ) Q.E.D. Definici´ on: Definimos, para un rect´angulo medible, R = A × B, A ∈ M, B ∈ N π0 (R) = π0 (A × B) = µ(A)ν(B), si tanto µ(A) como ν(B) no son 0, y π0 (R) = 0 en caso contrario.

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Teor´ıa de la integral y de la medida

Dado un elemento U ∈ A, lo escribimos como uni´on disjunta de rect´angulos (por el lema 2) N , U= (Aj × Bj ) Aj ∈ M, Bj ∈ N j=1

y definimos

π0 (U ) =

N &

µ(Aj )ν(Bj )

j=1

Lema 4 : π0 est´a bien definida y es una premedida en A Demostraci´ on: Solo hace falta probar si Aj ∈ M y Bj ∈ N , con j = 1, 2, ... y se cumple , A×B = (Aj × Bj ) j≥1

entonces π0 (A × B) =

&

µ(Aj )ν(Bj )

j≥1

A diferencia del caso de la medida de Lebesgue, aqui no podemos usar el Lema de Borel sobre compactos. En su lugar usaremos una versi´on d´ebil de lo que luego ser´a el Teorema de Fubini. Primero observamos que: χA (x)χB (y) = χA×B (x, y) =

& j≥1

χAj ×Bj (x, y) =

&

χAj (x)χBj (y)

j≥1

Fijamos y ∈ B e integramos la funci´on resultante (que depende de x) en µ. Por el corolario al Teorema de la Convergencia Mon´otona (para series positivas) &* & µ(A)χB (y) = χAj (x)χBj (y)dµ(x) = µ(Aj )χBj (y) j≥1

X

j≥1

Integrando ahora en dν(y) y usando el mismo corolario & &* µ(Aj )ν(Bj ) µ(A)ν(B) = µ(Aj )χBj (y)dν(y) = j≥1

j≥1

Q.E.D. Notaci´ on: La m´ınima σ-´algebra que contiene a A, se denota por M ⊗N . Definici´ on: El Teorema de Caratheodory nos permite extender (X × Y, A, π0 ) a un espacio de medida completo (X × Y, A∗ , π0∗ |A∗ ).

Teor´ıa de la integral y de la medida

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En principio s´olo estamos interesados en la σ-´algebra: M ⊗N que es la σ-´algebra producto, y la estensi´on de π0 a dicha σ-´algebra se denota por dµ ⊗ dν, medida producto. Observaci´ on: Claramente se tiene: M×N ⊂A⊂M⊗N pero, en general, M ⊗N es MUCHO MAS GRANDE que M ×N . Nota: Algunos libros escriben M × N para denotar a la σ-´algebra producto pero esto es s´olo por convenio. Tambi´en se suele escribir dµ×dν en vez de dµ⊗dν, o tambi´en d(µ×ν). Producto de n medidas Al igual que en el caso de la medida de Lebesgue n-dimensional, dados n espacios de medida (X1 , M1 , µ1 ) , (X2 , M2 , µ2 ) , ..., (Xn , Mn , µn ) podemos definir la σ-´algebra producto M1 ⊗ M2 ⊗ ... ⊗ Mn y la medida producto dµ1 ⊗ dµ2 ⊗ ... ⊗ dµn como la extensi´on de Caratheodory de la premedida π0 definida sobre el ´algebra A de uniones finitas de rect´angulos medibles R = A1 × A2 × ... × An Aj ∈ Mj j = 1, 2, ..., n por π0 (R) = µ1 (A1 )µ2 (A2 )...µn (An ) Nota: En el caso en que dµ1 , ...dµn sean todas σ-finitas, dµ1 ⊗ dµ2 ⊗ ... ⊗ dµn tambi´en se puede definir por inducci´on de forma que dµ1 ⊗ dµ2 ⊗ dµ3 = (dµ1 ⊗ dµ2 ) ⊗ dµ3 = dµ1 ⊗ (dµ2 ⊗ dµ3 ) y dµ1 ⊗ dµ2 ⊗ ... ⊗ dµn = (dµ1 ⊗ dµ2 ⊗ ... ⊗ dµn−1 ) ⊗ dµn

(Esto se sigue de que coinciden sobre el ´algebra A)