La historia del origen de la geometría es muy similar a la de la aritmética, y sus conceptos más antiguos son consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. El historiador griego Eudemo de Rodas (320 a.C.) atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que según él necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que precisamente la palabra geometría significa 'medida de tierras'. Las obras en las cuales, en aquella época, se exponían los primeros sistemas matemáticos se denominaban Elementos. Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matemática más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. Cada uno de los trece libros que constituyen esta obra consta de una sucesión de teoremas, así como también de una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. De especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores, es el quinto axioma denominado: axioma de las paralelas, según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclidianas, que refutaron este postulado.

Muy poco se sabe con certeza de su vida. Probablemente vivió en Alejandría (Egipto) en el año 300 a.C. Pero sin duda que la gran reputación de Euclides se debe a su famosa obra titulada: Los elementos geométricos, conocida simplemente por Los elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudio durante dos mil años sin necesidad de correcciones de importancia.

¿Quién era Euclides? La información aportada por diferentes historiadores no se acerca a la realidad de la época. Solo se pueden plantear tres hipótesis acerca de su identidad: 1) Euclides fue un gran matemático que escribió: Los elementos, entre otros trabajos. 2) Euclides fue el principal miembro de un grupo de matemáticos que trabajaron en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir Las obras completas de Euclides, e incluso continuaron haciéndolo, usando su nombre después de muerto. 3) Euclides no fue un gran matemático. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un grupo de matemáticos de Alejandría que tomaron el nombre de un personaje histórico, que vivió unos cien años antes.

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11 MÉTODO DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS

1 – NOTACIÓN A UTILIZAR PUNTOS Se anotarán con letras mayúsculas. Si es un punto determinado se usará A o B. Cuando se hable de los puntos que cumplen una determinada propiedad, se usará X. SEGMENTO DE RECTA Al segmento de recta del punto punto B se lo anota [AB].

A

al

SEMIRRECTA A la semirrecta de origen en el punto A y que pasa por el punto B se la anota [AB). RECTA Se la anotará con letras minúsculas entre paréntesis (r), o nombrando dos de sus puntos entre paréntesis curvos (AB).

En todos los problemas, la regla se usa meramente como borde rectilíneo para dibujar rectas, pero no para medir o transportar distancias. La restricción tradicional de utilizar como únicos instrumentos la regla y el compás, que en este capítulo es obligatorio, se remonta a la antigüedad, aunque los griegos no vacilaban en usar otros instrumentos.

PLANO En nuestro caso será la hoja de papel. Se lo anota con la letra griega π (pi).

MATEMÁTICA DE CUARTO

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DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Llámese distancia del punto P a la recta (r) al valor absoluto de la longitud del segmento [PM] determinado por el punto P y el pie M de la perpendicular trazada por P a la recta (r).

P

(r)

Se anota como d(P, r)

M

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO Se la anotará d(A,B) y es el valor absoluto de la longitud del segmento [AB] .

A

B

C LADOS En todos los casos se refiere a la longitud de los lados de un triángulo, medidos con una unidad apropiada: centímetros, metros, ... Se anotarán con letras iguales a la del vértice opuesto.

minúsculas,

a

b

A

B

c

Lado c o d(A,B) ÁNGULOS l, B  ... Se acostumbra nombrar a los ángulos con letras mayúsculas A En algunos casos se usarán letras del alfabeto griego α, β ...

También es costumbre designar al ángulo que tiene por lados las semirrectas [OA) y [OB) n o sea que la letra del vértice debe por AOB

B

●

leerse entre las otras dos. Salvo indicación especial, al mencionar un ángulo se refiere siempre al ángulo convexo.

Ángulo convexo.

●

O Ángulo cóncavo.

A

Es común usar el mismo símbolo, generalmente letras del alfabeto griego α, β, ... para nombrar al ángulo convexo, una porción del plano, y a su medida en grados.

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GUSTAVO A. DUFFOUR

2 – DEFINICIÓN DE LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico LG es un conjunto de puntos X del plano que cumplen una cierta propiedad P.

Este capítulo no es más que un repaso de algunas definiciones y construcciones geométricas.

LG = { X / X cumple P}

Por ello, el enunciado de las propiedades directa y recíproca no constituye una demostración. Estas se verán con toda rigurosidad en un curso posterior.

Se debe demostrar en cada caso: Propiedad directa: que todos los puntos del plano que cumplen la propiedad pertenecen al lugar geométrico. ∀ X que cumple P ⇒ X ∈LG

Propiedad recíproca: que todos los puntos que pertenecen al lugar geométrico cumplen la propiedad dada. ∀ X ∈LG ⇒ X cumple P

r

3 – CIRCUNFERENCIA

C●

3.1. DEFINICIÓN Es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una longitud r (radio) de un punto fijo C (centro). Se abrevia: C (C,r)

C(C,r) = { X / X∈π d(X,C) = r }

Propiedad directa: Todo punto X del plano que está a una distancia r del punto C pertenece a la circunferencia de centro C y radio r.  t X / X∈π d(X,C) = r ⇒ X∈ C (C,r) Propiedad recíproca: Todo punto X del plano que pertenece a la circunferencia de centro C y radio r está a una distancia r de C. t X / X∈π X∈ C (C,r) ⇒ d(X,C) = r

MATEMÁTICA DE CUARTO

Se llama círculo de centro O y radio r al conjunto de los puntos de la circunferencia de centro O y radio r, y de todos los interiores a ella.

Obsérvese que el círculo es una parte del plano que tiene por contorno la circunferencia de igual centro y radio, mientras que la circunferencia es una curva.

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10 – EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 171)

Sean A, B y C tres puntos alineados tal que d(A,B) = 3 cm d(B,C) = 4 cm. Determinar los puntos que equidisten de A y de B, y que disten 8 cm de C.

172)

•A

Construir una carretera que tenga la misma dirección que (r) y que pase por la ciudad A.

(r)

173)

(a)

Ubicar en el dibujo un farol F que equidiste de las calles (a) (b) y (c). (c) (b)

174)

Realizar el bosquejo de un cantero de forma rectangular, de 6 m de ancho por 10 m de largo, donde se plantarán tres árboles según las siguientes instrucciones: – Un ombú, que debe estar a 3 m de la esquina A y a 2 m del lado [AB]. – Un cedro, que debe de estar a igual distancia de las esquinas C y D, y a 5 m del lado [AB]. – Un sauce, que deberá estar a 2 m del lado [BC] y a igual distancia de los lados [DC] y [BC].

175)

La dirección del liceo decide realizar un campamento al final del año. Debido a su gran experiencia como acampante, el profesor de Matemática se hace cargo de la organización. Sus indicaciones para montar el campamento son: i) Llevar 3 carpas: dos para los alumnos (una para los hombres, otra para las mujeres) y la tercera para el grupo docente. La distancia existente entre las carpas de los alumnos es de 8 m y ambas se encuentran a 6 m de la carpa de los profesores. ii) Ubicar un fogón de tal forma que se encuentre a igual distancia de todas las carpas. iii) Ubicar el único farol que se consiguió para el campamento, de tal manera que alumbre por igual a todos los caminos que unen las carpas. iv) Instalar el baño a una distancia de 3 m del camino que une las carpas de los alumnos y a 5 m de la carpa de los profesores. Realizar un plano del campamento ubicando el fogón F, el farol M y el baño B para presentar en la Dirección del liceo.

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