Universidad de Costa Rica Facultad de Ingenier´ıa Escuela de Ingenier´ıa El´ ectrica

Metodolog´ıa para la aproximaci´ on de la caracter´ıstica de saturaci´ on en transformadores de potencia del Sistema El´ ectrico Nacional

Por: Jorge Daniel Navarro Rodr´ıguez

Ciudad Universitaria “Rodrigo Facio”, Costa Rica Julio de 2014

Metodolog´ıa para la aproximaci´ on de la caracter´ıstica de saturaci´ on en transformadores de potencia del Sistema El´ ectrico Nacional

Por: Jorge Daniel Navarro Rodr´ıguez

IE-0499 Proyecto el´ ectrico Aprobado por el Tribunal:

Msc. Leonardo Montealegre Lobo Profesor gu´ıa

Dr. Gustavo A. Valverde Mora Profesor lector

Lic. Gustavo G´omez Ram´ırez Profesor lector

Resumen El proyecto se bas´ o esencialmente en definir un modelo para la construcci´on de la curva de saturaci´ on de los transformadores de potencia, limit´andose en los reductores, elevadores y autotransformadores. La primera parte del proyecto consisti´o en desarrollar la teor´ıa relacionada con la saturaci´ on en los transformadores, donde se retom´o temas como la construcci´ on b´ asica de un transformador, propiedades magn´eticas del nucleo, ciclo de hist´eresis, entre otras. Se revis´ o igualmente un punto importante dentro de la teor´ıa que rodea el funcionamiento y el rendimiento de los transformadores como lo son las corrientes par´ asitas y como influyen estas en el nucleo del transformador. Se defini´ o cu´ al era el mejor m´etodo para modelar la curva de saturaci´on en funci´ on de las caracter´ısticas, funcionalidades y limitaciones del equipo de medici´ on con que cuenta el LIMAT. A trav´es de los datos obtenidos en las pruebas desarrolladas en el LIMAT se model´ o la curva de saturaci´on a trav´es del m´etodo de arcotangente y se valid´ o al compararla con la curva real. El m´etodo es muy exacto en la zona de saturaci´on, pero en la zona lineal no es tan exacto, debido a que el transformador en los primeros valores no presenta un crecimiento completamente lineal y se puede deber a la vejez del transformador. Como validaci´ on final, se utiliz´o la funci´on Hysteresisf itting del programa EMTP-RV para comprobar la metodolog´ıa empleada, lo cual comprob´o que la misma tiene un mejor rendimiento que la del programa EMTP-RV.

v

´Indice general ´ Indice de figuras

viii

´ Indice de cuadros

ix

Nomenclatura

xi

1 Introducci´ on 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Cap´ıtulo: Saturaci´ on y curva de Hist´ eresis 2.1 Definici´ on de transformador de potencia . . . 2.2 Construcci´ on b´asica de un transformador . . 2.3 Propiedades Magn´eticas . . . . . . . . . . . . 2.4 Ciclo de hist´eresis . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Permeabilidad del material . . . . . . . . . . 2.6 Saturaci´ on del transformador . . . . . . . . . 2.7 Funcionamiento en vac´ıo del transformador . 2.8 Funcionamiento en vac´ıo de un transformador 2.9 P´erdidas en vac´ıo del transformador . . . . . 2.10 Arm´ onicos en el n´ ucleo del transformador . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . real . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 1 2 5 5 5 8 8 9 11 12 16 17 19

3 Cap´ıtulo: Modelos para el ajuste de la curva de saturaci´ on 23 3.1 Modelado de la curva de saturaci´on por sumas exponenciales . 23 3.2 M´etodo por Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Curva de saturaci´on por medio de la funci´on de arcotangente . 27 4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´ on

31

5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´ on

37

6 Conclusiones y recomendaciones

47

Bibliograf´ıa

49

vii

´Indice de figuras 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13

Transformador de columnas . . . . . . . . . . . . . . . . Transformador de acorazado . . . . . . . . . . . . . . . . Alineaci´ on de los dominios en la curva B-H . . . . . . . Ciclo de Histeresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de magnetizaci´ on y curva de permeabilidad . . . Secciones de la Curva de Magnetizaci´on . . . . . . . . . Circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrumentos de la conexi´ on del circuito abierto . . . . . Comparaci´ on de la curvas de flujo, tensi´on aplicada y la magnetizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaci´ on porcentual de arm´onicos . . . . . . . . . . . . . P´erdidas por hist´eresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P´erdidas por corrientes par´ asitas . . . . . . . . . . . . . P´erdidas en funci´ on de la densidad de campo . . . . . .

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Curva de saturaci´ on del m´etodo de suma de exponenciales . . . . Curva de magnetizaci´ on de series de potencia . . . . . . . . . . . Caracter´ıstica de saturaci´ on real y aproximada por arcontangente Circuito equivalente de hist´eresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito equivalente de un reactor . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de hist´eresis de un reactor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

24 26 28 28 29 29

4.1 4.2

Fuente del Laboratorio de Alta Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de la flujo de la metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . .

32 35

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Fuente conectada al transformador . . . . . . . . . . . . Caracter´ıstica de saturaci´ on transformador JEUMONT Curva de corriente de excitaci´on . . . . . . . . . . . . . Curva de saturaci´ on real contra la del m´etodo . . . . . . Curva de saturaci´ on con m modificado . . . . . . . . . . Curva de saturaci´ on con m y λn modificado . . . . . . . Curva de saturaci´ on con m, λn y ∆λ modificado . . . . Comparaci´ on de la curva de saturaci´on con EMTP-RV .

37 38 40 41 43 43 44 45

viii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

6 7 9 10 10 11 12 13 15 16 18 18 20

´Indice de cuadros 2.1

Variables del material para el c´alculo de p´erdidas (Kostenko y Piotrovski, 1975) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.1 3.2

Constantes para diferentes materiales magn´eticos (El-Sherbiny, 1973) 24 Param´etros de diferentes n´ ucleos en unidades SI (Rivas et al., 1981)) 27

4.1

Datos de transformador Jeumont . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5.1 5.2 5.3

Datos de Prueba de Vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentaje de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umero de vueltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 42 45

ix

Nomenclatura FFM

Fuerza Magnetomotriz.

H

Intensidad de campo magn´etico.

B

Densidad de flujo magn´etico.

φ

Flujo magn´etico.

µ

Permeabilidad magn´etica.

λ

Dispersi´ on del flujo.

R

Reluctancia.

i

Corriente el´ectrica.

LIMAT

Laboratorio de Investigaci´on y Mantenimiento en Alta Tensi´on.

EMTP-RV

Electromagnetic Transients Program - Restructured Version.

SEN

Sistema El´ectrico Nacional.

kV

kilovolts.

ICE

Instituto Costarricense de Electricidad.

p.u.

Por Unidad.

MVA

Mega Volt Amperes.

cm

cent´ımetros.

S

Siemens.

mm

mil´ımetros.

Bmax

Densidad de flujo m´aximo.

Br

Flujo remanente.

Hc

Intensidad de campo coercitivo.

π

Pi. xi

m

metros.

T

Tesla.

IEC

International Electrotechnical Commission.

IEEE

Institute of Electrical and Electronics Engineers.

A

Ampere.

3φ

Trif´ asico.

V

Voltios.

◦

Grados.

φT

Flujo total.

φM

Flujo m´ aximo.

ω

Frecuencia angular.

t

Tiempo.

e

Tensi´ on inducida.

N

N´ umero de vueltas.

E

Tensi´ on inducida m´ axima.

f

Frecuencia.

A

´ Area.

l

Longitud.

Ioµ

Corriente de magnetizaci´ on.

Io

Corriente de entrada.

Ioa

Corriente activa.

Po

P´erdidas en vac´ıo.

Pc

P´erdidas en el cobre.

Pn

P´erdidas en el n´ ucleo.

R

Resistencia. xii

Hz

Hertz.

Ph

P´erdidas por hist´eresis.

Ppar

P´erdidas por corrientes par´asitas.

σh

constante del material para hist´eresis.

σpar

Constante del material para corriente par´asitas.

W

Watts.

kg

kilogramo.

Yn

Estrella-neutro.

χ

Susceptibilidad magn´etica.

Ms

Magnetizaci´ on en saturaci´on.

Z

Impedancia.

xiii

1

Introducci´ on

La saturaci´ on es una caracter´ıstica que presentan los materiales ferromagn´eticos, material con el que se construye el n´ ucleo de un transformador. Esta condici´ on junto a la interacci´on de elementos capacitivos e inductivos aumentan la probabilidad de la ocurrencia del fen´omeno tales como la resonancia. Este fen´ omeno puede generar problemas de sobretensiones tan da˜ ninos que pueden ocasionar la destrucci´on de equipos en subestaciones el´ectricas (Montealegre, 2012). En la actualidad, este tipo de situaciones son ampliamente estudiados para el dise˜ no y operaci´ on de las redes el´ectricas, sin embargo la capacidad de detectar o asociar alguna contingencia en particular es funci´on del nivel de detalle con que se modelen los equipos presentes en una red el´ectrica. De esta manera, para poder analizar fen´omenos como las sobretensiones temporales, que involucren elementos tales como transformadores, es fundamental modelar su caracter´ıstica de saturaci´on. En los transformadores se puede encontrar la caracter´ıstica de magnetizaci´ on en las hojas del fabricante, o mediante pruebas de circuito abierto en campo. Sin embargo, cuando no se tiene acceso a las hojas del fabricante de los transformadores, por ser transformadores antiguos como en muchos casos del Sistema El´ectrico Nacional (SEN), o por no poder obtener la tensi´on necesaria en la prueba de vac´ıo, para llegar al punto de saturaci´on de los transformadores, se debe recurrir a la aproximaci´on matem´atica de su caracter´ıstica de saturaci´ on. Otra limitaci´ on, se debe a la dificultad de poder sacar los transformadores de servicios y trasladarlos al laboratorio, para realizar las prueba de vac´ıo, o la dificultad de probarlos en sitio. Un hecho real que motiv´o la creaci´on de este estudio fue lo acontecido en la subestaci´ on de Filadelfia a 138 kV, que termin´o con la destrucci´on de pararrayos, ubicados en el lado del secundario del transformador, donde su tensi´ on era de 13,8 kV (Montealegre, 2012).

1.1

Objetivos

Para el desarrollo de este proyecto se establecieron los siguientes objetivos: 1

2

1 Introducci´on

Objetivo general Determinar una metodolog´ıa para la aproximaci´on de la caracter´ıstica de saturaci´on en transformadores de potencia para estudios de transitorios electromagn´eticos, ya sea mediante pruebas de campo o aproximaciones matem´aticas

Objetivos espec´ıficos • Desarrollar un marco conceptual relativo a las t´ecnicas de aproximaci´on de la caracter´ıstica de saturaci´on en transformadores de potencia. • Proponer una metodolog´ıa para aproximar la caracter´ıstica de saturaci´on en transformadores de potencia del SEN, compatible con las capacidades de pruebas el´ectricas del LIMAT. • Validar la metodolog´ıa propuesta mediante pruebas de laboratorio a un transformador de potencia seleccionado para este fin.

1.2

Metodolog´ıa

La primera parte busc´ o revisar la teor´ıa de los transformadores, temas como la construcci´ on de su n´ ucleo, curva de magnetizaci´on, curva de hist´eresis, p´erdidas por hist´eresis, pruebas de vac´ıo, que fueron evaluados y analizados durante esta etapa. En la segunda parte, se estudiaron detalladamente las t´ecnicas de aproximaci´on, tales como la aproximaci´on de curvas de magnetizaci´on (Rivas et al., 1981), suma exponencial (El-Sherbiny, 1973), series de Fourier, por hip´erbolas en la forma de la ecuaci´ on de Froelich (Valverde y Zamora, 2007), o utilizando la funci´ on de arcotangente (Perez-Rojas, 2000). Seguidamente, en la tercera parte, se busc´o elaborar una metodolog´ıa que consisti´ o de dos partes: una parte te´orica que se enfoc´o en utilizar un modelo matem´ atico que permitiera modelar la curva completa de saturaci´on de un transformador, apeg´ andose a las capacidades del LIMAT y a las necesidades del SEN, y la otra parte validaba ese modelo matem´atico con una parte pr´actica; est´ a consisti´ o en realizar una prueba en vac´ıo del transformador, en la cual se deseaba llevar al transformador sin carga, a una tensi´on superior a 1 p.u., para que trabajase en su zona de saturaci´on. Finalmente la cuarta etapa consisti´o en desarrollar las pruebas pr´acticas, espec´ıficamente pruebas de vac´ıo a un transformador de potencia, las cuales se realizaron en el laboratorio de alta tensi´on LIMAT. Estas pruebas permitieron validar la metodolog´ıa generada en la tercera etapa y fueron desarrolladas con la ayuda del Lic. Gustavo G´ omez Ram´ırez, ingeniero del laboratorio de alta tensi´on del ICE.

1.2. Metodolog´ıa

3

El proyecto se limit´ o a los transformadores de tipo reductor-elevador con conexi´ on Delta-Estrella, con una tensi´on m´axima de 230 kV en lado de alta, 34.5 kV en lado de media y 13.8 kV en lado de baja tensi´on. El transformador utilizado para las pruebas en campo es de la marca JEUMONT, 34.5/13.8 kV, 1.5 MVA, con conexi´on DYn1, el cual es un transformador de origen franc´es y con 51 a˜ nos de funcionamiento. Por u ´ltimo, este proyecto busc´o determinar la caracter´ıstica de saturaci´on de los transformadores delta-estrella. Esta curva es de vital importancia para el estudio de transitorios electromagn´eticos en especial los relacionados con sobretensiones temporales. De igual forma, dado que algunos transformadores que pertenecen al SEN no cuentan con las curvas de saturaci´on respectivas, ya sea por que no se solicitaron estas pruebas al comprar los transformadores o por su antig¨ uedad, es necesario conocer la caracter´ıstica de saturaci´on para comprender de mejor manera cualquier fen´ omeno que pueda ocurrir en la operaci´on cotidiana de subestaciones.

2 Cap´ıtulo: Saturaci´ on y curva de Hist´ eresis en Transformadores de Potencia 2.1

Definici´ on de transformador de potencia

Un transformador de potencia es una m´aquina el´ectrica est´atica que transfiere energ´ıa entre dos o m´ as circuitos por medio de inducci´on electromagn´etica, com´ unmente con el fin de elevar o reducir niveles de tensi´on y corriente el´ectrica, sin variar sus frecuencias.

2.2

Construcci´ on b´ asica de un transformador

Un transformador se conforma b´asicamente de 3 partes: • Devanados. • Materiales aislantes. • N´ ucleo de hierro. Los devanados son bobinas de cobre o aluminio, recubiertos con papel aislante o barniz. Se cubren con estos materiales para aumentar su capacidad diel´ectrica. En los transformadores peque˜ nos de distribuci´on se emplea hilo redondo y en los transformadores de potencia suelen utilizar conductores rectangulares. Para disminuir las p´erdidas generada por las corrientes no uniformes que viajan por el interior del conductor, los devanados se subdividen en hebras o cabos ligeramente aislados. Si se trasponen las hebras de igual tama˜ no de manera que cada uno tenga el mismo flujo, la corriente total se divide por igual entre los cabos y se reducen a un m´ınimo las p´erdidas en el cobre (Staff, 1981). Por otro lado, los materiales diel´ectricos son materiales utilizados para aislar componentes el´ectricos. Se utilizan en la construcci´on de transformadores, cables conductores de electricidad, equipo de protecci´on el´ectrica, entre otros. Algunos materiales diel´ectricos que se utilizan son: el papel, mica, helio, aire, aceite, entre otros. 5

6

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

En los materiales diel´ectricos que se ven influenciados por el calor, a mayor temperatura van perdiendo la capacidad diel´ectrica, por este motivo los transformadores tienen sistemas de enfriamiento para mantener una temperatura tal que dichos materiales no se vean afectados. Un material diel´ectrico se determina por 2 par´ametros: • Conductividad • Constante diel´ectrica (permitividad) La conductividad de un material aislante debe estar en el rango de 10−6 a S ∗ cm−1 para decir que un material es diel´ectrico (G´omez, 2014). La constante diel´ectrica o permitividad representa la cantidad de energ´ıa electrost´ atica que puede ser almacenada por unidad de volumen y por unidad de gradiente de potencial (G´ omez, 2014). El n´ ucleo est´ a compuesto por hierro o aleaciones de hierro con n´ıquel, cobalto, aluminio, silicio, entre otros. Los n´ ucleos pueden tener diferentes formas y tama˜ nos, esto depende de su aplicaci´ on, los m´ as utilizados para transformadores de potencia son los de columnas y los acorazados (Kostenko y Piotrovski, 1975). Los de columna tienen la forma rectangular y est´an formados por l´aminas de acero aisladas, en la parte llamada columnas es donde se alojan los devanados y la parte que une las columnas se le llama culatas. Las culatas sirven para cerrar el curso del flujo magn´etico. El espacio por donde pasan los devanados se les llama ventana del n´ ucleo. La Figura 2.1 representa de buena forma las partes del transformador anteriormente mencionado (Kostenko y Piotrovski, 1975).

10−20

Figura 2.1: Transformador de columnas (Staff, 1981) El transformador de la Figura 2.2 es de tipo acorazado, la mayor´ıa de sus devanados est´ an encerrados dentro del n´ ucleo, debido a que se minimiza el flujo de dispersi´ on comparado con un transformador tipo columnas.

2.2. Construcci´ on b´ asica de un transformador

7

Figura 2.2: Transformador de acorazado (Staff, 1981)

La estructura de un transformador debe ser robusta para soportar corrientes de cortocircuito, esfuerzos mec´anicos, entre otros. La base para la estructura es el n´ ucleo, por ese motivo los transformadores de potencia tienden a ser grandes debido a las fuerzas el´ectricas y mec´anicas que debe soportar al cortocircuitarse el transformador (Staff, 1981), adem´as por la corriente de falla pasante. Al ocurrir un cortocircuito en un transformador, las intensidades de corrientes suelen ser de 10 a 25 veces mayores que los correspondientes a plena carga y los esfuerzos electromec´anicos 100 a 625 veces mayores que a plena carga, debido a que la fuerza es el cuadrado de la corriente y las corrientes transitorias pueden ser a´ un mayor (Staff, 1981). Debido a estas fuerzas se destruyen muchos transformadores. Por otro lado, el material que se utiliza para las l´aminas es acero al silicio, ya que proporciona un compromiso entre costo, y p´erdidas el´ectricas (Staff, 1981). El espesor utilizado para las l´aminas es de 0.23 mm o 0.35 mm y se utilizan 2 t´ecnicas para su creaci´on: el acero laminado en caliente y el acero laminado en fr´ıo (Kostenko y Piotrovski, 1975), la primer t´ecnica presenta mejores caracter´ısticas magn´eticas. Una caracter´ıstica de los materiales ferromagn´eticos es que poseen una alta permeabilidad, la permeabilidad se define como la capacidad de un material magn´etico de facilitar la conducci´on de l´ıneas de flujo magn´etico (G´omez, 2014). En cuanto al aislamiento, hay 2 tipos que son mayormente utilizados: el papel y el barniz de aceite. El aislamiento de barniz es mejor que el papel, ya que posee mayor conductividad t´ermica y mayor resistividad mec´anica, pero en los transformadores de potencia que se encuentran en el SEN es de mayor uso el papel por un tema de costos, una ventaja que tiene el aislamiento con papel es que cubre de mejor forma el conductor.

8

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

En los transformadores trif´ asicos que son de mucha capacidad se conforman de 3 columnas que poseen los devanados y dos columnas adicionales sin devanados, su funci´ on es disminuir la altura de la culata, para facilitar el transporte y disminuir las p´erdidas por flujo de dispersi´on. Al comparar los transformadores de columnas contra el de acorazado, el de columnas tienen una construcci´on m´as simple, se puede montar y aislar los devanados con mayor facilidad, y son m´as resistentes en cortocircuito mec´anicamente hablando (Kostenko y Piotrovski, 1975).

2.3

Propiedades Magn´ eticas

Las l´aminas con las que se fabrica el n´ ucleo del transformador son de aleaciones de hierro. Estas se realizan con este tipo de material por las caracter´ısticas ferromagn´eticas que presentan. Los materiales ferromagn´eticos presentan caracter´ısticas que permiten que, al aplicar un peque˜ no campo externo, se obtengan grandes densidades de flujo magn´etico. De igual manera, est´ an formados por una gran cantidad de dominios, que se encuentran en un orden aleatorio, por lo que al aplicar un campo externo, los dominios empiezan a alinearse en la direcci´on del campo magn´etico aplicado. Las paredes se agrandan si los dominios est´an a favor del campo magn´etico y se encogen si van en contra del campo (Barrantes, 2012). En la Figura 2.3 se observa la interacci´on de los dominios ante un campo magn´etico y c´ omo se van alineando conforme la aplicaci´on de campo. Entre mayor sea la aplicaci´ on de intensidad de campo (H) mayor ser´a la alineaci´on de los dominios, hasta el punto donde todos los dominios se encuentran en paralelo con el campo aplicado. En ese punto se dice que el material se encuentra saturado, porque un aumento en el campo aplicado, despu´es del punto de saturaci´on, no provoca un aumento en la inducci´on, es decir la permeabilidad relativa es 1 (Barrantes, 2012). Cuando el material llega a su densidad de flujo m´aximo (Bmax ) es cuando se llega al punto m´ aximo de saturaci´on como se observa en la Figura 2.3, si se deja de aplicar corriente al material, ´el busca volver a sus valores iniciales, pero por sus caracter´ısticas magn´eticas va a quedar un flujo magn´etico que se le conoce como flujo remanente, este flujo ocurre cuando H es igual a cero.

2.4

Ciclo de hist´ eresis

Despu´es de la primera imantaci´ on el material se satura, al dejar de aplicar el campo magn´etico externo la intensidad se vuelve cero, pero queda el flujo remanente (Br ) como se observa en la Figura 2.4. Ahora bien, para poder

2.5. Permeabilidad del material

9

Figura 2.3: Alineaci´ on de los dominios en la curva B-H (Barrantes, 2012)

suprimir el magnetismo remanente se debe aplicar un campo inverso al aplicado inicialmente con un valor de intensidad igual a la fuerza coercitiva (Hc ), pero si se sigue aplicando el campo inverso sucede lo mismo, es decir, que el material se va a saturar en la direcci´on contraria y nuevamente quedar´ıa el flujo remanente al quitar el campo externo, a esto se le conoce como ciclo de hist´eresis. Una manera de eliminar la magnetizaci´on del material es calentando el material hasta que supere la temperatura de Curie (valor de temperatura cuando el material pierde sus propiedades ferromagn´eticas y pasa a ser paramagn´etico). Otro m´etodo es golpeando el material, de esta forma se elimina la magnetizaci´ on.

2.5

Permeabilidad del material

La permeabilidad magn´etica de un material es “es la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a trav´es de ella campos magn´eticos”. (Barrantes, 2012). La permeabilidad se relaciona con la intensidad de campo (H) y con la densidad de campo (B) como se observa en la ecuaci´on (2.1) B (2.1) H Donde µ esta formado por la permeabilidad relativa y la permeabilidad del vac´ıo que tiene un valor de 4π10−7 H/m. µ=

10

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

Figura 2.4: Ciclo de Histeresis (Guru et al., 2003)

En la Figura 2.5 se observa la permeabilidad del material y su variaci´on con respecto a los valores de B y H.

Figura 2.5: Curva de magnetizaci´on y curva de permeabilidad (Hubert, 1991)

2.6. Saturaci´ on del transformador

2.6

11

Saturaci´ on del transformador

Al graficar B contra H se observa un crecimiento lineal que se demuestra con la ecuaci´ on B = µ × H, pero debido a las caracter´ısticas del material esta linealidad se pierde hasta el punto de saturaci´on del material. Todo material magn´etico posee una curva de saturaci´on como la de la Figura 2.6. Donde la curva cuenta con 3 etapas (Guru et al., 2003). 1. Regi´ on lineal. 2. Punto de inflexi´ on o rodilla. 3. Regi´ on de saturaci´on.

Figura 2.6: Secciones de la Curva de Magnetizaci´on (Guru et al., 2003) Idealmente los transformadores trabajan en la regi´on lineal. En el punto de inflexi´ on el transformador empieza a perder la caracter´ıstica de linealidad debido a la saturaci´ on del material ferromagn´etico. Los valores del punto de inflexi´ on van de 1.5 T a 1.8 T (Fitzgerald et al., 2004). Para el estudio de transitorios electromagn´eticos es de vital importancia el funcionamiento y modelado de la caracter´ıstica de saturaci´on del transformador. Como se mencion´ o anteriormente, para poder determinar esta caracter´ıstica existen diferentes m´etodos: el m´etodo pr´actico, mediante la prueba en vac´ıo del transformador, y la otra por medio de aproximaciones matem´aticas.

12

2.7

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

Funcionamiento en vac´ıo del transformador

El funcionamiento del transformador en vac´ıo se da cuando uno de sus devanados no se conecta ninguna carga, en otras palabras el circuito se encuentra abierto. La prueba de vac´ıo permite definir los par´ametros del n´ ucleo que son de gran importancia para poder determinar la saturaci´on del mismo. Con la prueba de vac´ıo se puede determinar: la relaci´on de transformaci´on, la corriente en vac´ıo, p´erdidas en vac´ıo y graficar la curva de saturaci´on del n´ ucleo. Una forma de ver el transformador en vac´ıo es a trav´es de su circuito, como se observa en la Figura 2.7.

Figura 2.7: Circuito abierto (Guru et al., 2003) Durante la prueba de vac´ıo se deja el lado de alta tensi´on abierto, es decir los devanados no est´ an conectados a ninguna carga, y el lado de baja tensi´on se le conecta una fuente de corriente alterna como se observa en la Figura 2.8. Los instrumentos que se utilizan para realizar la prueba son el volt´ımetro y amper´ımetro, el cual se configura para hacer medici´on por m´etodo de 2 o 3 vat´ımetros, el cual es aceptado por la norma IEC e IEEE para este efecto. Una limitante que tienen los equipos de medici´on es que los equipos port´atiles solamente pueden alcanzar los 12 kV, por lo tanto en algunos casos no se pueden realizar las pruebas en campo necesarias para poder llegar al punto de saturaci´ on de los transformadores. Por otro lado la fuente que se tiene disponible en el LIMAT puede llegar hasta 40 kV en vac´ıo y m´ aximo 10 A. No obstante, se puede realizar la prueba con un transformador 3φ y un autotransformador regulable. Como se observa en la Figura 2.8 las variables que se miden son la tensi´on y la corriente principalmente. Sin embargo, la curva de saturaci´on suele graficarse con los par´ ametros de intensidad de campo y densidad de campo por lo

2.7. Funcionamiento en vac´ıo del transformador

13

Figura 2.8: Instrumentos de la conexi´on del circuito abierto (Konstenko, 1975)

que se debe encontrar una relaci´on entre V →B y entre I→H. Al inducir una corriente se produce un flujo magn´etico que tiene la misma forma sinusoidal de la tensi´on, solamente que est´a retrasada 90◦ respecto a la tensi´ on aplicada. En la ecuaci´on (2.2) se representa el flujo en funci´on del tiempo. φT = φM sin(ωt −

π ) 2

(2.2)

Donde φT es el flujo magn´etico, φM es el flujo m´aximo. La tensi´ on inducida e del n´ ucleo, se define por la ecuaci´on (2.3) y si se desprecia la resistencia y la inductancia del devanado primario se puede definir que la tensi´ on aplicada V es igual a la tensi´on inducida en el n´ ucleo como se observa en la ecuaci´ on (2.4). e = −N ×

dφ dt

(2.3)

Donde N es el n´ umero de vueltas del devanado y el signo negativo es debido a la Ley de Lenz. V = −e

(2.4)

En la ecuaci´ on (2.4) al definir que la tensi´on inducida es igual a la tensi´on aplicada, por ende se puede definir la tensi´on inducida mediante la ecuaci´on (2.5). e = E sin(ωt − π)

(2.5)

14

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis Donde E es la tensi´ on inducida m´axima.

Al igualar la ecuaci´ on (2.3) con (2.5) e integrando, se puede obtener la ecuaci´ on (2.6). La ecuaci´ on (2.6) ser´ıa la tensi´on del devanado primario, por eso se define como E1 . Igualmente N1 representa los n´ umeros de vuelta del devanado primario y f es la frecuencia. E1 = 4,44 × f × N1 × φM

(2.6)

Dado que el flujo magn´etico que pasa por el primario es el mismo que pasa por el devanado secundario, se puede definir que la tensi´on inducida del secundario tiene la misma ecuaci´on de E1 , solamente cambia el n´ umero de vueltas N2 (Konstenko,1975). E2 = 4,44 × f × N2 × φmax

(2.7)

Como se mencion´ o anteriormente se debe encontrar una relaci´on entre la tensi´on, la densidad de campo, la corriente y el flujo de campo. N ×i (2.8) < Donde < es la reluctancia(resistencia magn´etica del material ante un flujo cuando se aplica una fuerza magn´etica y es inversamente proporcional a la permeabilidad µ del material). φ=

B=

φ A

(2.9)

H=

B µ

(2.10)

N´otese que A es el ´ area transversal del n´ ucleo. Al conocer que el flujo est´ a determinado por la ecuaci´on (2.8), y que la densidad de campo y la intensidad de campo est´an definidas por la ecuaciones (2.9) y (2.10). Se puede encontrar una relaci´on en t´erminos de la tensi´on y la corriente como se observa en la ecuacion (2.11) y (2.12). B=

E 4,44 × f × N × A

N ×i l Donde i es la corriente inducida y l la longitud del devanado. H=

(2.11) (2.12)

2.7. Funcionamiento en vac´ıo del transformador

15

Otra relaci´ on importante es la que se obtiene de la dispersi´on de flujo λ y la corriente. El flujo de dispersi´on se define en la ecuaci´on (2.13), pero mediante manipulaci´ on de ecuaciones se puede obtener la dispersi´on en t´erminos de la tensi´ on como se observa en la ecuaci´on (2.14) (Fitzgerald et al., 2004). λ=N ×φ

λ=

E 4,44 × f

(2.13)

(2.14)

Antes del punto de inflexi´on como se observa en la Figura 2.6 la corriente de magnetizaci´ on es proporcional a la inducci´on (Kostenko y Piotrovski, 1975). Cuando el material se encuentra saturado la corriente de magnetizaci´on posee una onda no sinusoidal como se observa en la curva E de la Figura 2.9, contraria a la tensi´ on inducida que se muestra sinusoidal.

Figura 2.9: Comparaci´ on de la curvas de flujo, tensi´on aplicada y la corriente magnetizante (Konstenko, 1975) La corriente de magnetizaci´on se puede descomponer en una serie de arm´ onicos, al ser la curva sim´etrica con el eje de las abscisas esta serie s´olo posee arm´ onicas impares. El primer arm´ onico se encuentra 90◦ en atraso con la tensi´on aplicada. El tercer arm´ onico va a ser de suma importancia en la funci´on del transformador. En la Figura 2.10 se observa la relaci´on de las corrientes arm´onicas en funci´ on del flujo magn´etico, la curva 2 representa la relaci´on del 5to arm´onico con la fundamental y la curva 1 del tercer arm´onico con la fundamental.

16

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

Figura 2.10: Relaci´ on porcentual de arm´onicos (Konstenko, 1975)

Se observa en la curva 1 de la Figura 2.10 c´omo al aumentar la densidad de campo la corriente de la tercera arm´onica aumenta notablemente. El valor eficaz Ioµ de la corriente de magnetizaci´on se puede obtener de las amplitudes de las arm´ onicas, donde α es la relaci´on porcentual de las arm´onicas impares con la fundamental, valor porcentual que cambia respecto a B. Im1 Ioµ = √ 2

2.8

q 1 + α32 + α52 + ...

(2.15)

Funcionamiento en vac´ıo de un transformador real

Para un transformador real se toma en cuenta el flujo de dispersi´on y ciertas p´erdidas. Al saber que las curvas de corriente no son sinusoidales puras se sustituye por un senoide equivalente (Staff, 1981). En el transformador real se tiene una corriente de entrada Io que est´a formada por la corriente de magnetizaci´on Ioµ , la cual se encarga de crear el flujo magn´etico, y la otra corriente es la corriente activa Ioa . La magnitud de Io se representa en la ecuaci´on (2.16) /Io / =

q 2 + I2 Ioµ oa

(2.16)

2.9. P´erdidas en vac´ıo del transformador

17

Se dice que la corriente activa Ioa representa menos del 10 % de la corriente Io , lo cual casi no interfiere en la corriente de vac´ıo. Por el contrario, si interfiere en la forma y la fase de la corriente de vac´ıo (Kostenko y Piotrovski, 1975). En los transformadores de potencia la ca´ıda de tensi´on durante el funcionamiento en vac´ıo es generalmente menos del 0.5 % de V1 y se genera en la reactancia de los devanados con respecto a la fuente.

2.9

P´ erdidas en vac´ıo del transformador

Las p´erdidas P o son las p´erdidas en vac´ıo del transformador, el cual normalmente sufre p´erdidas por el cobre que se denominan Pc y p´erdidas en el n´ ucleo Pn . Po = Pc + Pn

(2.17)

Donde las p´erdidas por el cobre son en funci´on del cuadrado de la corriente, como se muestra en la siguiente ecuaci´on: Pc = Io2 R1

(2.18)

Para facilitar el estudio de las p´erdidas en vac´ıo, se puede despreciar las p´erdidas del cobre, que se modelan con la resistencia R1 , ya que representan menos del 2 % de las p´erdidas totales (Kostenko y Piotrovski, 1975). Po ≈ Pn

(2.19)

Las p´erdidas en el n´ ucleo principalmente se dan por: • P´erdidas por hist´eresis. • P´erdidas por corrientes p´arasitas, de Foucault o de eddy. Las p´erdidas por hist´eresis est´an relacionadas con la energ´ıa convertida en calor debido al efecto de la hist´eresis. Este calentamiento, se debe a la tendencia del material de conservar su imantaci´on u oponerse a una variaci´on de imantaci´ on (Staff, 1981). En la Figura 2.11 el ´ area sombreada una parte del ciclo que se debe integrar para poder determinar un par´ametro de las p´erdidas por hist´eresis. Las p´erdidas por corrientes par´asitas se originan por corrientes en el material magn´etico, estas corrientes se producen por fuerzas electromotrices inducidas por los flujos variables (Staff, 1981). A las p´erdidas por corrientes par´asitas se le llama de Foucault o de Eddy cuando se trabaja a frecuencias de 50 o 60 Hz respectivamente.

18

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

Figura 2.11: P´erdidas por hist´eresis (Guru et al., 2003)

En la Figura 2.12 se observa un flujo circular, esto es las llamadas corrientes par´asitas, por este motivo entre mas delgado sean las placas del n´ ucleo menor ser´an estas p´erdidas.

Figura 2.12: P´erdidas por corrientes par´asitas (Guru et al., 2003) Las p´erdidas por hist´eresis se pueden definir por la ecuaci´on (2.20) y la de corrientes p´ arasitas por la ecuaci´on (2.21). Ph = σ h × (

f 2 ) × B2 100

(2.20)

2.10. Arm´ onicos en el n´ ucleo del transformador

Ppar = σpar × (

19

f 2 ) × B2 100

(2.21)

Donde Ph son las p´erdidas por hist´eresis, Ppar las p´erdidas por corrientes par´ asitas, σh y σpar son constantes del material de la l´amina. Las p´erdidas se expresan en W/kg y los coeficientes se pueden obtener del Cuadro 2.1, donde el valor depende del espesor de las l´aminas que conforman el n´ ucleo. Cuadro 2.1: Variables del material para el c´alculo de p´erdidas (Kostenko y Piotrovski, 1975)

Grado de aleaci´ on del acero

Espesor de la l´amina en mm

σh

σpar

De baja aleaci´ on y de aleaci´on media

1,0 0,5 0,35

4,4 4,4 4,7

22,4 5,6 3,2

De alta aleaci´ on

0,50 0,35

3,0 2,4

1,2 0,6

Las p´erdidas en el n´ ucleo se pueden definir en funci´on de la densidad de campo como se observa en la Figura 2.13, donde las p´erdidas dependen del material y del espesor de las placas. Otro tipo de p´erdidas que ocurren en vac´ıo son las llamadas p´erdidas adicionales, que se generan principalmente por: modificaci´on de las estructuras de las l´ aminas durante su creaci´on, p´erdidas en las uniones a causa de la distribuci´ on irregular de inducci´on, p´erdidas en las piezas de construcci´on y p´erdidas en el aislamiento (Kostenko y Piotrovski, 1975). Las p´erdidas adicionales no tienen un c´alculo exacto, pero a trav´es de estudios mencionados en el libro Kostenko y Piotrovski (1975), despu´es de 1.5 T estas p´erdidas tienden a aumentar, y que a inducciones entre 1.45 T y 1.47 T representan desde un 5 % a un 10 % del 100 % de las p´erdidas totales (G´ omez, 2014).

2.10

Arm´ onicos en el n´ ucleo del transformador

La distorsi´ on que presenta la forma de onda en la corriente magnetizante se debe principalmente a la tercera arm´onica.

20

2 Cap´ıtulo: Saturaci´on y curva de Hist´eresis

Figura 2.13: P´erdidas en funci´ on de la densidad de campo (Kostenko y Piotrovski, 1975)

Para poder mantener la curva sinusoidal de la tensi´on, se debe mantener la circulaci´ on de la tercer arm´ onica. Esto se logra con la conexi´on delta (Arrillaga et al., 1994), de lo contrario en una conexi´on Yn -Yn la tercera arm´onica desaparece, ya que, coinciden en fase con el tiempo, por lo tanto la corriente siempre se dirige hacia el neutro o viceversa (Kostenko y Piotrovski, 1975). En un transformador de tres columnas la fuerza de magnetizaci´on est´a en fase y en una misma direcci´ on para cada columna; por lo tanto el flujo de la tercera arm´ onica tiende que disiparse en el aire o a trav´es del aceite del transformador, y la alta reluctancia reduce el flujo del tercer arm´onico a un valor peque˜ no, casi el 10 % del que aparecer´ıa en un transformador monof´asico (Arrillaga et al., 1994). Las arm´ onicas 5ta y 7ma no deben ser dejadas de lado ya que pueden ser lo suficientemente grandes como para distorsionar la onda. Los arm´ onicos alcanzan su m´ aximo valor cuando los transformadores est´an poco cargados y la tensi´ on es alta. Para aprovechar todas las propiedades magn´eticas del material, un transformador con n´ ucleo de grano orientado se construye para que trabaje en una

2.10. Arm´ onicos en el n´ ucleo del transformador

21

regi´ on de 1.6 T a 1.8 T. Si se da una sobretensi´on del 30 % el n´ ucleo pasa a una inducci´ on de 1.9 T a 2.0 T, que produce un alto nivel de saturaci´on (Arrillaga et al., 1994). Cuando un transformador se desconecta queda en vac´ıo, pero a la vez se mantiene con una densidad de flujo remanente ±Br , flujo remanente. Y cuando se vuelve a conectar el transformador la inducci´on puede alcanzar valores de hasta 2 veces el flujo m´aximo m´as el flujo remanente, casi 3 veces el valor nominal dando valores de 3.4 T a 4.7 T. Este efecto genera corrientes magnetizantes de 5 a 10 veces la nominal, mientras que el valor te´orico es normalmente del 1 % o 2 % de la nominal (Arrillaga et al., 1994). El amortiguamiento de esta corriente depende del tiempo, ya que debe disiparse por la resistencia del devanado primario y en el caso de transformadores grandes puede durar mucho tiempo debido a las peque˜ nas resistencias, se dice transformadores grandes a capacidades mayores a 1 MVA. Se ha comprobado que la magnitud de los componentes arm´onicos de ordenes bajos de la corriente de excitaci´on, aumenta casi linealmente con el contenido de corrientes continuas en el secundario del transformador (Arrillaga et al., 1994).

3 Cap´ıtulo: Modelos para el ajuste de la curva de saturaci´ on Es de vital importancia el modelado de la caracter´ıstica de saturaci´on para el estudio de fen´ omenos tales como ferroresonancia, pero para dicha caracter´ıstica se presentan varios problemas como la obtenci´on de datos por parte del fabricante ya que hay transformadores antiguos, o bien no se poseen los equipos de medici´ on necesarios para obtener los valores reales para generar la curva. Otra dificultad se debe a los efectos de hist´eresis, ya que provoca que los c´ alculos matem´ aticos sean dif´ıciles de realizar, por este motivo muchos autores han buscado la mejor forma de aproximar estas ecuaciones matem´aticas a una o varias f´ ormulas que faciliten el c´alculo de la curva de saturaci´on. En este cap´ıtulo se mencionan varios modelos matem´aticos, sus ecuaciones y se define cu´ al es de mejor aplicaci´on para los transformadores del SEN.

3.1

Modelado de la curva de saturaci´ on por sumas exponenciales

El autor de este modelo es M.K. El-Sherbiny (El-Sherbiny, 1973), quien define que la curva de saturaci´ on tiene un comportamiento muy similar a la ecuaci´on (3.1). B (H) = Bmax 1 − e−αH




(3.1)

Sin embargo, la ecuaci´on (3.1) presenta muchos errores ya que no se asemeja a los valores reales del material, especialmente en el origen y en el punto de inflexi´ on. Por el contrario, ´el menciona que una suma de exponenciales como se muestra en la ecuaci´ on (3.2) presenta menos errores. B(H) = a0 + a1 e−α1 H + a2 e−α2 H + a3 e−α3 H + a4 e−α4 H

(3.2)

Las constantes αi y ai van a depender del material de fabricaci´on del n´ ucleo. Algunos de estos valores se observan en el Cuadro 3.1. En la Figura 3.1 se observa la comparaci´on de la curva de un n´ ucleo laminado en fr´ıo contra la simulaci´on de la ecuaci´on 3.2. Esta metodolog´ıa presenta una exactitud muy elevada. Por ejemplo para los elementos que se utilizaron para el modelo el error de aproximaci´on fue menor al 5 % (El-Sherbiny, 1973). 23

24

3 Cap´ıtulo: Modelos para el ajuste de la curva de saturaci´on

Cuadro 3.1: Constantes para diferentes materiales magn´eticos (El-Sherbiny, 1973)

a0 a1 a2 a3 a4 α1 α2 α3 α4

Laminado en fr´ıo

hierro fundido

lamina de acero recocido

4.128 -1.191 -2.638 -1.24 0.852 8.89×10−3 1.4×10−5 1.91×10−3 15.2×10−3

3.69 -0.797 -2.173 -1.045 0.325 3.81×10−3 1.27×10−5 1.01×10−3 12.7×10−3

4.295 -0.358 -2.887 3.809 -4.859 1.78×10−3 1.73×10−5 22.9×10−3 17.9×10−3

Figura 3.1: Curva de saturaci´ on del m´etodo de suma de exponenciales (ElSherbiny, 1973)

Este modelo presenta una facilidad para el modelado de la curva y una gran exactitud por sus ecuaciones, sin embargo, para el uso real no es de mucha utilidad, debido a que las f´ ormulas se basan en las constantes del Cuadro 3.1 y no necesariamente los transformadores que conforman el SEN est´an formados

3.2. M´etodo por Series de Potencia

25

por los mismos materiales que se indican en el Cuadro 3.1. Por lo tanto, este m´etodo se descarta para el modelado de la curva de magnetizaci´on.

3.2

M´ etodo por Series de Potencia

Este m´etodo fue definido por J. Rivas (Rivas et al., 1981) y de la misma forma que otros autores, busca simplificar el c´alculo y el modelado de la curva de magnetizaci´ on. Este m´etodo se basa en la expansi´on en serie de potencias, el cual posee expresiones muy simples; sin embargo, este tipo de aproximaciones no se satura para altos valores de campo magn´etico (Fischer y Moser, 1959). Esta dificultad es disminuida sustituyendo la funci´on polinomial por una funci´ on racional. El m´etodo busca ajustar la curva de magnetizaci´on por el segundo orden de la funci´ on racional, cuyos coeficientes est´an relacionados con constantes del material. La curva de magnetizaci´on se puede caracterizar por la ecuaci´on (3.3). B = µ0 (H + M )

(3.3)

Donde µ0 es la permeabilidad al vac´ıo del material magn´etico y M , para materiales con un comportamiento no lineal, es una complicada funci´on de H, la cual puede aproximarse por medio de una funci´on racional de segundo orden y se puede representar por la ecuaci´on (3.4). M=

a0 + a1 H + a2 H 2 1 + b1 H + b2 H 2

(3.4)

Donde los coeficientes ai y bi son constantes que se pueden determinar mediantes m´etodos de ajuste de curvas. Luego de una serie de suposiciones tanto para campos d´ebiles (H→0), en donde (3.4) se puede identificar con la ley de Rayleigh 1 , como para campos fuertes (H→ ∞), que pueden ser aproximados mediante la ley de saturaci´on (Cauer, 1925), los coeficientes ai y bi se pueden obtener de la siguiente forma:

1

a0 = 0

(3.5)

a1 = χ

(3.6)

Cuando se aplica campo magn´eticos peque˜ nos, los dominios paralelos al campo externo empieza a crecer. Estos son obstaculizados por defectos del material. Lord Rayleigh investig´ o ese primer efecto y cuantific´ o la magnetizaci´ on M como un termino lineal y cuadr´ atico M = χ0 H + αR µ0 H 2 (Rayleigh, 1887)

26

3 Cap´ıtulo: Modelos para el ajuste de la curva de saturaci´on

a2 =

λMs + χ2 Ms + αχ

(3.7)

Donde χ es la susceptibilidad magn´etica del material, λ es la constante de Rayleigh del material, Ms es la magnetizaci´on en saturaci´on y α es la constante de N´eel (Rivas et al., 1981). αλ + χ2 Ms − αχ

(3.8)

λMs + χ2 Ms (Ms − αχ)

(3.9)

b1 = b2 =

Los valores t´ıpicos para estos coeficientes se muestran en el Cuadro 3.2. Una aproximaci´ on de la curva real con la curva obtenida con el m´etodo se observa en la Figura 3.2

Figura 3.2: Curva de magnetizaci´on de series de potencia (Rivas et al., 1981) De la misma forma que el m´etodo por funciones exponenciales, este depende de coeficientes que se determinan a trav´es del tipo de material que conforman las l´ aminas. Al no tener el total conocimiento de los materiales con los que se fabrican los n´ ucleos de los transformadores del SEN, no se puede afirmar que los materiales sean los mismos que se encuentran en el Cuadro 3.2, por lo tanto el m´etodo propuesto por (Rivas et al., 1981) se descarta.

3.3. Curva de saturaci´ on por medio de la funci´on de arcotangente

27

Cuadro 3.2: Param´etros de diferentes n´ ucleos en unidades SI (Rivas et al., 1981)) N´ ucleos Ferroxcube N i0,4 F e2,6 o4 N i0,2 F e2,8 o4 N i0,9 F e2,1 o4

3.3

χ

λ(A−1 m)

α (Am−1 )

Ms (Am−1 )

2764 28 13 11

252 0.20 0.09 0.02

14 2240 1432 1440

356884 245295 173918 110584

Curva de saturaci´ on por medio de la funci´ on de arcotangente

Este modelo es propuesto por Carlos P´erez-Rojas (Perez-Rojas, 2000). Aqu´ı, la curva de saturaci´ on se representa de forma anal´ıtica con 3 par´ametros: el escal´ on o parte lineal, la rodilla o punto de inflexi´on y la saturaci´on. El m´etodo por arcotangente es de f´acil uso, ya que se necesitan pocos par´ ametros para obtener la curva de saturaci´on. Para este m´etodo se gr´afica λ-i como se observa en la Figura 3.3 y la caracter´ıstica de saturaci´on o magnetizaci´on de un material magn´etico puede aproximarse usando la funci´on arcotangente (3.10) λm (im ) = λn tan−1 (mim ) + ∆λim

(3.10)

Las constantes λm , m, y ∆λ se pueden calcular de la siguiente forma: 2 (3.11) π Donde λx es el valor de λ en la intersecci´on de las pendientes, λn es el valor de λx normalizado al m´aximo valor de la funci´on arcotangente, el cual 2 es . Por otro lado, m se determina a partir de la ecuaci´on (3.12). π (λ2 − λ1 ) π m= (3.12) (i2 − i1 ) 2λs Entre tanto, λs es el valor saturado de λ en la caracter´ıstica de magnetizaci´ on, m es la pendiente inicial normalizada al m´aximo valor de la funci´on 2 arcotangente y al valor de saturaci´on λs . Finalmente, ∆λ se determina a π partir de la ecuaci´ on (3.13). λn = λx

∆λ =

[λs − λn tan−1 (mis )] is

(3.13)

28

3 Cap´ıtulo: Modelos para el ajuste de la curva de saturaci´on

Figura 3.3: Caracter´ıstica de saturaci´on real y aproximada por arcontangente (Perez-Rojas, 2000)

Donde is es el valor de corriente correspondiente a λs , ∆λ es el incremento lineal de λm . Finalmente, λm es el flujo de acoplamiento magn´etico e im es la corriente de magnetizaci´ on (Perez-Rojas, 2000). Por otro lado, el m´etodo brinda la oportunidad de modelar la caracter´ıstica de hist´eresis mediante una resistencia, que representa las p´erdidas en el hierro, en paralelo con una inductancia no-lineal como se observa en la Figura 3.4.

Figura 3.4: Circuito equivalente de hist´eresis (Perez-Rojas, 2000) A manera de ejemplo, al aplicar la funci´on arcotangente al modelo de un reactor, como el de la Figura 3.5, se obtiene una curva de hist´eresis como se muestra en la Figura 3.6. El modelo arcotangente es el m´as factible, de los tres modelos presentados, para el modelado de la curva de saturaci´on.

3.3. Curva de saturaci´ on por medio de la funci´on de arcotangente

29

Figura 3.5: Circuito equivalente de un reactor (Perez-Rojas, 2000)

Figura 3.6: Curva de hist´eresis de un reactor (Perez-Rojas, 2000)

Al desconocer los materiales que conforman los n´ ucleos de los transformadores que posee el SEN, este modelo representa una superioridad ante las otras t´ecnicas, ya que no se necesita conocer estos datos para poder aproximar la curva de saturaci´ on a la curva real. Los par´ ametros que se necesitan solo dependen de la curva, y estos se pueden llegar a obtener de forma experimental, para as´ı poder completar la curva de saturaci´ on.

4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´ on En el cap´ıtulo 3 se mencionaron diferentes m´etodos para el modelado de la curva de saturaci´ on de un transformador de potencia, pero solo un m´etodo es de mayor factibilidad para el proyecto, este ser´ıa el m´etodo de Arcotangente. El m´etodo por arcotangente define una ecuaci´on (3.10) que s´olo depende de par´ ametros que se obtienen de la curva que se muestra en la Figura 3.3. Por lo tanto, se debe obtener los mayores datos de esta curva por medio de una prueba experimental realizada en el LIMAT. La prueba experimental ser´ıa la prueba de vac´ıo, la cual se le efectu´o a un transformador DYn1, por lo tanto se limita este proyecto a este tipo de transformadores, los cuales pueden ser transformadores elevadores, reductores o autotransformadores. Lo primero que se debe tomar en cuenta son las variables que se necesitan para realizar la curva de saturaci´on. Estas variables como se observ´o en el cap´ıtulo 2 en las ecuaciones (2.12) y (2.14) son la tensi´on inducida que ser´ıa muy cercana al valor de la tensi´on aplicada y la corriente aplicada. Estas variables son necesarias, ya que para determinar la curva de saturaci´on mediante el m´etodo de aproximaci´ on por arcotangente, se grafica flujo de dispersi´on contra corriente y el flujo de dispersi´on se calcula con la tensi´on. Otra variable que se necesita es la frecuencia con la que se est´a induciendo la tensi´ on. Adem´ as, se debe tomar en cuenta que los valores de corriente y tensi´ on son valores rms. Como se sabe que principalmente los par´ametros que se deben medir son la tensi´ on y la corriente, se debe conocer los valores m´aximos que se deben obtener de cada uno. Para el transformador, al cual se le realiz´o la prueba, la tensi´on en el primario es de 34.5 kV y el secundario de 13.8 kV como se observa en los datos de placa en el Cuadro 4.1. Ahora bien, el transformador por protecci´on no se debe llevar a una tensi´on superior de 1.25 p.u., por lo tanto, se espera que cuando se lleguen a niveles de tensi´on cercanos a 1.25 p.u. se encuentre en la regi´ on de saturaci´ on del n´ ucleo. Con respecto a la corriente en la prueba de vac´ıo se espera que no supere 1 A o 2 A y que la corriente m´axima de excitaci´ on sea alrededor del 1 % de la corriente nominal del transformador. Para poder definir si el transformador ya se encuentra en la regi´on de saturaci´ on debe superar los valores de 1.5 T a 1.8 T (Fitzgerald et al., 2004), 31

32

4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´on

Figura 4.1: Fuente del Laboratorio de Alta Tensi´on

entonces utilizando la ecuaci´ on (2.11) se puede obtener la densidad de campo y comparar con los valores de tensi´on que se van obteniendo en la prueba. Para poder realizar estas mediciones se necesitaron diferentes instrumentos como los que se mencionan en la secci´on 2.7. Una vez conectados todos los equipos, y con las condiciones iniciales del transformador donde V =0 V e i=0 A, el paso a seguir fue inyectar corriente al transformador de manera que conforme aumentara la corriente, la tensi´on aumentara de igual forma. En esta etapa se espera que el aumento sea lineal. A cierta cantidad de corriente la tensi´on deja de aumentar linealmente con respecto al aumento en la corriente, en este punto se dice que el transformador se haya en la regi´ on de inflexi´ on. Seguidamente, se aument´ o la corriente hasta el punto en que la tensi´on se vuelve casi constante y ocurra el caso contrario, que la tensi´on empiece a disminuir con el aumento de corriente. El punto exacto donde al aumentar la

4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´on

33

Cuadro 4.1: Datos de transformador Jeumont Transformador Jeumont France Transformador trif´asico - clase OA(ASA) A˜ no Potencia nominal Frecuencia

1963 1500 kVA 60 Hz

PRIMARIO Tensi´on nominal corriente nominal Conexi´on

34,4 kV± 2,5-5-7,5 % 25,1 A Triangulo

SECUNDARIO Tensi´on nominal corriente nominal Conexi´on Grupo de conexi´on

13,8 kV 63 A Estrella DYn1

corriente empieza a disminuir la tensi´on es el punto m´aximo de la curva de saturaci´ on, en otras palabras ser´ıan los puntos del m´etodo de arcotangente imax y λmax . Con los datos que se obtuvieron en la prueba de vac´ıo, se pasan los valores de la tensi´ on a valores de flujo de dispersi´on como se muestra en la ecuaci´on (2.14). Luego, con estos valores de flujo de dispersi´on se utilizan, junto con los datos de la corriente, para graficar m, con la obtenci´on de m, que es la pendiente de la recta, a la vez se puede encontrar el valor de λs con la ecuaci´on (4.1). λs =

(λ2 − λ1 ) π (i2 − i1 ) 2m

(4.1)

Al encontrar el valor de λs se obtiene tambi´en el valor de λx , ya que son el mismo valor. Por lo tanto, ya se puede obtener el valor de λn con la ecuaci´on (3.11). Finalmente con los valores de m, λs , λn e is se puede obtener el valor de ∆λ por medio de (3.13). Con los valores de las tres ecuaciones (3.11), (3.12) y (3.13) se pueden despejar en la ecuaci´ on (3.10) y comenzar a graficar los valores con respecto a la corriente de magnetizaci´on.

34

4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´on

En la Figura 4.2 se observa un diagrama de flujo de la metodolog´ıa para obtener la curva de saturaci´ on.

4 Metodolog´ıa del modelado de la curva de saturaci´on

Figura 4.2: Diagrama de la flujo de la metodolog´ıa

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´ on Este cap´ıtulo se enfoca en validar la metodolog´ıa planteada en el cap´ıtulo 4, para obtener la curva de saturaci´on, por medio de las pruebas realizadas en el laboratorio del LIMAT. Se realiz´ o la prueba de vac´ıo al transformador de marca Jeumont, conectando la fuente al lado de alta tensi´on, como se observa en la Figura 5.1. Se elev´ o la tensi´ on desde 0 kV hasta un nivel de 36,62 kV o 1.04 p.u. Para los datos de la prueba se tom´o el valor promedio de las tensiones y corrientes de las fases.

Figura 5.1: Fuente conectada al transformador

Para la recopilaci´ on de datos se realiz´o en pasos de 1 kV hasta llegar a 36.62 kV. Los datos de placa del transformador indican que el lado de alta tiene una tensi´ on nominal de placa de 34.4 kV, pero al colocarlo en el tap 1 se ten´ıa una tensi´ on nominal de 35.26 kV, por lo tanto se lleg´o hasta 1.04 p.u., no se llev´ o m´ as all´ a de este punto para evitar da˜ nar el transformador. La corriente m´ axima de excitaci´on (Is ) en un transformador es alrededor de 1 % de la corriente nominal (Arrillaga et al., 1994), al tomar como referencia ese porcentaje de corriente, se calcul´o la corriente de excitaci´on para el transformador de prueba. Como el transformador est´a conectado al lado de 37

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

alta tensi´ on su corriente nominal es de 25.1 A, por lo tanto su corriente de excitaci´ on m´ axima ser´ıa 0.251 A.

Figura 5.2: Caracter´ıstica de saturaci´on transformador JEUMONT En el cuadro 5.1 se observan los datos obtenidos en la prueba de vac´ıo (Corriente y tensi´ on), los dem´ as valores que aparecen en la tabla se obtienen por medio de c´ alculos, como el valor de p.u. de la tensi´on, el porcentaje de Is que se obtiene al dividir la corriente obtenida entre la corriente nominal y por u ´ltimo para obtener el λ se utiliza la ecuaci´on (2.14). En la Figura 5.2 se observa los valores graficados del flujo de dispersi´on contra la corriente de excitaci´ on, obtenidos de la prueba realizada. Como se observa en el Cuadro 5.1 se logr´o superar los valores del 1 % previsto por la teor´ıa lo que significa que no es necesario que el 1 % de la corriente nominal sea la corriente de excitaci´on m´axima para todos los transformadores. Entonces, si se define como el valor m´aximo de corriente de excitaci´on 0.3694 A, se obtendr´ıa que el valor de m´aximo de flujo de dispersi´on es 137.46 Weber-vuelta. Para graficar la curva de excitaci´on se tom´o como valor m´aximo de la curva el valor de 0.3694 A, luego al tomar los mismos valores de corriente que se obtuvieron en la prueba, pero de forma descendente y finalmente tomar los

5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

39

Cuadro 5.1: Datos de Prueba de Vac´ıo Corriente (A) 0 0,00033 0,00153 0,00348 0,00556 0,00838 0,01114 0,01329 0,01472 0,01617 0,01751 0,01883 0,02008 0,02124 0,02242 0,02376 0,02495 0,02594 0,02745 0,02882 0,03053 0,03266 0,0341 0,03575 0,03844 0,04169 0,04481 0,04958 0,05607 0,06763 0,07807 0,10398 0,1197 0,14457 0,16625 0,19022 0,22501 0,26959 0,32673 0,36943

Tensi´on (V)

p.u.

%Iexc

λ

0 44,17 204,79 465,81 744,23 1121,70 2050,62 3065,02 4000,62 5030,32 6038,07 7080,45 8053,61 9138,02 10113,82 11319,96 12246,22 13132,50 14379,02 15389,62 16594,33 17920,47 18789,03 19777,54 20806,40 22369,08 23416,80 24465,70 25603,96 27074,29 28082,45 29981,61 30858,98 31968,10 32729,16 33461,27 34307,37 35006,29 36054,42 36620,46

0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,03 0,06 0,09 0,11 0,14 0,17 0,20 0,23 0,26 0,29 0,32 0,35 0,37 0,41 0,44 0,47 0,51 0,53 0,56 0,59 0,63 0,66 0,69 0,73 0,77 0,80 0,85 0,88 0,91 0,93 0,95 0,97 0,99 1,02 1,04

0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,01 % 0,02 % 0,03 % 0,04 % 0,05 % 0,06 % 0,06 % 0,07 % 0,08 % 0,08 % 0,08 % 0,09 % 0,09 % 0,10 % 0,10 % 0,11 % 0,11 % 0,12 % 0,13 % 0,14 % 0,14 % 0,15 % 0,17 % 0,18 % 0,20 % 0,22 % 0,27 % 0,31 % 0,41 % 0,48 % 0,58 % 0,66 % 0,76 % 0,90 % 1,07 % 1,30 % 1,47 %

0 0,165803 0,768731 1,748536 2,793656 4,210586 7,697523 11,50533 15,01734 18,88258 22,66543 26,57827 30,23127 34,30188 37,96479 42,49234 45,96929 49,29617 53,9753 57,76884 62,29103 67,26903 70,52939 74,24002 78,1021 83,96802 87,9009 91,83821 96,11096 101,6302 105,4146 112,5436 115,837 120,0004 122,8572 125,6054 128,7814 131,405 135,3394 137,4642

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

Figura 5.3: Curva de corriente de excitaci´on

mismos valores, pero ahora de forma negativa se puede dibujar la curva de corriente de excitaci´ on. Como se observa en la Figura 5.3 se nota que la curva es no sinusoidal. Para poder comparar el modelo de arcotangente con los datos reales se debe obtener los par´ ametros que se mencionan en el cap´ıtulo 3, secci´on 3.3. Para facilidad de c´ alculo se toma Is y λs como los valores m´aximos de los datos obtenidos en el laboratorio. λn = 137, 4642

(5.1)

(74,24002 − 42,49234) π (0,03575 − 0,02376) 2 × 137,4642

(5.2)

[137,4642 − 87,5568 × tan−1 (30,2559 × 0,3694)] 0,3694

(5.3)

m=

∆λ =

2 π

Con los resultados de las ecuaciones (5.1), (5.2) y (5.3) se resuelve la ecuaci´on (3.10) y se obtiene la ecuaci´ on (5.4).

5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

λm (im ) = 87,5568tan−1 (30,2559im ) + 20,9588im

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(5.4)

Utilizando el programa MATLAB se grafic´o la ecuaci´on (5.4), desde 0 A hasta los 0.3694 A, siendo los valores de corriente obtenidos en la prueba.

Figura 5.4: Curva de saturaci´on real contra la del m´etodo En la Figura 5.4 se observa la curva obtenida por el programa contra la curva real de saturaci´ on, por este medio se puede comprobar que el m´etodo se acerca a lo real, solamente posee una variaci´on en la parte lineal de la curva, lo que provoca que el punto de inflexi´on sea diferente. N´otese, sin embargo, que en la zona de saturaci´ on el m´etodo por arcotangente tiene un comportamiento id´entico al de los datos de prueba. Por otro lado, en la parte lineal el error se puede deber a las caracter´ısticas del transformador o por su vejez. El error porcentual que se obtuvo al utilizar la metodolog´ıa propuesta fue de un 2.0688 %, este porcentaje se obtuvo con los valores de la curva desde el punto donde se pierde la linealidad. En el Cuadro 5.2 se muestra la cantidad de datos que se utilizaron para obtener el porcentaje de error. Se desprecia el calcul´o del porcentaje de error en el ´area lineal, por motivo de no ser determinante el estudio de sobretensiones temporales, ya que estos se estudian en la zona de saturaci´on por ser un fen´omenos lentos.

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on Cuadro 5.2: Porcentaje de error Porcentaje de error Flujo de dispersi´on 65.92794871 68.9214081 70.84023354 72.94019329 76.15121808 79.70750052 82.82157588 87.08388744 92.06546545 99.14353951 104.0995063 112.7614931 116.4499656 120.8812795 123.8323028 126.4548789 129.4776066 132.5010642 135.5530013 137.4626416

Porcentaje de error 5.8385939 2.4563704 0.4407264 1.7508371 2.4978637 5.0739765 5.7784675 5.1768492 4.2091927 2.4467902 1.2475461 0.1936246 0.5291518 0.7340844 0.793682 0.6763334 0.5405964 0.8341173 0.1578157 0.0011258

Se realizaron otras simulaciones para ver el comportamiento de la curva al modificar los par´ ametros en un 5 % menos y en un 50 % menos con respecto a la curva modelada con el m´etodo. Como se observa en la Figura 5.5 al variar el par´ametro m la parte lineal se reduce lo que hace disminuir el punto de inflexi´on y el valor m´aximo del flujo de dispersi´ on. Ahora en la Figura 5.6 se observa que al modificar el par´ametro λn el punto de inflexi´ on tiende a volverse plano con respecto al eje horizontal, como se observa en la curva color naranja es casi lineal con respecto a la curva original. En la Figura 5.7 se modifican los tres par´ametros del m´etodo para observar su comportamiento con respecto a la curva original, con el par´ametro ∆λ no se ve un cambio muy pronunciado con respecto a los dem´as par´ametros, pero su efecto en la curva es disminuir el punto m´aximo de saturaci´on.

5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

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Figura 5.5: Curva de saturaci´on con m modificado

Figura 5.6: Curva de saturaci´on con m y λn modificado

Finalmente con los datos que se obtuvieron en la prueba y por medio de la funci´ on HysteresisF itting del programa EMTP-RV se model´o la curva de saturaci´ on. Para poder modelar la curva de saturaci´on el programa necesita la corriente de excitaci´ on y el flujo φ. Para obtener el flujo magn´etico se utiliza la ecuaci´on (2.13), donde la

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

Figura 5.7: Curva de saturaci´on con m, λn y ∆λ modificado

variable faltante es el n´ umero de vueltas del transformador. 1/2



 kV A  Vt = 1,1 h i1/2  Z% 5



volt vuelta

 (5.5)

Por medio de la ecuaci´ on (5.5) (G´omez, 2014), se obtiene la relaci´on de la tensi´ on entre vueltas, al aplicar la ecuaci´on (5.6) se obtiene el n´ umero de vueltas del transformador. En la ecuaci´on (5.5) se necesita conocer la potencia del transformador en kV A y la impedancia Z, pero debe ser valores monof´asicos, por lo tanto para el transformador Jeumont, se debe dividir entre 3 la potencia nominal (1500 kVA). El valor de la impedancia por fase del transformador de prueba es igual a 5.5 %. N=

1 ∗V Vt

(5.6)

Donde V es la tensi´ on del transformador, ya sea en el lado de baja o de alta. Como se mencion´ o la tensi´ on nominal del transformador es de 35.26 kV, por estar en el primer tap, como los valores de la ecuaci´on (5.5) son monof´asicos

5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

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la potencia es de 500 kVA y la impedancia es de 5.5 %, al resolver las ecuaciones (5.5) y (5.6) el n´ umero de vueltas del transformador en el lado de alta tensi´on es de 1468.55 vueltas. En el Cuadro 5.3 se observa el n´ umero de vuelta del transformador a diferentes posiciones del tap. Cuadro 5.3: N´ umero de vueltas Calcul´o n´ umero de vueltas Tap 1 2 3 4 5

Tensi´on (kV) 35,26 34,4 33,54 32,68 31,82

Numero de vueltas 1468,55 1432,736 1396,918 1361,100 1325.281

Figura 5.8: Comparaci´on de la curva de saturaci´on con EMTP-RV En la Figura 5.8 se observa las 3 curvas, la real que fue graficada con los

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5 Validaci´ on de la metodolog´ıa de la curva de saturaci´on

datos reales obtenidos con la prueba en el laboratorio, la segunda curva es la graficada con el m´etodo de arcotangente y la tercera curva es la que se obtuvo con el programa EMTP-RV.   λsat (5.7) Csat = λunsat − − Xsv [Ssh λunsat − λsat + Ysh ] S sv   λunsat Cchyst = i − − Xhv [Shh i − λunsat + Yhh ] (5.8) S hv EL programa EMTP-RV define dos ecuaciones, (5.7) y (5.8), por medio de ellas hace el ajuste de la curva de saturaci´on. Hay unos par´ametros del of f set que son predeterminados por el programa, estos no se cambian. Luego de haber incluido los datos de corriente y de flujo se ejecuta el comando V iew F itting results f rom previous run y se observa la curva tal como se muestra en la Figura 5.8. Se observa que la curva obtenida por el modelo de arcotangente se ajusta mejor sobre todo en la regi´ on de saturaci´on, a la curva real del transformador, que la curva obtenida a trav´es del programa EMTP-RV.

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Conclusiones y recomendaciones

Conclusiones • La mayor´ıa de modelos matem´aticos propuestos para la determinaci´on de la curva de saturaci´on, utilizan variables que dependen de propiedades del material que esta fabricado el nucleo, por lo que ante algunas limitaciones, como el desconocimiento de las propiedades con que est´a fabricado el n´ ucleo, de los m´etodos estudiados, el que mejor se ajusta a las necesidades y capacidades del LIMAT y por ende del SEN es el m´etodo de aproximaci´on por arcotangentes, el cual no depende del conocimiento previo de los materiales que forman el n´ ucleo. • Por medio del m´etodo de arcotangente se logr´o modelar la curva de saturaci´ on y comprobar sus bondades al compararla con al curva de saturaci´ on real y la obtenida mediante la funci´on HysteresisF itting de EMTP-RV. • Dado que el m´etodo de arcotangente no depende de las caracter´ısticas de los materiales que componen el n´ ucleo de un transformador, en caso de no ser posible realizar la prueba en campo, para fines de modelado o de estudio de transitorios electromagn´eticos, dicho m´etodo constituye una excelente herramienta para lograr aproximar la curva de saturaci´on del transformador en estudio.

Recomendaciones • Se debe buscar un m´etodo de obtener la corriente de excitaci´on en t´erminos fasoriales, para poder graficarla contra el flujo y poder obtener el ciclo de hist´eresis. • Adem´ as se puede definir un m´etodo para encontrar el ´area transversal de un nucleo por medio de las p´erdidas o por otras variables que se puedan medir sin necesidad de desarmar el transformador. • Realizar la comparaci´on de un transformador nuevo y uno antiguo(mayor de 30 a˜ nos), con la metodolog´ıa propuesta para verificar si la vejez del transformador es influyente en la curva de saturaci´on.

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