M´ etodos Matem´ aticos 1 Espacios Vectoriales Lineales 6 Matrices, Determinantes, Autovalores y Autovectores* L. A. N´ un ˜ ez** Centro de F´ısica Fundamental, Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, M´erida 5101, Venezuela y Centro Nacional de C´alculo Cient´ıfico, Universidad de Los Andes, (CeCalCULA), Corporaci´on Parque Tecnol´ ogico de M´erida, M´erida 5101, Venezuela Enero 2005 α 1.0

´Indice 1. Un 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Zool´ ogico de Matrices Cuadradas La matriz nula . . . . . . . . . . . . . Diagonal a Bloques . . . . . . . . . . . Triangular superior e inferior . . . . . Matriz singular . . . . . . . . . . . . . Matriz de cofactores . . . . . . . . . . Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 2 3 3 3

2. Un Par´ entesis Determinante 2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propiedades Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4

3. Autovectores y Autovalores 3.1. Definiciones y Teoremas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Algunos comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8

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* ADVERTENCIA: El presente documento constituye una gu´ıa para los estudiantes de M´ etodos Matem´ aticos de la F´ısica de la Universidad de Los Andes. Es, en el mejor de los casos, un FORMULARIO y de ninguna manera sustituye a los l´ıbros de texto del curso. La bibliograf´ıa de la cual han surgido estas notas se presenta al final de ellas y debe ser consultada por los estudiantes. ** e-mail: [email protected] Web: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/

1

Formulario de M´ etodos Matem´ aticos 1

Matrices, Determinantes y Autovectores

3.3. Algunos Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4. Autovalores, autovectores e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. Autovalores y Autovectores de un operador 11 4.1. El polinomio caracter´ıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2. Primero los autovalores, luego los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Autovalores y Autovectores de Matrices Importantes 15 5.1. Autovalores y Autovectores de Matrices Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2. Autovalores y Autovectores de Matrices Herm´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.3. Autovalores y Autovectores de Matrices Unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6. Conjunto Completo de Observables que conmutan

1.

24

Un Zool´ ogico de Matrices Cuadradas A continuaci´on presentaremos un conjunto de matrices que ser´an de utilidad m´as adelante

1.1.

La matriz nula

es

 Aij = 0

1.2.

  =⇒ Aij =  

∀i, j

0 0 ··· 0 0 .. .. . . 0 0

Diagonal a Bloques

Podremos tener matrices diagonales a bloques, vale decir  1 D1 D21 0 0 2 2  D1 D2 0 0 Dji =   0 0 D33 D43 0 0 D34 D44

1.3.

 0 0     0

   

Triangular superior e inferior  ˇ1 ˇ1 ˇ1 D1 D2 D3 2 ˇ2  ˇ i =  0 D2 D3 D j ˇ  0 0 D33 0 0 0

Luis A. N´ un ˜ez

ˇ1 D 4 ˇ2 D 4 ˇ3 D 4 ˇ4 D 4



   

y

 ˆ ji =  D  

ˆ1 0 D 0 0 1 2 2 ˆ ˆ D1 D2 0 0 ˆ 3 D3 D ˆ3 0 D 1 2 3 ˆ4 D ˆ4 D ˆ4 D ˆ4 D 1 2 3 4

Universidad de Los Andes, M´erida, Venezuela

    

2

Formulario de M´ etodos Matem´ aticos 1

1.4.

Matrices, Determinantes y Autovectores

Matriz singular

A es singular =⇒ det A = 0

1.5.

Matriz de cofactores  a11 a12 a13 Aij =  a21 a22 a23  a31 a32 a33

 (Ac )11 (Ac )12 (Ac )13 (Ac )ij =  (Ac )21 (Ac )22 (Ac )23  (Ac )31 (Ac )32 (Ac )33 



y

donde los (Ac )ij es la matriz de cofactores, y los cofactores son (Ac )11

(Ac )21

(Ac )31

1.6.

2 2 a2 a3 a3 a3 2 3

(Ac )12

1 1 a2 a3 a3 a3 2 3

(Ac )22

1 1 a2 a3 a2 a2 2 3

(Ac )32

1+1

= (−1)

2+1

= (−1)

3+1

= (−1)

2 2 a1 a3 a3 a3 1 3

(Ac )13

1 1 a1 a3 a3 a3 1 3

(Ac )23

1 1 a1 a3 a2 a2 1 3

(Ac )33

1+2

= (−1)

2+2

= (−1)

3+2

= (−1)

2 2 a2 a3 a3 a3 2 3

1+3

= (−1)

1 1 a1 a2 a3 a3 1 2

2+3

= (−1)

1 1 a1 a2 a2 a2 1 2

3+3

= (−1)

Matriz Adjunta

Llamaremos matriz adjunta, adj [A], a la traspuesta de la matriz de cofactores de una determinada matriz. Esto es T    adj [A] = (Ac )T =⇒ adj Aij = (Ac )ij = (Ac )ji Esto es



 1 2 3 Aij =  4 5 6  7 8 9

  −3 6 −3  i =⇒ adj Aj =  6 −12 6  −3 6 −3

Una matriz ser´a autoadjunta si adj [A] = A

2. 2.1.

Un Par´ entesis Determinante Definici´ on

Antes de continuar es imperioso que refresquemos algunas propiedades del determinante de una matriz. Ya hemos visto que el det A : Mn×n →