Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Microeconomia Avanzada 1 Sjaak Hurkens

2011

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Teor´ıa de la Empresa

producci´on costes conducta de la empresa

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (Plan de producci´ on) Un plan de producci´ on para la empresa j, es un vector l-dimensional yj = (yj1 , ..., yjl ) ∈ IRl donde yjk > 0 denota un output para la empresa j, yjk < 0 denota un input, y yjk = 0 representa que la mercanc´ıa k no forma parte del proceso de producci´on de la empresa j.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (Conjunto de prosibilidades de producci´on) El conjunto de posibilidades de producci´ on de la empresa j, que denotamos como Yj ⊂ IRl , es el conjunto de todos los planes de producci´on t´ecnicamente viables.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on output

Yj yj 0

input

Figure: El conjunto de posibilidades de producci´on Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (Tecnolog´ıa) Una tecnolog´ıa para una empresa es un proceso que permite transformar unas mercanc´ıas (inputs) en otras (outputs).

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch).

Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). No es posible producir algo a partir de nada. Formalmente, si yj ∈ Yj tal que ∀k, yjk ≥ 0, entonces, yj = 0.

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad.

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. Esta propiedad dice 0 ∈ Yj .

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) “Free disposal”.

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) “Free disposal”. Esta propiedad nos dice que la empresa puede eliminar sin coste las mercanc´ıas (inputs o outputs) que tiene en exceso. Formalmente, si yj1 ∈ Yj y yj2 es tal que yjk2 ≤ yjk1 , k = 1, 2, . . . , l, entonces yj2 ∈ Yj .

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) “Free disposal”. (v) Irreversibilidad de la producci´ on.

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7/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: supuestos propiedades de Yj (i) Yj es no vac´ıo y cerrado. (ii) Sin input no hay output (no free lunch). (iii) Posibilidad de suspender la actividad. (iv) “Free disposal”. (v) Irreversibilidad de la producci´ on. Esta propiedad dice que no es posible cambiar el papel de los inputs y de los outputs en el proceso de producci´on, excepto en el caso trivial de la inactividad. Formalmente, si yj = (yj1 , yj2 , . . . , yjl ) es un plan de producci´ on, el plan de producci´on −yj = (−yj1 , −yj2 , . . . , −yjl ) que obtenemos cambiando los inputs por outputs y viceversa no es factible.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (vi) rendimientos no crecientes a escala: yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1] ⇒ λyj ∈ Yj

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (vi) rendimientos no crecientes a escala: yj ∈ Yj , λ ∈ [0, 1] ⇒ λyj ∈ Yj

output

output

yj

yj

λyj

λyj Yj

Yj

0

input

(a)

(b)

0

input

Figure: Rendimientos no crecientes a escala. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (vii) rendimientos no decrecientes a escala: yj ∈ Yj , λ ≥ 1 ⇒ λyj ∈ Yj

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (viii) rendimientos constantes a escala: yj ∈ Yj , λ ≥ 0 ⇒ λyj ∈ Yj

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (viii) rendimientos constantes a escala: yj ∈ Yj , λ ≥ 0 ⇒ λyj ∈ Yj output

λyj yj Yj

0

input

Figure: Rendimientos constantes a escala. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (ix) aditividad: yj1 , yj2 ∈ Yj ⇒ yj1 + yj2 ∈ Yj

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (x) convexidad: yj1 , yj2 ∈ Yj , λ ∈ [0, 1] ⇒ λyj1 + (1 − λ)yj2 ∈ Yj

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (x) convexidad: yj1 , yj2 ∈ Yj , λ ∈ [0, 1] ⇒ λyj1 + (1 − λ)yj2 ∈ Yj La convexidad combina varias ideas: - La perfecta divisibilidad de los planes de producci´on - Los rendimientos no crecientes ( si 0 ∈ Yj ) - Si consideramos dos planes de producci´ on que generan el mismo output pero utilizan diferentes combinaciones de inputs, podemos construir un nuevo plan de producci´ on utilizando una media ponderada de los inputs de los dos planes de producci´on anteriores y el output resultante ser´a como m´ınimo tan grande como el correspondiente a los planes de producci´ on iniciales.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on: posibles propiedades (x) convexidad:

output

yj1

yj2

Yj 0 Figure: Convexidad

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input

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Distingir inputs (z) y outputs (˜ y ): yj = (zj1 , zj2 , . . . , zjν ; yjν+1 , yjν+2 , . . . , yjl ) = (zj , yej ),

ej ⊂ IRl−ν . Dada la convenci´on de donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yej ∈ Y inputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν y yjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Distingir inputs (z) y outputs (˜ y ): yj = (zj1 , zj2 , . . . , zjν ; yjν+1 , yjν+2 , . . . , yjl ) = (zj , yej ),

ej ⊂ IRl−ν . Dada la convenci´on de donde zj ∈ Zj ⊂ IRν y yej ∈ Y inputs negativos, zjk ≤ 0, k = 1, 2, . . . , ν y yjk ≥ 0, k = ν + 1, ν + 2, . . . , l. Definici´on (Conjunto de necesidades de inputs) ej , el conjunto de necesidades de Dado un vector de outputs yej ∈ Y inputs asociado es Vj (e yj ) = {zj : (zj , yej ) ∈ Yj }. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Sobre el conjunto Vj (e yj ) vamos a introducir dos propiedades: (i) Vj (e yj ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs zj1 y zj2 si zj1 ∈ Vj (e yj ) y zj2 ≤zj1 , entonces zj2 ∈ Vj (e yj ).

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Sobre el conjunto Vj (e yj ) vamos a introducir dos propiedades: (i) Vj (e yj ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs zj1 y zj2 si zj1 ∈ Vj (e yj ) y zj2 ≤zj1 , entonces zj2 ∈ Vj (e yj ).

(ii) Vj (e yj ) es convexo.

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14/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Sobre el conjunto Vj (e yj ) vamos a introducir dos propiedades: (i) Vj (e yj ) es comprensivo. Formalmente, ante dos vectores de inputs zj1 y zj2 si zj1 ∈ Vj (e yj ) y zj2 ≤zj1 , entonces zj2 ∈ Vj (e yj ).

(ii) Vj (e yj ) es convexo.

(iii) nesting: Si yej1 ≥ yej2 , entonces Vj (e yj1 ) ⊆ Vj (e yj2 ).

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on zj1

0

zj1

zj2

0

zj2

Qj (˜ yj ) Vj (˜ yj2 ) Vj (˜ yj ) Vj (˜ yj1 )

(a)

(b)

Figure: Conjunto de necesidades de inputs

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (Isocuanta) Dado un vector de outputs yej , definimos la isocuanta asociada como la frontera de su conjunto de necesidades de inputs. Formalmente, Qj (e yj ) = {zj : (zj , yej ) ∈ Yj ,

o 0 0 0 e e e e e (zj , yj ) 6∈ Yj , para cualquier yj ≥ yj , yj = 6 yj .

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (La funci´on de transformaci´ on) Fj : IRl → IR tal que Yj = {yj ∈ IRl : Fj (yj ) ≤ 0}.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (La funci´on de transformaci´ on) Fj : IRl → IR tal que Yj = {yj ∈ IRl : Fj (yj ) ≤ 0}. output

yj

{yj : Fj (yj ) = 0} Yj = {yj : Fj (yj ) ≤ 0}

0

input

Figure: La funci´ on de transformaci´ on. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (tasa marginal de transformaci´ on) ∂Fj (y j ) ∂yjh TMThk (y j ) = − . ∂Fj (y j ) ∂yjk TMT es la pendiente de la frontera de transformaci´on.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Caso especial: un u ´nico output Definici´on (funci´on de producci´ on) fj : IRl−1 → IR output

y = fj (z) Yj

0

input

Figure: La funci´ on de producci´ on. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (relaci´on t´ecnica de de sustituci´ on) RTS = TMT ∂fj (zj ) ∂zjh RTShk (y ) = − . ∂fj (zj ) ∂zjk RTS es la pendiente de la isocuanta correspondiente al nivel de producci´on y¯ .

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Cobb-Douglas) Conjunto de producci´on Y = {(−z1 , −z2 , y ) ∈ IR2− ×IR/y ≤ z1α z2β }, α, β ∈ IR+ Cuando α + β > 1 la tecnolog´ıa exhibe rendimientos crecientes; si α + β = 1 los rendimientos son constantes; si α + β < 1 tenemos rendimientos decrecientes.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Cobb-Douglas) Conjunto de necesidades de inputs V (¯ y ) = {(−z1 , −z2 ) ∈ IR2− /¯ y ≤ z1α z2β }

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21/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Cobb-Douglas) Isocuantas Q(¯ y ) = {(−z1 , −z2 ) ∈ IR2− /¯ y = z1α z2β }

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21/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Cobb-Douglas) Funci´on de producci´on f (z1 , z2 ) = z1α z2β

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21/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Leontieff) Conjunto de producci´on Y = {(−z1 , −z2 , y ) ∈ IR2− × IR/y ≤ min{az1 , bz2 }}

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Leontieff) Conjunto de necesidades de inputs V (¯ y ) = {(−z1 , −z2 ) ∈ IR2− /¯ y ≤ min{az1 , bz2 }}

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22/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Leontieff) Isocuantas Q(¯ y ) = {(−z1 , −z2 ) ∈ IR2− /¯ y = min{az1 , bz2 }}

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22/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Ejemplo (La tecnolog´ıa Leontieff) Funci´on de producci´on f (z1 , z2 ) = min{az1 , bz2 }

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on z2

z2

V (y 2 )

V (y 2 )

Q(y 2 )

Q(y 2 ) Q(y 1 ) 0

(a)

z1

Q(y 1 ) 0

(b)

z1

Figure: Las tecnolog´ıas Cobb-Douglas y Leontieff.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Propiedades de la funci´ on de producci´ on (i) fj es no decreciente. (free disposal)

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Propiedades de la funci´ on de producci´ on (i) fj es no decreciente. (free disposal) (ii) fj es cuasic´oncava. (convexidad conj. nec. de inputs)

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24/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Propiedades de la funci´ on de producci´ on (i) fj es no decreciente. (free disposal) (ii) fj es cuasic´oncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si ∀α > 1, fj (αzj ) ≥ αfj (zj ).

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24/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Propiedades de la funci´ on de producci´ on (i) fj es no decreciente. (free disposal) (ii) fj es cuasic´oncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si ∀α > 1, fj (αzj ) ≥ αfj (zj ). (iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si ∀α > 1, fj (αzj ) ≤ αfj (zj ).

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24/53

Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Propiedades de la funci´ on de producci´ on (i) fj es no decreciente. (free disposal) (ii) fj es cuasic´oncava. (convexidad conj. nec. de inputs) (iii) fj exhibe rendimientos no decrecientes a escala si ∀α > 1, fj (αzj ) ≥ αfj (zj ). (iv) fj exhibe rendimientos no crecientes a escala si ∀α > 1, fj (αzj ) ≤ αfj (zj ). (v) fj exhibe rendimientos constantes a escala si ∀α > 0, fj (αzj ) = αfj (zj ). Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on La elasticidad de sustituci´ on mide la variaci´ on porcentual del cociente entre dos inputs h y k con respecto a la variaci´on porcentual de la RTS asociada en un punto y¯ . Formalmente, Definici´on (elasticidad de sustituci´ on)

σhk

∂(zjk /zjh ) (zjk /zjh ) ∂(zjk /zjh ) RTShk = . = ∂RTShk y¯ ∂RTShk (zjk /zjh ) y¯ RTShk

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on La elasticidad de sustituci´ on mide la variaci´ on porcentual del cociente entre dos inputs h y k con respecto a la variaci´on porcentual de la RTS asociada en un punto y¯ . Formalmente, Definici´on (elasticidad de sustituci´ on)

σhk

∂(zjk /zjh ) (zjk /zjh ) ∂(zjk /zjh ) RTShk = . = ∂RTShk y¯ ∂RTShk (zjk /zjh ) y¯ RTShk

Ejemplo CES: f (z1 , z2 ) = (z1ρ + z2ρ )1/ρ (ρ < 1, ρ 6= 0) σ=

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1 1−ρ Microeconomia avanzada 1

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on z2

z2

σ=∞

σ=0

y2 y1 0

(a)

z1

y1 0

y2 z1

(b)

Figure: Convexidad y substituibilidad.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on La elasticidad de escala mide el aumento porcentual que experimenta el nivel de producci´ on cuando se aumentan todos los factores en la misma proporci´ on. El inter´es de esta medida viene dado porque una funci´ on de producci´ on puede presentar rendimientos crecientes a escala para ciertos niveles de los factores y rendimientos decrecientes a escala para otros. Ello genera la necesidad de definir una medida local de los rendimientos a escala.

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Definici´on (La elasticidad de escala) ∂fj (αzj ) Pn ∂fj fj (αzj ) ∂fj (αzj ) α k=1 ∂zjk zjk e(zj ) = = = ∂α ∂α fj (αzj ) α=1 fj (zj ) α=1 α

e(zj ) > 1: rendimientos crecientes localmente e(zj ) = 1: rendimientos constantes localmente e(zj ) < 1: rendimientos decrecientes localmente

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Producci´ on Observaci´on: elasticidad de producci´ on del input k ∂fj ∂zjk zjk

fj (zj )

=

PMargk = ek (zj ) PMedk

Ejemplo: f (z1 , z2 ) = A(1 + z1−α z2−β )−1 (α, β > 0)

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento de la empresa Suponemos que la empresa est´a intersada en maximizar beneficios: max Πj (p, yj ) = max

yj ∈YJ

yj ∈YJ

o, equivalente, max yj

l X k=1

l X

pk yjk

k=1

pk yjk s.a. Fj (yj ) ≤ 0

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento de la empresa Suponemos que la empresa est´a intersada en maximizar beneficios: max Πj (p, yj ) = max

yj ∈YJ

yj ∈YJ

o, equivalente, max yj

l X k=1

l X

pk yjk

k=1

pk yjk s.a. Fj (yj ) ≤ 0

No siempre existe una soluci´ on!

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa yj

yj β

tgγ = α tgβ = −

β Yj

γ

Yj

γ

0

zj

(a)

p1 p2

0

zj

(b)

Figure: Equilibrio y RCE.

p1 no hay equilibrio puesto que la empresa puede p2 escoger yj arbitrariamente grande y obtener beneficios arbitrariamente grandes.

si α >

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa yj

yj β

tgγ = α tgβ = −

β Yj

γ

Yj

γ

0

zj

(a)

p1 p2

0

zj

(b)

Figure: Equilibrio y RCE.

p1 cualquier plan de producci´ on es una soluci´on al p2 problema del productor. En todos estos equilibrios, sin embargo el beneficio de la empresa es nulo.

si α =

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa yj

yj β

tgγ = α tgβ = −

β Yj

γ

Yj

γ

0

zj

(a)

p1 p2

0

zj

(b)

Figure: Equilibrio y RCE.

p1 hay un u ´nico equilibrio en el que la empresa obtiene p2 beneficios nulos. si α <

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Si la funci´on de transformaci´ on es diferenciable, podemos caracterizar la soluci´on del problema del productor a partir de las condiciones de primer orden, ∂Fj (yj ) ∂Πj (yj ) = pk − λ = 0, k = 1, 2, . . . , l. ∂yjk ∂yjk Tambi´en TMThk (yj ) = −

ph . pk

correspondencia de oferta ηj (p) = {yj ∈ Yj :

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l X

pk yjk es m´aximo}.

k=1

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Si la funci´on de transformaci´ on es diferenciable, podemos caracterizar la soluci´on del problema del productor a partir de las condiciones de primer orden, ∂Fj (yj ) ∂Πj (yj ) = pk − λ = 0, k = 1, 2, . . . , l. ∂yjk ∂yjk Tambi´en TMThk (yj ) = −

ph . pk

correspondencia de oferta ηj (p) = {yj ∈ Yj :

l X

pk yjk es m´aximo}.

k=1

Si este conjunto tiene un u ´nico elemento lo denotamos yj∗ (p) y lo denominamos la funci´on de oferta. Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa El caso de un output: max pfj (zj ) − zj ≥0

l−1 X k=1

wk · zjk .

Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0)) p

∂fj (zj ) − wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1 ∂zjk

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa El caso de un output: max pfj (zj ) − zj ≥0

l−1 X k=1

wk · zjk .

Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0)) p

∂fj (zj ) − wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1 ∂zjk

El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk /p). (ingreso marginal = coste marginal)

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa El caso de un output: max pfj (zj ) − zj ≥0

l−1 X k=1

wk · zjk .

Las condiciones de primer orden son (para inputs activos (zjk > 0)) p

∂fj (zj ) − wk = 0, k = 1, 2, . . . , l − 1 ∂zjk

El producto marginal de cada input activo k es igual a (wk /p). (ingreso marginal = coste marginal) La relaci´on t´ecnica de sustituci´ on entre dos inputs es igual al ratio de sus precios, RTShk = −wh /wk . Sjaak Hurkens

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Producci´ on

Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa yj !F (yj (p))

tgβ = −p1 /p2

p yj (p) {yj :

Yj

!

pk yjk = Π}

k

β

zj ! " {yj : pk yjk = Π} k

Figure: La maximizaci´ on del beneficio. Sjaak Hurkens

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno;

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa;

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua;

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua; iv) Si Yj es convexo, entonces l P Yj = {yj ∈ IR : k pk yjk ≤ Πj (p) ∀p  0};

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua; iv) Si Yj es convexo, entonces l P Yj = {yj ∈ IR : k pk yjk ≤ Πj (p) ∀p  0}; v) ηj (p) es homog´enea de grado cero;

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua; iv) Si Yj es convexo, entonces l P Yj = {yj ∈ IR : k pk yjk ≤ Πj (p) ∀p  0}; v) ηj (p) es homog´enea de grado cero; vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj (p) es un conjunto convexo (una funci´ on) para todo p. ;

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Comportamiento empresa

Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua; iv) Si Yj es convexo, entonces l P Yj = {yj ∈ IR : k pk yjk ≤ Πj (p) ∀p  0}; v) ηj (p) es homog´enea de grado cero; vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj (p) es un conjunto convexo (una funci´ on) para todo p. ; ∗ , . . . , y ∗ )}, entonces vii) (Lema de Hotelling) Si ηj (b p ) = {(yj1 jl ∂Πj ∗ = yjk , k = 1, 2, . . . , l; ∂pk bp Sjaak Hurkens

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Costes

Comportamiento empresa Propiedades de la funci´ on de beneficios Πj (p) i) Πj (p) es homog´enea de grado uno; ii) Πj (p) es convexa; iii) Πj (p) es continua; iv) Si Yj es convexo, entonces l P Yj = {yj ∈ IR : k pk yjk ≤ Πj (p) ∀p  0}; v) ηj (p) es homog´enea de grado cero; vi) Si Yj es convexo (estrictamente convexo), entonces ηj (p) es un conjunto convexo (una funci´ on) para todo p. ; ∗ , . . . , y ∗ )}, entonces vii) (Lema de Hotelling) Si ηj (b p ) = {(yj1 jl ∂Πj ∗ = yjk , k = 1, 2, . . . , l; ∂pk bp viii) Si ηj (p)es una funci´ on diferenciable en b p , entonces Dηj (b p ) = D 2 Πj (b p ) es una matriz sim´etrica y semidefinida positiva con Dηj (b p )b p = 0. Sjaak Hurkens

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Costes

Comportamiento empresa Demostraci´ on Lema de Hotelling Sea ηj (p ∗ ) una soluci´on del problema del productor a los precios p ∗ . Da beneficios Πj (p ∗ ) = p ∗ ηj (p ∗ ).

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Costes

Comportamiento empresa Demostraci´ on Lema de Hotelling Sea ηj (p ∗ ) una soluci´on del problema del productor a los precios p ∗ . Da beneficios Πj (p ∗ ) = p ∗ ηj (p ∗ ). Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercanc´ıa k. Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continua utilizando ηj (p ∗ ).

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Costes

Comportamiento empresa Demostraci´ on Lema de Hotelling Sea ηj (p ∗ ) una soluci´on del problema del productor a los precios p ∗ . Da beneficios Πj (p ∗ ) = p ∗ ηj (p ∗ ). Fijemos ahora todos los precios excepto el de la mercanc´ıa k. Supongamos ahora que para cualquier pk la empresa continua utilizando ηj (p ∗ ). Πj (p∗1 , . . . , p∗k−1 , p∗k , p∗k+1 , . . . , p∗l )

∗ pk yjk +

!

∗ p∗h yjh

h"=k

p∗k

pk

Figure: El lema de Hotelling. Sjaak Hurkens Microeconomia 1 Dado que las dos funciones son tangentes en avanzada el punto p ∗ , las

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Costes

Comportamiento empresa Ejemplo: Cobb-Douglas Q P f (z1 , ..., zn ) = ni=1 ziαi donde αi > 0 y αi < 1. Calcular la funci´on de oferta, la funci´on de beneficios.

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Costes

Comportamiento empresa La oferta agregada Sea yj la ofertaP(plan de producci´ on) de la empresa j. Entonces y = j yj es la oferta agregada. El conjunto de producci´ on total es U Y = j Yj := {y1 + ... + yN : yj ∈ Yj }.

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Costes

Comportamiento empresa La oferta agregada Sea yj la ofertaP(plan de producci´ on) de la empresa j. Entonces y = j yj es la oferta agregada. El conjunto de producci´ on total es U Y = j Yj := {y1 + ... + yN : yj ∈ Yj }. Entonces 0 ∈ Y,

−IRl+ ⊂ Y ,

Y es convexo, Y ∩ (−Y ) ⊂ {0}. (este es un supuesto!)

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Costes

Comportamiento empresa Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) como η : IRl+ ⇒ Y , ] η(p) = ηj (p). j

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Costes

Comportamiento empresa Definimos la correspondencia de oferta agregada, η(p) como η : IRl+ ⇒ Y , ] η(p) = ηj (p). j

Las propiedades de la correspondencia de oferta agregada 1 2 3

4

η(p) es homog´enea de grado cero en p; η(p) es cerrado y convexo para todo p ∈ IRl+ ;

Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vac´ıo, η(p) es hemicontinua superior en p. Para cualquier p ∈ IRl+ tal que η(p) sea no vac´ıo, los beneficios agregados se maximizan si y s´ olo si cada empresa maximiza sus beneficios individualmente, cuando las empresas toman el sistema de precios p como dado. Sjaak Hurkens

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Costes

Costes El problema de la empresa de minimizar costes de producci´on est´a muy relacionado con su problema de maximizar beneficios. Adem´as, minimizar costes es siempre posible, incluso cuando existen rendimientos crecientes de escala o cuando el mercado de outputs no es competitivo.

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Costes

Costes minimizar costes min wzj sujeto a zj ∈ Vj (˜ yj ) zj

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Costes

Costes minimizar costes min wzj sujeto a zj ∈ Vj (˜ yj ) zj

La soluci´on zj∗ (w , y˜j ) la denominamos funci´ on de demanda condicionada de los factores.

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Costes

Costes minimizar costes min wzj sujeto a zj ∈ Vj (˜ yj ) zj

La soluci´on zj∗ (w , y˜j ) la denominamos funci´ on de demanda condicionada de los factores. El valor de la combinaci´ on de inputs soluci´ on de este problema (wzj∗ (w , y˜ )) es una funci´ on cj (w , y˜j ) que denominamos funci´on de coste.

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Costes

Costes La figura representa la soluci´ on del problema de minimizaci´on de coste para el caso de dos inputs. En esta figura representamos la funci´on de costes a partir del mapa de l´ıneas isocoste y el conjunto de requerimientos de inputs asociado al vector de producci´on y˜j . zj1

Vj (˜ yj )

∗ zj1

0

∗ zj2

zj2

Figure: La minimizaci´ on del coste. Sjaak Hurkens

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Costes Las propiedades de la funci´ on de coste cj (w , y˜j ) son las siguientes: i) La funci´on de coste es homog´enea de grado uno en w ; ii) La funci´on de coste es no decreciente en y˜j ; iii) La funci´on de coste es c´ oncava en w ; iv) La funci´on de coste es continua en w .

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Costes

Costes

∗ wk zjk +

!

∗ wh∗ zjh

h"=k

∗ ∗ Cj (w1∗ , . . . , wk−1 , wk∗ , wk+1 , . . . , wl∗ )

wk∗

wk

Figure: La concavidad de la funci´ on de coste. Sjaak Hurkens

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Costes

Costes La funci´on de demanda condicionada de factores zj∗ (w , y˜j ) satisface las propiedades siguientes: i) zj∗ es homog´enea de grado cero en w . Es decir, si zj∗ soluciona el problema de la minimizaci´ on de coste para (w , y˜j ), entonces tambi´en es una soluci´ on minimizadora de coste para (αw , y˜j ), α > 0.

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Costes

Costes La funci´on de demanda condicionada de factores zj∗ (w , y˜j ) satisface las propiedades siguientes: i) zj∗ es homog´enea de grado cero en w . ii) Si Vj (˜ yj ) es convexo, el conjunto {zj∗ } de soluciones del problema de minimizaci´ on del coste para (w , y˜j ) es convexo; Si Vj (˜ yj ) es estrictamente convexo, la soluci´on es u ´nica.

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Costes

Costes La funci´on de demanda condicionada de factores zj∗ (w , y˜j ) satisface las propiedades siguientes: i) zj∗ es homog´enea de grado cero en w . ii) Si Vj (˜ yj ) es convexo, el conjunto {zj∗ } de soluciones del problema de minimizaci´ on del coste para (w , y˜j ) es convexo; iii) (Lema de Shephard) Supongamos que cj (w , y˜j ) es continuamente diferenciable en w (para un y˜j dado) al vector de precios w ∗ . Sea zj∗ una soluci´ on del problema de minimizaci´on del coste para (w ∗ , y˜j ). Entonces, ∂cj (w , y˜j ) zjk∗ = ∗ , k = 1, 2, . . . , n. ∂wk (w ,˜ yj )

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Costes

Costes La funci´on de demanda condicionada de factores zj∗ (w , y˜j ) satisface las propiedades siguientes: i) zj∗ es homog´enea de grado cero en w . ii) Si Vj (˜ yj ) es convexo, el conjunto {zj∗ } de soluciones del problema de minimizaci´ on del coste para (w , y˜j ) es convexo; iii) (Lema de Shephard) Entonces, zjk∗ =

∂cj (w , y˜j ) ∗ , k = 1, 2, . . . , n. ∂wk (w ,˜ yj )

b , entonces iv) Si zj∗ (w ) es una funci´ on diferenciable en w 2 b , y˜j ) = D cj (w b , y˜j ) es una matriz sim´etrica y Dzj (w b , y˜j )w b = 0. semidefinida negativa con Dzj∗ (w Sjaak Hurkens

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

RTS12 = −w1 /w2

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

RTS12 = −w1 /w2 −

Aαz1α−1 z2β Aβz1α z2β−1

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=−

w1 w2

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Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

−

Aαz1α−1 z2β Aβz1α z2β−1

=−

w1 w2

αz2 w1 = βz1 w2

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

αz2 w1 = βz1 w2 z2 =

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βw1 z1 αw2

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

βw1 z1 αw2   β  βw1 βw1 β α+β =A y¯ = Az1α z2β = Az1α z1 z1 αw2 αw2 z2 =

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Ejemplo: calcular funci´ on de demanda condicionada de factores y funci´on de coste en el caso de f (z1 , z2 ) = Az1α z2β . min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

βw1 z1 αw2   β  βw1 βw1 β α+β =A y¯ = Az1α z2β = Az1α z1 z1 αw2 αw2 z2 =

z1 = z1 (w , y¯ ) =

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y¯ A−1



βw1 αw2

1 −β ! α+β

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion min w1 z1 + w2 z2 s.a. f (z1 , z2 ) = y¯

z1 ,z2

βw1 z1 αw2  β   βw1 β α+β α β α βw1 y¯ = Az1 z2 = Az1 z1 =A z1 αw2 αw2 z2 =

z1 = z1 (w , y¯ ) =

z2 = z2 (w , y¯ ) = Sjaak Hurkens

y¯ A−1



βw1 αw2

y¯ A−1



αw2 βw1

1 −β ! α+β

1 −α ! α+β

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Costes

Costes Ejemplo (cont.) Funci´ on de coste: c(w , y¯ ) = w1 z1 (w , y¯ ) + w2 z2 (w , y¯ ) "  −β #   −α β β α α α+β α+β −1 1 β α = y¯ α+β A α+β w1α+β w2α+β + w2α+β w1α+β α β h α  β  α − α i α β −1 1 α+β α+β α+β α+β = y¯ A + w1α+β w2α+β β β

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w , y ) = w2 y −

w22 4w1

la funci´on de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnolog´ıa subyacente?

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Sea

w22 4w1 la funci´on de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnolog´ıa subyacente? El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores: c(w , y ) = w2 y −

∂c w2 = 22 ∂w1 4w1 ∂c w2 z2∗ (w , y ) = =y− ∂w2 2w1 z1∗ (w , y ) =

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(1) (2)

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Sea

w22 4w1 la funci´on de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnolog´ıa subyacente? El lema de Shephard nos da la demanda condicionada de factores: c(w , y ) = w2 y −

∂c w2 = 22 ∂w1 4w1 ∂c w2 z2∗ (w , y ) = =y− ∂w2 2w1 z1∗ (w , y ) =

Entonces y = z2 +

w2 2w1

(1) (2) (3)

y 1 w2 = z12 2w1 Sjaak Hurkens

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(4) 48/53

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Costes

Costes: dualidad costes y produccion Sea c(w , y ) = w2 y −

w22 4w1

la funci´on de coste de una empresa. ¿Cual es la tecnolog´ıa subyacente? Entonces w2 y = z2 + 2w1 y 1 w2 = z12 2w1

(1)

(2)

Finalmente, obtenemos la funci´ on de producci´ on: 1

f (z) = y = z12 + z2 . Sjaak Hurkens

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Costes

Costes En general, podemos recuperar la tecnolog´ıa o funci´on de producci´on a partir de la funci´ on de costes cj (w , y ):

fj (zj1 , . . . , zjl−1 ) = max{y :

l−1 X k=1

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l−1 wk zjk ≥ cj (w , y ), w ∈ IR+ }.

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Costes

Costes En el caso de una funci´ on de producci´ on continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-c´ oncava y, que adem´as es homot´etica, calcular funci´ on de coste y demandas condicionadas de factores es m´as f´acil.

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Costes

Costes En el caso de una funci´ on de producci´ on continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-c´ oncava y, que adem´as es homot´etica, calcular funci´ on de coste y demandas condicionadas de factores es m´as f´acil. Definici´on (Homoteticidad) Una funci´on fj es homot´etica si ∀(zj1 , zj2 ) ∈ Zj tal que fj (zj1 ) = fj (zj2 ) y α ∈ IR+ entonces fj (αzj1 ) = fj (αzj2 ).

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Costes

Costes En el caso de una funci´ on de producci´ on continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasi-c´ oncava y, que adem´as es homot´etica, calcular funci´ on de coste y demandas condicionadas de factores es m´as f´acil. z2

z2

αz 2

αz 2 f(αz) = αy

z2

f(z) = y

z1 0

z2

αz 1

(a)

z1

αz 1 z1

0

f(αz) != αy f(z) = y

(b)

z1

Figure: Homogeneidad y homoteticidad. Sjaak Hurkens

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Costes

Costes Teorema Si la funci´on de producci´ on es continua, estrictamente creciente, estrictamente cuasi-c´oncava y homot´etica, entonces 1

c(w , y ) = h(y )c(w , 1) donde h(y ) es estrictamente creciente

2

z(w , y ) = h(y )z(w , 1) donde h(y ) es estrictamente creciente

Sjaak Hurkens

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Comportamiento empresa

Costes

Costes Teorema Si la funci´on de producci´ on es continua, estrictamente creciente, estrictamente cuasi-c´oncava y homot´etica, entonces 1

c(w , y ) = h(y )c(w , 1) donde h(y ) es estrictamente creciente

2

z(w , y ) = h(y )z(w , 1) donde h(y ) es estrictamente creciente

Si la funci´on de producci´ on es homogenea de grado r > 0 1

c(w , y ) = y 1/r c(w , 1)

2

z(w , y ) = y 1/r z(w , 1)

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Costes

Costes y

C(y)

C tg(α) = CMe(˜y )

C, p

CM g(y)

CM e(y)

β

tg(β) = CMg(˜y)

y(p)

Y α

(a)

z y

(b)

C

y

y˜

(c)

y

C, p

C(y) y(p) CM e(y) = CM g(y)

Y

(d)

z

(e) Sjaak Hurkens

y Microeconomia avanzada 1

(f)

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Comportamiento empresa

Costes

Costes y

C

C, p

C(y)

CM g(y)

CM e(y)

y˜ Y

y(p)

K

(a)

y˜

z y

(b)

y

y˜

(c)

y

C, p

C C(y)

CM e(y)

Y

K

(d)

z

y(p) (e)

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y Microeconomia avanzada 1

CV M g(y)

(f)

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