REVISTA DIGITAL DE DISEÑO
Facultad de Diseño, Imagen y Comunicación Universidad El Bosque
Fecha de recepción: 11 de abril de 2013. Fecha de aceptación definitiva: 24 de mayo de 2013.
Modelo de proporción para la configuración geométrica y modular en el diseño Por: Jorge I. Gómez Angarita
Resumen
Abstract
Los elementos formales del diseño son las bases de la composición bidimensional y tridimensionalidad, convirtiéndose en el lenguaje básico con el cual el diseñador y el ingeniero expresan un interés comunicativo manifestado de manera reflexiva. Estos elementos aparentemente separados dentro de una composición gráfica o una obra por lo general se relacionan entre sí, mostrando la globalidad en la propuesta de diseño. La invaluable importancia de las ciencias formales y en particular la geometría han hecho de la composición visual una forma de representación sistemática de entidades lineales, poligonales y circulares. Por ésta razón, se exponen una serie de simulaciones que son el preámbulo a la demostración de un modelo geométrico de proporcionalidad elaborado por el autor, y que se fundamenta en la generación de una construcción geometría que desea buscar un equilibrio visual, constructivo y correlacional entre las partes que componen un todo diseñado, ya sean objetos, productos industriales, relaciones antropométricas y estructuras en general. Dicho modelo geométrico pretende desarrollar un concepto sinérgico en el sistema composicional, manteniendo una directiva de proporcionalidad bajo el lema “La naturaleza organiza, el hombre compone.” Las simulaciones que se visualizarán convergen a una ecuación final matemáticamente consistente, que si bien amerita ser demostrada por inducción matemática, no corresponde a este artículo evidenciar dicha demostración. Hacia el final se visualizaran algunas composiciones de carácter bidimensional y tridimensional que tienen como base el modelo geométrico.
The formal elements of design are the basis for the bi-dimensional and three-dimensional composition, becoming a basic language to be used by designers and engineers, expressing an interest in a thoughtful communication. These seemingly separated elements (within a graphic composition or work) usually relate to each other, showing the globality in the design proposal. The invaluable importance of formal sciences -- in particular Geometry-- has made visual composition a form of systematic representation of linear, polygonal and circular entities. For this reason, the article presents a series of simulations that serve as a preamble to the demonstration of a geometrical model of proportionality, developed by the author, and based on the generation of a geometric construction to find a visual, constructive and correlational balance among the component parts of a designed whole, such as objects, industrial products or general anthropometric structures. This geometric model aims to develop a synergic concept of a compositional system, preserving a proportionality policy under the slogan “Nature organizes, man builds.” The simulations displayed converge to a final equation mathematically consistent that would deserve a demonstration through mathematical induction, which is beyond the scope of this paper. By the end, some dimensional compositions based on this geometric model are presented. Keywords: Geometric Model, Golden Ratio, Geometric Design, Harmony, Composition, Canon of proportion, Commensurability, Visual Composition.
Palabras clave:Modelo Geométrico, Proporción Áurea, Diseño Geométrico, Armonía, Composición, Canon de proporción, Conmensurabilidad, Composición Visual. Jorge I. Gómez Angarita -
[email protected] Universidad Autónoma de Manizales (Caldas, Colombia)
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Introducción histórica a la problemática matemática de la proporción. Toda elaboración de un proyecto de ingeniería, diseño o arquitectura, introduce en el medio una alteración espacial, donde los volúmenes, superficies, líneas, articulaciones plásticas y cromáticas concurren juntas al crear el objeto o el producto, tanto en su morfo-funcionalidad como en el comportamiento del mismo en su entorno, y su estrecha relación dimensional con el hombre; justificación que lleva a que el diseño actúe en el sentido de las proporciones, donde existe una intencionalidad visual que busca crear un orden aparente por repetición de figuras geométricas con o sin semejanza; pero con intencionalidad formal, basada no en las formas mismas, sino en el ritmo entre tales formas. Hay que remontarse a la antigua Grecia para poder conocer el germen de lo hoy denominado intencionalidad visual, aunque es de reconocer que en aquella época el verdadero problema era esbozar y representar lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño (evidentemente dividir indefinidamente los segmentos), cuestión que llevaría a Eudoxio a la definición de proporción, idea especificada en el libro Elementos V donde claramente éste expone: “magnitudes tienen la misma razón, la primera de la segunda y la tercera de la cuarta, si equimúltiplos de la primera y la tercera, y equimúltiplos de la segunda y la cuarta son, a la vez, respectivamente, menores, iguales o mayores” (def. 5).
m× a < n×b ⇒ m×c < n×b a c = ⇔ m× a = n×b ⇒ m×c = n×b b d m× a > n×b ⇒ m×c > n×b Con esta definición se soslaya la cuestión de la conmensurabilidad de segmentos, áreas y volúmenes una vez establecidas las definiciones de mayor, menor y de razón entre dos magnitudes. Eudoxio contribuyó además con una gran aportación al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes, estableciendo con ello que: “las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios; los volúmenes de dos esferas a los cubos de sus radios; el volumen de
un prisma es un tercio el volumen de un prisma de igual base y altura; y el de un cono es un tercio del cilindro de igual base y altura.” Por estas sencillas razones para Eudoxio no tiene sentido preguntar cuál es el área del círculo o el volumen de una esfera, sino cuál es la relación que existe entre las áreas de dos círculos, entre los volúmenes de dos esferas, etc. Con esta definición de Eudoxio dejamos a un lado la preocupación por la inconmensurabilidad que existe entre círculos y cuadrados; esferas y cubos; etc. y nos introducimos en la realidad de la comparación: comparamos cuadrados con cuadrados y círculos con círculos, etc., sentando así Eudoxio el primer indicio del concepto de límite más conocido como el método de exhaución, método que también se conoce por los elementos euclidianos presentados en Libro X y cuya proposición 1 dice: “dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra mayor que su mitad y se repita el proceso continuamente, quedara una magnitud menor que la menor de las magnitudes dadas.” Para establecer este teorema, Euclides recurre al hoy día llamado postulado de Arquímedes el cual dice: “dadas dos magnitudes desiguales, se puede alcanzar y superar la mayor repitiendo la menor un número suficiente de veces”, principio equivalente a la proposición 1 del Libro X. Es de aclarar que Euclides introduce una definición de proporción antes de la conocida en aquella época y enunciada de la siguiente manera: “se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se pueden multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra”. Euclides introdujo la definición anterior pensando en que todas las magnitudes tienen razón. El postulado de Arquímedes lo uso Euclides en su demostración en la cual comete una ligereza al utilizar el principio. Más adelante Hilbert en sus tratados de geometría de 1899 destaca la importancia del postulado de Arquímedes en la estructura de la geometría, al establecer el postulado de continuidad. Para retomar las ideas manejadas por Eudoxio con respecto al método de exhausión, es bueno seguir a Euclides, puesto que este último usa el método en la conocida proposición 2
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del Libro XII: “los polígonos regulares llenan el circulo que los circunscribe”. El método de exhausión permite determinar aproximadamente el área bajo una curva inscribiendo figuras planas regulares que permitan una aproximación a dicha curva, demostrando así Euclides que los polígonos tienden al círculo. Basados en esto, Arquímedes demuestra que en un segmento parabólico se inscribe un triángulo y, en cada segmento lateral que resulta se inscribe otro triángulo y así sucesivamente hasta que resulta el área del segmento de la parábola, mostrándose una colección (suma) infinita de áreas, dando punto de partida a una serie de valores. ¿Y qué es una serie? Es precisamente una suma que tiene infinidad de sumandos. Es así como Arquímedes, además de calcular áreas y volúmenes utilizando el método de exhausión, se muestra como uno de los genios más sorprendentes al iniciar el camino de las series, que con sus variaciones pertinentes en el pasar de los siglos retomarán Newton, Cauchy, Riemann, Fourier, Dirichlet, para introducir definitivamente el concepto de integral.
La armonía composicional correlacionada a la figura humana. A lo largo de la historia han surgido diferentes teorías y métodos sobre la composición, el importante arquitecto romano Vitruvio, acepta estos principios, pero incluye en ellos el concepto de la simetría bajo el precepto correlacionado de medidas que mantienen diversos elementos en una obra y por ende en un conjunto. Bajo esta idea Vitruvio formula matemáticamente la división de un espacio geométrico, que evidencia la sección aurea formada por la bisección de un cuadro que forma dos rectángulos; en dicha bisección se usa como radio una diagonal que recorre uno de los rectángulos formando un ángulo de barrido de 60°, el cual amplía una dimensión formando un segmento b que convierte al cuadrado DFEB en un rectángulo DKJB, (Gráfico 1). Finalmente se forma un “rectángulo áureo”, compuesto por tres rectángulos, uno de ellos de mayor área a los otros dos.
c a = a b
Gráfico 1. Sección aurea que lleva al rectángulo áureo Fuente: elaboración propia.
Vitruvio relaciona esta armonía proporcional a la medida del hombre, mostrando el vínculo entre ese espacio y la antropometría como las bases para la construcción humana; este concepto presenta al hombre como centro de la medida, por esta razón la regla de las proporciones de la figura humana busca un modelo al tipo ideal aceptado o con características perfectas, precepto proporcional que se denomina
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canon. El canon más antiguo acerca de las proporciones humanas se encontró en Egipto (aprox 3000 años a. C.), tiempo después el arquitecto romano Vitruvio, escribe 10 tomos de ingeniería hidráulica, mecánica y aplicaciones en arquitectura civil e ingeniería militar, donde se marca el interés por las proporciones del cuerpo y la importancia relacional de estas con la fabricación de objetos y obras de ingeniería. En la Edad Media, el monje Dionisio de Phourna Agrapha, describió la altura del cuerpo humano tomando como base la cabeza multiplicada nueve veces (nueve cabezas). Luego en el siglo XV el italiano Cennino Cennini, describe la altura del hombre como igual a su anchura con los brazos extendidos. En el Renacimiento, Leonardo Da Vinci realiza el dibujo de la figura humana (Gráfico 2), basado en la normatividad propuesta por el arquitecto Vitruvio (Blázquez, 1986), quien afirma que la naturaleza realiza una distribución de las medidas del cuerpo humano como sigue: “4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y 24 palmas hacen un hombre; si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre.
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La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro.”
Las medidas anteriormente expuestas, fueron usadas por el arquitecto Vitruvio en la construcción de sus obras civiles.
Gráfico 2. Hombre de Vitruvio (Homo cuadratus), Leonardo da Vinci (1485-1490). Fuente: Galería de la Academia (Venecia), fotografía por Luc Viatour / www.Lucnix.be http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Da_Vinci_Vitruve_Luc_ Viatour.jpg
Siglos después y con la llegada de la segunda guerra mundial se disminuyen las posibilidades de diseñar, favoreciendo la atención en actividades del pensamiento que permitieron la elaboración de nuevas teorías en torno a la proporcionalidad. Es así como entre los años 1942 y 1948 el arquitecto Le Corbusier retoma la antigua idea de estable-
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cer un vínculo entre el hombre y las obras civiles, llevándolo al desarrollo del Modulor como sistema de medidas que relaciona la proporción aurea con las medidas del cuerpo humano; esta teoría muestra funcionalidad y armonía estética en la arquitectura y el diseño (Gráfico 3). El fundamento del Modulor fue publicado en 1950 y debido a su éxito Le Corbusier propuso el Modulor 2 en 1955, adaptando la altura de 1.83 m del hombre sajón a la altura del hombre latino en 1.75 m.
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mutable dependiendo de las ideas, del pensamiento descriptivo y de la abstracción suscitada de un estudio claro de los factores humanos. Esto justifica la importancia de estudiar e investigar sobre la conmensurabilidad, simetría y armonía en la composición visual bajo el lema “la naturaleza organiza, el hombre compone.” Acorde a estos lineamientos que diría usted como lector de este artículo, si le sugiriera cortar una recta cualquiera en uno o más segmentos, pero de una manera correlacionada (guardando una relación geométrica continua en cada corte); manteniendo la evidencia en las relaciones geométricas, el dibujo de las mismas y las correlaciones matemáticas. Ahora, de acuerdo a lo anteriormente expresado, piense en la posibilidad de seccionar esa recta bajo precepto no áureos, o áureos de manera que su división armónica haga referencia a que uno de los segmentos es menor y el otro mayor, estableciendo una relación de; o piense en la posibilidad de seccionar esa recta en varias partes, pero guardando la relación geométrica y la correlación matemática de los elementos geométricos. Algunas preguntas pueden surgir con respecto a lo anteriormente expuesto: ¿Cuál es la razón o el sentido de realizar un seccionamiento manteniendo la armonía y las relaciones geométricas? ¿Qué importancia tiene esto? Bueno, las respuestas a estas preguntas se fundamentan en la necesidad de una composición visual que combine dos o más elementos geométricos con un tercero y quizá con un cuarto, buscando una relación de encaje o ensamble que devele el concepto sinérgico en el sistema composicional, manteniendo una directiva de proporcionalidad.
Gráfico 3: Modulor de Le Corbusier. Fuente: Le Corbusier, 1953:49.
Hacia un modelo de proporción El acto de diseñar es una acción motivada por la tendencia a amalgamar una necesidad del ser humano con un saber específico y con la creatividad; bajo un interés comunicativo y emotivo que se manifiesta de manera reflexiva; puede ser
Una composición logra un balance equilibrado mediante el uso de puntos que llevan a líneas; líneas a superficies; y superficies a volúmenes armónicamente entrelazados; esta práctica común en el diseño se denomina geometrizar, y se define como el traslado de un realismo bidimensional o tridimensional a formas básicas geométricas (geometría euclidiana) o bien otro tipo de geometría no euclidiana para buscar superficies y volumetrías que muestren relaciones armónicas vinculadas a los espacios con el hombre y lo diseñado, buscando formar un conjunto espacial que da sentido y contexto a un proyecto ( la realidad que el hombre plasma en un esquema; es geometrizar). Ahora, cuando se modula en diseño, se refiere a la distribución coherente y
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lógica de las estructuras que sustentarán la idea de lo que se desea diseñar (los esquemas geométricos que llevan a las realidades objetuales); por esta razón la modulación está basada en principios geométricos que hacen prevalecer la armonía. La geometrización y la modulación, parten de un eje común que es la geometría como lenguaje relacional entre la realidad y lo conceptual. De acuerdo con lo anterior es posible pensar en una manera de geometrizar que permita buscar la armonía en lo que se diseña, partiendo de principios geométricos donde las relaciones proporcionales basadas en la construcción (instrumentos o sistemas CAD), fácilmente crezcan o decrezcan en un área determinada; manteniendo las relaciones armónicas bajo la teoría de acción de grupo, isometrías y simetrías.
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Aplicaciones geométricas bidimensionales. Los resultados iniciales de investigación sobre este modelo, han contribuido con la construcción de caracoles y la geometrización de letras (Gráfico 4).
En un trabajo anterior (Gómez, 2012) puede encontrarse una descripción detallada del diseño geométrico que será punto de partida para la modulación; por su interés para el presente texto se ha incorporado como Anexo 1. Por otra parte, la demostración matemática del modelo geométrico puede consultarse en el Anexo 2.
Gráfico 4. Construcción de caracoles siguiendo los parámetros de geometrización establecidos. Fuente: Gómez, 2012:111.
Estas construcciones pueden ser visualizadas en la simulación “Caracoles y Letras”: http://bit.ly/10pwSTQ Otra aplicación geométrica se basa en la composición y distribución de espacios bidimensionales para la construcción de letras; como se muestra a continuación:
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Gráfico No. 5. Construcción de letras siguiendo los parámetros de geometrización establecidos. Fuente: Gómez, 2012:111.
Y su construcción se muestra en la simulación “letras una teoría”: http://bit.ly/128Lc0q
Gráfico 6. Módulo trapezoide (deformado o modificado con una tensión) con repetición de forma, que presenta una gradación de tamaño dispuesto en espiral, generando una radiación centrífuga dinámica. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).
En el Anexo 3, pueden consultarse otras aplicaciones matemáticas bidimensionales basadas en este modelo.
Aplicaciones al diseño y configuración geométrica con el modelo de proporción. Los primeros diseños que tienen que ver con la configuración de algunas formas, parten de replicar la construcción geométrica del modelo de proporción (Gráficos 6, 7, 8 y 9); es evidente que aún queda un largo camino por recorrer en el diseño bidimensional y tridimensional, pero las aplicaciones se develarán en la medida que se realicen experimentaciones en la configuración.
Gráfico 7. Modulo trapezoide en axonometría evidenciando la repetición formal a 30°. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).
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Gráfico 8. Formación de un caracol con la repetición modular de gradación a 22,5°, ángulo muy cercano al que permite la formación aurea en la recta x. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).
Gráfico 9. Caracol en axonometría mostrando la repetición del módulo de superficie cilíndrica circular a 22,5°. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2013).
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Referencias Blázquez, A (1986): Los diez libros de arquitectura. Barcelona: Iberia. Traducción directa del latín, con prólogo y notas de Agustín Blázquez. Carrera, J. (1984): “Geometría o cálculo”. En: Las matemáticas una historia de sus conceptos. (pp. 95-136). Barcelona: Montesinos. Da Vinci, Leonardo (2009): La collezione di modelli del Museo. Fondazione Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia Leonardo da Vinci, Milano, Italia 2009. Euclides, (s.f.) Libro X.
x1 a x11 en el eje x [Simulación matemática en swf y html]. Manizales. Gómez, J. I. (Escritor), & Ramírez, D. (programador). (2010). Transformación de Cosenos a Senos [Simulación matemática en swf y html]. Manizales. Gómez, J. I. (Escritor), & Ramírez, D. (programador). (2010). Caracoles y Letras [Simulación geométrica en swf y html]. Manizales. Gómez, J. I. (Escritor), & Ramírez, D. (programador). (2010). Letras una teoría [Simulación geométrica en swf y html]. Manizales:
Euclides, (s.f.) Libro XII. Eudoxio, (s.f.) Elementos V. Cnido FINCH, S. R. (2003). “The Golden Mean”. Mathematical Constants. pp. 5-12. Cambridge, England: Cambridge University Press. Gómez, J. I. (2012): “Representación matemática y geométrica de un sistema de proporción”. Scientia et Technica, 19(50), 106-110. Gómez, J. I. (Escritor) & Marín, G. (programador) (2009): Desarrollo de polígonos triangulares [Simulación de presentación en swf y html].Manizales.
Joice, D.E. (1996, 1997, 1998) Euclid’s Elements [Propositions]. Recuperado de: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ java/elements/elements.html. Le Corbusier. (1953). El Modulor. Ensayo sobre una medida armónica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecánica. Buenos Aires: Poseidón. Strozzi, R. (1966). LEONARDO DA VINCI… el hombre el artista, el genio. Buenos Aires: Ediciones Selectas SRL, 3ª. Edición.
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ANEXO 1. Desarrollo de polígonos triangulares Fuente: Gómez, 2012. Simulación Geométrica: http://bit.ly/15NrtEQ
Construcción de un primer polígono triangular De acuerdo a como lo indica la Figura 1; constrúyase un cuarto de circunferencia de radio R1 en la cual se inscribe media circunferencia azul de radio R2=a=b; en dicha circunferencia azul se inscribe un polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R2 =a=b y menores con respecto al tercer lado “c”) generado por la revolución del radio R2 con un ángulo de 2b1 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del polígono triangular son llamados b1 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b1.
Construcción del segundo polígono triangular Si se analiza la Figura 2, se encuentra que a partir del centro del lado mayor “c” del polígono triangular, se puede construir una segunda media circunferencia verde de radio R3=c/2 ∧ R3