Modelos digitales de elevación: Teoría, métodos de interpolación y aplicaciones

Jorge Fallas [email protected]

2007

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MODELADO DE SUPERFICIES Y MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 El concepto de modelo digital del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Métodos basados en unidades discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Métodos basados en el concepto de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Interpolación a partir de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Métodos de interpolación local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Interpolación a partir de isolíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 EVALUACIÓN DE LA EXACTITUD DEL MODELO DIGITAL DE ELEVACIÓN . . . . . . . . Exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error aritmético medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error absoluto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raíz cuadrada del error medio cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desviación estándar o típica (DT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exactitud de los valores de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 30 31 31 32

ESTÁNDARES O NORMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Estándares para modelos digitales de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Errores para un MDE derivado de elevaciones obtenidos por métodos fotogramétricos . . . . 37 INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad y distribución de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquemas de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas de nivel en mapas 1:50.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 39 42

SELECCIÓN DEL MEJOR MÉTODOS PARA CREAR UN MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 EDICIÓN Y DEPURACIÓN DEL MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pendiente del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspecto u orientación de la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iluminación/sombreado del terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delimitación de cuencas hidrográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis de Inter visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Línea de visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visualizaciónen perspectiva o tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visualización en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visualización en 2.5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 45 46 46 47 48 49 50 50 50 51

Modelos Digitales de Elevación Visualización en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Animación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creación de orto imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de área y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinación de relleno y excavación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creación de isolíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Creación de elementos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis de escorrentía superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exportación de vistas en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 53 53 54 54 54 54 54

EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Sitios de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 METODOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ISLA CHIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Escaneo de mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Georeferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Digitar curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Convertir curvas de nivel a puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Crear polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Crear modelos digitales de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Evaluación de la exactitud de los MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Evaluación del efecto del filtrado en la exactitud del MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Elaboración de mapas de pendiente y aspecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Efecto del tamaño del pixel en la exactitud del MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Funciones analíticas del software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 57 57 59 60 60 62 72 73 74 77 77

CURVAS DE NIVEL A ESCALA 200.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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INTRODUCCIÓN El mundo en que vivimos y trabajamos se caracteriza por ser tridimensional. Por ejemplo, tenemos valles, montañas, cañadas y riscos. Los programas de computación en el área de los Sistemas de Información Geográfica (SIG) permiten recrear visual y numéricamente el valor Z asociado a elementos del paisaje (natural y antrópico); esto los convierte en una poderosa herramienta para cualquier usuario(a) en las áreas de gestión ambiental y de recursos naturales. El software le permite al usuario(a) no solo visualizar elementos en tres dimensiones sino que también realizar análisis cuantitativos a partir de dichos elementos. El presente documento tiene como objetivo introducir al lector al tema de la interpolación espacial y a una de sus áreas de aplicación: los modelos digitales de elevación. En la primer sección se introduce al lector al tema de los modelos digitales de elevación, en la segunda se tratan los diferentes métodos de interpolación; en la tercera se presente el tema de normas y estándares utilizados para evaluar la calidad de los modelos y en la cuarta y última se describen los resultados de dos estudios de caso. El primero corresponde a un MDE derivado a partir de un mapa 1:50.000 y el segundo de un mapa 1:200.000; dos de las fuentes cartográficas mas comunes en Costa Rica. El material se ha escrito con el fin de que cumpla una función didáctica y por lo tanto se provee una copia de los archivos utilizados para realizar los estudios de caso. Se han seleccionado los programas ArcView (ESRI, 1996; 1997a; 1997 b) IDRISI (Eastman, 1998) y Surfer (Golden Software, 1999) para realizar el análisis de los datos; sin embargo, esto no representa una recomendación implícita ni explícita por parte de la Universidad ni del autor sobre el software que debe utilizarse en este tipo de análisis. A través del documento el lector se familiarizará con las estructuras de los archivos utilizados por los diferentes programas; con las técnicas y métodos disponibles para la creación de superficies; para su visualización y finalmente con las herramientas analíticas que provee cada programa. En general, el software seleccionado le permite: < Crear superficies que simulan la realidad a partir de diversas fuentes de datos (Ej. Puntos, líneas, polígonos). < Determinar la elevación o altura de cualquier punto u objeto en una superficie. < Realizar un análisis de inter visibilidad ()Qué puedo observar desde un punto determinado del paisaje dado una serie de obstrucciones visuales?). < Determinar volúmenes y diferencias entre el volumen de dos superficies. < Modelar ambientes en tres dimensiones utilizando archivos vectoriales y raster. < Visualizar sus datos en perspectiva (2.5D)

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Para ilustrar el potencial de análisis visual de una imagen en perspectiva se presenta a continuación una sección de la ciudad de Heredia y sus alrededores (vista hacia el norte). Los edificios corresponden a estructuras digitadas del mapa 1:10.000 del Instituto Geográfico Nacional (1991).El modelo de elevación digital fue elaborado a partir de curvas de nivel cada 20 metros obtenidas del mapa 1:50.000 del IGN.

Fig. 1: Vista en perspectiva creada a partir de un modelo de elevación digital del terreno y de un mapa vectorial. Los usos de los MDE son muy variados; algunos de ellos son (Burroughs, 1986; ESRI, 1996; 1997b; Golden Software, 1999; McCullagh, 1990; Weibel y Heller, 1991):

< < < < < < < < < <

Estimaciones de volúmenes a remover o rellenar en trabajos de ingeniería Cartografía topográfica Mapeo y estudios batimétricos e hidrológicos Mapeo geológico y geofísico Simulación y análisis del paisaje Estimar área a inundar en proyectos hidroeléctricos Estudios de intervisibilidad para definir ubicación de antenas para telecomunicaciones Análisis estadístico del terreno Determinación de pendiente, aspecto y sombreado del terreno Visualización en 2.5D

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MODELADO DE SUPERFICIES Y MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN En la presente sección se describe el origen del término modelo digital de elevación así como los métodos de interpolación disponibles para crearlos. El concepto de modelo digital del terreno El término Modelo Digital del Terreno (MDT) fue acuñado, según Petrie y Kennie (1990) por Miller y La Flamme, dos ingenieros del Instituto Tecnológico de Massachusetts, a finales de los años 50. Según estos investigadores un modelo digital del terreno es una representación estadística de una superficie continua del terreno mediante un conjunto infinito de puntos cuyos valores en X, Y y Z son conocidos y están definidos en un sistema de coordenadas arbitrario. A continuación se definen algunos términos asociados a los modelos digitales de elevación (Burrough, 1986; Petrie y Kennie, 1990): Modelo digital de elevación (MDE) En este caso la palabra elevación enfatiza el concepto de medición de altura con respecto a un datum y la generación por parte del modelo de valores absolutos de altura. Este término se utiliza con frecuencia en los Estados Unidos para describir un arreglo rectangular o exagonal de puntos con valores de elevación obtenidos por métodos fotogramétricos o cartográficos. Modelo digital de altura (MDA) Este términos aparentemente se originó en Alemania y su significado es similar al anterior; ya que las palabras altura y elevación pueden utilizarse como sinónimos. Modelo digital de la tierra (MDT) En este caso se enfatiza el hecho de que la superficie terrestre es un continuo y que por lo tanto se pueden utilizar métodos de interpolación para obtener estimaciones de “Z” para aquellos sitios para los cuales no se posea información. El término se utiliza en Inglaterra; sin embargo con el tiempo se ha ido reemplazando por (modelo digital del terreno(. Modelo digital del terreno Este concepto es un tanto más generalista; ya que el eje Z incluye tanto el uso de elevaciones (Ej. metros sobre el nivel del mar) como de alturas (Ej. levantamiento topográfico); así como los accidentes típicos del paisaje (Ej. ríos, riscos, cañadas, etc). Para muchos usuarios el término incluye tanto los elementos planimétricos como hipsométricos propios del paisaje; así como la información derivada a partir del modelo (Ej pendiente, intervisibilidad y orientación, entre otros). La capacidad de elaborar modelos digitales de elevación (MDE) a partir de curvas de nivel o valores puntuales (X,Y,Z) es una de las operaciones de mayor interés para los usuarios de los Sistemas de Información Geográfica. Existe una gran diversidad de programas (Thoen,1997) que

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permiten crear modelos digitales de elevación sin embargo, en el ambiente nacional, la mayoría de los usuarios utilizan Surfer (1999), IDRISI (Eastman, 1998) y las extensiones Spatial Analyst y 3D Analyst de ArcView (ESRI, 1996; 1997b) para crear sus modelos de elevación digital. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN La interpolación tiene como objetivo estimar, a partir de una muestra, valores de Z para un set de puntos (X,Y). La interpolación puede utilizarse para cumplir tres funciones: (a) estimar valores de Z para ubicaciones particulares (X,Y); (b) estimar valores de Z para una cuadrícula rectangular; (c) cambiar la resolución de la cuadrícula en un archivo raster (método conocido como remuestreo). Los interpoladores que operan a partir de puntos pueden clasificarse como: Exactos: Cuando preservan los valores originales de los puntos de muestreo. No exactos: No mantienen los valores originales de los puntos de muestreo. Globales: La interpolación está basada en todos los puntos de muestreo. Locales: La interpolación está basada en un subset de los puntos de muestreo. Desde el punto de vista de la superficie asumida por el interpolador, Burrough (1986) los clasifica en dos grandes categorías: los que asumen que la superficie es discreta y los que asumen una superficie continua. Métodos basados en unidades discretas Entre estos métodos tenemos: Uso de elementos externos del paisaje para delinear (unidades homogéneas ( En este caso el analista establece los límites entre unidades previamente definidas y por lo tanto el resultado no es replicable ni es posible evaluar estadísticamente los errores asociados a la definición de los límites de las entidades. Algunos ejemplos prácticos de dicho método son:

< < < <

Mapas coropléticos Mapas de unidades de suelos Mapas de formaciones geológicas y geomorfológicas Mapas de uso-cobertura del suelo

Uso de algoritmos para determinar el límite entre unidades homogéneas Esta técnica es utilizada en el área de procesamiento digital de imágenes o en el análisis de conjuntos de datos multi variados y se fundamenta en la premisa de que existen unidades homogéneas en el set de datos. La función del algoritmo es tratar de definir los límites entre dichas

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unidades. Esta técnica es apropiada cuando la variación en la superficie es abrupta o discontinua (Ej. mapas de uso-cobertura de la tierra). Los polígonos de Thiessen (Fig. 2) forman parte de este grupo de interpoladores; el método de análisis consiste en delimitar áreas de influencia (unidades discretas) a partir de un set de puntos. Cuando la distribución de los puntos es equidistante (Ej. grilla regular) los polígonos coinciden con el área de cada celda. El tamaño y la configuración de los polígonos depende de la distribución de los puntos originales. Una limitante del método es que el valor para cada polígono se obtiene a partir de un solo punto y por lo tanto no es posible estimar el error asociado a dicha estimación.

Fig. 2: Polígonos de Thiessen. Cuenca del río Grande de Tárcoles, Costa Rica. Software: ArcView V3.2. Métodos basados en el concepto de continuidad Estos métodos parten del supuesto de que la superficie es un continuo que puede describirse utilizando una función matemática y un set de puntos de muestreo. Los métodos pueden dividirse en globales y locales (Oliver, 1990). Los primeros utilizan todos los puntos de muestreo para crear la superficie; en tanto que los segundos utilizan solo un subconjunto de los mismos (concepto de vecino más cercano). A continuación se describen los interpoladores más comunes que operan a partir de puntos. Interpolación a partir de puntos Una de las fuentes de datos para elaborar modelos digitales de elevación son ubicaciones (X,Y) con sus respectivos atributos (Ej. Elevación, precipitación, temperatura, presión, etc). Los puntos pueden muestrearse en forma aleatoria o utilizando un patrón regular (sistemático). A partir de estos valores las rutinas de interpolación crean una superficie en la cual cada punto tiene un valor

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estimado. Tanto IDRISI, Surfer como 3D Analyst y Spatial Analyst de ArcView proveen rutinas para la interpolación basados en puntos. Independientemente del interpolador utilizado la calidad del MDE dependerá del número y la distribución de puntos de muestreo; así como de las características del terreno. Cuanto mayor sea el número de puntos y mejor distribuidos se encuentren mejores serán los resultados. Métodos de interpolación global Entre los métodos de interpolación global tenemos (Golden Software, 1999; Petrie, 1990):

< Análisis de tendencia de superficies (Modelos polinomiales): Esta técnica de análisis trata de definir la tendencia general observada en el set de datos mediante una ecuación polinomial de grado (n(. El objetivo del ajuste polinomial es reducir la varianza residual en el set de datos a un mínimo. En realidad, el método no se considera como un interpolador de superficies sino más bien como una técnica para detectar aquellas áreas que muestran una variabilidad superior a la tendencia general del set de datos. La estimación del error asociado al modelo de regresión asume que los residuos son independientes. Este supuesto no se cumple en la mayoría de los casos y por lo tanto el valor calculado no representa realmente la variación ó error asociado a la estimación (Oliver, 1990). Al igual que en cualquier otra aplicación de regresión, la superficie generada, en la mayoría de los casos, no pasará por los puntos originales y por lo tanto el interpolador es considerado como no exacto.

< Series de Fourier: Este método asume que existen variaciones periódicas en el set de datos y que su tendencia puede modelarse como una función lineal de senos y cosenos. En general, el método ha sido utilizado más para análisis estructurales que para la cartografía de características del paisaje. Global Aproximado: Interpolación a partir de isolíneas en formato raster El método de interpolación utilizado por Intercon de IDRISI (Eastman, 1992) pertenece a la categoría “global-aproximado” (Heywood, Price y Petch; 1995). El programa crea el MDE a partir de un archivo de curvas de nivel en formato raster y utilizando un método de interpolación lineal que consiste en crear una serie de perfiles en diferentes direcciones (Ej. Norte-Sur, diagonal; E-O). Para cada uno de estos perfiles el programa registra la elevación y la pendiente de cada celda. La elevación final asignada a la celda corresponde a la del perfil con la máxima pendiente. El algoritmo utilizado es una modificación del algoritmo “CONSURF” creado por David Douglas de la Universidad de Ottawa, Canadá. El manual de IDRISI (Eastman, 1992) reporta que un MDE creado con dicho algoritmo para un mapa a escala 1:24.000 (curvas de nivel cada 3m) cumplió con las normas de exactitud utilizadas para la cartografía analógica de los Estados Unidos de América. El error medio reportado fue de -0.7m con una desviación estándar de 0.56m. La probabilidad de obtener un valor de elevación superior a 0.5 el intervalo de la curva de nivel fue inferior a 1%. El

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método de interpolación hace un fuerte uso de la memoria RAM y virtual (disco duro) y por tanto el usuario debe poseer suficiente espacio libre en su disco antes de iniciar el proceso de interpolación. Una de las limitaciones del interpolador es que crea superficies con fuertes irregularidades; las cuales deben eliminarse mediante la aplicación de un filtro promedio. Métodos de interpolación local Entre los métodos de interpolación local tenemos (ESRI, 1997b; Golden Software, 1999; Petrie, 1990): Distancia inversa ponderada (DIP) Este interpolador asume que cada punto en el set de datos tiene una influencia local que disminuye con la distancia y que por lo tanto los valores de los puntos cercanos al nodo que se procesa tienen mayor importancia o peso en el valor que será asignado al mismo. Normalmente, la búsqueda se hace considerando un número de puntos o un radio (círculo alrededor de la celda de interés) (Fig. 3). Un caso donde este supuesto es válido es la reducción en la intensidad de un terremoto a partir de su epicentro o la reducción en la temperatura del aire a partir de puntos focales de incendios. El peso asignado a cada valor de Z ' está dado por: P = 1/ (d) m

(1)

en donde: P = peso o ponderación que se aplicará a Z; m: exponente seleccionado por el usuario(a). Este valor define la influencia local de cada uno de los puntos en el set de datos (ver cuadro 1). d: distancia entre el punto que se interpola y los vecinos más cercanos utilizados en la interpolación.

Fig. 3: Concepto de distancia de búsqueda. [email protected]

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El valor de cada punto interpolado Z ' es igual a:

3 Z i *1/ (d) m Z ' = ----- ------------3 1/ (d) m

(2)

El valor de “m” controla el aporte relativo de cada observación (Z) a la estimación de Z ' como puede apreciarse en la figura 4 y el cuadro 1. Dado que no existe un criterio único para recomendar la selección del dicho valor, usted puede utilizar el cuadro 2 como una guía. Observe que no existe una diferencia marcada en los resultados para un valor de m=2 y para otro de m=3. Tampoco el valor de Z ' es diferente (25.312 Vs 25.30, respectivamente). La diferencia importante está entre m=1 y m=2 ó m=3 (ver cuadro 2). Por esta razón, el manual del programa Surfer (Golden Software, 1999) recomienda valores de (m( entre 1 y 3. Si usted utiliza un valor de “m” inferior a 1, por ejemplo 0.5, su ponderación será igual a 1/d 0.5 y obtendrá una superficie con valores de Z ' más influenciados por los valores más lejanos de Z como puede observarse en el cuadro 2. Observe en este caso el valor de Z también sería muy diferente (48.96). Cuadro 1: Relación entre el valor del exponente “m” y el aporte relativo de cada valor de Z observado al valor de Z ' estimado. Z

d (m)

1/d

1/d 2

1/d 3

Z*(1/d)

Z*1/d 3

25

10

1

1

1

25

25

30

50

2

4

0.00001

6

24

35

100

1

1

0

35

0.0004

45

500

2

0

0

9

0

58

750

134

0.00178

0

773333

0.0001

55

1000

1

0

0

55

0

Z' 2734 2530 d (m): distancia lineal en metros entre el punto para el cual se desea estimar el valor de Z ' y los puntos de observación más cercanos (Z).

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Cuadro 2: Aporte relativo de cada observación (Z) al valor estimado de Z ' según su distancia al punto de interés y el valor utilizado de “m”. Z

d (m)

Aporte (%), m= 0.5

Aporte (%), m= 1

Aporte (%), m= 2

Aporte (%), m= 3

25

10

16

7446

9524

9911

30

50

426

1489

381

79

35

100

703

745

95

1

45

500

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149

4

7

58

750

3193

99

2

2

55

100

3496

74

9

0.99108

Z' 4896 2734 2531 2530 Los valores de “m” >= 1 indican un alto grado de influencia local y una superficie con mayor detalle (menos suavizada). Por el contrario valores de “m” inferiores a 1 indican un menor grado de influencia local y una superficie con menos detalle.

Fig.4: Relación entre valor del exponente “m”, la distancia de los vecinos más cercanos y el valor de la ponderación. [email protected]

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Este método de interpolación se comporta como un interpolador exacto cuando no se utiliza ningún factor de suavizado. Uno de los defectos del interpolador es que genera una superficie con una apariencia de 'ojos de buey ' alrededor de los puntos de muestreo (Fig. 5). El programa Surfer (Golden Software, 1999) provee un filtro que suaviza la superficie y por lo tanto tiende a eliminar este problema. El programa también le permite definir el tipo de búsqueda a utilizar (todos los datos, simple, 4 sectores, 8 sectores); así como el número de puntos a utilizar y las dimensiones del círculo o elipse como se muestra en las figuras 6 y 7. El programa Analista Espacial de ArcView también permite definir el número de vecinos más cercanos o un radio de búsqueda a utilizar en el proceso de interpolación; además usted puede utilizar barreras (Ej. línea de acantilado, cauce de un río).

Fig. 4: Interpolador Distancia Inversa Ponderada: Efecto de “ojos de buey”. Isoyetas cada 100mm. Software: Analista Espacial, ArcView.

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Fig. 6: Tipo de búsqueda. En este caso se ha elegido una búsqueda utilizando 4 cuadrantes y 2 observaciones por cuadrante. Basado en Golden Software, 1999

Curvatura mínima (Spline) Este interpolador tiene su origen en los antiguos moldes curvos que utilizaban los dibujantes para ajustar un curva a una serie de puntos. Este interpolador es realmente un conjunto de polinomios cúbicos que describen tanto la tendencia como la magnitud de una línea. La forma de la curva es definida localmente a partir de un subset de los datos. Algunos programas utilizan (B-splines(, los cuales son a su vez la suma de otros (splines( utilizados para suavizar líneas. El interpolador ajusta una línea de curvatura mínima a partir de los puntos de muestreo (X,Y,Z) y por lo tanto se comporta como un interpolador exacto (la superficie creada mantendrá los valores de Z de los datos originales). Este método de interpolación es apropiado para superficies que varían en forma gradual tales como elevación, precipitación, temperatura, concentraciones de contaminantes y profundidad de la tabla de agua; sin embargo no es apropiado para extrapolar valores como puede apreciarse en la figura 8. Cuando los cambios son muy abruptos no se recomienda utilizar este interpolador. El interpolador es muy utilizado en las ciencias de la Tierra (Ej. geología, edafología, geomorfología, climatología). El usuario(o) debe seleccionar el número de puntos a utilizar por región o vecindad así como un factor de ponderación (ESI, 1996b; Golden Software, 1999).

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Fig. 8: Interpolador de Curvatura Mínima. En la esquina superior derecha puede observarse el efecto de extrapolar los valores de Z. Isoyetas cada 200mm. Software: Analista Espacial, ArcView.

Fig. 7: Tipo de áreas de búsqueda. A. Circular. B. Elíptica; los valores 1 y 2 indican el radio mayor y menor que define el área de la elipse. El usuario también puede definir la inclinación de la elipse. Basado en Golden Software, 1999. [email protected]

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Funciones radiales Este es un interpolador muy flexible y que provee resultados similares al método Kriging. El interpolador se comporta como exacto cuando no se especifica el valor R 2 (parámetro de forma o suavizado). No existe una valor universal para R 2; sin embargo el manual del programa “Surfer” (Golden Software, 1999) sugiere utilizar un valor igual al espaciamiento medio ó a la mitad del espaciamiento medio de las puntos de muestreo. La opción multi cuadrática es considerada como la que genera las mejores superficies, seguida por Thin Plate Spline (Plano de curvatura mínima delgado). Las funciones que el usuario especifica son análogas a los variogramas utilizados en el método Kriging. La ecuación de la función multi cuadrática es la siguiente: B (h) = ( h 2 + R2 ) 0.5

(3)

en donde h: distancia relativa del punto al nodo anisotrópicamente reescalao y R 2 el parámetro de suavizado indicado por el usuario.

< Método de Shepard: Este método de interpolación es similar al método de inverso de la distancia, sin embargo la superficie generada no muestra el efecto de (ojos de buey (. El interpolador se comporta como exacto cuando no se especifica un factor de generalización (Golden Software, 1999).

< Triangulación con interpolación lineal: Método de interpolación basado en una red de triángulos irregulares (TIN). Para mayor detalle sobre este método se remite al lector a la sección sobre interpolación a partir de isolíneas . El interpolador se comporta como exacto. Utiliza todos los puntos de control para crear la superficie. Kriging El método de interpolación Kriging asume que la distancia y/o la dirección entre puntos de muestreo es una expresión de la correlación espacial entre los puntos y que por tanto dicha información puede utilizarse para explicar la variabilidad encontrada en la superficie muestreada. El algoritmo ajusta una función matemática a un determinado número de puntos o a aquellos que se encuentren en un radio de búsqueda. Este interpolador es más complejo que los anteriores y normalmente requiere de cierto conocimiento estadístico por parte del usuario(a). El análisis incluye los siguientes pasos: análisis estadístico exploratorio del set de datos, modelado del variograma, interpolación de la superficie y análisis de la superficie de varianza. Este interpolador se utiliza con mucha frecuencia en estudios geológicos y edafológicos. El método de interpolación Kriging puede utilizarse prácticamente con cualquier tipo de datos ya que es muy flexible. Cuando no se especifica la varianza “pepita” o (nugget( el interpolador se comporta como exacto. En general, Kriging es considerado como uno de los mejores métodos de interpolación ya que provee estimaciones insesgadas y de varianza mínima (Oliver, 1990). Este

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interpolador considera tanto la dirección como la magnitud de la correlación espacial en el set de datos. Dado que este es un interpolador más complejo, a continuación se describe con mayor grado de detalle tanto los supuestos del método como su terminología. El método de interpolación Kriging se basa en los siguientes supuestos: 1. Los datos muestran un patrón de variabilidad espacial que puede definirse a través de: < Un componente estructural asociado a un promedio constante o a una tendencia constante. < Un componente aleatorio con cierto grado de asociación espacial. < Un componente de error o variabilidad no explicada asociada a errores en las mediciones y a micro variaciones en la superficie no detectadas por el modelo. Los conceptos anteriores pueden expresarse matemáticamente como (Burrough, 1986): Z (x) = m(x) + ,' (x) + ,''

(4)

en donde: Z(x):

Valor de la variable Z en la posición x.

m(x): Función determinística que describe el componente estructural asociado al set de datos.

,' (x): Variación estocástica local que permanece en el set de datos después de remover la variación estructural dada por m(x).

,'':

Residuos que representan variabilidad (“ruido”) sin una tendencia espacial en el set de datos, con promedio igual a 0 y varianza F 2.

En ausencia de una tendencia en los datos ((drift(), el valor de m(x) es igual a: E [Z(x) - Z (x+h)] = 0

(5)

En este caso también se asume que la variación entre Z(x) y Z(x+h) depende exclusivamente de la distancia entre sitios o sea del valor de (h(, también conocido como resago. Matemáticamente lo anterior se expresa como (Oliver, 1990): Var [{Z(x) - Z x+h)] = E [{Z(x) - Z x+h)}2] = 2 ((h) en donde ((h) se conoce como el semivariograma.

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(6)

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Dado que los supuestos anteriores se cumplan en el set de datos, la semivarianza puede estimarse a partir del set de datos utilizando el siguiente estimador (Issaks and Srivastava, 1989; Oliver, 1990):

((h) = 1/2n E{Z(xi) - Z (xi +h)}2

(7)

en donde (n( es el número de pares de observaciones separados por un resago (h(. Observe que el valor de ((h) debe ser 0 cuando h es 0. El valor de ((h) cuando h tiende a 0 es una estimación de ,'' (error asociado al set de datos y a la micro variación local sin una dependencia espacial).El variograma debe estimarse al menos en tres direcciones para detectar cualquier presencia de anisotropia en el set de datos (Oliver, 1990). EL estimador anterior es válido cuando se cumple con todos los supuestos del modelo; sin embargo en presencia de violaciones no severas al modelo central (Ej. presencia de valores extremos), se recomienda utilizar los siguientes estimadores robustos (Cressie,1993): 2((h) / {1/ *N (h)* * E*Z(xi) - Z (xi +h)0.5}4 / (0.457 + 0.494) / *N (h)*

(8)

2((h) /{Mediana * *Z(xi) - Z xi +h*0.5}4 / (B(h)

(9)

B(h) corrige por el sesgo y su valor asintótico es 0.457. La transformación de potencia tiene la virtud de generar datos con una distribución cercana a la normal. Semivariograma El semivariograma es la representación gráfica de la semivarianza espacial con respecto a una distancia (h(. Este valor es la mitad del promedio de la diferencia entre cada par de datos y la línea de 45o en la gráfica; y su valor incrementa conforme el coeficiente de correlación y la covarianza decrecen. A continuación se ilustran los conceptos básicos asociados al semivariograma utilizando un set de 100 observaciones de elevación sobre el nivel medio del mar obtenidas de un mapa 1:50.000 del Instituto Geográfico Nacional. Los datos se muestran en el cuadro 3 y su distribución espacial puede visualizarse en las figuras 9 y10. Las figuras 11, 12, 13 y 14 muestran 4 curvas de Z (x) versus Z (x+h) para el set de datos. La separación entre puntos de muestreo fue de1000m y los valores de Z están dados en metros.

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Cuadro3: Valores de elevación (m) obtenidos de un mapa escala 1:50.000 del Instituto Geográfico Nacional. Muestreo cada 1000 metros. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

223

228

238

226

245

212

113

114

115

110

2

224

217

231

244

249

250

113

110

114

116

3

221

211

227

233

235

210

113

109

110

112

4

219

210

205

208

203

207

105

110

115

130

5

217

206

203

204

201

105

109

110

122

133

6

111

109

102

105

109

102

106

109

120

130

7

115

105

99

98

97

103

109

110

120

135

8

110

108

98

95

97

106

105

120

130

155

9

97

99

97

96

90

107

104

125

156

160

10

96

97

95

90

92

95

90

89

110

120

280 240 200

Z (m) 160 0 120

4000 6000

80 0

8000 2000

4000

6000

X (m)

8000

Y (m)

2000

10000 10000

Fig. 9: Distribución de 100 valores de elevación (m) para puntos muestreados con un espaciamiento de 1000 metros en X y Y de una hoja cartográfica 1:50.000 del IGN.

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200 Leyenda Media filas

180

Media de Z (m)

Media columnas

160

140

120

100

80 0

2

4

6

8

10

Distancia (m)

Fig. 10: Promedios para columnas (Eje X) y filas (Eje Y) de 100 valores de elevación (m) obtenidos de un mapa 1:50.000 del IGN.

280

240

200

Z(t)

La figura 11 ilustra el hecho de que el valor de ((h) debe ser 0 cuando h es 0. Esto se desprende de la ecuación utilizada para determinar la semivarianza. Obviamente esta gráfica no nos proporciona ninguna información sobre la tendencia espacial en el set de datos y se incluye sólo con fines didácticos.

160

120

80 80

120

160

200

240

280

Z (t)

Fig. 11: Diagrama de dispersión h para h= (0,0) La figura 12 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+h) o sea aquellos pares de valores definidos por un resago de 1000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que el set de datos se ha dividido en 2 grupos y existen otras observaciones distribuidas con un patrón menos definido.

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280 h = (0,1) 240

Z (t+h)

200

160

120

80 80

120

160

200

240

280

Z(t)

Fig. 12: Diagrama de dispersión h para h= (0,1) La gráfica 12 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+2h) o sea aquellos pares de valores definidos por un resago de 2000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que el set de datos se ha dividido en 3 grupos y existen algunas pocas observaciones distribuidas con un patrón menos definido. 240

h(0,2) 210

Z (t+h)

180

150

120

90 80

120

160

200

240

280

Z (t)

Fig.13: Diagrama de dispersión h para h= (0,2) La gráfica 13 ilustra la relación entre Z(x) y Z(x+3h) o sea aquellos pares de valores definidos por un resago de 3000 metros en el sentido Sur-Norte en el set de datos. Observe que permanecen los 3 grupos sin embargo su posición ha cambiado con respecto a la línea de 450.

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240

h = (0,3) 210

Z (t+h)

180

150

120

90

60 80

120

160

200

240

Z (t)

Fig.14: Diagrama de dispersión h para h= (0,3)

Fig.15: Simivariograma para 100 datos de elevación obtenidos de un mapa 1:50.000 y con una separación de 1000 metros entre puntos de muestreo. [email protected]

280

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Observe que efectivamente el valor de ( (h) es 0 cuando h es 0 y que los valores del coeficiente de correlación de Pearson decrecen conforme se incrementa la separación entre los valores de (h) y el valor de la semi varianza (Cuadro 4). Es de esperarse que para un set de datos mayor su valor tienda a estabilizarse conforme aumenta el valor de (h(. L a figura 15 corresponde al semi variograma para los datos utilizados en el presente ejemplo. Observe que la gráfica tiene una forma cóncava ascendente por cuanto puede asumirse que los datos presentan una tendencia local o global. En este caso los valores mayores tienden a concentrarse en la esquina noroeste del área. Esta gráfica debe permitirle escoger el valor de h para el set de datos. Dicho valor corresponde a aquel valor de h para el cual la tendencia de la curva se estabiliza.

Cuadro 4: Estadísticos para los diagramas de dispersión de Z t Vs Z (t+h) h

Coeficiente de correlación lineal de Pearson D(h)

Semivarianza ( (h)

No. pares (n)

0

1

0

100

1

0.86

408.96

90

2

0.72

903.91

80

3

0.49

1717.85

70

4

0.18

2838

60

A continuación se definen los términos asociados al variograma (ver figura 16). Meseta o (sill(: Es igual a la suma de C y el efecto “Nugget” o “pepita”. En la mayoría de los casos es igual a la varianza del set de datos; o sea expresa la variabilidad total (S2) de Z para los puntos de muestreo; así como la covarianza para *h* = 0. A:

Este parámetro indica una separación relativa en distancia (h); también se le conoce como alcance e indica la distancia a partir de la cual se estabiliza la varianza del set de datos. Para una superficie isotrópica (no existe un patrón direccional en los valores de Z) se calcula como: h = (ªx 2 + ªy 2) 0.5 / A

en donde: [ ªx ªy]:

representan el vector de separación en unidades del mapa.

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(10)

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B:

Parámetro que define la tasa de cambio de los componentes del variograma al incrementar la separación entre puntos. Este parámetro es utilizado para escalar la separación de la distancia física. Para los variogramas cuadráticos y esféricos este parámetro se conoce como ambito o rango del variograma.

C:

Parámetro de escala que define, en ausencia del efecto pepita, el valor de la meseta o (sill(.

Fig. 16: Componentes típicos de un variograma. La letra h representa un vector con magnitud y dirección. Fuente: Golden Software, 1999. El usuario puede elegir entre diversos modelos de variogramas (Cressie, 1993, Isaaks and Srivastava, 1989; Golden Software, 1999). Los modelos con una meseta ((sill() y un alcance bien definidos se conocen como transicionales porque la naturaleza estadística de la variación espacial cambia cuando el resago (h) sobrepasa el rango (A). Variogramas A continuación se describen las funciones utilizados con mayor frecuencia para describir los variogramas (Cressie, 1993, ESRI, 1996; Golden Software, 1999):

< Esférico o circular: Este es posiblemente el modelo más utilizado. Su comportamiento es lineal para separaciones pequeñas cercanas al origen y tiende a aplanarse conforme aumenta la distancia;

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alcanzando el valor de la meseta (sill) cuando la distancia es igual al rango (A). En muy utilizado en las ciencias de la tierra.

< Exponencial: Este es otro modelo utilizado con gran frecuencia en las ciencias de la tierra. El modelo alcanza el umbral en forma asintótica y por lo tanto el alcance (A) se define como la distancia a la cual se ha alcanzado el 95% del valor del umbral.

< Lineal: Este modelo incrementa linealmente con h y por lo tanto no posee un valor de meseta.

< Gausiano: Este modelo se utiliza para crear superficies a partir de datos que representan fenómenos extremadamente continuos. El modelo alcanza el umbral en forma asintótica y por lo tanto el rango (A) se define como la distancia a la cual se ha alcanzado el 95% del valor del umbral.

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< Logarítmico: Este variograma no tienen un valor de meseta.

< Wave (Efecto de hueco)

< Racional cuadrático

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< Cuadrático

Algunas observaciones generales que aplican a todos los variogramas son las siguientes (Oliver, 1990):

< Los modelos matemáticos son ajustados a una muestra discreta de simivarianzas ya que el variograma verdadero es continuo y las estimaciones están sujetas a error; especialmente si la muestra es pequeña. Cuando el error asociado a los datos es muy grande comparado con la variación natural de la región, el variograma se mostrará errático y sin ninguna capacidad predictiva.

< Los modelos que pueden ajustarse a los datos pueden clasificarse en 2 grandes categorías: ‘ Ilimitados o infinitos En este caso el modelo no asume que existe una varianza a priori finita y por lo tanto la hipótesis de variación espacial estocástica de los datos sólo puede asumirse como correcta en forma intrínseca. Los modelos basados en una función de potencia se ajustan a esta condición y por lo tanto puede utilizarse un modelo lineal, cóncavo o convexo. Un variograma que tiende a incrementar en una forma cóncava hacia arriba desde el origen puede indicar la existencia de una tendencia (drift) local o global en el set de datos. Es este caso se debe sustraer la variación no estocástica o estructural del set de datos y luego ajustar nuevamente el variograma utilizando los residuos.

‘

Limitados o finitos En este caso se asume que existe un límite a la variación que caracteriza el proceso aleatorio; a dicho límite se le denomina meseta o (sill(. Los modelos exponenciales y esféricos se utilizan con frecuencia para describir los semivariogramas de set de datos provenientes de las ciencias de la tierra.

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Métodos de interpolación en Kriging Kriging ordinario ( Sin tendencia) Este método de interpolación es apropiado para datos con una distribución regular de los datos (isotrópica). Un proceso es isotrópico cuando es estrictamente estacionario y su variación no está asociada a una dirección particular en el set de datos. Una variable es estrictamente estacionaria si su componente estocástico (Xi ) satisface la siguiente condición (Haggett, Cliff and Frey, 1977): La distribución conjunta de las 7Xi ? depende solamente de la posición relativa de las observaciones; o sea no existe ningún efecto estructural en los datos. Kriging Universal El Kriging universal no tiene un variograma y además el método de interpolación se sustenta en el hecho de que puede existir tanto u patrón local como uno estructural. Este método de interpolación debe utilizarse cuando los datos no tienen una distribución homogénea y por lo tanto se debe interpolar la superficie a partir de espacios sin información; también puede utilizarse cuando se desea extrapolar la superficie más allá de los límites de los datos de insumo. La interpolación se realiza vía dos métodos:

< Kriging Universal con tendencia lineal: Este método de interpolación es apropiado cuando los datos exhiben un patrón o tendencia lineal. En caso de duda este es el método recomendado.

< Kriging Universal con tendencia cuadrática: Este método de interpolación es apropiado cuando los datos exhiben un patrón o tendencia cuadrática (forma de parábola con depresiones). El Kriging universal es apropiado para aquellos casos en donde la variación espacial del set de datos puede segregarse en un componente aleatorio y otro de tendencia o (drift(. Otras extensiones del método Kriging son co-Kriging y Kriging disyuntivo ( Cressie, 1993; Oliver,1990) Efecto o varianza pepita (“Nugget”) Este parámetro integra el error asociado a los datos (errores de medición); la microvarianza no contabilizada por la distancia de muestreo ((h() y la variación espacial no correlacionada en el set de datos (Cressie, 1993; Oliver, 1990). Sus unidades son cuadráticas y corresponden a las de Z. Cuando mayor sea dicho valor menor confianza se asigna a cada observación en el set de datos y por lo tanto el interpolador se comporta como no exacto. Este parámetro se utilizar cuando existen errores potenciales en el set de datos. Cuando este factor domina la variación del semivariograma, no es posible utilizar el método Kriging para la interpolación y por lo tanto debe utilizarse un método de interpolación no estadístico.

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Efecto o varianza Nugget = Varianza de los errores de medición + micro varianza El primer término se refiere al error generado como efecto de la no repetitividad de las mediciones (errores en los datos) y el segundo expresa la variabilidad a nivel micro no evaluada por la distancia de muestreo (h(. Este valor es un indicador de la varianza residual o sea de la variabilidad no correlacionado espacialmente en el set de datos. Interpolación a partir de isolíneas Las isolíneas representan líneas continuas de igual valor a lo largo del área de estudio y normalmente su fuente son los mapas topográficos o los planos ingenieriles (Ej. Levantamientos topográficos). Dependiendo del software utilizado, se pueden utilizar dichos datos tanto en formato raster (Ej. Intercon de IDRISI) como en formato vectorial (Ej. 3D Analyst de Arc View, TIN de Arc Info, MGE Terrain Analyst de Intergraph). Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN) El modelo de datos TIN (por sus siglas en inglés) como un medio para almacenar, recuperar y analizar datos topográficos fue inventado en forma independiente en América del Norte al menos tres veces en los primeros años de 1970 (Mark, 1977). El modelo TIN surgió como una respuesta a la necesidad de buscar una estructura de datos alterna a la raster utilizada hasta aquel momento para representar Modelos Digitales del Elevación (MDE) y a la insatisfacción por parte de los usuarios(as) con el software existente para crear isolíneas. A continuación se ofrece un breve resumen de la historia de los modelos de triángulos irregulares (Mark, 1977): 1964: Los triángulos elaborados a partir de una distribución de puntos irregulares fueron utilizados como base para dibujar curvas o isolíneas en un espacio bidimensional. 1965: La compañía IBM implementó un proceso basado en triángulos para elaborar curvas de nivel. 1966: El geomorfólogo Alemán K. Hormann propuso el uso de triángulos para representar la superficie del terreno y luego realizar análisis geomorfológicos. Sin embargo, los triángulos propuestos por Hormann carecían de topología y eran analizados en forma individual. 1967: Se desarrolla un programa de cómputo para la creación de curvas de nivel basado en triángulos para la industria petrolera. 1968: Thomas K. Poiker, profesor de cartografía en Canadá, describe la primera estructura de triángulos irregulares con topología integrada, como parte de la superficie externa de un sólido de tres dimensiones. 1973: Las estructuras triangulares fueron inventadas en forma independiente por ingenieros de la firma consultora Engineering-Science, Virginia, USA como un medio para representar elevaciones

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y otros atributos mientras trabajaban en un proyecto sobre tuberías de aguas negras. La idea se materializó como ADAPT (Areal Design and Planning Tool), un SIG que utilizaba los vértices de los triángulos para designar elevaciones y sus caras para representar otros atributos. 1975: El modelo TIN propuesto por Poiker se había establecido como una estructura topológica en el mundo científico. 1975-76: Las estructuras triangulares fueron inventadas en forma independiente por el geólogo Christopher Gold mientras trabajaba en su disertación de doctorado entre 1975 y 1976 como un medio para representar superficies geológicas subterráneas. Para finales de 1970 se había aceptado al modelo TIN como la forma estándar de representar la topografía en un SIG y en otros programas de cómputo. Las superficies pueden representarse mediante un conjunto de puntos con un espaciamiento regular (en inglés, lattice) ó utilizando una red de triángulos irregulares (Triangulated Irregular Network, TIN, por sus siglas en inglés). El modelo TIN (Fig.17) está formado por un conjunto de triángulos adyacentes que no se traslapan, los cuales se derivan a partir de un set de puntos con un espaciamiento irregular. La estructura de datos está basada en una mezcla de puntos (Masa de puntos), líneas (líneas de cambio o inflexión en la topografía) y polígonos (áreas). El modelo TIN almacena la información topológica que define las relaciones espaciales entre cada uno de los triángulos y sus vecinos (Ej. información sobre los vértices y los lados de cada triángulo). El modelo TIN es apropiado para representar las irregularidades del terreno y para derivar métricas del paisaje tales como pendiente, aspecto y sombreado del terreno. Sin embargo cuando se requiere utilizar la superficie con fines de modelado (Ej. simulación de escorrentía superficial), la estructura de datos raster es más apropiada. Los puntos equidistantes derivados del TIN (grilla) son el insumo a partir del cual se estima el valor de Z (Ej. elevación) que posteriormente permitirá crear un archivo de tipo raster. El cuadro 5 resume las principales características de las estructuras de datos TIN y raster.

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Fig. 17: Modelo de puntos regulares (lattice) y red de triángulos irregulares (TIN). Cuadro 5: Comparación entre las estructuras de datos raster y TIN para representar modelos digitales de elevación. Modelo raster: cuadrícula regular

Modelo Vectorial: triángulos irregulares

La cuadrícula es un modelo de datos simple formado por una matriz de columnas e hileras.

La red de triángulos irregulares es una estructura más compleja que representa la superficie mediante un conjunto de caras de triángulos contiguos que no se traslapan.

Los procesos computacionales son muy eficientes ya que se trabaja con una matriz de valores (columnas e hileras).

Procesos computacionales menos eficientes ya que se debe estimar el valor promedio para el conjunto de nodos que rodean el punto de interés.

Existen algoritmos bien establecidos para el procesamiento de los datos. Dichos algoritmos se originaron en la comunidad de usuarios de procesamiento de imágenes digitales.

Los algoritmos para procesar TINs son más complejos y costosos de programar. Por lo tanto el software también es más caro.

Datos en formato raster son abundantes y menos costosos que los vectoriales.

Existen pocos datos en formato TIN y normalmente son más caros y difíciles de utilizar.

El modelo de celdas regulares es rígido, ineficiente y no expresa con fidelidad los cambios abruptos del terreno.

El tamaño de los triángulos se adapta a las irregularidades del área que se modela. Las coordenadas de los valores originales se mantienen como parte de la información asociada a los vértices de los triángulos y por lo tanto no existe pérdida de detalle ni de información.

Basado en: ESRI, 1997; Maune, 1994; Shearer, 1990 y Weibel y Heller, 1991.

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A continuación se brinda una guía en cuanto al método de interpolación a utilizar basados en el número de puntos de muestreo (Golden Software, 1999): Cuadro 6: Criterios para elegir el método de interpolación. Número de puntos de muestreo (X,Y,Z)

Método de interpolación sugerido

Observaciones

#10

Kriging con variograma lineal Kriging con variograma lineal. Triángulos irregulares con interpolación lineal. Funciones radiales Regresiones polinomiales

Sólo es posible generar una tendencia general de los datos. Se recomienda crear diferentes superficies y optar por la que mejor represente el set de datos.

#250

Kriging con variograma lineal Funciones radiales con función multicuadrática.

Ambos métodos de interpolación brindarán resultados aceptables y muy similares. Se recomienda utilizar todos los puntos de muestreo para crear la superficie.

250 a 1000

Triángulos irregulares con interpolación lineal. Curvatura mínima Kriging con variograma lineal Funciones radiales

Todos los métodos de interpolación brindarán resultados aceptables y muy similares. Para (Kriging( y (funciones radiales( se recomienda una función de búsqueda basada en cuadrantes.

>1000

Curvatura mínima Triángulos irregulares con interpolación lineal. Kriging con variograma lineal. Funciones radiales

Kriging y funciones radiales requieren de mayor tiempo de cálculo pero ofrecen mejores resultados. Según el manual de Surfer (Golden Software, 1999) el incremento en tiempo no es proporcional al número de puntos en el set de datos.

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EVALUACIÓN DE LA EXACTITUD DEL MODELO DIGITAL DE ELEVACIÓN Todo modelo digital de elevación está sujeto a dos fuentes de error. El primer tipo se denomina aleatorio y representan una sobre o sub estimación de los valores reales de elevación como resultado del azar. Estos errores no muestra un patrón determinado, en promedio su valor es igual a cero y los errores positivos y negativos tienen una frecuencia similar. El segundo tipo se denomina sistemático y también representan una sub ó sobre estimación de los datos de elevación; sin embargo, a diferencia de los primeros, tienen un patrón determinado y su promedio no es igual a cero (Maling, 1989). A continuación se describen los estadísticos disponibles para evaluar los errores asociados a un modelo digital de elevación. Exactitud Desde un punto de vista estadístico, la exactitud mide la magnitud y dirección del error o sesgo en el set de datos. Cuando no existe sesgo, el promedio de la variable es igual su valor verdadero. Para aplicar este concepto a un MDE es necesario comparar las elevaciones derivadas del mismo con otra fuente de información con un mayor grado de exactitud; por ejemplo, un mapa con valores mas exactos, valores de campo o elevaciones obtenidas por medios fotogramétricos (Cressie, 1993; Maling, 1989; Weibel y Heller,1991 ). La comparación resulta en una serie de diferencias denominadas (residuos(, cuyos valores pueden ser positivos o negativos. Estas diferencias se expresan estadísticamente como error promedio, error absoluto promedio y raíz cuadrada del error medio cuadrático (Shearer, 1990): Error aritmético medio El promedio indica la tendencia central de los errores y por lo tanto no indica la magnitud ni la dirección del error para puntos individuales. Cuando los errores son aleatorios la media tiende a cero y cuando existe un sesgo en los datos su valor será diferente de cero. El promedio aritmético no es un buen indicador del error del MDE pues un valor muy grande puede ser compensado por otro grupo de valores pequeños. Por ejemplo, un error de -100 metros puede ser compensado por diez errores de 10 metros y en promedio el error ser igual a cero (0). El error promedio es igual a:

0r = 3 ri / n

(11)

en donde: ri = residuos obtenidos en “n” puntos diferentes (tamaño de la muestra). Error absoluto medio El error absoluto promedio indica la tendencia central de la distribución de errores sin considerar su signo y su valor es mayor o igual a cero. Este valor representa mejor el error esperado del MDE. Por ejemplo, para el caso mencionado en el párrafo anterior el error sería 18.2m. El error absoluto promedio es igual a: EAP = 3 *ri* / n en donde: ri = residuos

(12)

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* * = valor absoluto n = número de observaciones (tamaño de la muestra) Raíz cuadrada del error medio cuadrático La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC) es una expresión matemática que captura tanto la magnitud como la variabilidad de las desviaciones de una serie de puntos de muestreo. Su fórmula es: EMC = ± ( 3 (ri) 2 / n) 0.5

(13)

Desviación estándar o típica (DT) La desviación estándar, también conocida como error estándar en el ambiente cartográfíco, expresa la desviación de los errores (ri) con respecto al promedio 0 r y su expresión matemática es la siguiente: DT = ( 3 (ri - 0 r ) 2 / n-1) 0.5

(14)

Cuando 0 r = 0 el RCEMC es igual a la desviación estándar de los errores; sin embargo si 0 r… 0 el valor del RCEMC será mayor que DT. En la literatura cartografía se le denomina con frecuencia a ambos términos error estándar. Cuando los residuos tienen una distribución normal, el 95% de los mismos se encontrarán entre -2DT y +2DT. Otros valores de uso común son los siguientes: Múltiplo de DT 0.6745 1.01 1.5 1.645 2.0 3.0 40. 0

% de puntos incluidos 50 68.3 86.6 90 95.5 99.7 99.9

Denominación Error medio Error estándar

q=1-P 0.5 0.333 0.143 0.1 0.05 Error “máximo”* 0.003 0.0001

% 50 33.3 14.3 10 5 0.3 0.01

k 1/2 1/3 1/7 1/10 1/20 1/333 1/10000

1-P: Probabilidad de que las observaciones exceden dichos límites por factores de azar. %: Porcentaje de 1as observaciones que exceden dichos límites por factores de azar. *: Conocido como criterio de Chauvenet (Maling, 1989). Cualquier residuo que exceda 3 desviaciones estándares es considerado como un valor extremo y es candidato a ser eliminado. Del análisis de la presente sección se desprende que existen varias expresiones matemáticas para cuantificar el error asociado al MDE y que no todas indican lo mismo. Esto puede crear confusión e

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incertidumbre en el usuario del MDE; para evitar esta inconveniente se recomienda describir cada término utilizado y especificar su respectiva fórmula. Exactitud de los valores de elevación En el ambiente cartográfico convencional se pueden utilizar tanto puntos con elevaciones conocidas como isolíneas (Ej. curvas de nivel) para crear los modelos digitales de elevación terreno. En ambos casos se debe determinar la exactitud planimétrica y altimétrica de los datos. Por ejemplo, el valor de un hito de posición fija en un mapa 1:50.000 puede tener un error en posición de 15m pero su valor de elevación puede ser correcto; ó poseer un error tanto en ubicación como en elevación (lo más probable). El error asociado a puntos particulares de elevación puede determinarse con facilidad; sin embargo es más difícil evaluar la exactitud de las curvas de nivel. En el caso de curvas de nivel es frecuente establecer una tolerancia máxima aceptable y luego utilizar valores puntuales para evaluar el grado de error asociado a la estimación. Por ejemplo, si asumimos que el 90% de los puntos muestreados deben estar a no más de 0.5 el intervalo de las curvas de nivel (Norma utilizada en la cartografía de los Estados Unidos de América); entonces para un mapa 1:50.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada 20m, dichos puntos deberían poseer un error inferior o igual ± 10m. Este método asume que la forma y detalle de las curvas es correcta dada la escala del mapa; sin embargo no somete a prueba dicho supuesto. ESTÁNDARES O NORMAS La investigación en cartografía hipsométrica ha demostrado que el error asociado a los valores de elevación está fuertemente influenciado por la pendiente del terreno (Fig. 18). A continuación se brindan dos ecuaciones conocidas como ecuaciones de Koppé (Maling,1987) que permiten determinar el error esperado en un MDE tanto en elevación como en planimetría: EMC en elevación REMC Z = ± (A+B * tan % ) EMC en posición REMC P = ± (B+A * cot % ) Para % 0 en donde % representa la gradiente de la pendiente en grados.

(15) (16)

Fig.18: Relación entre desplazamiento planimétrico y error en elevación. A: posición correcta de la curva de nivel. A' : Posición en el mapa. )P: error en planimetría. )Z: error en elevación.

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El desplazamiento planimétrico y el error altimétrico será el mismo para aquellas áreas con una pendiente de 45º (100%) y por lo tanto puede asumirse que el error altimétrico siempre será menor que el planimétrico (cuadro 8). Los valores de A y B de las ecuaciones 15 y 16 son constantes establecidas por cada país considerando la escala del mapa y los requisitos de exactitud deseados. A continuación se brindan los valores para A y B citados por Maling (1987) para escalas entre 1:1000 y 1:50.000. Cuadro 7: Valores de A y B sugeridos por Maling (1987) para cartografía con escalas entre 1:1000 y 1:50000. Escala

Intervalo entre curvas de nivel (m)

EMCZ (m)

EMCP (m)

1: 1000

1

± (0.1 + 0.3 * tan %)

± (0.3 + 0.1 * cot %)

1: 5000

5

± (0.4 + 3 * tan %)

± (3 + 0.4 * cot %)

1:10000

10

± (1 + 5 * tan %)

± (5 + cot %)

1:25000

10

± (1 + 7 * tan %)

± (7 + cot %)

1:50000

20

± (1.5 + 10 * tan %)

± (10 + 1.5 * cot %)

Para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica, los valores anteriores brindarían los siguientes errores permisibles: Cuadro 8: Errores permisibles para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica, basado en Maling (1º987) Pendiente % (grados)

Pendiente % (%)

2.5

4.4

5

Categoría de pendiente

RCEMC Z (±m)

RCEMC P (±m)

Ligeramente ondulado(2-6%)

1.94

44.35

875

Ondulado (6-15%)

237

2714

10

176

Fuertemente ondulado (15-30%)

326

1851

20

364

Escarpado (30-50%)

514

1412

30

577

Fuertemente Escarpado(50-75%)

727

1259

40

839

Montañoso (>75%)

989

1179

45

100

Montañoso (>75%)

1150

1150

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A continuación se brindan los estándares altimétricos en uso en Alemania, Suiza, Inglaterra, y los Estados Unidos para mapas con escalas entre 1:5.000 y 1:50.000 (Shearer,1990): Cuadro 9: Errores aceptables en la estimación de valores de elevación (REMC Z) en Europa y los Estados Unidos de América. Normas para cartografía analógica. Escala

País

REMC Z (±m)

Para % = 30º (57.7%)

1:5000

Alemania

± (0.4 + 5 * tan %)

3.29 m

1:10000

Suiza

± (1 + 3 * tan %)

2.73 m

1:10000

Inglaterra

± ((1.8)2 + (3)2 * tan %) 0.5

2.49 m

1:25000

Alemania

± (0.5 + 5 * tan %)

3.39 m

1:25000

Suiza

± (1 + 7 * tan %)

5.04 m

1:25000

Inglaterra

± ((1.8)2 + (7.8)2 * tan %) 0.5

4.85 m

1:50000

Suiza

± (1.5 +10 * tan %)

7.27 m

USA

± (1.8 + 15 * tan %)

10.46 m

1:50000 %: Pendiente en grados

En general, los valores anteriores coinciden con la norma utilizada en la cartografía de los Estados Unidos de América, la cual indica que un 90% de los puntos muestreados debe tener un error inferior a media curva ( Maling, 1989). Para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada 20 metros y auxiliares cada 5 metros (en lugares planos) dicha norma corresponde a 10 y 5 metros, respectivamente. Para la cartografía 1:200.000 con curvas de nivel cada 100m, el error aceptable sería 50m. A partir de la norma anterior y considerando que toda curva de nivel tiene un error planimétrico y otro altimétrico (Fig. 19) se puede utilizar la siguiente ecuación para determinar el error esperado en elevación para la cartografía 1:200.000 (Maling, 1989):

ÎZ = 0.5 IC + 0.5mm* tan %

(17 )

en donde: % : representa la gradiente de la pendiente en grados. IC: intervalo de la curva de nivel

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0.5mm: Este valor corresponde a la norma utilizada en los Estados Unidos de América para evaluar la exactitud planimétrica de los mapas con escalas inferiores a 1:24.000. Dicha norma establece que 90% de los puntos muestreados deben encontrarse a no mas de 0.5mm de su posición verdadera.

Fig. 19: Desplazamiento esperado en el valor de elevación como consecuencia del desplazamiento en planimetría. A y B: curvas de nivel. M: error aceptable en elevación (0.5IC). EPp: error total considerando el error en planimetría. El cuadro 10 ilustra la aplicación de la ecuación 7 a la cartografía 1:200.000 de Costa Rica. El error máximo esperado en elevación para la cartografía a escala 1:200.000 es igual al 1.5 veces el intervalo entre curvas de nivel, lo cual excede el estándar utilizado en los Estados Unidos de América para evaluar la exactitud en altimetría de la cartografía con escalas inferiores 1:24.000. Dicha norma establece que ningún punto de muestreo debe exceder el valor de una curva de nivel.

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Cuadro 10: Errores esperados para la cartografía 1:200.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada 100m, basado en Maling (1989). Pendiente (grados)

Pendiente (%)

Categoría de pendiente

RCEMC Z (±m)

2.5

4.4

Ligeramente ondulado (2-6%)

54.4

5

875

Ondulado (6-15%)

58.8

10

176

Fuertemente ondulado (15-30%)

67.6

20

364

Escarpado (30-50%)

86.4

30

577

Fuertemente Escarpado (50-75%)

107.7

40

839

Montañoso (>75%)

133.9

45

100

Montañoso (>75%)

150

Estándares para modelos digitales de elevación Los estándares propuestos para la cartografía analógica (Ej. ecuaciones de Koppé y Normas de la Agencia Cartográfica de los Estados Unidos de América) se basan en la gradiente de la topografía y la escala del producto cartográfico. En los modelos digitales de elevación no existe la escala como tal y por tanto se consideran independientes de la misma; sin embargo para los archivos raster puede utilizarse la separación entre los nodos de la cuadrícula como un equivalente de la escala. Ley (1986) citado por Shearer (1990), sugiere utilizar la siguiente equivalencia entre escala y tamaño de la celda: Separación entre nodos 30 m 100 m

Equivalente a escala 1:50.000 1:250.000

Error planimétrico (RCEMC) 90% de los errores +25 m 90% de los errores +125 m

Utilizando esta equivalencia puede establecerse la exactitud de un MDE a partir de las normas utilizadas para la cartografía convencional. Un Modelo Digital del Terreno (DEM, por su siglas en inglés) en los Estados Unidos de América es un archivo digital con puntos equidistantes en sentido norte-sur (X,Y) y con un valor de elevación en el eje Z (Maune, 1994). A partir de los mapas 1:24.000 se trazan perfiles en sentido Norte-Sur con una separación de 30 m entre sí. Cada perfil a su vez contiene puntos con una separación de 30m; por cuanto el producto final es una matriz regular de 30*30m. Para los mapas 1:250.000, la separación entre los perfiles y los puntos está basado en coordenadas geográficas (latitud, longitud). La separación entre perfiles y puntos es de 3 segundos de arco, lo cual corresponde a aproximadamente 90m en el sentido norte-sur y a una distancia variable en el sentido este-oeste. Esta última distancia depende de la ubicación del lugar ya que los meridianos convergen conforme aumenta la latitud. A continuación se describen las especificaciones de los MDT

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de nivel I, II y III utilizados en los Estados Unidos de América (Brown, 1994; Maune, 1994;Veregin, 1997). En todos los casos el error es calculado a partir de una muestra de al menos 28 puntos. Nivel I: Los valores de elevación son estimados a partir de métodos fotogramétricos. El MDT debe tener un error máximo (RCEMC z) de 15m y ningún error puede exceder 50M (aproximadamente 3 veces la RCEMC). Este MDT cumple con los requisitos para elaborar ortofotos a escala 1:12.000. Nivel II: EL MDT es creado a partir de curvas de nivel y el error (RCEMC z) permisible es 0.5 veces el intervalo entre curvas de nivel del mapa fuente; además ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel. Las especificaciones de este nivel están diseñadas para que el usuario obtenga resultados similares a los que obtendría con métodos manuales y utilizando mapas impresos a la misma escala. Nivel III Este MDT es derivado de curvas de nivel y otra información auxiliar. El error permisible en elevación (RCEMC Z) es de 7 m y ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel. Debido a que los estándares anteriores están basados en normas para cartografía analógica, el Comité Federal para Datos Geográficos de los Estados Unidos de América aprobó en junio de 1998 los “Estándares Nacionales de Exactitud para Datos Espaciales” (NSSDA, por su siglas en inglés) (http://mcmcweb.er.usgs.gov/sdts/, http://www.fgdc.gov/standards/status/sub1_3.html). Dichos estándares definen la metodología y los estadísticos a utilizar para evaluar la exactitud tanto de mapas digitales como analógicos. Estos nuevos estándares recomiendan calcular un intervalo de confianza al 95% para el error (1.96*RCEMC z). A los interesados en hojas electrónicas diseñadas para implementar dicho estándar se les remite al subdirectorio NSSD del CD que acompaña al presente documento. Errores para un MDE derivado de elevaciones obtenidos por métodos fotogramétricos A continuación se brinda un resumen de los resultados reportados por Torlegard et. al. (1987) y citados por Shearer (1990). El estudio consistió en la obtención de mediciones de elevación a partir de fotos con escalas entre 1:1000 y 1:30.000 para 6 sitios con diferentes condiciones de terreno por parte de 15 instituciones independientes y su posterior uso para derivar el MDE. Finalmente, cada institución seleccionó 2500 puntos de control para los cuales obtuvo su valor de elevación. El error se estimó como la diferencia entre dichos valores y los derivados por métodos fotogramétricos con especificaciones de exactitud en el orden de ±0.3% a ±0.7% por cada 1000 metros de altura de vuelo (esto se hizo para normalizar los errores y por lo tanto poder compararlos).

T Los resultados menos satisfactorios se obtuvieron tanto para áreas ubicadas en terreno empinado y con montañas escabrosas (Ej.configuración de terreno en Monte Verde de Puntarenas); como en

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áreas planas y con cobertura de bosques. En ambos casos los MDE no cumplieron con las normas establecidas por el estudio.

T El error estándar en el MDE obtenido por técnicas fotogramétricas se encontraba entre ±0.2% y ±0.4% de la altura de vuelo. Esto representa una exactitud entre ±0.2 a 0.4m para alturas de vuelo de 1000m y ±3.0 a 6.0m para alturas de vuelo de 15000m.

T En áreas muy empinadas la exactitud alcanzó entre ±1.0% y 2.0% de la altura de vuelo; lo que representa un error desde ±1.0 a 2.0m hasta ±15.0 a 30.0m, respectivamente.

T Los errores máximos pueden ser desde 4 hasta 8 veces el valor del error estándar. T La exactitud media del MDE se incrementa al aumentar el número de puntos de muestreo. T Valores estáticos de elevación (elevaciones de puntos fijos) brindan mejores resultados que perfiles o curvas de nivel. Esto se debe posiblemente a que los puntos poseen un menor error tanto en planimetría como en altimetría.

INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE En general, los insumos para elaborar un MDE pueden obtenerse a través de levantamientos de campo, métodos fotogramétricos y digitando elevaciones a partir de hojas topográficas. El trabajo de campo es el método mas costoso pero también el que genera los datos de mejor calidad. Las hojas topográficas, son la fuente de menor costo, pero también las de menor calidad. El levantamiento de campo es factible para áreas pequeñas y que requieran de gran exactitud. Acherman (1978) reporta que se requirió de 13 días para levantar 6000 puntos de campo en tanto que en 5.5 horas se levantaron 8500 puntos por medios fotogramétricos. La exactitud de ambos métodos no es la misma (±0.25m y ±0.4m, respectivamente); sin embargo en ambos casos se puede elaborar cartografía con curvas de nivel de 1m; lo cual es apropiado para un sinnúmero de aplicaciones. Cuando se utilicen medios fotogramétricos deben considerarse los siguientes aspectos (Shearer, 1990):

T T T T

Escala de la foto y altura de vuelo Razón de base-elevación Exactitud del equipo utilizado Método utilizado para levantar los datos < Estático o puntual: Este método brinda mayor exactitud < Dinámico, perfiles o curvas de nivel: Este método brinda una exactitud de aproximadamente 1/3 del anterior.

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En el caso de las hojas topográficas, la exactitud dependerá de la escala del mapa y del intervalo entre curvas de nivel. Otro aspecto que influirá en el producto es el método utilizado para digitar las curvas. Los métodos manuales (mesa digitalizadora) pueden incluir un error planimétrico de ±0.5mm, en tanto que los métodos semiautomáticos (uso de escáner) pueden generar errores menores. Sin embargo, en todo caso esta fuente de datos es el que genera los MDE de menor exactitud. Densidad y distribución de los datos La densidad y distribución de los insumos influyen en la exactitud del modelo de elevación digital. Una distribución regular y densa de puntos (Ej. cuadrícula) ó el uso de perfiles paralelos brindan una excelente cobertura del área y por lo tanto generan MDE realistas. Sin embargo, cuando el terreno es muy escarpado y con inflexiones frecuentes se tiende a perder los detalles menores del paisaje (Ej. acantilados, cimas de la montaña, cárcavas y pequeñas cañadas). Una solución a esta limitante es complementar los datos anteriores con puntos particulares o líneas que indiquen inflexiones en el terreno. Los mapas de curvas de nivel son una fuente aceptable de datos para crear MDE; sin embargo la densidad de los datos estará directamente relacionada con la pendiente del terreno. Sitios con fuerte pendiente tendrán una mayor cantidad de puntos comparados con sitios ubicados en áreas planas. En este caso también es aconsejable suplementar la información de curvas de nivel con valores puntuales y líneas que indican cambios bruscos en el terreno.

Esquemas de muestreo El modelo digital de elevación puede elaborarse a partir de una variedad de insumos, entre los que tenemos (Weibel y Heller, 1991): < Perfiles < Puntos equidistantes (cuadrícula) Muestreo selectivo: Líneas que indican cambios bruscos en el terreno < Curvas de nivel < Puntos aleatorios con elevaciones conocidas < Muestreo progresivo: Lo intensidad de muestreo está en función de la complejidad del terreno; se muestrea con un patrón jerárquico. < Muestreo compuesto: combinación de muestreo selectivo y muestreo progresivo.

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Perfiles

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Cuadriculado

Muestreo progresivo

Muestreo compuesto A continuación se resumen los resultados reportados por Ebner y Reiss (1984) en cuanto a la eficiencia de las diferentes estrategias de muestreo.

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Cuadro 11: Eficiencia de diferentes estrategias de muestreo utilizadas para recabar datos para elaborar un MDE. Fuente: Ebner y Reiss,1984. Tipo de insumo

Exactitud del insumo

Resultados

Cuadrícula con una separación entre nodos de 10m

±0.25m

El MDE elaborado a partir de la cuadrícula brindó los mejores resultados (menor RCEMC z).

Perfiles con una separación original de 10m

±0.5m

La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC Z) varió entre ±0.47m para perfiles con una separación de 20m y ±0.52m para perfiles con una separación de 60m. El tamaño de celda utilizado fue 20m. El RCEMC Z para celdas con tamaños entre 20m y 60m varió entre ±0.47m y ±0.61m, respectivamente.

Curvas de nivel cada 2.5m

±0.5m

La raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC Z) varió entre ±0.51m para celdas de 20m y ±0.57m para celdas de 60m.

Las implicaciones prácticas de estos resultados son las siguientes:

T

Las cuadrículas con un espaciamiento regular proveen un mejor insumo para elaborar modelos digitales del terreno que los perfiles.

T

Las cuadrículas con un espaciamiento de hasta 60m entre nodos provee una mejor fuente de datos para elaborar MDE que perfiles o curvas de nivel con una densidad equivalente. Esto es muy importante pues reduce el tiempo y dinero requerido para levantar puntos en el campo o en las fotos aéreas.

Grassie (1982) citado por Shearer (1990) comparó la exactitud de los MDE generados con diferentes programas comerciales utilizados en cartografía general o temática. Los insumos consistieron en aproximadamente 300 puntos para los siguientes tipos de datos:

< < <

Puntos de muestreo sobre curvas de nivel Puntos sobre líneas que indican cambios bruscos en el terreno Puntos sobre ríos

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< <

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Puntos en una cuadrícula con nodos cada 85m Puntos de elevación conocida distribuidos en forma irregular

Los resultados se compararon con puntos de control derivados fotogramétricamente de una grilla con una separación de 30m y de curvas de nivel con un intervalo entre curvas de 10m. Las conclusiones fueron las siguientes:

T Todos los programas presentaron problemas en diferentes áreas y en general no capturaron las irregularidades menores del paisaje obtenidas a partir de las curvas de nivel utilizadas como control.

T Los métodos que derivan valores para la cuadrícula basados en puntos al azar mostraron variaciones muy marcadas en la calidad del producto generado; seguidos por los métodos basados en curvas de nivel.

T Los métodos globales de interpolación mostraron los mayores errores seguidos por los métodos locales y sus resultados son comparables con los métodos basados en una búsqueda de puntos.

T Los métodos basados en la búsqueda de puntos alrededor de cada nodo de la cuadrícula tienden a generar curvas de nivel angulares en áreas planas o de poca elevación. Esto se debe a que el método selecciona puntos con igual valor de elevación alrededor de cada punto de la cuadrícula y por lo tanto los nodos de la cuadrícula tienden a tener el mismo valor que las curvas de nivel.

T La distribución espacial de los puntos de elevación es crítica para lograr una adecuada representación del paisaje en el MDE. Los métodos basados en una cuadrícula regular mostraron mejores resultados que los basados en una distribución irregular.

T El error medio cuadrático menor se obtuvo con los puntos distribuidos regularmente (±3.31m a ±6.54m), seguido por las curvas de nivel (±3.49m a ±6.27m) y finalmente por los puntos distribuidos en forma irregular (±4.09m a ±6.80m). Curvas de nivel en mapas 1:50.000 Lowthian (1986) citado por Shearer (1990) evaluó la exactitud de modelos digitales del terreno elaborados a partir de curvas de nivel con un intervalo de 10 m, impresas en mapas a escala 1:50000 y digitadas manualmente. Los resultados se compararon con los valores de elevación derivados para 2500 puntos derivados por métodos fotogramétricos. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Error Absoluto Medio +6.75m

Error Promedio -2.21m

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Error estándar (RCEMC) ±6.44m

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La diferencia en el promedio (indicador de error sistemático) puede explicarse en parte, según Shearer (1990), por diferencias en el sistema de referencia utilizado para generar los puntos de control y datos utilizados para crear el MDE. El error obtenido es aceptable para crear cartografía a escala 1:50.000. Observe, sin embargo que el intervalo entre curvas de nivel era de 10m y por lo tanto podría argumentarse que el error no debería exceder 5m (media curva). SELECCIÓN DEL MEJOR MÉTODOS PARA CREAR UN MDE El modelo digital de elevación puede crearse utilizando una estructura de datos raster ó una vectorial (TIN). Los métodos basados en una búsqueda selectiva de puntos brindan mejores resultados que los métodos globales o locales (Shearer, 1990). Sin embargo, no es posible afirmar en forma categórica que siempre un método dará mejores resultados que otro. Por esta razón el usuario de un determinado programa de software debe evaluar los resultados de su modelo, documentar el grado de error y decidir sí la calidad del mismo es apropiada para sus necesidades. Para algunos investigadores el método de interpolación basado en el modelo TIN es superior al raster; sin embargo esto no puede tomarse como una afirmación absoluta (Carrara, Bitelliy y Carla, 1997; Carvacho y Sánchez, 1997). EDICIÓN Y DEPURACIÓN DEL MDE Una vez creado el modelo digital de elevación es necesario depurarlo para eliminar las inconsistencias generadas en el proceso de interpolación. Entre las operaciones que pueden aplicarse a un MDE tenemos (Weibel y Heller, 1991): 1. Edición: Esta operación puede realizarse tanto a nivel vectorial (TIN) como raster y consiste en modificar valores para puntos o celdas particulares. El SIG provee las herramientas para realizar dichas operaciones. 2. Filtrado: Esta operación se aplica a un modelo de datos raster y tiene como objetivo eliminar valores inconsistentes en el MDE (Fig.20 ). Normalmente, se utiliza una filtro promedio en el dominio espacial (ventana móvil). Esta operación también puede utilizarse para reducir la resolución del MDE y por ende reducir el tamaño del archivo. 3. Creación de mosaicos: Con frecuencia los MDE son creados para espacios geográficos definidos (Ej. una hoja 1:50.000) y por tanto es necesario su posterior fusión en unidades mayores denominadas mosaicos. La fusión de mapas puede hacerse tanto con archivos en formato raster como vectorial.

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Fig.20 : Proceso de eliminar sumideros y picos ficticios en el MDE. 4. Cambio de formato: El MDE puede crearse como un archivo vectorial (TIN) o como uno raster; sin embargo con frecuencia es necesario pasar de un formato al otro. Esta transformación es realizada por el SIG mediante diferentes métodos de interpolación. Es frecuente, por ejemplo, crear un modelo raster a partir de un TIN o crear isolíneas (curvas de igual valor) a partir de un modelo raster. 5. Clasificación y manipulación: Las operaciones de clasificación y manipulación del MDE son parte de las herramientas que provee un Sistemas de Información Geográfica. Por ejemplo, el MDE puede clasificarse en categorías de elevación; también es posible crear elementos en 3D y derivar pendiente, orientación y aspecto del terreno.

APLICACIONES Por muchos años, las aplicaciones en el área de los Sistemas de Información Geográfica se restringieron a un mundo en dos dimensiones. La dimensión vertical (Z), típica de ambientes terrestres, oceánicos y antrópicos era representada mediante isolíneas ó áreas de igual elevación o profundidad. Sin embargo, gracias a los avances en el área del diseño gráfico y en especial, en la capacidad de procesamiento del equipo de cómputo logrado en la década del 90, en la actualidad es posible visualizar y realizar análisis en 2.5 dimensiones utilizando una computadora personal y software de bajo costo. Sin embargo, a pesar de dicho avance todavía no es posible, para fines prácticos, representar visualmente una superficie en 3D. Los productos de un MDE son múltiples; sin embargo entre los principales tenemos: T Mapa de gradiente del terreno T Mapa de aspecto u orientación del terreno T Mapa de curvatura/convexidad del terreno T Mapa de longitud de la pendiente T Perfiles longitudinales y transversales del terreno T Mapa de intervisibilidad T Perfil de visibilidad Entre las diversas aplicaciones de un MDE tenemos: [email protected]

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T T T T T T T T T T T T T

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Estimación de áreas y volumen de relleno y excavación Visualización en perspectiva (2.5D) Creación de isolíneas Delimitación de cuencas hidrográficas y de cauces Análisis hidrológico superficial Elaboración de perfiles del terreno Determinación de la longitud del flujo superficial Ortorectificación de fotos aéreas e imágenes satelitales Análisis de inestabilidad de laderas Curva hipsométrica/integral hipsométrica Análisis de relieve local Análisis topológico de cauces: orden, magnitud Iluminación o sombreado del terreno

Pendiente del terreno La pendiente representa el cambio en elevación (ªH) con respecto al cambio en distancia (ªD), y puede expresarse tanto en grados como en porcentaje. A partir de un MDE el usuario puede determinar la pendiente máxima del terreno como se ilustra en la figura 21.

Fig.21 : Concepto de pendiente máxima.

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Aspecto u orientación de la pendiente A partir del mapa de pendiente máxima se puede determinar la orientación de la pendiente (Fig. 22). El resultado se expresa en grados (0-3600 ) y en el sentido que giran las agujas del reloj; el norte corresponde a 0/; 90.0/ corresponde al este, 180.0/ al sur y 270.0/ al oeste. A las áreas planas se les asigna el valor -1.

Fig. 22: Concepto de pendiente o gradiente y aspecto u orientación de la pendiente. Iluminación/sombreado del terreno A partir de un MDE es posible crear un mapa de iluminación relativa del terreno. Este mapa se utiliza con fines de visualización; ya que no posee unidades con sentido físico. El método de sombreado del terreno fue desarrollado inicialmente por especialistas de las escuelas de cartografía de Suiza y Austria basados en los conceptos de claro-oscuro utilizados por los pintores del Renacimiento para crear objetos en tres dimensiones a partir de iluminación y sombreados en sus pinturas (Burrough, 1986). El sombreado del terreno creado a partir de un MDE muestra cómo luciría el terreno si estuviese formado por un material ideal y fuese iluminado desde un ángulo particular (Fig. 23). Normalmente, el ángulo de la fuente de luz se establece a 450 sobre el horizonte en el sentido noroeste (315/) como se muestra en la figura 23. Sin embargo, el usuario puede modificar dicho valor en la mayoría de los programas que permiten crear un mapa de sombreado del terreno. Algunos autores consideran que el modelo TIN brinda una representación menos realista del terreno; aunque desde luego esto dependerá de la densidad de puntos utilizados para crearlo. En el caso de los modelos raster (celdas equidistantes) el mapa de sombreado tiene una apariencia más suavizada y por lo tanto crea una mejor impresión visual en el observador (ver fig. 24).

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Actualmente se cuenta con una gran cantidad de programas que permiten crear mapas de sombreado del terreno; sin embargo, el primer programa de cómputo para elaborar dichos mapas fue elaborado por Dennis White del Laboratorio de Gráficos Asistidos por Computadoras de la Universidad de Harvard, USA y se llamó Imago Mundi (Burrough,1986). Los mapas poli cromáticos permiten apreciar mejor las características del paisaje que aquellos creados en tonos de grises.

Fig. 23: Efecto de la iluminación (ángulo de elevación y dirección) sobre el sombreado del terreno.

Fig. 24: Isla Chira, sombreado del terreno. Software: IDRISI V2.O. Delimitación de cuencas hidrográficas Esta función permite delimitar cuencas hidrográficas (Fig. 25) a partir de un mapa de orientación de la pendiente y un mapa de la red de drenaje. El usuario puede definir el ángulo de búsqueda (equivalente al radio de visibilidad); con frecuencia se utiliza por omisión el valor 900. Este ángulo define las celdas que aportarán agua a otra celda en el sentido de la pendiente. El método es susceptible al efecto de los mínimos y máximos locales y por lo tanto el MDE debe filtrarse antes de utilizar esta función.

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Fig. 25: Delimitación de una cuenca hidrográfica en un MDE.

150 100 50

Elevación (Metros)

Exageración Vertical 14 X

200

Perfiles El perfil es una representación gráfica de las coordenadas X,Y,Z de un elemento lineal en un sistema de coordenadas cartesianas (Fig. 26). El usuario debe trazar o indicar la ubicación del transecto o línea que define la ubicación del perfil. Si se desea, los datos pueden guardarse como un archivo ASCII para su posterior uso en cualquier otro programa de diseño gráfico. También es posible exporta el gráfico como un meta archivo de Windows (*.wmf).

1000

2000

3000

Distancia (Metros) X,Y Distancia a lo largo del perfil

Fig. 26: Perfil longitudinal. Isla Chira. [email protected]

4000

5000

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Análisis de Inter visibilidad El análisis de intervisibilidad permite determinar, a partir del MDE y de un segundo mapa que muestre puntos/líneas de observación todos aquellos sitios visibles desde dichos puntos/líneas. La figura 24 ilustra la terminología utilizada en el análisis de inter visibilidad. Los diferentes programas de software disponibles en el mercado ofrecen opciones para definir los parámetros que se muestran en la figura 27 y generar un producto como el que se muestra en la figura 28. El usuario puede utilizar la función de sobre posición de mapas para crear superficies que reflejen las obstrucciones reales del terreno (Ej. elevación del terreno+altura de Fig. 27: Definición de términos utilizados en el análisis de inter visibilidad. arboles+altura de edificios).

Fig.28: Áreas visibles. Software Spatial Analyst, ArcView.

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Línea de visibilidad Esta función permite determinar la línea de visibilidad de un observador ubicado en un determinado punto o línea. Si el área de interés no es visible el programa le proveerá la ubicación de la primera obstrucción. El producto es un perfil del terreno que indica tanto la sección visible como la no visible como se muestra en la figura 29.

Fig. 29: Perfil de visibilidad. Software: Spatial Analyst, ArcView. Visualizaciónen perspectiva o tridimensional La visualización de un MDE puede realizarse tanto en forma estática (Ej. mapa impreso) como de manera interactiva (Ej. monitor). En ambos casos, el objetivo del análisis visual es permitirle al usuario(a) explorar el modelo para formular o re formular sus hipótesis o métodos de estudio. La utilidad de los productos visuales dependerá de la naturaleza de los datos y del equipo-software utilizado por el investigador (a). A continuación se describen tres formas de visualizar un MDE (Raper y Kelk, 1991). Visualización en 2D La visualización en 2D se logra a través de un gráfico o imagen raster en la cual el valor Z es proyectado en un plano de 2D, el cual permite visualizar elementos con dimensiones 0-D, 1-D y 2D (Ej. isolíneas, ver fig. 30). Dado que la variable Z es continua en una escala de medición de razón, para representarla es necesario agrupar los datos en categorías y visualizar los límites de las clases. Esta técnica no permite representar valores múltiples de Z para una misma ubicación X,Y (Ej. contenido de hierro a diferentes profundidades).

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Simbología Curvas de nivel cada 20m

N

N ica ragu a

M ar C ar ibe

Panam á Oceán oP acíf ico

50

3000

0

0

0 5

Kilo m ete rs

3000 Meters

Fig. 30: Curvas de nivel para la isla Chira. Golfo de Nicoya, Costa Rica. Fuente: IGNCR,1989.

Visualización en 2.5D La visualización en 2.5D es un modelo de proyección isométrico en el cual los valores de Z asociados con cada par de coordenadas X,Y son proyectados y visualizados simultáneamente en un sistema de coordenadas con tres dimensiones (X,Y,Z) (Ej. modelo de líneas isométricas). Esto crea la percepción de profundidad y relieve en la mente humana (fig. 31). Sin embargo, la vista solo brinda información sobre la superficie graficada y no es una representación verdadera del volumen representado. En otras palabras, aun cuando se percibe la vista con un eje Z, la misma está limitada por la representación en 2D. Desde un punto de vista práctico, esta función permite visualizar el MDE, ya sea solo o como una sobrepuesta de un mapa de atributos (Ej. uso/cobertura de la tierra, imagen de satélite, etc.)(fig. 32). El usuario define la resolución de la imagen, el ángulo de visión y la orientación de la panorámica; así como el factor de exageración vertical. Utilizando esta técnica de visualización es posible crear escenas de gran realismo como la que se muestra en la figura 33.

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Fig. 31: Vista en perspectiva de una porción del mapa de la isla Chira. Software: IDRISI V2.0.

Volcán Poás

Alajuela

Fig. 32: Vista en perspectiva de una imagen SPOT sobrepuesta a un MDE. Software: 3D Analyst de ArcView.

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Fig. 33: Creación de realidad virtual en perspectiva. Visualización en 3D La visualización en 3D es la representación digital de un sólido en la cual múltiples valores de X,Y,Z son estructurados para formar dicho sólido y de esta forma poder visualizarlo como una tres dimensiones. Esta estructura de datos permite la presencia de múltiples valores de Z para un mismo valor de X,Y y por lo tanto es una representación fiel del espacio físico que percibe el ser humano. Animación La animación permite definir líneas de vuelo y simular vistas en 3D a partir de un MDE. Estas vistas pueden utilizarse para crear un video digital compatible con los visualizadores de video para Windows (Ej. *.avi, Quick Time Movie y Active Movie, etc.). Creación de orto imágenes Las ortoimágenes son creadas a partir de un proceso digital conocido como rectificación diferencial el cual permite eliminar las distorsiones geométricas causadas por el relieve y la inclinación de la cámara aérea. Una ortofoto es una imagen del terreno, en la cual la proyección central de la foto ha sido transformada a una proyección ortogonal. Estas fotos tienen una calidad geométrica equivalente a la de un mapa topográfico. Cálculo de área y volumen Cuando se utiliza un MDE el área será medida considerando el factor elevación o altura y por lo tanto su valor será mayor que el equivalente para una superficie plana. La función volumen determina el espacio entre un TIN y un plano horizontal definido por el usuario. El programa puede determinar el volumen sobre o bajo el plano de referencia. Algunas aplicaciones prácticas de esta función son determinar el volumen de suelo a excavar durante el proceso de nivelación ó de explotación en minería a cielo abierto y cuantificar volumen de agua en un embalse. [email protected]

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Determinación de relleno y excavación Esta función permite determinar, para dos superficies, la cantidad de material a ser removido ó depositado. La operación se realiza en el dominio raster y por lo tanto cuando se utiliza un TIN el programa deberá rasterizarlo primero para luego realizar la operación. Creación de isolíneas El programa es capaz de trazar isolíneas (Ej. curvas de nivel, isotermas, etc.) a partir de archivos en formato de raster o TIN. En el primer caso, el software interpola los valores entre celdas y de esta manera genera un mapa con curvas suavizadas y más cercanas a la realidad; ya que en muy pocas ocasiones las líneas pasarán por el centro de las celdas. Cuando las isolíneas se elaboran a partir del modelo TIN, el programa interpola las lineas a través de la red de triángulos irregulares. La ubicación de la línea en el borde de cada triángulo es determinada mediante interpolación lineal. Creación de elementos en 3D Esta función permite crear elementos (puntos, líneas o polígonos) con un componente de elevación o altura. El usuario puede visualizar estas formas (shapes) en una vista en 3D. Análisis de escorrentía superficial Esta función permite evaluar los patrones de escorrentía superficial derivados a partir del MDE. El programa determina primero las rutas de máxima pendiente en el MDE. El producto es una serie de líneas que terminan al encontrar el borde del MDE o un mínimo local (cañada, fondo de valle). Estas líneas representan el sistema hidrográfico de la cuenca. A partir de estos datos usted puede determinar la longitud de flujo superficial y asignar ordenes y magnitudes a la cauces. La figura de la derecha ilustra las posibles rutas que podría tomar el agua de la celda central. Exportación de vistas en 3D El función le permite al usuario(a) guardar las composiciones en 3D como un archivo JPEG o exportar la vista como un archivo VRML (Virtual Reality Modeling Languaje). El formato VRML puede ser leído por los programas Netscape o Explorer y por lo tanto es un medio fácil de publicar electrónicamente sus composiciones cartográficas en tres dimensiones.

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EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN Las fuentes más comunes de datos para derivar un MDE son levantamientos topográficos, datos obtenidos por métodos foto gramétricos y curvas/puntos obtenidos de mapas topográficos. Dado que el país cuenta con cartografía 1:50.000 y 1:200.000, se eligieron curvas de nivel a dichas escalas para evaluar la exactitud de los métodos de interpolación proveídos por los programas Surfer (Golden Software, 1999); IDRISI para Windows V2.0 (Eastman, 1997) y las extensiones Spatial Analyst V1.1 (ESRI, 1998) y 3D Analyst V1.0a (ESRI, 1997) de ArcView GIS V3.2. Programa IDRISI 3D Analyst para ArcView Spatial Analyst para ArcView Surfer

Método de interpolación evaluado Intercon (raster) Interpolación mediante triángulos irregulares (TIN) Curvatura mínima, Kriging, distancia inversa ponderada. Kriging, distancia inversa ponderada, curvatura mínima, Shepard, Vecino más cercano, funciones radiales, triángulos irregulares (TIN).

En la presente sección usted encontrará una descripción de la metodología utilizada en el estudio; así como una breve reseña de los métodos de interpolación que provee cada uno de los programas utilizados. Al evaluar los resultados, el lector debe estar consciente de que los mismos no implican una evaluación exhaustiva de las bondades/exactitud de cada uno de los interpoladores y/o programas utilizados y que por tanto los mismos no tienen una aplicación universal. Objetivo El objetivo de la presente sección es comparar los modelos digitales de elevación creados por diferentes programas y métodos de interpolación y responder a las siguientes preguntas:

< < < < <

¿Cuál es el exactitud de los diferentes métodos de interpolación? ¿Cuál es el efecto de aplicar filtros sucesivos en la exactitud del MDE? ¿Cuál es efecto de la resolución de la celda en la exactitud del MDE? ¿Cuál es el efecto de filtrar los valores de pendientes derivados a partir del MDE? ¿Cómo se compara la pendiente derivada por métodos manuales con respecto a la pendiente derivada por métodos digitales?

Sitios de estudio El estudio se realizó con datos a escalas 1:50.000 y 1:200.000. Para el primer caso se eligió a la isla Chira, ubicada en el Golfo de Nicoya, Costa Rica (Ver fig. 34 y 35) y para el segundo la sección sur de las faldas del Volcán Poás, cordillera Volcánica Central, Costa Rica (Ver fig. 34 y 36). Como un producto adicional se incluye un modelo digital de elevación para Costa Rica elaborado a partir de curvas de nivel con una separación de 100 m y 7474 puntos con elevaciones auxiliares (ver anexo 1). [email protected]

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Nicaragua

Mar Caribe

2

1

Panamá

Oceáno Pacífico

50

0

50 Kilómeteros N

Fig. 34: Áreas de estudio. 1. Isla Chira, Golfo de Nicoya. 2. Faldas del Volcán Poás, Cordillera Volcánica Central.

Simbología Volcán Poás

Curv as de niv el ca da 2 0m

Ubicación del área de estudio N

Nic a r a g ua

N

Ma r Ca r ib e

Oc e á n o Pa c í fi c o

50

3000

0

0

Pa n a m á

2

5 0 K il o me t e r s

0

2

4

6

8

10 Kilometers

3000 Meters

Fig. 35: Isla Chira. Golfo de Nicoya. Fuente Hoja Berrugate, IGNCR, 1989. Curvas de nivel cada 20m,

Fig. 36: Ubicación de la segunda área de estudio. Faldas del Volcán Poás, Costa Rica. Curvas de nivel cada 100m.

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METODOLOGÍA ISLA CHIRA 1. Escaneo de mapa El primer paso consistió en escanear, a una resolución de 300dpi (puntos por pulgada), el mapa de la isla Chira, Golfo de Nicoya, Costa Rica; Escala 1:50.000 (IGN,1989) (Fig. 37). Para esto se utilizó un escáner Epson. Al lector interesado en cómo seleccionar la resolución apropiada para escanear material cartográfico o fotos aéreas se le remite a documento “Escaneo, georeferenciación y vectorización de material cartográfico y fotos áreas utilizando ArcView GIS” (Fallas, 2001).

Fig. 37: Isla Chira, Costa Rica. Fuente: Instituto Geográfico Nacional. Hoja 3146II, Berrugate. Edición 3-INGCR. 1989. 2. Georeferenciación Una vez escaneado el mapa se convirtió de seudocolor(256 valores) a blanco y negro utilizando Corel Photo-Paint (WWW.corel.com). Posteriormente el mapa exportado en formato TIFF fue georeferenciado a la proyección Lambert Norte en Analista Espacial de ArcView utilizando la extensión Image Warp v2.0 (McVay, 1999). 2.1. Evaluación de la exactitud planimétrica Para evaluar la exactitud del registro de la imagen se seleccionaron 65 puntos de posición conocida (intersección de cuadrícula en el mapa escaneado) y se comparó el valor de X y Y de cada punto con su respectivo valor real. Para esto se utilizó el programa en Avenue AddXYCoordToFTab (www.esri.com). El error medio cuadrático total fue de 11.9m; con un máximo de 30.5m y una

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desviación estándar de 8.9m (Cuadro 12). Estos datos indican que el intervalo de confianza al 95% para la estimación del error medio de registro del mapa es de 9.74m a 11.06m. Cuadro 12: Estadísticos descriptivos para 62 puntos de muestreo utilizados para evaluar el error de georeferenciación de la imagen de la isla Chira utilizada para vectorizar las curvas de nivel. Valores en metros. Estadístico

Eje X (m)

Eje Y (m)

N

65

65

Error Medio

-10.73

-0.82

Desviación Estándar

10

2.26

Error medio absoluto

11.28

1.86

Desviación Estándar

9.36

1.52

Raíz Error Medio cuadrático

14.61

2.39

Raíz Error medio cuadrático total

14.8 (S=8.9)

El error planimétrico medio estimado para la imagen georeferenciada permite cumplir con el estándar sugerido por Maling (1989) para áreas con una topografía escarpada (pendiente de hasta un 50%) (ver cuadro 8). Es importante hacer notar que los errores superiores a 11.8m se encuentran asociados al eje X y que se ubican en el extremo sur de la isla como puede apreciarse en las figura 38. Por esta razón, considero que las curvas de nivel digitadas de dicho archivo representan fielmente la información registrada en la hoja topográfica escala 1:50.000 del IGN. Si comparamos los resultados con los estándares establecidos para mapas analógicos con escalas inferiores a 1:24000 de los Estados Unidos (Maling, 1989) también se cumple con la norma de que un máximo de un 10% de los puntos pueden tener un error superior a 25.08m.

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Fig. 38: Error medio cuadrático (m) asociado al registro del archivo escaneado y georeferenciado con ImageWarp. La barras representan error total, error en el eje X y error en el eje Y, respectivamente. Valores en metros. 3. Digitar curvas de nivel Las curvas de nivel fueron digitadas desde la pantalla del monitor utilizando la extensión Screen DigitizeV2.0 creada por Howie Sternberg ([email protected]) del Centro de Ambiente y Sistemas de Información Geográfica del Departamento Ambiental del Estado de Connecticut, USA. En el anexo tres se incluye un tutorial que explica cómo utilizar dicha extensión. La figura 39 muestra cómo luce el archivo una vez que ha sido convertido de seudocolor a blanco y negro Corel Photo-Paint (WWW.corel.com). La figura 40 muestra las curvas de nivel trazadas sobre el archivo en blanco y negro georeferenciado. Una vez trazadas las curvas se etiquetaron utilizando el módulo de tablas de ArcView GIS.

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Fig. 39: Apariencia de la imagen a partir de la cual se digitaron la curvas de nivel.

60

Fig. 40: Curvas de nivel vectorizadas. El círculo ilustra una tolerancia de engarce automático de 10m de diámetro.

4. Convertir curvas de nivel a puntos Una vez creadas las curvas de nivel se convirtieron a puntos (X,Y,Z) utilizando el programa en Avenue MakeElevation Pts de David Dow (1999) (www.esri.com). El archivo de puntos fue utilizado como insumo por los interpoladores distancia inversa ponderada, curvatura mínima y Kriging. La figura 41 muestra el archivo de puntos para el área de estudio ubicada en las faldas del Volcán Poás. 5. Crear polígonos Una vez digitadas las curvas de nivel se utilizó el programa ConvertPolyLineToPolygon (www.esri.com) para crear un tema de polígonos correspondiente al área entre cada curva de nivel. Este archivo fue importado posteriormente a IDRISI utilizando la opción SHAPEIDR del comando de importar archivos. La figura 42 muestra un segmento del archivo de polígonos para la isla Chira.

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Fig. 41: Curvas de nivel convertidas a puntos. Escala 1:200.000.

Fig. 42: Isla Chira, área entre curvas de nivel (cada 20m). [email protected]

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6. Crear modelos digitales de elevación 6.1 Modelos digitales de elevación en IDRISI El programa IDRISI V2.0 provee dos módulos para la interpolación de superficies (Eastman, 1997). También provee un módulo para el análisis de tendencias de superficie y otro para el cálculo de polígonos de Thiessen o Teselación de Voronoi. El módulo Allocate brindará resultados idénticos a Thiessen cuando se utilizan puntos (Ej. estaciones meteorológicas con registros de precipitación). Intercon de IDRISI El módulo intercon es el interpolador que provee IDRISI versión 2.0 para crear modelos digitales de elevación (MDE). El algoritmo original creado por David Douglas de la Universidad de Ottawa, Canadá (Eastman, 1992). El usuario debe proveer al programa la siguiente información:

T Un archivo de curvas de nivel en formato raster. Normalmente dicho archivo es creado con el comando lineras a partir de curvas de nivel en formato vectorial. Para asegurar la calidad de la interpolación en el área de estudio, asegúrese de que las curvas excedan ligeramente los bordes de la misma. El valor de fondo del archivo debe ser diferente a los valores de las curvas de nivel (Ej. Se puede asignar -1). Las curvas fueron rasterizadas utilizando celdas con una resolución de 10m.

T La elevación de las cuatro esquinas del área de trabajo. Estos valores pueden estimarse del mapa fuente. El módulo trabaja de la siguiente manera (Eastman, 1992):

< Primero construye un perfil a lo largo de los cuatro bordes que definen el área de estudio. Observe que intercon asume que su área de trabajo es rectangular o cuadrangular. Los valores de elevación que usted suministra para las cuatro esquinas así como todas aquellas curvas de nivel que crucen el borde del área de estudio son utilizadas para crear este primer perfil.

< En el segundo paso construye una serie de perfiles horizontales (en el sentido de las hileras o sea E-O) utilizando los valores de las curvas de nivel y los perfiles previamente creados (bordes). Para cada celda de valor desconocido se interpola un valor de altura y se registra su pendiente.

< El tercer paso consiste en crear perfiles similares a los anteriores pero en sentido vertical (o sea N-S).

< El cuarto paso consiste en crear perfiles diagonales de izquierda a derecha. < En el quinto paso calcula perfiles diagonales de derecha a izquierda. [email protected]

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< En el sexto y último paso selecciona la elevación del pixel basado en el perfil de máxima pendiente. 6.2 Modelos digitales de elevación en ArcView El programa ArcView GIS posee dos extensiones que permiten crear modelos digitales de elevación; la primera se denomina 3D Analista y la segunda Analista Espacial. 3D Analista Esta es una de las extensiones comerciales de ESRI. El programa provee una opción de menú que permite crear un MDE utilizando una red de triángulos irregulares (TIN); una vez creado este archivo es posible derivar mapas de pendiente y aspecto en forma directa o a partir de un archivo en formato raster creado a partir del TIN (ESRI, 1997). EL programa 3D Analista permite utilizar los siguientes datos como insumos:

< Archivo de puntos o líneas con valores de elevación (o cualquier otro atributo válido). Este es un archivo en formato Shape (Ej. Elev.shp).

< Archivo con elementos lineales que muestran un cambio abrupto en el terreno y que se desea preservar en el modelo final. (Ej. Curso de agua, riscos, fallas geológicas, etc.). Este archivo puede o no contener valores de elevación.

< Polígono de reemplazo (replace). Polígono (s) que representan áreas para las cuales las alturas serán reemplazadas por la altura del polígono. Este polígono debe contener un valor de altura.

< Polígono de borrado (erase): Archivo con polígono(s) que indica(n) el área que debe excluirse en el proceso de interpolación. Por ejemplo, área cubierta de nubes para la cual no existen valores de elevación. Este polígono puede o no tener valores de elevación.

< Polígono de recorte (clip): Archivo de polígonos que indica el área de interés sobre la cual debe hacerse la interpolación. Por ejemplo, en el presente trabajo el borde de la isla Chira se utilizó para este fin. Este polígono puede o no tener valores de elevación.

< Polígono de relleno (fill): Archivo con uno o más polígonos los cuales pasarán sus códigos (valor entero) a todos aquellos triángulos contenidos por ellos (Triángulos contenidos por polígonos). El valor de elevación de los triángulos no es afectado. Tanto las líneas como los polígonos pueden definirse como rígidos o flexibles. La primer categoría corresponde a elementos que indican un cambio brusco en pendiente (Ej. Carreteras, ríos, línea de costa y borde de un lago); en tanto que la segunda indica elementos con cambios graduales (Ej. Cima de las montañas). Una vez creado el archivo TIN, este puede editarse o convertirse a un

[email protected]

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archivo raster de ArcInfo (formato GRID™). También es posible crear un TIN a partir de una cuadrícula con valores de elevación. Kriging La extensión "Kriging Interpolator 3.2_3D" escrita por Marco Boeinga (Amsterdam Water Supply, The Netherlands\n'[email protected]) permite crear un MDE utilizando el método de interpolación Kriging. Para mayor detalle sobre el método de interpolación Kriging ver pag.66. Analista Espacial La extensión Analista Espacial para ArcView GIS puede crear un MDE a partir de puntos con elevaciones conocidas (X,Y,Z). EL usuario debe crear un tema de puntos a partir de una tabla en formato Dbase o ASCII. También es posible convertir curvas de nivel a puntos utilizando el programa en Avenue MakeElevation Pts (Dow, 1999). La versión 1.1 de Analista Espacial ofrece los siguientes métodos de interpolación: Distancia inversa ponderada (IDW) El usuario(a) puede elegir entre dos métodos de búsqueda para seleccionar los puntos de muestreo a utilizar en el proceso de interpolación: “radio fijo” y “vecinos mas cercanos”.

Método de búsqueda de radio fijo.

Método de búsqueda de vecinos mas cercanos. Método de búsqueda:

< Vecinos mas cercanos: Dada una celda, utiliza los “N” puntos más cercanos en el proceso de interpolación.

< Radio de búsqueda fijo: [email protected]

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Dada una celda, utiliza todos los puntos de muestreo que se encuentren en el radio definido por el usuario (a). El radio tiene las mismas unidades de distancia que la vista y en caso de no existir, utilizará las unidades del mapa.

< No. de vecinos Este es el número de puntos que utilizará el programa para estimar el valor de cada uno de los pixeles y corresponde al valor “N” citado previamente.

< Exponente Este es valor del exponente que se aplicará a la distancia en el calculo de los valores de Z ' (ver ecuaciones 1 y 2). Cuanto mayor sea el valor del exponente menor será la influencia ejercida por los puntos más distantes en la estimación de Z '.

< Barreras Esta opción le permite al usuario un mayor grado de control sobre los puntos que desea utilizar en el proceso de interpolación. Por ejemplo, usted puede utilizar una línea para indicar la presencia de una discontinuidad en el paisaje. Esto hará que el programa no utilice los puntos que se encuentran al otro lado de la línea en el proceso de interpolación; aun cuando los mismos se encuentren en el área de búsqueda especificado por el usuario(a). El utilizar barreras aumenta considerablemente el tiempo de proceso del programa. El producto es un archivo en formato GRID™ de ArcInfo. Curvatura mínima (Spline) El programa Analista espacial de ArcView provee dos métodos de interpolación. El primero se denominado “Regularized” y realiza un ajuste más riguroso al set de datos (equivale a cubrir el área de estudio con un plástico delgado). El segundo se denomina “Tension” y realiza un ajuste menos riguroso al set de datos (equivale a cubrir el área de estudio con un “plástico grueso”). El usuario(a) pude definir tanto el factor de ponderación (Weight) como el número de puntos a utilizar en el proceso de interpolación. Ambos valores controlan el grado de suavizado que se aplicará la superficie. Método de interpolación Curvatura mínima. Ventana de diálogo.

[email protected]

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< Ponderación: Este valor controla el grado de suavizado de la superficie a crear. Cuando se utiliza el método “regularizado”, al incrementar el valor del peso la superficie creada lucirá mas suavizada. Cuando se utiliza el método de “tension”, al incrementar el valor del peso la superficie creada lucirá menos suavizada y eventualmente se comportará como un interpolador exacto.

< No. de puntos: Este es el número de puntos que utilizará el programa para estimar el valor de cada uno de los pixeles.

< Tipo: Regularized: Crea una superficie más suavizada, el interpolador tiende a comportarse como no exacto. Tension: Crea una superficie menos suavizada que tiende a mantener el valor de los puntos de insumo. Kriging El método de interpolación Kriging no forma parte de la interfase gráfica de Analista Espacial. En el presente trabajo se utilizó la extensión “Kriging Interpolator 3.2 SA” creada por Marco Boeringa ([email protected]) para el departamento de Hidrología de la Autoridad de Suministro de Agua de Amsterdam, Holanda. La extensión implementa los siguientes tipos de Kriging:

T Kriging Ordinario Variogramas: esférico, circular, exponencial, Gausiano y Lineal con meseta. El semi variograma es ajustado a la varianza de cada una de las muestra de puntos (mínimo de 3 puntos) utilizando el método de Levenberg-Marquardt (Press et al., 1986) basado en una aproximación no lineal de mínimos cuadrados.

T Kriging Universal < Con tendencia lineal (Universal 1) < Con tendencia cuadrática (UNIVERSAL2) El radio búsqueda puede ser fijo o variable. Radio fijo: El programa utiliza la distancia indicada por el usuario como el radio de búsqueda siempre y cuando dicho radio contenga el número de puntos de muestreo indicados por el usurario. En caso de no encontrar el número de puntos requeridos, el programa aumenta automáticamente la distancia del radio de búsqueda. [email protected]

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Radio variable: En este caso el usuario debe definir tanto el número de puntos de muestreo que desea como la distancia máxima de búsqueda. Basados en estos criterios, el programa selecciona para cada pixel a interpolar los puntos de muestreo mas cercanos hasta completar el número deseado, siempre y cuando dichos puntos no sobrepasen la distancia máxima de búsqueda. En este caso el criterio restrictivo es la distancia de búsqueda y por lo tanto el programa solo utilizará los puntos que se encuentren en la distancia máxima de búsqueda aún cuando no se cumpla con el tamaño de muestra solicitado por el usuario(a). Al definir su tamaño de muestra recuerde que se requiere de un mínimo de 3 puntos para poder estimar el semi variograma y crear una superficie. La investigación realizada en este campo indica que 12 es un tamaño apropiado. En caso de que el programa no pueda estimar el semi variograma, aumente el radio de búsqueda y/o reduzca el tamaño de la muestra y trate nuevamente.

Interfase gráfica de la extensión Kriging de Marco Boeringa, Holanda. Evaluación de los estadísticos de bondad de ajuste del semi variograma La extensión “Kriging Interpolator 3.2 SA” le brinda los siguientes indicadores de la bondad de ajuste del semivariograma: T AIC = Criterio de Información de Aikaike (AIC) T BIC = Criterio de Información Bayesiano (BIC) Los estadísticos anteriores son calculados de la siguiente manera: AIC = n*ln(SSE)+2 * (# de parámetros) [email protected]

(18)

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BIC = n*ln(SSE)+ [# de parámetros*ln (n)]

(19)

SSE = Sum1..n [(Actual - semivarianza ajustada)^2] (sumatoria del error cuadrático)

(20)

RMSE = Sqrt [SSE/(n-1- # de parámeteros)] (raíz cuadrada del error medio cuadrático)

(21)

n = número de registros / Intervalo del resago para el semi variograma actual en la tabla y en los gráficos del semi variograma. El número de parámetros fue definido como 3; ya que todos los semi variogramas creados por ArcView tienen tres parámetros. Cuadrícula de variación Este es un tema temporal en formato GRID™ que muestra la semi-varianza estimada para cada celda de la superficie creada. Kriging Universal El Kriging Universal se utiliza cuando los valores de Z exhiben una tendencia local. Un semi variograma que inicia con una curva en forma de parábola cóncava ascendente indica la presencia de una tendencia local de tipo lineal en los datos. Los métodos de interpolación basados en Kriging Universal (1 y 2) asumen que la variación espacial en los datos también se caracteriza por un componente estructural denominado "tendencia o deriva". Este es un cambio sistemático en los valores de las celdas que se refleja a una escala determinada. A su vez, esta escala está relacionada con el radio de búsqueda definida en los párrafos anteriores. El usuario(a) debe modificar el radio de búsqueda hasta que pueda encontrar la escala a la cual puede detectar la tendencia y la varianza es mínima. Por esta razón no es recomendable utilizar un radio de búsqueda variable con el Kriging Universal. Una vez que se ha cuantificado el efecto estructural, la varianza remanente es espacialmente homogénea y por tanto la diferencia en valores de Z entre los puntos de muestreo es una función de la distancia que los separa (como en Kriging Ordinario). El Kriging Universal 1 utiliza una ecuación lineal para aproximar la tendencia en los datos, en tanto que el Kriging 2 utiliza un polinomio de segundo orden. Sin embargo, ambos métodos utilizan el método de interpolación lineal para modelar la semi-varianza remanente debido a que la mayoría de los semivariogramas tienden a ser lineales en su origen. El número de puntos de muestreo en el radio de búsqueda debe ser lo suficientemente grande como para que la tendencia en los datos pueda estimarse. Cuando utilice un radio fijo, seleccione [email protected]

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una distancia para la cual crea que los datos están correlacionados. Cuando seleccione un radio variable utilice entre 12 y 15 puntos de muestreo. Kriging es un método de interpolación muy intensivo en cuanto al uso de recursos y tiempo de su computadora. La velocidad de ejecución dependerá del número de puntos totales así como de la distancia del radio de búsqueda. 6.3 Modelos digitales de elevación en Surfer El programa Surfer (Golden Software, 1999) provee los siguientes métodos de interpolación: Distancia inversa ponderada El programa le permite especificar un factor de suavizado para eliminar el problema de los “ojos de buey” típicos de este interpolador. El usuario(a) debe definir un radio de búsqueda y el número de puntos a utilizar por sector. Este método de interpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Una barrera es un elemento de dos dimensiones (X,Y) que no permite el flujo de información durante el proceso de interpolación; en tanto que la línea de inflexión es un elemento de tres dimensiones (X,Y,Z) que sí permite el flujo de información. Al igual que en ArcView, las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayor tiempo. El tiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número de segmentos en la barrera.

Fig.43:Surfer: Barreras (A) y líneas de inflexión (B). La función de la barrera es forzar al interpolador a utilizar solo los puntos de muestreo ubicados a la derecha ó a la izquierda de la barrera en el proceso de interpolación. Cuando se utiliza un línea el programa puede borderarla y utilizar los puntos de muestreo ubicados al otro lado de la barrera. La línea de inflexión posee valores de elevación que son utilizados por el programa como valores adicional en el proceso de interpolación.

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Kriging La versión 7 de Surfer incluye dos métodos de interpolación: Kriging puntual y Kriging de bloque. En el primer método se utilizan todos los puntos de muestreo para estimar el valor de cada uno de los nodos en la nueva cuadrícula. En tanto que en el segundo método, la estimación de cada nodo corresponde al promedio de un bloque rectangular centrado en el nodo. El usuario(a) debe definir un radio de búsqueda y el número de puntos a utilizar en el proceso de interpolación; sin embargo el método por omisión es utilizar todos los puntos de muestreo. Este método de interpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Al igual que en ArcView, las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayor tiempo. El tiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número de segmentos en la barrera. Cuando existen matrices singulares el uso de barreras hace que el proceso de interpolación no pueda completarse. El proceso de interpolación puede implementarse utilizando Kriging ordinario (sin tendencia) y Kriging Universal (tendencia lineal ó cuadrática).

Fig.44 : En el Kriging puntual el valor del nodo central es estimado utilizando todos los puntos en el radio de búsqueda; en tanto que en el Kriging de bloque el valor es estimado utilizando el promedio de los puntos de muestreo.

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Curvatura mínima El interpolador de curvatura mínima es muy utilizado en diferentes disciplinas de las ciencias de la Tierra. El usuario(a) puede controlar el nivel de curvatura entre puntos de muestreo utilizando el parámetro de tensión interna y la velocidad de convergencia mediante el factor de relajación (el valor por omisión es 1). Este método de interpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Al igual que en ArcView, las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayor tiempo. El tiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número de segmentos en la barrera. El uso de barreras hace que el proceso de interpolación no pueda completarse cuando no se puede lograr la convergencia establecida por el usuario(a). Vecino natural Este método de interpolación está basado en el concepto de los polígonos de Thiessen (gemelo de los triángulos de Delaunay). El interpolador utiliza un promedio ponderado de las observaciones vecinas, en donde la ponderación es proporcional al área obtenida al crear un nuevo polígono de Thiessen como resultado de incluir un nuevo punto en el set de datos.

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Modelos Digitales de Elevación Vecino más cercano Este método de interpolación asigna el valor del punto de muestreo más cercano a cada uno de los nodos de la nueva cuadrícula. Utiliza una elipsis como área de búsqueda. El usuario(a) debe definir los radios de búsqueda, el ángulo del eje 1 (asociado al eje X) y el número de puntos a utilizar por sector. Este método de interpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). El método de interpolación no es apropiado para estimar valores cuando los puntos de muestreo tienen una distribución irregular. Funciones radiales Este es un conjunto de funciones que permiten interpolar valores a partir de un set de puntos de muestreo; todos los métodos se compartan como interpoladores exactos. El método basado en una ecuación multi cuadrática es considerado como el mejor interpolador. El método de interpolación acepta barreras o fallas y líneas de inflexión (breaklines). Al igual que en ArcView, las barreras utilizan memoria extra y el proceso de interpolación requiere de mayor tiempo. El tiempo requerido para crear el archivo raster es proporcional al cuadrado del número de segmentos en la barrera. Cuando existen matrices singulares el uso de barreras hace que el proceso de interpolación no pueda completarse.

Método modificado de Shepard Este método de interpolación es similar al método de inverso de la distancia, con la diferencia de que la interpolación es realizada utilizando mínimos cuadrados locales; lo que elimina o reduce sustancialmente el efecto de “ojo de buey” del primer interpolador. El usuario(a) puede asumir una superficie isotrópica ó anisotrópica. El interpolador puede comportarse tanto como exacto ó como aproximado.

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Triangulación con interpolación lineal Este método de interpolación utiliza la triangulación óptima de Delaunay. A partir de los puntos de muestreo se crean triángulos cuyas caras no se traslapan. El interpolador se comportar como exacto y es apropiado para set de datos cuyos puntos de muestreo se distribuyen en forma regular sobre el área de estudio.

Regresión polinomial Este no es realmente un método de interpolación ya que no está diseñado para estimar valores en áreas sin datos. El método se utiliza para definir el patrón general de variación espacial del set de datos.

7. Evaluación de la exactitud de los MDE El MDE creado con cada uno de los métodos de interpolación fue reclasificado en 13 clases de elevación utilizando un intervalo de 20m. Se seleccionó 20m por ser la elevación entre las curvas de nivel del mapa original del IGN (escala 1:50.000). Los MDE creados en ArcView con Analista Espacial y 3D Analista fueron exportados al formato raster de IDRISI V2.0 utilizando el programa GRID2IDR. Posteriormente en IDRISI se utilizó el comando Crosstab (opción tabla e índice Kappa) para comparar la concordancia espacial de las áreas entre curvas de nivel del mapa original y del mapa creado a partir del MDE. Además se calculó el error para cada clase de elevación utilizando las siguientes fórmulas: Error (has) = área derivada del mapa (has) - área derivada del MDE (has)

(22)

Error Relativo ( %) = ((área del mapa - área derivada del MDE) / área del mapa ) * 100

(23)

RC Error Medio Cuadrático (has) = ( 3 (error)2 / n)0.5

(24)

8. Evaluación del efecto del filtrado en la exactitud del MDE Para determinar el efecto del filtrado en la exactitud del MDE se aplicaron tres filtros sucesivos tipo promedio con una matriz de filtrado de 3*3 celdas a los tres mejores modelos [email protected]

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digitales de elevación seleccionados en la sección anterior. Posteriormente, los MDE se reclasificaron cada 20m y se utilizó el comando Crosstab(opción tabla e índice Kappa) para determinar la concordancia espacial entre las diferentes clases de elevación. Finalmente, se calculó el área para cada uno de los MDE reclasificados y se determinó el error utilizando las fórmulas descritas en la sección anterior. 9. Elaboración de mapas de pendiente y aspecto Los mapas de pendiente y aspecto fueron derivados para cada uno de los tres mejores MDE seleccionados en la sección 8. Para evaluar el efecto del filtrado previo del MDE en la estimación de pendiente (%) y aspecto se derivó un mapa de pendiente/aspecto tanto para el archivo filtrado como para el archivo sin filtrar. En el caso de ArcView se utilizó la extensión DEMAT - DEM Analysis Tool ([email protected]) para realizar el cálculo de pendiente y aspecto. 9 .1 Evaluación del error en la estimación de pendiente Para evaluar el error en la estimación de pendiente se creo un set de 1006 puntos con una separación de 200 m entre sí (Fig. 45), de dicho set se eligieron al azar 183 puntos utilizando el programa en Avenue RandomSelection (www.esri.com/arcscripts) y luego se calculó un área búfer de 200 metros para cada uno de ellos (Fig. 46) utilizando la extensión Xtools (DeLaune, 1999). Dicha área equivale a dibujar círculos de 4mm de diámetro en un mapa a escala 1:50.000.

Fig. 45: Puntos de muestreo con una separación de 200m entre sí (equivalente a 4mm en un mapa a escala 1:50.0000).

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Fig. 46 : Muestra de 183 puntos aleatorios seleccionados para evaluar el error en la estimación de pendiente. Cada círculo tiene un diámetro de 200m.

Para cada uno de los círculos se determinó la pendiente utilizando el método de conteo de curvas de nivel como se muestra a continuación:

< Primero se contó el número de curvas únicas que atraviesa cada círculo

220 180 160 120 140 80

100

200 240

200 160

220 180

[email protected]

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< Luego se utilizó la siguiente relación entre número de curvas y cambio en elevación para determinar la pendiente en porcentaje: #curvas 0 1 2 3 4 5 6 7

)H (m)

)D (m) 200 200 200 200 200 200 200 200

0 20 40 60 80 100 120 140

Pendiente % = ()H/)D)*100 0/200 = 0 20/200 = 10 40/200 = 20 60/200 = 30 80/200 = 40 100/200 = 50 120/200 = 60 140/200 = 70

< Una vez determinado el número de curvas por círculo, se

30

asignó su respectivo valor de pendiente como se muestra a la derecha.

30

30 50

60

60 60

El mapa creado utilizando este método se muestra en la figura 47.

Simbología Pendiente % 0- 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 35 35 - 45 46 - 55 56 - 75 > 76

N

Ni car agua

Ma r Car i be

Oceán oP ací fi co

50

3000

0

0

P anam á

50 Ki lomet ers

3000 Meters

Fig.47 : Determinación de pendiente (%) mediante método manual. [email protected]

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Una vez determinada la pendiente para cada una de los círculos se comparó con la pendiente media estimada utilizando los MDE con y sin filtrar creados en el paso 9. Los resultados se resumieron en una tabla de 8 categorías de pendiente. 9.2. Evaluación del efecto del filtrado en el mapa de pendientes Para evaluar el efecto del filtrado en la estimación de la pendiente (%), el mapa de pendiente creado en el paso anterior se filtró a su vez tres veces sucesivas (filtro promedio, ventana de 3*3celdas) y cada mapa producto se reclasificó en 8 categorías de pendiente (clases de 10%). Para cada clase de pendiente se determinó el área y la concordancia espacial como se describe en la sección 8. 10. Efecto del tamaño del pixel en la exactitud del MDE La resolución de la celda en el modelo de datos raster influye en la calidad del producto final; sin embargo una reducción de 0.5 veces en el tamaño original de la celda implica aumentar en 4 veces el tamaño del archivo original. Para analizar el efecto del tamaño de la celda en la distribución de elevaciones en la isla Chira se comparó el MDE creados con resoluciones de 10, 20 y 40m, respectivamente. Posteriormente se aplicó el análisis descrito en el paso 6. 11. Funciones analíticas del software utilizado Función/operación

3D Analista

Analista Espacial

IDRISI

Surfer

Pendiente y aspecto del terreno

X

X

X

X

Iluminación del terreno

X

X

X

X

Análisis de Intervisibilidad

X

X

X

Línea de visibilidad

X

X

Perfiles

X

X

X

X

Visualización en 2.5D o en perspectiva

X

X

X

X

Cálculo de área y volumen

X

X

Determinación de relleno y excavación

X

Creación de isolíneas

X

Creación de elementos en 3D

X

X X

X

[email protected]

X

X

Modelos Digitales de Elevación Análisis de escorrentía superficial Exportación de vistas en VRWL

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X X

CURVAS DE NIVEL A ESCALA 200.000 En este caso se utilizó un archivo existente con curvas de nivel cada 100m y por tanto solo se verificó el valor asignado a cada una de las curvas de nivel. El procedimiento seguido para elaborar y evaluar la exactitud de los MDE y sus productos fue el mismo ya descrito para la isla Chira.

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