MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A LAS CIENCIAS: EXPERIENCIAS DE UNA INNOVACIÓN DIDÁCTICA. M.S. Bruzón y J. Ramírez. matemá[email protected], [email protected] Departamento de Matemáticas. Universidad de Cádiz. Resumen: A través del Campus Virtual Andaluz y utilizando la plataforma Moodle y el software libre Maxima hemos impartido la asignatura “Modelos matemáticos aplicados a las ciencias”. Hemos escrito un libro que los alumnos han utilizado como guía de la asignatura, hemos desarrollado modelos matemáticos y utilizados diversas herramientas del Moodle como recursos. En este trabajo describimos las experiencias que hemos tenido en el desarrollo de la asignatura, hacemos un análisis de los resultados obtenidos y presentamos como ejemplo un modelo matemático. Abstract: In the andalusian virtual campus we have taught the subject “Modelos matemáticos aplicados a las ciencias” by using the Moodle platform and the Maxima free software. We have written an introductory book and several user guides with exercises. We have also opened a virtual forum for each lesson so that the pupils can use it. We describe the subject, the rate of success and give an example of a mathematical model presented. 1. Introducción Modelos matemáticos aplicados a las ciencias es una asignatura que nació de la fusión de tres ideas: − La necesidad de crear una asignatura que fuese una ampliación de las matemáticas que se dan en primero de muchas carreras, que por falta de tiempo y exceso de programa, suelen tener pocas aplicaciones y ejemplos no matemáticos. − La demanda de nuevas herramientas matemáticas de ciencias como la biología, la fisiología y la medicina para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los que cada vez se obtiene más información experimental. − Los cambios que se han producido en los últimos años en los procesos industriales, y en otros, en los que de la combinación de la experimentación en el laboratorio con las nuevas herramientas matemáticas surgió la combinación de modelización matemática y simulación numérica. Modelos matemáticos aplicados a las ciencias no pretende ser una asignatura teórica en la que se impartan más contenidos matemáticos sino que nos proponemos ayudar a los estudiantes a ascender en la escala de niveles de conocimientos matemáticos, diseñar algoritmos numéricos con un software libre, como es el programa Maxima, y aplicar dichos programas a la resolución de modelos matemáticos. Algunos de los alumnos provienen de Ingenierías o de la licenciatura en Matemáticas y han estudiado alguna asignatura de cálculo numérico pero otros provienen de ciencias o incluso de empresariales y carecen de tales conocimientos. Como es imprescindible un mínimo sobre algoritmos numéricos para entender cómo tratar los modelos científicos hemos escrito, y puesto en la red, un manual sobre Métodos numéricos con Maxima para que sirva como referencia y ayuda a los alumnos y no centrarnos sólo en estudiantes de ingeniería. Los profesores que impartimos la asignatura Modelos matemáticos aplicados a las ciencias tenemos más de 20 años de experiencia docente en enseñanza tradicional -utilización de la pizarra para explicar los conceptos teóricos y pizarra y software de manipulación simbólica para la resolución de problemas-, desde hace unos cinco años en enseñanza de forma semipresencial a través de plataformas virtuales (webCT y Moodle) y desde el curso 2008/2009 de forma virtual, curso en el que impartimos por primera vez la asignatura Modelos matemáticos aplicados a las ciencias. 2. Material y Métodos En esta sección detallamos los aspectos fundamentales de la planificación de la asignatura Modelos matemáticos aplicados a las ciencias. 2.1. Programa docente A la hora de darle contenido al programa hemos procurado que éste contenga los fundamentos teóricos básicos de los métodos numéricos que son necesarios para la resolución de los modelos matemáticos considerados. ¿Por qué métodos numéricos?: las fórmulas que están

detrás de muchos modelos matemáticos no son resolubles, en general, de forma exacta y deben resolverse de forma aproximada. Además muchos de los modelos deben ser tratados por algún programa simbólico y no se pueden trabajar a mano por la complejidad de los cálculos o el número de datos a tratar. Por otra parte los métodos numéricos permiten enfocar los tratamientos de datos y muchas de las matemáticas desde una perspectiva distinta y enriquecedora. Se han implementado todos los métodos numéricos con el programa Maxima, de esta forma el alumno no sólo utiliza una instrucción para la resolución de un problema sino que también conoce la base matemática que lo fundamenta. ¿Por qué Maxima?: Maxima es un programa que sustituye con ventaja a una calculadora programable, que permite manipular funciones, derivar, integrar de forma simbólica y mucho más; además es software libre, fácil de programar y está disponible en Windows y en Linux. Al ser software libre no hay problemas de licencias para la universidad ni para los alumnos. Con Maxima se puede calcular la integral de x cos(x) simplemente escribiendo integrate(x*cos(x),x); o bien factorizar el polinomio x^3+3*x^2+3*x+1 con la instrucción factor(x^3+3*x^2+3*x+1); también puedes resolver x^3+x^2+x+1=0 escribiendo solve(x^3+x^2+x+1=0,x); además podemos calcular 50000 dígitos de pi en un segundo, hallar la transformada de Fourier discreta de un conjunto de datos, calcular la descomposición LU de una matriz o dibujar funciones de Airy. Con respecto a la estructura del programa lo hemos dividido en los siguientes 8 temas: Tema 1. Instalación y manejo del software Maxima. Tema 2: Introducción a los modelos matemáticos. Resolución gráfica de modelos: flujo en un canal abierto, estudio de las horas de sol de una ciudad durante un año, modelo de tensión crítica, profundidad crítica de un canal y temperatura de un material. Tema 3: Almacenamiento de números en ordenadores. Errores. Tema 4. Resolución de ecuaciones no lineales y sistemas lineales. Modelos matemáticos: razón de recirculación de un reactor, obtención del volumen de un gas utilizando la ecuación de Van der Waals, temperatura de una placa y determinación de corrientes eléctricas.de un Tema 5. Aproximación de funciones: interpolación y ajustes. Modelos matemáticos: esfuerzo a la tensión de un plástico, estudio del diseño de pistas de bicicletas, relación entre el esfuerzo aplicado y el tiempo de fractura de cierto tipo de acero inoxidable, obtención de perfiles continuos del fondo de un canal. Tema 6. Aproximación de Fourier. Modelos matemáticos: comportamiento de una corriente en un circuito eléctrico. Tema 7. Diferenciación e integración. Modelos matemáticos: áreas de secciones transversales del fondo de un canal, temperatura promedio exterior del área promediada del cojín de un freno. Tema 8. Problemas de valores iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelos matemáticos: obtención de la hora de muerte de un ser a partir de ciertos datos, modelos depredador-presa. 2.2. Planificación temporal. El programa se desarrolla a lo largo de 15 de semanas, durante el segundo cuatrimestre, con un reconocimiento de carga para el alumno de 6/4.7 (LRU/ECTS) créditos totales, distribuidos en 4/3.1 créditos prácticos y 2/1.6 teóricos. La asignatura está diseñada para que un alumno que le dedique unas 8 horas de media a la semana obtenga un sobresaliente, esto incluye preparación del tema y realización de todas las actividades propuestas. A continuación presentamos la planificación temporal que se hizo en el curso 2008/2009: en la primera columna indicamos el número de la semana, en la segunda el tema que debe trabajar, en la tercera el título del tema, en la cuarta las actividades que deben entregar al finalizar la semana y en la última columna la fecha de las pruebas de progreso. Semana Tema Título 1

1

Instrucciones básicas del Maxima.

2

1

Modelos matemáticos aplicados a las ciencias

3 4 5

2 3 3

Fuentes y propagación de errores Ecuaciones no lineales Ecuaciones no lineales

Actividades Pruebas de Progreso

Tema 1 Tema 3

6

4

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 4

7

4

Sistemas de ecuaciones lineales

8 9 10

5 5 6

Interpolación y aproximación Interpolación y aproximación Aproximación de funciones

Tema 5 Tema 6

11

6

Aproximación de funciones

12 13 14

7 8 8

Derivación e integración numérica Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales

15

8

Ecuaciones diferenciales

Prueba 1: 16 de abril de 10:00 a 12:00 o de 17:00 a 19:00

Prueba 2: 4 de mayo de 11:00 a 13:00 o 17:00 a 19:00

Tema 7

Tema 8

Prueba 3: 28 de mayo

2.3. Recursos tecnológicos y Metodología Como recurso tecnológico el curso se desarrolla en la plataforma Moodle. Las herramientas de comunicación que ofrece el “Campus Virtual” y el hecho de poder ofrecer como documentos la bibliografía, los apuntes, transparencias, etc. facilitan que los alumnos puedan realizar los modelos matemáticos propuestos por el profesor con un asesoramiento diario de una forma virtual. Para la realización del curso virtual es imprescindible que los alumnos tengan instalado el programa Adobe Acrobat y el programa Maxima, ambos programas libres. Los recursos de Moodle utilizados son:
Configuración: formato semanal.
Recursos del propio Moodle: etiquetas, páginas de textos, archivos y páginas webs.
Herramientas de comunicación: diálogo, correo, consultas y foros.
Actividades: cuestionarios y tareas. La metodología tiene un tratamiento muy diferente al de otras asignaturas debido a varios factores: se imparte de forma virtual, la madurez del alumno, la situación personal –algunos trabajan- y el hecho de que opten a la asignatura desde varias titulaciones y Universidades. Todo ello implica que el profesor deba utilizar nuevas metodologías y técnicas de enseñanza. El alumno dispone desde comienzo del curso de un manual en formato pdf de la asignatura en el que se desarrolla todo el contenido del programa, se presenta la implementación de todos los métodos numéricos con el programa Maxima y se resuelven ejercicios de aplicación de la teoría utilizando Maxima. También dispone de una bibliografía comentada. Además, y con el fin de marcar las pautas de la lección y facilitarle el aprendizaje autónomo del tema, al comienzo de cada tema se adjunta una guía en las que se dan las directrices del mismo, en todos los sentidos: teórico, práctico y manejo de ordenador. En cada lección se incluye una sección titulada "Objetivos de la lección" en el que se enumeran los objetivos que se deben alcanzar una vez adquiridos los conocimientos del tema. Cada lección se divide en dos partes: una teórica y una de actividades. En la parte denominada Teoría se encuentran:
Los apuntes del tema, en el que se incluye el desarrollo teórico del programa.
En forma de transparencias se presenta de forma sintetizada y didáctica el contenido de la lección, aclarando los conceptos con ejemplos.
Presentamos como ejemplos ejercicios resueltos con el Maxima que el alumno debe comprobar. Estos ejercicios le permitirán adquirir destrezas en la aplicación de los recursos didácticos a los modelos matemáticos. En la parte denominada Actividades se presentan actividades evaluables que el alumno debe desarrollar: autoevaluación y tarea.
En la autoevaluación se proponen ejercicios de comprensión del tema, algunos son de respuestas múltiples y con una única solución verdadera; además debido a que en matemáticas no sólo se debe valorar el resultado final sino también el desarrollo del problema, en algunos temas se presentan cuestiones de respuestas cortas.


En la tarea se propone un modelo matemático que el alumno debe resolver utilizando Maxima y los métodos numéricos estudiados en el tema. A modo de ejemplo presentamos el contenido del tema 3 que se desarrolló desde el 2 hasta el 8 de marzo de 2009.

2.4. Evaluación Dada la característica del curso –virtual- elegimos una evaluación continua en la que se valoran las siguientes técnicas docentes:
La presentación de las actividades que se proponen a lo largo del curso y que consisten en la resolución de forma individual de modelos matemáticos aplicados a las ciencias. Una vez resueltos, se envían en archivo adjunto, utilizando la herramienta tarea, para su corrección y valoración. Para aquellos alumnos que prefieren realizar una evaluación controlada por el profesor se les recomienda la fecha de entrega propuesta en la temporalización. Los ejercicios que se envían en el periodo recomendado son evaluados en ese periodo y, si lo solicitan, se les da la posibilidad de corregir los errores detectados. Si se presentan fuera del periodo recomendado son evaluados después del 31 de mayo.
La realización de tres pruebas de progreso que consisten en una prueba escrita de desarrollo de un modelo matemático en un tiempo de 2 horas. Debido a las características de los alumnos - alumnos de diversas universidades con distintos horarios- se proponen dos franjas horarias, una por la tarde y otra por la mañana, pudiendo el alumno optar a una de ellas. Este horario es consensuado con los alumnos a través del foro. En la calificación final de junio se valoran las actividades y las pruebas, de la siguiente forma: - La nota media de las pruebas, siempre que todas las notas son superior al 3.5, supone un 70% de la nota final. - La nota media de las actividades suponen el 30% de la nota final. En la convocatoria de septiembre se realiza un examen final en el que se evalúa el contenido de toda la asignatura y se desarrolla de la misma forma que la prueba escrita de progreso. 3. Resultados y discusión En esta sección presentamos los resultados más significativos obtenidos del curso como son los foros utilizados, el número de alumnos matriculados, el número de alumnos evaluados, calificaciones obtenidas, la opinión de los alumnos, etc. A continuación mostramos la descripción de cada uno de los foros que se creó durante el curso y el número de temas tratados: Semana Foro Descripción Temas Este foro se utilizará para consultar las dudas 1 Foro de consulta relativas al programa Maxima 12 2

Foro de consulta

Este foro se utilizará para resolver dudas sobre la resolución gráfica de modelos matemáticos

3

3

Foro de consulta

En este foro se plantearán las cuestiones relativas al tema Fuentes y propagación de errores.

2

4

Foro de ecuaciones no lineales

Este foro se utilizará para realizar consultas relativas a la resolución de ecuaciones no lineales.

4

6

Consultas sobre sistemas

Este foro es para realizar consultas sobre sistemas lineales

5

8

Foro: Interpolación

Este foro es para consultar las dudas que surjan en el tema de aproximación e interpolación

14

10

Foro: Aproximación de funciones

Este foro se utilizará para realizar consultas sobre las actividades y dudas sobre la teoría de aproximación de funciones.

2

12

Foro: diferenciación e integración numérica

Este foro se utilizará para presentar dudas o consultas sobre el tema de diferenciación e integración numérica.

5

Foro de ecuaciones En este foro se plantearan consultas del tema de ecuaciones diferenciales. 13 diferenciales De estos foros deducimos que los temas de Interpolación y manejo del programa Maxima son los temas más difíciles para el alumno ya que el número de temas abierto es mayor. La participación en los demás temas es muy homogénea lo que hace pensar que no hay gran dificultad a la hora de resolver los modelos. También utilizaron el correo electrónico para resolver dudas sobre los problemas o conceptos teóricos y plantear problemas personales e incompatibilidad horaria o de fecha para la realización de algún tipo de pruebas; en total hemos recibido unos 70 correos electrónicos. Otra herramienta de comunicación que se utilizó fue el teléfono: lo usaron en una ocasión para contactar con el profesor al extrañarse de la tardanza en abrirse una prueba de progreso que iban a realizar. En la siguiente tabla mostramos por columnas el número total de alumnos que han realizado las actividades propuestas en cada uno de los temas a través de la herramienta Tarea de Moodle y la nota media obtenida. Se realizaron tres pruebas que denotamos como prueba i.1 o prueba i.2, (i=1, 2, 3) dependiendo si el examen lo realizaba por la mañana o por la tarde, presentamos la calificación media obtenida en algunas de estas pruebas. Tema Tarea Calif. Media Pruebas Calif.Media 1 15 9.66 2 14 9.85 3 13 9.92 4 12 10 1.2 6.37 5 12 10 6 12 10 2.2 9.2 7 12 10 8 11 10 3.1 8.5 De esta tabla se desprende el siguiente análisis: − El 50% de los alumnos matriculados comenzaron el curso, si bien sólo el 40% realizó todas las actividades, esto implica que ha habido un descenso en la participación de los alumnos. − Las calificaciones obtenidas en las actividades es superior a las obtenidas en las pruebas de progreso: es lógico ya que en la prueba el alumno sólo disponía de dos horas para la comprensión del enunciado y resolución del modelo. − Conforme el curso avanza los alumnos van perfeccionando la resolución del modelo matemático: el alumno está más familiarizado con el curso y antes de entregar las actividades utiliza herramientas, como el foro, para resolver las posibles dudas. En la siguiente tabla mostramos las calificaciones obtenidas por los alumnos al finalizar el curso: Calificación M.H. 10 9.75 9 8 7 6 N.P. NºAlumnos 1 6 1 2 1 2 1 16 De los resultados obtenidos en las tablas anteriores se observa que hubo alumnos que no realizaron las actividades pero sí las pruebas de evaluación. Este hecho nos ha llevado a pensar en que la forma de valorar las actividades de evaluación no es justa ya que se valora más el trabajo realizado en las pruebas de progreso que el trabajo continuado del alumno. Destacamos los comentarios sobre el curso que han manifestado algunos alumnos a través del correo electrónico:


“… quería agradecerle personalmente la nota final y todo el trabajo realizado, la verdad que es una asignatura muy bien estructurada y usted muy buena profesora. Gracias!!”
“…quería comentarte que personalmente la asignatura está muy bien, es amena y entretenida, aunque tal vez tiene demasiadas tareas. A lo mejor para próximos cursos se tendrían que fijar desde el principio la fecha de los exámenes para que no haya los problemas que hemos tenido de por la mañana y por la tarde y ponerlas todas las pruebas por ejemplo en sábado.”
“…en cuanto a ventajas le puedo resaltar la asignatura en sí, ya que aparte de parecerme bonita me resulta gratificante ver como usted como profesora siempre está disponible y dispuesta a resolver todas las dudas, cosa que no hacen la mayoría de profesores ni tan siquiera en el día a día en lo que a mi facultad se refiere. También le agradezco el recompensar el trabajo diario ya que no me gusta eso de jugárselo el todo o nada a un examen final.” 4. Un Modelo matemático incluido en el curso Como ejemplo de la potencia de Maxima exponemos a continuación una aplicación, incluida en el curso, de la transformada de Fourier rápida (FFT) para calcular el espectro de frecuencias asociado a un conjunto de datos y su utilización para el filtrado de los datos. En general los datos obtenidos de mediciones estarán afectados por errores y los errores aparecen también al transmitir los datos. Por eso se incluye información redundante en los códigos de barras, en las cuentas bancarias, en el número de identificación fiscal NIF, en el ISNB, en los datos escritos en CD- DVD o en la televisión digital TDT. Existen varios métodos para eliminar los posibles errores de un conjunto de mediciones. Estas técnicas se usan por ejemplo en programas de tratamiento de imagen para mejorar las fotos digitales o para quitar el ruido de fondo al convertir música de discos de vinilo a mp3. La transformada de Fourier permite representar un conjunto de datos como suma de funciones sencillas (trigonométricas) dando los coeficientes correspondientes. La idea básica del método que comentamos para corrección de errores es que los errores, por ser en buena medida aleatorios, corresponden a las frecuencias más altas. Así haciendo cero los coeficientes de las frecuencias más altas podemos quitar mucho del ruido aleatorio- los errores - de los datos. En lugar de tratar con un fichero de datos reales vamos a tomar los valores de la función sen(4x) y le vamos a sumar un error aleatorio generado a partir de la función random de Maxima. La función random(float(2)) devuelve un número real entre 0 y 2, para que los errores estén centrados en cero restamos 1 al número aleatorio. En Maxima se escribe pi como %pi y lo que está escrito entre /* y */ son comentarios que son ignorados por Maxima. Las órdenes concretas de Maxima son: array([punr,puni],63); /* creamos dos arrays para guardar los datos*/ fillarray(punr,makelist(ev(sin(4*(-%pi +j/32*%pi)) +random(float(2))-1,numer),j,0,63)); fillarray(puni, makelist(ev(0,numer),j,0,63)); /*llenamos los arrays con los datos*/ plot2d([[discrete,makelist([-%pi+j/32*%pi,punr[j]],j,0,63)],[style,[points,1,2]]); 2

1.5

1

discrete data

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 0

10

20

30

40

50

60

70

Hemos pintado los datos con el ruido, como el seno toma valores en [-1,1] al sumarle un valor aleatorio entre [-1,+1] introducimos un error muy grande, de una magnitud igual al del valor de la función. Observa en el dibujo que la función sen(4x) es irreconocible. load(fft); /* cargamos el paquete de transformada de Fourier rápida */ fft(punr,puni); /* aplicamos la transformada, los coeficientes se guardan en los mismos arrays */plot2d([[discrete,makelist([-%pi+j/32*%pi,punr[j]],j,0,63)], [discrete,makelist([%pi+ j/32*%pi, puni[j]], j,0,63)]], [style,[points,1,2],[points,1,3]]); /* Pintamos los coeficientes */ discrete1 discrete2

0.6

0.4

y

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6 0

10

20

30

40

50

60

70

Observamos que hay dos valores que están en valor absoluto por encima de los demás, que son los que corresponden a sen (4x), y corresponden a las frecuencias 4 y 64. Podemos ahora filtrar los datos, para eso buscamos cuales son los mayores valores haciendo sort(listarray(punr)); sort(listarray(puni)); se obtiene que el mayor valor está cerca de 0.5, para filtrar el ruido hacemos cero todos los que sean menores, por ejemplo, que 0.2 en valor absoluto. Evidentemente si el filtro es muy fuerte podemos perder información. array([punrfil,punifil],63); /* creamos dos nuevas arrays para los datos filtrados*/ fillarray(punrfil,makelist(if abs(punr[j])