Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

1

Índice Índice...............................................................................................................................1 B Cálculos II...................................................................................................................3 B.1 Accionamiento y reductor .....................................................................................3 B.1.1 Accionamiento ..........................................................................................................3 B.1.2 Reductor....................................................................................................................6 B.1.3 Punto de funcionamiento ........................................................................................11

B.2 Transmisión piñón-cremallera ............................................................................14 B.2.1 Parámetros de la transmisión ..................................................................................14 B.2.2 Solicitación y resistencia de la transmisión piñón-cremallera................................16 B.2.3 Coeficientes de seguridad .......................................................................................27

B.3 Comprobación del motor.....................................................................................30 B.3.1 Subida con carga nominal.......................................................................................30 B.3.2 Bajada con 1,25 veces la carga nominal .................................................................33

B.4 Freno de emergencia ...........................................................................................36 B.4.1 Selección .................................................................................................................36 B.4.2 Frenado de emergencia ...........................................................................................37

B.5 Comprobación de la velocidad............................................................................40 B.5.1 Velocidad hacia arriba vacía...................................................................................40 B.5.2 Velocidad hacia abajo con carga nominal ..............................................................41

B.6 Limitaciones al engrane ......................................................................................42 B.6.1 Recubrimiento.........................................................................................................42 B.6.2 Interferencias de funcionamiento............................................................................42 B.6.3 Juego de fondo mínimo...........................................................................................43 B.6.4 Condición para que no haya socavamiento del pie del diente ................................44

2

Anexo B Cálculos II

B.7 Comprobación del motor y del reductor .............................................................44 B.7.1 Capacidad térmica del reductor.............................................................................. 44 B.7.2 Arranques permitidos por hora............................................................................... 44

B.8 Estabilidad...........................................................................................................47 B.8.1 Peso de la plataforma y carga nominal................................................................... 47 B.8.2 Viento ..................................................................................................................... 48

B.9 Amortiguadores...................................................................................................51 B.10 Tornillos ............................................................................................................53 B.10.1 Tornillos reductor-soporte del reductor................................................................ 53 B.10.2 Tornillos soporte reductor-bastidor posterior....................................................... 63 B.10.3 Tornillos motor-reductor ...................................................................................... 73 B.10.4 Tornillos freno-plancha del freno......................................................................... 82

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

3

B Cálculos II B.1 Accionamiento y reductor B.1.1 Accionamiento Masa transportada Para determinar la potencia necesaria del motor, es necesario conocer la masa transportada. Masa de la plataforma Esta masa se puede obtener del programa SolidWorks, y es mplat = 752,71 kg. Masa del motor El motor BN 160 L4, que es el que se utilizará, tiene una masa de mm = 128 kg [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.183]. Masa del reductor El reductor C 70 2/3 P160, que es el que se utilizará, tiene una masa de mr = 107 kg [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.136]. Masa del piñón motor El piñón motor tendrá una anchura de b = 60 mm y un diámetro de funcionamiento de dpm’ = 56 mm. El eje de salida del reductor C 70 2/3 P160 tiene un diámetro de dsr = 60 mm. Para calcular la masa del piñón, se considera éste como un anillo de diámetro exterior dpm’ = 56 mm, diámetro interior dsr = 60 mm y anchura b = 60 mm. El volumen del anillo es

V pm

((

)

2   d ' 2 π ' 2 π d  =  π  pm  − π  sr  ·b = b· · d pm − d sr2 = 60·0,001· · 0,156 2 − 0,060 2 = 9,77·10 −4 m 3   2  4 4  2       (B.1)

)

Multiplicando por la densidad del acero, se obtiene la masa

(

)

4

Anexo B Cálculos II

m pm = V pm·7800 = 9,77·10 −4 ·7800 = 7 ,62 kg

(B.2)

Masa del freno de emergencia La masa del freno de emergencia que se utilizará es de mfe = 35 kg (fuente: conversación con personal de Eide, fabricante de frenos centrífugos). Masa del piñón del freno Se considera lo mismo que en el caso del piñón motor, aunque en este caso el diámetro interior es de 38 mm, por ser este el diámetro del eje de salida del freno de emergencia, dsf.  d' pm Vpf =  π     2 

((

)

2 2   2 π '  − π  d sf  ·b = b·π · d pm − d sf2 = 60·0,001· · 0,156 2 − 0,038 2 = 1,08·10 −3 m 3   4 4  2     mpf = Vpf ·7800 = 1,08·10 −3 ·7800 = 8,41 kg (B.3)

)

(

)

Masa total La masa total es la suma de las anteriores: mT = mplat + mm + mr + mpm + mfe + mpf = 752,71 + 128 + 107 + 7,62 + 35 + 8,41 = 1038,74 kg

(B.4) Esta cifra se redondea al alza, y se obtiene la masa total redondeada: mT' = 1050 kg

(B.5)

Así, la masa transportada es la masa de la plataforma más la carga nominal mtr = mT' + CN = 1050 + 1000 = 2500 kg

(B.6)

Fres = mtr · g = 2050·9,8 = 20090 N

(B.7)

Potencia resistente La fuerza resistente es

Y el par, con un piñón motor con un diámetro de funcionamiento dpm’ = 156 mm, es

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M res = Fres ·

' d pm

2

= 20090·

5

0,156 = 1567,02 N 2

(B.8)

Con una velocidad nominal de 0,5 m/s, la potencia resistente es Pres = Fres ·vn = 20090·0,5 = 10045 W

(B.9)

Motor necesario Con un rendimiento global ηT = ηp · ηg · ηr = 0,95·0,90·0,95, la potencia necesaria es Pnec =

Pres

ηT

=

10045 = 12366,88 W 0,95·0,90·0,95

(B.10)

En el catálogo Bonfiglioli de motores, se busca el primer motor que tenga una potencia nominal mayor que la necesaria. El motor escogido tiene las siguientes características [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.183]: Designación

BN 160L 4

Potencia nominal

Pn = 15000 W

Velocidad nominal del motor

nnm = 1460 min-1/ωnm = 152,89 rad/s

Par nominal

Mn = 98 N m

Par de arranque

Ms/Mn = 2,3

Par de aceleración medio

Ma/Mn = 2,1

Momento de inercia sin freno

Jmsf = 650·10-4 kg m4

Peso sin freno

99 kg

6

Anexo B Cálculos II

El motor lleva incorporado un freno, con las siguientes características Designación

FA 08

Par de frenado

Mb = 200 N m

Número de arranque por hora

Z0 = 750 h-1 Jm = 710·10-4 kg m2

Momento de inercia del motor con freno Peso con freno

128 kg

B.1.2 Reductor Se ha seguido el procedimiento indicado en el catálogo Bonfiglioli de reductores [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.12-13]. Para ello hay que encontrar el factor de aceleración de masas, que se define como K=

Jc Jm

(B.11)

donde Jc es el momento de inercia de las masas conducidas y Jm es el del motor. Ambos momentos de inercia se tomarán referidos a la salida del motor (figura B.1).

Fig. B.1 Sistema formado por el accionamiento, la transmisión y la carga

Relación de reducción buscada El reductor debe tener una relación de reducción lo más próxima posible a

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i=

7

ωnm ωpm

(B.12)

donde ωnm = 152,89 rad/s es la velocidad nominal del motor y ωpm es la velocidad angular del piñón motor,

ωpm =

v

d

n ' pm

/2

=

0,5 = 6,41 m/s 0,156 / 2

(B.13)

Por tanto i vale i=

152,89 = 23,85 6,41

(B.14)

Momento de inercia de las masas conducidas Jc Momento de inercia de la plataforma más la carga nominal reducido a la salida del motor 2

2

'  d pm   vn  1   = (J plat )r1 = mtr   = mtr η  ωr1  η pηgη r  i·2  1  0,156  = ·2050·  = 2,70·10 −2 kg m 2 0,95·0,90·0,95  23,85·2 

1

(B.15)

Momento de inercia del piñón motor reducido a la salida del motor Se supone el piñón como un anillo de diámetro exterior dpm’, diámetro interior dsr (diámetro del eje de salida del reductor) y anchura la del piñón. El momento de inercia del anillo se encuentra restando el momento del disco exterior menos el del disco interior. Así, la masa del disco exterior del anillo es 2

mext

2 '  d pm   b·7800 = π  0,156  ·0,060·7800 = 8,95 kg = π  2   2   

(B.16)

Y el momento de inercia,

( )

1 ' J ext = m ext d pm 8

2

1 = ·8,95·0,156 2 = 2,72·10 − 2 kg m 2 8

(B.17)

8

Anexo B Cálculos II

La masa y el momento de inercia del disco interior son, respectivamente, 2

mint

2

d   0,060  = π  sr  b·7800 = π   ·0,060·7800 = 1,32 kg  2   2 

(B.18)

1 1 2 J int = mint (d sr ) = ·1,32·0,060 2 = 5,95·10 − 4 kg m 2 8 8

(B.19)

Por tanto, el momento de inercia del piñón motor es

J pm = J ext − J int = 2,72·10 −2 − 5,95·10 −4 = 2,66·10−2 kg m 2

(B.20)

Y reducido al eje de salida del motor,

(J pm )r1 = J pm  ωpm  = 1 J pm  1  = 1 ·2,66·10−2 · 1  = 4,92·10-5 kg m 2 η 0,95 i  23,85   ω r1  η r 2

1

2

2

(B.21) Momento de inercia del freno de emergencia El momento de inercia del freno de emergencia es Jfe = 0,05 kg m2 (fuente: conversación con personal de Eide, fabricante de frenos centrífugos). Tomando el rendimiento de la transmisión piñón del freno-cremallera ηpf = 0,95 y el diámetro de funcionamiento del piñón del freno dpf’ = 156 mm, el momento de inercia reducido a la salida del motor, resulta

(J fe )r1

'  d pm  ω fe  1   = = J fe  J fe  id ' η  ω r1  η pf η gη pmη r  pf

1

2

2

  =  

(B.22)

2

=

1  0,156  ·0,05·  = 1,14·10 - 4 kg m 2 0,95·0,90·0,95·0,95  23,85·0,156 

Momento de inercia del piñón del freno de emergencia reducido a la salida del motor Igual que en el caso del piñón motor, se supone el piñón del freno equivalente a un anillo de diámetro exterior igual al diámetro de funcionamiento del piñón, dpf’ = 156 mm, diámetro interior igual al diámetro del eje del freno de emergencia, def = 38 mm (ver Anexo F Catálogos, apartado F.6 Freno de emergencia) y anchura igual a la del piñón, b = 60 mm. El

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9

momento de inercia del anillo es igual al momento del disco exterior menos el del disco interior. La masa y el momento de inercia del disco exterior son

 d pf' = π  2 

mext

2

2   b·7800 = π  0,156  ·0,060·7800 = 8,95 kg   2  

1 1 J ext = m ext d pf' = ·8,95·0,156 2 = 2,72·10 − 2 kg m 2 8 8

(B.23)

(B.24)

Y la masa y el momento de inercia del disco interior, 2

mint

2

d   0,038  = π  ef  b·7800 = π   ·0,060·7800 = 0,53 kg  2   2 

1 1 2 J int = mint (d ef ) = ·0,53·0,038 2 = 9,57·10 − 5 kg m 2 8 8

(B.25)

(B.26)

Por tanto, el momento de inercia del piñón del freno es

J pf = J ext − J int = 2,72·10 −2 − 9,57·10 −5 = 2,69·10 −2 kg m 2

(B.27)

Y reducido a la salida del motor,

(J ) pf

r1

 ω pf = J pf  η  ω r1 1

2

'  d pm  1   = J pf   id ' η pf η gη pmη r   pf

2

  =  

(B.28)

2

=

1  0,156  ·2,69·10 − 2 ·  = 6,18·10 -5 kg m 2 0,95·0,90·0,95·0,95 23,85·0,15 6  

Momento de inercia de las masas conducidas Finalmente, el momento de inercia de las masas conducidas (plataforma más carga nominal, piñón motor, freno de emergencia y piñón de freno) reducido a la salida del motor es

J c = ( J c )r1 = (J plat )r1 + (J pm )r1 + ( J fe )r1 + (J pf )r1 = = 2,70·10 −2 + 4,92·10 −5 + 1,14·10 −4 + 6,18·10-5 = 2,72·10-2 kg m 2

(B.29)

10

Anexo B Cálculos II

Momento de inercia del motor Jm El momento de inercia del motor con freno, referido a la salida del motor, es [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.183]: J m = ( J m )r1 = 710·10 −4 kg m 2

(B.30)

Factor de aceleración de masas Conocidos el momento de inercia de las masas conducidas y del motor, se puede encontrar el valor del factor de aceleración de masas, K=

J c 2,72·10 −2 = = 0,38 J m 710·10 − 4

(B.31)

Para K ≤ 0,25 (carga uniforme), se debe tomar la curva K1 en la gráfica de la figura B.2; para 0,25 < K ≤ 3 (carga con choques moderados), se debe tomar la curva K2; y para 3 < K ≤ 10 (carga con choques pesados), se debe tomar la curva K3.

Fig. B.2 Gráfica para encontrar el factor de servicio [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.8]

Con Zr = 4 arranques por hora y 8 horas de trabajo al día [UNE-EN 12158-1, 2001, p.21], siendo K = 0,38, por tanto entrando en la gráfica por la curva K2, el factor de servicio es, aproximadamente, fs = 1,37.

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11

El par de cálculo para la selección del reductor es [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.11] M c2 = M r2 · f s

(B.32)

donde Mr2 es el momento resistente en la salida del reductor,

M r2 = (M res )r2 =

=

1

η gη p

(Fres )plat

1

η

' d pm

2

v  vplat  1  = (Fres )plat vplat = plat  ωr2  η gη p ' d pm 2

(Fres )plat  =

(B.33)

1 0,156 ·20090· = 1832,77 N m 0,90·0,95 2

Por tanto el par de cálculo es M c2 = M r2 · f s = 1832,77·1,37 = 2510,90 N m

(B.34)

Buscando en la tabla del catálogo correspondiente a la velocidad de entrada al reductor (1400 min-1), se debe seleccionar el reductor que presente una relación de reducción lo más cercana posible a la buscada (i = 23,85) y a la vez tenga un par nominal Mn2 superior al par de cálculo Mc2. Así, el reductor seleccionado es el siguiente [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.90] (tabla B.1): Designación C 80 2_24.0

ir 24

nr2 [min-1] 58

Mn2 [N m] 3550

Pn1 [kW] 23

Tabla B.1 Reductor C 80 2_24.0

El momento de inercia del reductor referido al eje de entrada es Jred = (Jred)r1 = 91·10-4 kg m2 [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.96] , y la masa es de 154 kg [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.136].

B.1.3 Punto de funcionamiento Ecuación de la recta La pendiente es a=

M nm 98 = = −2,45 nnm − nsincr 1460 − 1500

(B.35)

12

Anexo B Cálculos II

Y el punto de corte con el eje de ordenadas, b = −a·nsincr = −(−2,45)·1500 = 3675

(B.36)

Por lo tanto, la ecuación del tramo recto alrededor de la velocidad nominal del motor es M = −2,45n + 3675

(B.37)

Momento resistente reducido a la salida del motor

1

vn

η

ωm

(M res )m = (Fres )plat

=

1

η rη pη g

(Fres )plat

' d pm

i r ·2

= (B.38)

1 0,156 = ·20090· = 80,38 N m 0,95·0,95·0,90 24·2 Salida del motor Momento motor Mm = (Mres)m = 80,38 N m

(B.39)

Velocidad del motor nm =

M m − b 80,38 − 3675 = = 1467,19 min -1 a − 2,45

ωm = nm

2π 2π = 1467,19· = 153,64 rad/s 60 60

(B.40)

(B.41)

Potencia proporcionada por el motor Pm = Mm·ωm = 80,38·153,64=12349,89 N m

(B.42)

Entrada del reductor Momento en la entrada del reductor → Mr1 = Mm = 80,38 N m Velocidad en la entrada del reductor → nr1 = nm = 1467,19 min-1/ ωr1 = ωm = 153,64 rad/s Potencia en la entrada del reductor → Pr1 = Pm = 12349,89 W

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13

Salida del reductor

η r Pr1 = Pr2 η r M r1ω r1 = M r2ω r2 ω M r2 = η r M r1 r1 = η r M r1i r ω r2

(B.43)

Momento en la salida del reductor

M r2 = η r M r1ir = 0,95·80,38·24 = 1832,66 N m

(B.44)

Velocidad en la salida del reductor

nr2 =

nr1 1467,19 = = 61,13 min -1 ir 24

(B.45)

ωr1

153,64 = = 6,40 rad/s ωr2 = ir 24 Potencia en la salida del reductor

Pr2 = M r2ωr2 = 1832,66·6,40 = 11729,02 W

(B.46)

Entrada del piñón-cremallera Momento en la entrada del piñón → Mp1 = Mr2 = 1832,66 N m Velocidad del piñón → np = nr2 = 61,13 min-1/ ωp = ωr2 = 6,40 rad/s Potencia en la entrada del piñón → Pp1 = Pr2 = 11729,02 W

Salida del piñón-cremallera

η p Pp1 = Pp2 η p M p1ω p1 = Fp2 v plat Fp2 = η p M p1

ω p1 v plat

= η p M p1

ωp ωp

d

' pm

2

(B.47)

= η p M p1

2 ' d pm

r

14

Anexo B Cálculos II

Fuerza en la salida del piñón

Fp2 = η p M p1

2 2 = 0,95·1832,66· = 22320,86 N ' d pm 0,156

(B.48)

Velocidad de la plataforma vplat = ω

' d pm

2

= 6,40·

0,156 = 0,50 m/s 2

(B.49)

Potencia en la salida del piñón Pp2 = Fp2 vplat = 22320,86·0,50 = 11142,57 W

(B.50)

“Salida de las guías” Fuerza en “la salida de las guías” Fg2 = η g Fp2 = 0,90·22320,86 = 20088,77 W

(B.51)

Potencia en “la salida de las guías” Pg2 = Fg2 vplat = 20088,77·0,50 = 10044,39 W

(B.52)

B.2 Transmisión piñón-cremallera B.2.1 Parámetros de la transmisión Desplazamiento de perfil En la gráfica de la figura B.3 se muestra el desplazamiento de perfil en función del número de dientes y de lo que se quiera conseguir con el desplazamiento. Las zonas A y E se utilizan en casos especiales; la zona B se utiliza cuando se quiere aumentar la capacidad de carga en el pie del diente y en los

Fig. B.3 Desplazamiento de perfil [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.215]

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

15

flancos; la zona C, cuando se desea un equilibrio entre las propiedades del piñón y de la rueda; y la zona D, cuando se quiere aumentar el recubrimiento de perfil y disminuir el ruido y las vibraciones. Se escoge la zona C-D, con una suma de dientes del piñón y de la cremallera igual a 160 (el máximo, ya que la cremallera tiene infinitos dientes), por lo tanto resulta un recubrimiento xp + xc = 0 mm. Ya que xc = 0 mm (la cremallera no tiene desplazamiento), xp = 0 mm.

Parámetros de la cremallera •

Ángulo de presión de generación → α0 = 20º

•

Módulo de generación → m0 = 6

•

Paso de la cremallera sobre la línea media → p0 = m0·π = 6· π

•

Altura de cabeza medida desde la línea media → ha0 = m0 = 6 mm

Parámetros intrínsecos •

Paso sobre la circunferencia base → pb = p0·cos α0 = 6· π·cos 20º = 17,71 mm

•

Diámetro de cabeza máximo→ damáx = [z+2(1+x)]m0 = [26+2(1+0)]·6=168 mm

•

Diámetro de cabeza → dap = 165 mm

•

Diámetro de pie → dfp = [z-2(1,25-x)]m0 = [26-2(1,25-0)]·6=141 mm

•

Diámetro de la circunferencia base → dbp = d0p·cos α0 = m0·zp· cos α0 = 6·26·cos 20º = 146,59 mm

•

Anchura → b = 60 mm

Parámetros de funcionamiento •

Diámetro de funcionamiento → dpm’ = 156 mm

•

Módulo de funcionamiento → m’ = m0 = 6 mm

•

Ángulo de funcionamiento → α’ = α0 = 20º

16

Anexo B Cálculos II

Recubrimiento de perfil Recubrimiento del piñón

ε αp

 zp  = 2π  

2  2    d ap    − 1 − tan α ' = 26   165  − 1 − tan 20º  = 0,63 d   2π   146,59    bp    

(B.53)

Recubrimiento de la cremallera

ε αc =

ha0 m0 1 = = = 0,99 p sin α cos α m0π sin α cos α π sin 20º cos 20º

(B.54)

Recubrimiento de perfil

ε α = ε αp + ε αc = 0,63 + 0,99 = 1,62

(B.55)

B.2.2 Solicitación y resistencia de la transmisión piñón-cremallera Tensión en el pie del diente Solicitación La solicitación en el pie del diente de un engranaje es

σ bi =

Ft 1 YFiYε Yα bm0 K A K V K Mi

(B.56)

Los parámetros de la fórmula (Ec. B.56) se explican a continuación. - Piñón •

Fuerza tangencial Ft: componente tangencial de la fuerza de contacto entre el piñón y la cremallera. Ft =

•

M p1 d

' pm

2

=

1832,66 = 23495,64 N 0,156 2

(B.57)

Factor de forma YFp: este factor depende del número de dientes, del desplazamiento de perfil y del ángulo de presión normal (en este caso, 20º). Siendo zp = 26 (número

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

17

de dientes del piñón) y xp = 0 mm (desplazamiento de perfil del piñón), YFp es 2,6 (figura B.4).

Fig. B.4 Factor de forma [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.102]

•

Coeficiente de recubrimiento Yε Yε =

•

1

εα

=

1 = 0,62 1,62

(B.58)

Coeficiente para engranajes helicoidales Yβ: este coeficiente depende del ángulo de inclinación primitivo β0, es decir, sólo se aplica en caso de engranajes helicoidales. En caso de engranajes de dientes rectos, Yβ = 1.

•

Factor de servicio KA: este factor tiene en cuenta las irregularidades en la transmisión del par por el engranaje, debidas al motor y a la carga.

18

Anexo B Cálculos II

Tipo de máquina accionada Dinamos y alternadores, engranajes de avance de máquinas herramientas, transportadores de correa, montacargas ligeros, turbosoplantes y turbocompresores, agitadores y mezcladores de productos homogéneos, ventiladores. Mandos principales de máquinas herramientas, montacargas pesados, tambores de grúas, ventiladores de minas, agitadores de productos no homogéneos, bombas de pistones, laminadores continuos. Prensas de embutición, cizallas, trenes de laminación, maquinaria de obra pública.

Grado de choque I Funcionamiento sin apenas choques

II Funcionamiento moderados

con

choques

III Funcionamientos importantes

con

choques

Tabla B.2 Grado de choque [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.21]

Órgano motriz

Grado de choque

Motores eléctricos Turbinas

I II III Motores alternativos I de varios pistones II III Motores alternativos I monocilíndricos II III

Factor de sevicio KA Hasta 12 h/día 24 h/día 1 0,95 0,80 0,70 0,67 0,57 0,8 0,70 0,67 0,57 0,57 0,45 0,67 0,57 0,57 0,45 0,45 0,35

Tabla B.3 Factor de servicio KA [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.21]

En la tabla B.2, se toma como tipo de máquina montacargas pesado, por lo tanto grado de choque II, y en la tabla B.3, se toma como órgano motriz motor eléctrico, grado de choque II y funcionamiento hasta 12 h/día, con lo que resulta un factor de servicio KA = 0,80. •

Factor de velocidad KV: este factor tiene en cuenta las cargas dinámicas que aparecen entre los dientes de los engranajes por la transmisión irregular de velocidad que en realidad se produce debido a las imperfecciones de los engranajes reales y por la deformación de los dientes bajo la carga transmitida. KV depende de la calidad ISO del engranaje (tabla B.4) y de la velocidad tangencial del engranaje (figura B.5).

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

Curva I I’ II III IV

19

Calidad ISO Hasta 4 5 con buenas condiciones de montaje 5y6 7, 8 y 9 10 y más

Tabla B.4 Curva para encontrar KV [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.105]

Figura B.5 Factor de velocidad KV [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.105]

Con calidad ISO 7, corresponde la curva III, y con una velocidad tangencial vt = 0,5 m/s (velocidad nominal del montacargas), resulta un factor de velocidad KV = 0,87. •

Factor de distribución de carga KMp Este factor tiene en cuenta el hecho de que la carga no se distribuye uniformemente a lo largo de los dientes de un engranaje. El valor de KM depende de la relación entre la anchura de los dientes y el diámetro de Figura B.6 Factor de distribución de carga KM [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.105]

funcionamiento y de si los dientes tienen los

extremos

abombados

para

evitar

concentraciones excesivas de carga en los extremos (figura B.6).

20

Anexo B Cálculos II

Siendo b/dpm’ = 60/156 = 0,38, no importa si los dientes están abombados o no, y resulta KMp = 1. •

Solicitación en el pie del diente

σ bp =

Ft 1 23495,64 1 YFpYε Yβ = ·2,6·0,62·1· = 151,16 N/mm 2 bm0 K A K V K Mp 60·6 0,80·0,87·1

(B.59)

- Cremallera •

Fuerza tangencial → Ft = 23495,64 N

•

Factor de forma YFc: se toma como número de dientes de la cremallera infinito, con lo que resulta YFc = 2,06 (figura B.4).

•

Coeficiente de recubrimiento → Yε = 0,62

•

Coeficiente para engranajes helicoidales → Yβ = 1

•

Factor de servicio → KA = 0,80

•

Factor de velocidad → KV = 0,87

•

Factor de distribución de carga → KMc = 1

•

Solicitación en el pie del diente

σ bc =

Ft 1 23495,64 1 YFcYε Yβ = ·2,06·0,62·1· = 119,77 N/mm 2 (B.60) bm0 K A K V K Mp 60·6 0,80·0,87·1

Resistencia La resistencia en el pie del diente de un engranaje es

 kc   1,8  ·   0,814   Ysi 

σ adm i = σ blím i ·K bL i ·

Los parámetros de la fórmula (Ec. B.61) se explican a continuación.

(B.61)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

21

- Piñón •

Resistencia a la fatiga en el pie del diente σblím: esta resistencia depende del material del engranaje y de la resistencia a tracción en el núcleo del diente (figura B.7). La resistencia a tracción en el núcleo del

diente

[Fenollosa,

es

de

1100

Quadern

N/mm2 CM3.

Engranatges, p.213], y el material del piñón es acero aleado con templado total (“aciers alliés, trempe totale”), por tanto σblím = 290 N/mm2.

Figura B.7 Resistencia a la fatiga en el pie del diente [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.106] •

Factor de duración KbLp. Se calcula según la fórmula 1 10

K bLp

 10 7   =   N 

(B.62)

si N (número de ciclos) < 109. Para calcular el número de ciclos, se utiliza la indicación hecha en la Norma [UNE-EN 12158-1, 2001, p.21] (Anexo E Extractos de la norma UNE-EN 12158-1, apartado E.6 Análisis de esfuerzo de fatiga de los componentes del motor y del sistema de frenado), donde se indica que la vida de un elevador de obra se basa en 4,5·104 movimientos de 20 m cada uno. Al ser la velocidad nominal de la plataforma 0,50 m/s, la duración media del recorrido es de Dviaje =

20 = 40 s 0,50

Multiplicando por el número de movimientos, se obtiene

(B.63)

22

Anexo B Cálculos II

Vida = 40 s/viaje·4,5·10 4 viajes = 1800000 s

(B.64)

Como se conoce la velocidad del piñón ωpm = 6,40 rad/s , se puede conocer el número de ciclos de éste, N = 1800000 s·6,40 rad/s = 11520000 rad·

1 ciclo = 1833464,94 ciclos < 10 9 (B.65) 2π rad

Por tanto, KbLp se calcula con la fórmula (Ec. B.62),

K bLp

•

 10 7 =   N

  

1 10

 10 7   =  286478 , 90  

1 10

= 1,18

(B.66)

Factor de probabilidad de fallos kc: los valores de la resistencia a la fatiga en el pie del diente σblím de la figura B.7 son válidos para una probabilidad de fallo de 1%. Este valor es adecuado para la mayoría de aplicaciones. Si se desea una probabilidad de fallo diferente, se debe utilizar el valor de kc de la tabla B.5. Fiabilidad [%] 50 90 95 99 99,9 99,99 99,999 99,9999 99,99999

kc 1,000 0,897 0,868 0,814 0,753 0,702 0,659 0,620 0,584

Tabla B.5 Factor de probabilidad de fallo kc [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.110]

Una fiabilidad del 99 % se considera aceptable para esta aplicación, por lo tanto se debe tomar kc = 0,814. •

Factor de concentración de tensiones YSp: este valor corresponde a la relación entre el límite a fatiga pulsante de una probeta sin entallar y del diente del engranaje. La figura B.8 da el valor de YSp en función del número de dientes y para diversas cremalleras generatrices.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

23

La cremallera utilizada para tallar el piñón será la cremallera normalizada, de hf0 = 1,25m0 y α0 = 20º, es decir la curva 1; y el número de dientes del piñón es zp = 26, por tanto, YSp = 1,7.

Figura B.8 Factor de concentración de tensiones YSp [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.110] •

Resistencia del piñón en el pie del diente

 k c   1,8   0,814   1,8  = 290·1,18· · ·  = 362,33 N/mm 2 (B.67)    0,814   YSp   0,814   1,7 

σ adm p = σ blím p ·K bLp ·

- Cremallera •

Resistencia a la fatiga en el pie del diente σblím: la resistencia a tracción en el núcleo del diente es de 490 N/mm2 [Riba, 1998, p. 86,87], y el material de la cremallera es acero S 355 (“aciers au carbone”), por tanto σblím = 130 N/mm2 (figura B.7).

•

Factor de duración → KbLc = 1,18

•

Factor de probabilidad de fallo → kc = 0,814

•

Factor de concentración de tensiones: como la cremallera tiene infinitos dientes, en la figura B.8 se toma como número de dientes zc = 200, por tanto, utilizando la curva 1 (cremallera normalizada), resulta YSc = 1,9.

•

Resistencia de la cremallera en el pie del diente

 k c   1,8   0,814   1,8  = 130·1,18· · ·  = 145,32 N/mm 2    0,814   YSp   0,814   1,9 

σ adm c = σ blím c ·K bLc ·

(B.68)

24

Anexo B Cálculos II

Presión superficial (picado) Solicitación La solicitación a picado en los dientes de un engranaje es

σH =

Ft i + 1 1 · · ·Z E ·Z C ·Z β ' bd1 i K A K V K M

(B.69)

El significado de los parámetros se explica a continuación. •

Fuerza tangencial → Ft = 23495,64 N

•

Relación (i+1)/i: al tratarse de una transmisión piñón-cremallera, se puede considerar i igual a infinito, por tanto (i+1)/i = 1.

•

Factor de servicio → KA = 0,80

•

Factor de velocidad → KV = 0,87

•

Factor de distribución de carga → KMp = 1

•

Factor de material ZE: es igual a

Z E = 0,35·E

(B.70)

donde E es el módulo de Young, que en caso del acero es 210000 N/mm2, por tanto ZE = 271,11. •

Factor geométrico ZC : es igual a

ZC =

cos β b sinα t' cos α t'

(B.71)

donde βb = 0º es el ángulo de hélice de base, por tanto cos βb = 0; y αt’ = α0. Sustituyendo, ZC = 1,76.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

•

Factor de recubrimiento Zβ: es igual a

1

Zβ =

•

25

εα

=

1 = 0,79 1,62

(B.72)

Presión superficial (picado) en los dientes del engranaje

σH = =

Ft bd

' pm

·

i +1 1 · ·Z E ·Z C ·Z β = i KAKVKM

(B.73)

23495,64 1 ·1· ·271,11·1,76·0,79 = 715,87 N/mm 2 60·156 0,80·0,87·1

Resistencia La resistencia a picado en los dientes de un engranaje es

 kc    0,814 

σ adm i = σ Hlím i ·K hLi ·

(B.74)

Se debe calcular σadm i para el piñón y la cremallera, y el mínimo será la resistencia a picado del engranaje. - Piñón •

Resistencia a fatiga σHlím p: depende del material y de la dureza Brinell del engranaje (figura B.9).

26

Anexo B Cálculos II

La

dureza

[Fenollosa,

Brinell Quadern

es

350 CM3.

Engranatges, p.212], y tomando como material “aciers alliés coulés” (por seguridad, ya que la línea del acero colado está por debajo del acero forjado), resulta

σHlím p = 1000 N/mm2.

Figura B.9 Resistencia a fatiga σHlím [Fenollosa, Quadern CM3.Engranatges, p.116] •

Factor de duración KhL: para un número de ciclos N < 109 es igual a 16

K hLp

 10 7   =   N 

16

  10 7  =   1833464,94 

•

Probabilidad de fallo → kc = 0,814

•

Resistencia del piñón a picado

= 1,32

 kc   0,814   = 1000·1,32·  = 1320 N/mm 2  0,814   0,814 

σ adm p = σ Hlím p ·K hLp ·

(B.75)

(B.76)

- Cremallera •

Resistencia a fatiga σHlím c: la resistencia a la tracción del S 355 es 490 N/mm2, por tanto la dureza superficial es 145 Brinell [Chevalier, 2000, p. 316], y tomando como material “acier au carbone”, resulta σHlím c = 630 N/mm2 (figura B.9).

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

•

Factor de duración → KhL = 1,32

•

Factor de probabilidad de fallo → kc = 0,814

•

Resistencia de la cremallera a picado

 kc   0,814   = 630·1,32·  = 831,6 N/mm 2 0,814 0 , 814    

σ adm c = σ Hlím c ·K hLc ·

27

(B.77)

La resistencia a picado es el mínimo entre la del piñón y la de la cremallera,

σ adm = min(σ adm p , σ adm c ) = σ adm c = 831,6 N/mm 2

(B.78)

B.2.3 Coeficientes de seguridad Piñón Según la Norma [UNE-EN 12158-1, 2001, p.34], se debe utilizar un coeficiente de seguridad mínimo de 2 para el límite de resistencia de fatiga del diente (tensión en el pie del diente) y un coeficiente de seguridad mínimo de 1,4 contra la resistencia límite para el desgaste (picado) (ver Anexo E Extractos de la norma UNE-EN 12158-1, apartado E.7.2 Diseño, punto 5.7.3.1.2.1). Para la tensión en el pie del diente,

γ seg p.d. =

σ adm p 362,33 = = 2,40 > 2 σ bp 151,16

(B.79)

Y para el picado (se toma la resistencia a picado del piñón),

γ seg pic =

σ adm p σH

=

1320 = 1,84 > 1,4 715,87

(B.80)

Cremallera Según la Norma [UNE-EN 12158-1, 2001, p.34], la cremallera debe tener un coeficiente mínimo de seguridad de 2 para el límite estático de resistencia del diente (ver Anexo E Extractos de la norma UNE-EN 12158-1, apartado E.7.2 Diseño, punto 5.7.3.1.2.2). Esto se

28

Anexo B Cálculos II

debe a que los dientes de la cremallera no sufrirán tanto como los del piñón, por tanto no hay que calcular su resistencia a fatiga, sino a una carga estática. La fuerza que actúa sobre los dientes de la cremallera es F, que se descompone en Ft = 23495,64 N (la fuerza que transmite el piñón) y Fr = Ft·tan 20º = 8851,71 N (figura B.10).

Figura B.10 Cremallera

El pie del diente será la zona que más sufra. La sección de éste es un rectángulo s x b, s grosor del diente en el pie y b = 60 mm anchura del diente. El grosor del diente vale

s=

p π ·m + 2·1,25·m·tan 20º = + 2·1,25·m·tan 20º = 2 2 π ·6 = + 2·1,25·6·tan 20º = 14,88 mm 2

(B.81)

La tensión será

σ eq = σ x2 + 3τ xy2

(B.82)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

29

La tensión normal σx vale

σx =

Fr M z + ·y A Iz

(B.83)

Fr = 8851,71 N

Esfuerzo normal sobre la sección

A = s·b = 14,88·60=892,80 mm2

Área de la sección

Iz =

bs 3 60·14,88 3 = = 16473,23 mm 4 12 12

Momento de inercia de la sección

M z = Ft ·1,25·m = 23495,64·1,25·6 = 176217,3 N mm

Momento

flector

sobre la sección

σx =

Fr M z 8851,71 176217,3 + ·y = + · y = 9,91 + 10,70 y N A Iz 892,80 16473,23

(B.84)

La tensión normal τxy es

y2  3 Ft  1 − 4 2  2 A s 

τ yz = ·

(B.85)

Ft = 23495,64 N

Fuerza cortante sobre la sección

A =892,80 mm2

Área de la sección

y 2  3 23495,64  y2 3 Ft  1 − 4 2  = · 1 − 4 2 A s  2 892,80  14,88 2

τ yz = ·

  

(B.86)

La mayor tensión equivalente puede darse en y = 0 (mayor tensión cortante) o en y = s/2 (mayor tensión normal).

30

•

Anexo B Cálculos II

y=0

σ x = 9,91 + 10,70·0 = 9,91 N 3 23495,64  02 1 − 4 2 892,80  14,88 2

τ xy = ·

  = 39,48 N/mm 2 

σ eq = σ x2 + 3τ xy2 = 9,912 + 3·39,48 2 = 69,10 N/mm2 •

(B.87)

(B.88)

(B.89)

y = s/2 = 7,44 mm

σ x = 9,91 + 10,70·7,44 = 89,52

τ xy

3 23495,64  7,44 2  = · 1− 4 2 892,80  14,88 2

  = 0 N/mm 2 

σ eq = σ x2 + 3τ xy2 = 89,52 2 + 3·0 2 = 89,52 N/mm2

(B.90)

(B.91)

(B.92)

La carga de rotura en el núcleo del diente de la cremallera es σadm = 490 N/mm2 [Riba, 1998, p. 86,87], por tanto el coeficiente de seguridad es

γ seg =

σ adm 490 = = 5,47 σ eq 89,52

(B.93)

mayor que 2, que es el impuesto por la Norma [UNE-EN 12158-1, 2001, p.34] (ver Anexo E Extractos de la norma UNE-EN 12158-1, apartado E.7.2 Diseño, punto 5.7.3.1.2.2).

B.3 Comprobación del motor B.3.1 Subida con carga nominal Arranque Aceleración Aplicando la ecuación de la dinámica,

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

31

(Tant )red − (Tpost )red = (J sist )red ·α red

(B.94)

al sistema formado por el motor, el reductor, la transmisión piñón-cremallera, las guías y la plataforma, tomando como punto de reducción la entrada del reductor (r1) (figura B.11)

Fig. B.11 Sistema formado por motor, reductor, piñón-cremallera, guías y plataforma. •

El par anterior al punto de reducción es igual al par de arranque del motor, (Tant)red = (Marr)r1 = 2,3·Mn = 2,3·98 = 225,4 N m

•

(B.95)

El par posterior al punto de reducción es igual al par resistente reducido a la entrada del reductor (ecuación (Ec. B.38)), (Tpost)red = (Mres)r1 = (Mres)m = 80,38 N m

•

(B.96)

El momento de inercia del sistema reducido a la entrada del reductor es igual al momento de inercia de la carga reducido (ecuación (Ec. B.29)) más el del motor más el del reductor.

(J sist )r1 = (J c )r1 + (J m )r1 + (J red )r1 = 2,72·10 −2 + 710·10 −4 + 91·10 −4 = 0,1073 kg m 2

(B.97)

Por lo tanto la aceleración al arrancar en la entrada del reductor (o salida del motor) es

(α arr )r1 =

(M arr )r1 − (M res )r1 225,4 − 80,38 = = 1351,54 rad/s 2 (J sist )r1 0,1073

(B.98)

Y la aceleración de la plataforma al arrancar es

(aarr )plat = (α arr )r2 ·

' d pm

2

=

(α arr )r1 ir

·

' d pm

2

=

1351,54 0,156 · = 4,39 m/s 2 24 2

(B.99)

32

Anexo B Cálculos II

Esta aceleración más g es igual a 4,39+9,8 = 14,19 m/s2, menor que 2,5·g = 2,5·9,8 = 19,6 m/s2. Tiempo de arranque Suponiendo par de arranque constante durante todo el proceso (y por tanto aceleración constante), se tiene

v f = v i + a·t = 0 + a·t árr = a·t arr ⇒ t arr =

v plat vf 0,50 = = = 0,114 s a (a arr )plat 4,39

(B.100)

Espacio de arranque e arr = x i + v i ·t +

1 2 1 1 2 a·t = 0 + 0 + ·(a arr )plat ·t arr = ·4,39·0,114 2 = 0,028 m 2 2 2

(B.101)

Frenada Aceleración Se utiliza el mismo punto de reducción, pero en este caso el par anterior es (Tant)red = (Mm)r1(Mfr)r1= -(Mfr)r1 = -200 N m. La aceleración en la entrada del reductor al frenar es

(α arr )r1 =

(Tant )red − (Tposts )red (J sist )red

=

− (M fr )r1 − (M res )r1

(J sist )r1

=

− 200 − 80,38 = −2613,05 rad/s 2 (B.102) 0,1073

Y la aceleración de la plataforma,

(afr )plat =

(α fr )r1 ir

·

' d pm

2

=

− 2613,05 0,156 · = −8,49 m/s 2 24 2

(B.103)

Al frenar, las fuerzas que actúan sobre la plataforma son − Ffr − Fres = m·afr

(B.104)

Siendo Fres = m·g y aislando Ffr, queda

Ffr = −m·g − m·afr = m(− g − afr )

(B.105)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

33

Por tanto, |-g-afr| debe ser menor que 2,5g. − g − (afr )plat = − 9,8 − (− 8,49 ) = − 1,31 = 1,31 < 2,5 g ⇒ OK

(B.106)

Tiempo de frenado

v f = v i + a·t ;0 = v plat + a·t fr ⇒ t fr =

− v plat a

=

− v plat

(a fr )plat

=

− 0,50 = 5,89·10 − 2 s − 8,49

(B.107)

Espacio de frenado 1 2 1 a·t = 0 + v plat ·t fr + ·(a fr )plat ·t fr2 = 2 2 1 = 0,50·5,89·10 − 2 + ·(−8,49)·(5,89·10 − 2 ) 2 = 0,015 m 2 efr = x i + v i ·t +

(B.108)

B.3.2 Bajada con 1,25 veces la carga nominal Punto de funcionamiento La ecuación de la recta alrededor de la velocidad nominal de la curva característica del motor par-velocidad es M = -2,45·n + 3675 (ecuación (Ec. 7.1), figura 7.1). Con el montacargas cargado con 1,25 veces la carga nominal, la masa transportada (masa de la plataforma más carga) es mtr = mT' + 1,25·CN = 1050 + 1,25·1000 = 2300 N

(B.109)

Por tanto la fuerza resistente es Fres = mtr · g = 2300·9,8 = 22540 N Y el momento resistente reducido a la entrada del reductor es

(B.110)

34

Anexo B Cálculos II

(M res )r1 = 1 (Fres )plat η

=

1

η gη pη r =

(Fres )plat ir

vplat

ωm

=

vplat vplat

1

η gη pη r =

(Fres )plat

1

ηgη pη r

vplat irωpm

(Fres )plat

' d pm

ir ·2

= =

(B.111)

' d pm 2

1 0,156 ·22540· = 90,19 N m 0,90·0,95·0,95 24·2

Por tanto el momento motor es el momento resistente cambiado de signo, ya que el motor trabaja como generador, M m = −(M res )r1 = −90,19 N m

(B.112)

La velocidad en la entrada del reductor n r1 =

M m − b − 90,19 − 3675 = = 1536,81 min -1 a − 2,45

ωr1 = nr1

2π 2π = 1536,81· = 160,93 rad/s 60 60

(B.113)

(B.114)

Frenada Aceleración Aplicando la ecuación de la dinámica al sistema formado por motor funcionando como generador, reductor, transmisión piñón-cremallera, guías y plataforma (figura B.12),

(Tant )red − (Tpost )red = (J sist )red ·α red

(B.115)

Fig. B.12 Sistema formado por motor, reductor, piñón-cremallera, guías y plataforma.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

•

35

El par anterior es igual al par resistente

(Tant )red = (M res )r1 = 90,19 N m •

(B.116)

El par posterior es igual al par de frenado

(T )

= (M fr )r1 = 200 N m

post red

(B.117)

Por tanto, la aceleración al frenar en bajada con 1,25 veces la carga nominal en la entrada del reductor es

(α arr )r1 =

(Tant )red − (Tposts )red (M res )r1 − (M fr )r1 = (J sist )red (J sist )r1

=

90,19 − 200 = −1023,39 rad/s 2 0,1073

(B.118)

Y la aceleración de la plataforma es

(a fr )plat

=

(α fr ) d pm' ir

·

2

=

− 1023,39 0,156 · = −3,33 m/s 2 24 2

(B.119)

Al frenar en bajada, las fuerzas sobre la plataforma son Fres − Ffr = m·afr

(B.120)

Siendo Fres = m·g y aislando Fres, queda

Ffr = m·g − m·afr = m(g − afr )

(B.121)

Por tanto, g − a fr = g − (a fr )plat = 9,8 − (− 3,33) = 13,13 m/s 2 < 2,5· g = 2,5·9,8 = 24,5 m/s 2 (B.122) Tiempo de arranque t fr =

v plat

(a fr )r1

=

− 0,50 = 0,15 s − 3,33

(B.123)

36

Anexo B Cálculos II

Espacio de frenado 1 2 1 at = 0 + v plat ·t fr + ·(− a fr )plat ·t fr2 = 2 2 1 = −0,50·0,15 + ·(−3,33)·(0,15) 2 = 0,112 m 2

efr = x i + v i t +

(B.124)

B.4 Freno de emergencia B.4.1 Selección La masa transportada es igual a la masa de la plataforma más 1,3 veces la carga nominal, mtr = mT' + 1,3·CN = 1050 + 1,3·1000 = 2350 kg

(B.125)

La fuerza resistente, por tanto, es Fres = mtr · g = 2350·9,8 = 23030 N

(B.126)

El freno de emergencia entra en funcionamiento cuando el montacargas rebasa la velocidad a la cual se tare el freno. Ello ocurre cuando el piñón motor deja de transmitir potencia a la cremallera, ya sea por rotura de los dientes del piñón o avería del motor y del freno electromagnético (figura B.13).

Fig. B.13 Rotura de la transmisión de potencia del motor hacia la plataforma

Por tanto, la potencia absorbida por el freno es la potencia creada por el peso de la plataforma más la carga multiplicado por el rendimiento global,

Pf = η ·Pplat ⇒ (M res )f ·ω pf = η ·Fres ·v plat

(M res )f = η ·Fres ·

v plat

ω pf

v plat d pf' = η gη pf ·Fres · = η gη pf ·Fres · = v plat 2 d pf' 2

= 0,9·0,95·23030·

0,156 = 1535,87 N 2

(B.127)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

37

donde ηg = 0,90 es el rendimiento del desplazamiento de los rodillos sobre las guías, ηpf = 0,95 es el rendimiento de la transmisión piñón del freno-cremallera y ωpf es la velocidad angular del piñón. Para obtener el par de frenado de emergencia, este par se debe multiplicar por un coeficiente de seguridad igual a 1,25 [UNE-12158-1, 2001, p. 18]. M fe = 1,25·1535,87 = 1919,84 N m

(B.128)

Los frenos disponibles son (tabla B.6): Tamaño FP-2172 FP-1121 FP-150 FP-361

Par regulable [N m] 1085-2170 560-1120 350-700 180-360

Tabla B.6 Frenos centrífugos [Catálogo Eide]

El único que puede utilizarse es el FP-2172, regulando el par de frenado de emergencia a Mfe = 2000 N.

B.4.2 Frenado de emergencia Aceleración Aplicando la ecuación de la dinámica al sistema formado por motor, generador, reductor, transmisión piñón-cremallera, guías, plataforma, piñón del freno de emergencia y freno de emergencia (figura B.14),

(Tant )red − (Tpost )red = (J sist )red ·α red

Fig. B.14 Sistema formado por motor, reductor, piñón-cremallera, guías, plataforma, piñón del freno y freno de emergencia

(B.129)

38

•

Anexo B Cálculos II

El par anterior es igual al par resistente

(Tant )red = (M res )f •

(B.130)

El par posterior es igual al par de frenado de emergencia

(T )

post red

•

= 1535,87 N m

= (M fe )f = M fe = 2000 N m

(B.131)

Momento de inercia del sistema reducido a la entrada del freno de emergencia a) Considerando el sistema entero (motor, reductor, piñón motor, plataforma, piñón del freno de emergencia y freno de emergencia, figura B.14). Esto correspondería al caso en que una avería del motor y del freno impide la retención del montacargas, pero aún giran al caer la plataforma. La energía cinética en la entrada del reductor multiplicada por el rendimiento es igual a la energía cinética en la entrada del freno de emergencia,

η (E c )r1 = (E c )f ⇒ η

(J sist )f

1 (J sist )r1 ω r12 = 1 (J sist )f ω f2 2 2

ω2 ω2 = η ( J sist )r1 r12 = η rη pmη gη pf ( J sist )r1 r12 ωf ω pf

(B.132)

donde

ωr1 = irωr2 = irωpm = ir

vplat d

' pm

2

=

2ir vplat ' d pm

(B.133)

es la velocidad en la entrada del reductor, y

ωf = ωpf =

vplat d pf' 2

=

2vplat d pf'

(B.134)

es la velocidad en la entrada del freno de emergencia o velocidad del piñón del freno de emergencia. Por tanto, el momento de inercia del sistema reducido a la entrada del freno de emergencia es

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

(J sist )f

ω  = η rη pmηgη pf ( J sist )r1  r1  ω   pf 

 ir d pf' = η rη pmη gη pf (J sist )r1  ' d  pm

39

2

 2ir vplat  '  d pm = η rη pmη gη pf ( J sist )r1  2v  plat  d'  pf

2

    =   

2

2   = 0,95·0,95·0,90·0,95·0,1073· 24·0,156  = 47,69 kg m 2   0,156   (B.135)

b) Considerando el sistema formado por la plataforma, el piñón del freno de emergencia y el freno de emergencia (figura B.14). Esta situación corresponde al caso en que se produce la rotura de los dientes del piñón motor. El momento de inercia de la plataforma más la carga reducido a la entrada del freno es 2

(J )

plat f

 v plat = η ·m tr  ω  pf

 d pf' = η gη pf m tr   2 

   

2

     v plat  = η gη pf m tr   = v plat    d' 2   pf 

(B.136)

2

2   = 0,90·0,95·2350· 0,156  = 12,22 kg m 2   2  

El del freno de emergencia es (Jfe)f = Jfe = 0,05 kg m2 (fuente: conversación con personal de la empresa Eide), y el del piñón del freno reducido a la entrada del freno es (Jpf)f = 2,69·10-2 kg m2 (ecuación (Ec. B.27)). Por tanto, el momento de inercia del sistema es la suma de los tres anteriores,

(J sist )f = (J plat )f + (J fe )f + (J pf )f

= 12,22 + 0,05 + 2,69·10 − 2 = 12,30 kg m 2

(B.137)

La aceleración en la entrada del freno en el caso a (avería del motor y del freno) es

(α fe )f

=

(M res )f − (M fe )f (J sist )f

Y la aceleración de la plataforma es

=

1535,87 − 2000 = −9,73 rad/s 2 47,69

(B.138)

40

Anexo B Cálculos II

(afe )plat = (α fe )f ·

d pf'

= −9,73·

2

0,156 = -0,76 m/s 2 2

(B.139)

Esta aceleración más g es igual a |-0,76|+9,8 = 0,76+9,8 = 10,56 m/s2, menor que 2g = 2·9,8 = 19,6 m/s2. En el caso b (rotura de los dientes del piñón), la aceleración en la entrada del freno es

(α fe )f

=

(M res )f − (M fe )f (J sist )f

=

1535,87 − 2000 = −37,74 rad/s 2 12,30

(B.140)

0,156 = -2,94 m/s 2 2

(B.141)

Y la aceleración de la plataforma es

(afe )plat = (α fe )f ·

d pf'

= −37,74·

2

Esta aceleración más g es igual a |-2,94|+9,8 = 2,94+9,8 = 12,74 m/s2, menor que 2g = 2·9,8 = 19,6 m/s2.

B.5 Comprobación de la velocidad B.5.1 Velocidad hacia arriba vacía La masa transportada es igual a la masa de la plataforma, mtr = mT’ = 1050 kg. Por tanto, la fuerza resistente es Fres = mtr·g = 1050·9,8 = 10290 N, y el par resistente reducido a la salida del motor (o entrada del reductor) es

(M res )r1 = 1 Fres η

vplat

ωr1

=

1

η rη pηg

(Fres )plat

' d pm

ir 2

=

(B.142)

1 0,156 = ·10290· = 41,17 N m 0,95·0,95·0,90 24·2 Utilizando la ecuación de la aproximación según una recta de la curva característica parvelocidad del motor alrededor del punto nominal (ecuación (Ec. 7.1)), se halla la velocidad en la salida del motor nr1 =

(M res )r1 − 3675 − 2,45

=

41,17 − 3675 = 1483,19 min -1 − 2,45

(B.143)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

ωr1 = nr1

41

2π 2π = 1483,19· = 155,32 rad/s 2 60 60

(B.144)

Y la velocidad de la plataforma es ' d pm

vplat = ωpm

2

= ωr2

' d pm

2

=

' ωr1 d pm

ir

=

2

155,32 0,156 = 0,505 m/s 24 2

(B.145)

La diferencia respecto a la nominal es vplat − vn vn

·100 =

0,505 − 0,500 0,500

·100 = 1% < 15%

(B.146)

B.5.2 Velocidad hacia abajo con carga nominal La masa transportada es igual a la masa de la plataforma más la carga nominal, mtr = mT’ + CN = 1050+1000 = 2050 kg. Por tanto, la fuerza resistente es Fres = mtr·g = 2050·9,8 = 20090 N, y el par resistente reducido a la salida del motor (o entrada del reductor) es

(M res )r1 = 1 Fres η

v plat

ω r1

=

1

η rη pη g

(Fres )plat

' d pm

ir 2

= (B.147)

1 0,156 = ·20090· = 80,38 N m 0,95·0,95·0,90 24·2 Utilizando la ecuación de la aproximación según una recta de la curva característica parvelocidad del motor alrededor del punto nominal (ecuación (Ec. 7.1)), se halla la velocidad en la salida del motor (el motor funciona como generador, por tanto el par es negativo) n r1 =

(M res )r1 − 3675 − 2,45

ω r1 = n r1

=

− 80,38 − 3675 = 1532,81 min -1 − 2,45

2π 2π = 1532,81· = 160,52 rad/s 2 60 60

(B.148)

(B.149)

Y la velocidad de la plataforma es

v plat = ω pm

' d pm

2

= ω r2

' d pm

2

=

' ω r1 d pm

ir

2

=

160,52 0,156 = 0,52 m/s 24 2

(B.150)

42

Anexo B Cálculos II

La diferencia respecto a la nominal es v plat − v n vn

·100 =

0,52 − 0,50 0,52

·100 = 4,34% < 15%

(B.151)

B.6 Limitaciones al engrane B.6.1 Recubrimiento El recubrimiento debe ser mayor o igual que 1,2. En este engranaje, el recubrimiento es εα = 1,62 (ver Anexo B Cálculos II, apartado B.2.1 Parámetros de la transmisión. Recubrimiento de perfil).

B.6.2 Interferencias de funcionamiento La interferencia de funcionamiento se define como la interferencia entre el extremo superior del flanco de los dientes de una rueda y la zona del pie de los dientes de la rueda contraria. Sin embargo, en el caso de una transmisión piñón-cremallera, esta comprobación no tiene sentido, ya que para calcular las condiciones que indican si hay interferencia o no, hay que utilizar los diámetros de las dos ruedas. Las condiciones que se deben cumplir son las siguientes: d A1 ≥ d inv1

d A2 ≥ d inv2

(B.152)

donde dA1/2 es el diámetro activo de pie de la rueda 1/2, es decir, el diámetro más pequeño sobre el que la cabeza de los dientes de la otra rueda piden engranar, y se define como

d A1

  = 1 +  (1 + i ) tan α '−i  

 d a2   d b2

 1  1 d A2 = 1 +  1 +  tan α '− i i  

  

2

2

  − 1  ·d b1   2

  d a1    − 1  ·d b2   d b1   2

(B.153)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

43

Sin embargo, en el caso de una transmisión piñón-cremallera, la relación de reducción i es igual a infinito, y el diámetro activo de pie de la cremallera también es infinito. Por tanto, no tiene sentido hacer esta comprobación en el caso de una transmisión piñón-cremallera.

B.6.3 Juego de fondo mínimo Es la distancia entre la cabeza del diente de una rueda y el pie del diente de la rueda contraria. El diámetro de funcionamiento del piñón es dpm’ = 156 mm. El diámetro de cabeza máximo es damáx = 168 mm, pero el diámetro desde el fondo de los dientes de la cremallera es damáx’ = dpm’+2·(54-46,5) = 156+15 = 171 mm (figura B.15).

Fig. B.15 Dimensiones de piñón y cremallera

Normalmente, se procura que el juego de fondo mínimo sea igual al suplemento de cabeza de la cremallera, c0 = 0,25m0 en las cremalleras normalizadas [Riba, 2000, p.58]. Por tanto, el diámetro de cabeza debe ser menor que ' ' d a < d amáx − 2c0 = d amáx − 2·0,25m0 = 171 − 2·0,25·6 = 168 mm

(B.154)

Tal como se indica en el apartado B.2 Transmisión piñón-cremallera, B.2.1 Parámetros de la transmisión. Parámetros intrínsecos, el diámetro de cabeza del piñón motor es da = 165 mm. El diámetro de pie máximo (desde la cabeza de los dientes de la cremallera) es dfmáx’ = dpm’2·(60-54) = 156-12 = 144 mm. Por tanto, el diámetro de pie debe ser menor que ' ' d f < d fmáx − 2c 0 = d fmáx − 2·0,25m0 = 144 − 2·0,25·6 = 141 mm

(B.155)

44

Anexo B Cálculos II

En el apartado B.2 Transmisión piñón-cremallera, B.2.1 Parámetros de la transmisión. Parámetros intrínsecos, se indica que el diámetro de pie del piñón motor es df = 141 mm.

B.6.4 Condición para que no haya socavamiento del pie del diente La condición para que no haya socavamiento del pie del diente es que el número de dientes del piñón sea mayor que un número límite de dientes [Riba, 2000, p.73], zlím ≥

2(1 − x ) 2(1 − 0 ) = = 17,09 ⇒ zlím = 18 sin 2 α 0 sin 2 20º

(B.156)

El número de dientes del piñón motor es zpm = 26, por lo tanto se cumple la condición de no socavamiento.

B.7 Comprobación del motor y del reductor B.7.1 Capacidad térmica del reductor Es la potencia que el reductor puede transmitir a 20º C bajo servicio continuo sin que ninguno de sus componentes resulte dañado. Para el reductor C 80 2_24.0, con velocidad de entrada n1 = 1400 min-1, es Pt = 32 kW [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.5]. Si las condiciones de funcionamiento no son las descritas, debe multiplicarse esta potencia por el factor térmico, que para una temperatura ambiente de 40º C y funcionamiento continuo (no será así, pero se toma por seguridad) es ft = 0,8 [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.5]. Por tanto, la capacidad térmica real será Pt’ = 0,8·32 = 25,6 kW, mayor que la potencia nominal del motor Pn = 15 kW.

B.7.2 Arranques permitidos por hora Se calcula así: Z=

Z 0 ·K c · K d KJ

(B.157)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

45

donde Z0 = 750 [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.183] es el número de arranques por hora basado en una intermitencia del 50 % y para funcionamiento sin carga, Kc es el factor de par, Kd es el factor de carga y KJ es el factor de inercia.

Factor de par Kc Se calcula así [Catálofo Bonfiglioli, 2006a, p.158]: Kc =

Ma − ML Ma

(B.158)

donde M a = 2,10·M n = 2,10·98 = 205,8 N m

(B.159)

es el par de aceleración medio (tabla 7.1), y M L = (M res )r1 = 80,38 N m

(B.160)

es el par resistente medio. Por tanto Kc = 0,61.

Factor de carga Kd El factor de carga Kd depende de la relación entre la potencia requerida y la potencia nominal del motor (Pr/Pn) y del factor de intermitencia (I) (figura B.16).

Fig. B.16 Factor de carga Kd [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.158]

La relación entre la potencia necesaria y la nominal del motor es

46

Anexo B Cálculos II

Pr 12366,88 = = 0,82 ≈ 0,80 Pn 15000

(B.161)

El factor de intermitencia se define como [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.12] I=

tf tf + t r

(B.162)

donde tf es el tiempo de funcionamiento bajo carga constante y tr es el tiempo de reposo en un ciclo de trabajo. La Norma indica que se deben considerar 4 movimientos por hora, es decir, 1 movimiento cada 15 minutos [UNE-EN 12158-1, 2001, p.21]. La duración del viaje estándar es de 40 s (ecuación (Ec. B.64)). Por tanto, durante lo que se podría considerar un ciclo de trabajo (15 min), el motor está funcionando 40 s (tf) y en reposo 15·60-40 = 860 s (tr). De esta manera, el factor de intermitencia es I=

tf 40 = = 4,44·10 − 2 = 4,44% tf + t r 40 + 860

(B.163)

Entrando con estos datos en el gráfico de la figura B.16, se obtiene el factor de carga Kd = 0,52.

Factor de inercia Es igual a la relación entre el momento de inercia del sistema y el del motor [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.158], KJ =

J sist J m + J c = Jm Jm

(B.164)

El momento de inercia del motor es Jm = 7,10·10-2 kg m2. El momento de inercia de la carga es igual al momento de inercia de las masas conducidas (Jc)r1 más el momento de inercia del reductor (Jred)r1, J c = ( J c )r1 + ( J red )r1 = 2,72·10 −2 + 9,10·10 −3 = 0,0363 kg m 2 Por tanto, el factor de inercia es

(B.165)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

KJ =

J m + J c 7,10·10 −2 + 3,63·10 −2 = = 1,51 Jm 7,10·10 − 2

47

(B.166)

Arranques permitidos por hora

Z=

Z 0 ·K c ·K d 750·0,61·0,52 = = 157,55 ≈ 157 KJ 1,51

(B.167)

B.8 Estabilidad B.8.1 Peso de la plataforma y carga nominal El centro de gravedad de la plataforma, proporcionado por SolidWorks, se encuentra en el punto (1272, 1366, 559), y el peso de la plataforma es PCN = 10500 N (figura B.17).

Fig. B.17 Peso de la plataforma

El centro de gravedad de la carga nominal sobre la plataforma se encuentra una recta paralela al eje z que pasa por el punto (1235, 666), y pesa PCN = 10000 N (figura B.18).

Fig. B.18 Carga nominal

48

Anexo B Cálculos II

B.8.2 Viento Para calcular la fuerza creada por el viento, se utiliza la fórmula F =c

1 ρ aire v 2 Areal 2

(B.168)

donde c = 1,2 (factor que engloba a los factores de forma y pantalla [UNE-EN 12158-1, 2001, p.17]), ρaire = 1,225 kg/m2 (densidad del aire), v es la velocidad del aire y Areal es el área sobre la que actúa el viento.

Viento en dirección x, sentido negativo Fuerza sobre la cesta Fcx + = c

1 1 ρ aireν 2 Acesta = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·1,1·1,5 = 189,49 N 2 2

(B.169)

Fuerza sobre el bastidor posterior Fbpx + = c

1 1 ρ aireν 2 Abp = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·0,57·1,168 = 76,46 N 2 2

(B.170)

Fuerza sobre el mástil Fmx + = c

1 1 ρ aireν 2 Amástil = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·0,508·3,016 = 175,96 N 2 2

(B.171)

El diagrama de cuerpo libre del montacargas es el de la figura B.19. Equilibrando momentos respecto al punto B, Fbpx + ·(584 + 1721) + Fcx + ·(584 + 1721) + Fmx + ·1730 + RA ·2420 − PCN ·1015 − Pplat ·993 = 0 (B.172)

RA = 8123,58 N > 0 ⇒ no vuelca

(B.173)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

49

Fig. B.19 Diagrama de cuerpo libre del montacargas con viento en dirección x, sentido positivo

Viento en dirección y, sentido negativo Fuerza sobre la cesta a) Parte superior 1 1 ρ aireν 2 Acesta = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·0,9·0,7 = 72,35 N 2 2

(B.174)

1 1 ρ aireν 2 Acesta = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·1,168·2,11 = 283,03 N 2 2

(B.175)

Fcpsy − = c b) Parte inferior Fcpiy − = c Fuerza sobre el mástil Fmy − = c

1 1 ρ aireν 2 Amástil = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·0,46·3,016 = 159,33 N 2 2

(B.176)

50

Anexo B Cálculos II

El diagrama de cuerpo libre del montacargas es el de la figura B.20. Equilibrando momentos respecto al punto C, Fcpsy − ·3209,42 + Fcpiy − ·2275 + + Fmy − ·1730 + RD ·2400 −

(B.177)

− PCN ·782 − Pplat ·1483 = 0 RD = 9266,57 N > 0 ⇒ ⇒ no vuelca

(B.178)

Fig. B.20 Diagrama de cuerpo libre del montacargas con viento en dirección y, sentido negativo

Viento en dirección y, sentido positivo Fuerza sobre la cesta a) Parte superior Fcpsy + = Fcpsy − = 72,35 N

(B.179)

Fcpiy + = Fcpiy − = 283,03 N

(B.180)

b) Parte inferior

Fuerza sobre el mástil Fmy + = c

1 1 ρ aireν 2 Amástil = 1,2· ·1,225·12,5 2 ·0,46·1,409 = 74,43 N 2 2

(B.181)

El diagrama de cuerpo libre del montacargas es el de la figura B.21a. En este caso, la carga nominal (área A2) se coloca lo más cercana posible al mástil (figura B.21b), ya que ésta es la posición más desfavorable para la estabilidad del montacargas.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

a

51

b a

b

Fig. B.21 a) Diagrama de cuerpo libre del montacargas con viento en dirección y, sentido positivo; b) Vista en planta de la plataforma con la carga nominal (área A2)

Equilibrando momentos respecto al punto D, − Fcpsy + ·3208 − Fcpiy + ·2275 − Fmy + ·957 − RC ·2400 + Ppl ·917 + PCN ·1357 = 0

(B.182)

RC = 9271,37 N > 0 ⇒ no vuelca

(B.183)

B.9 Amortiguadores El trabajo realizado por un elemento elástico en el proceso de choque es [Niemann, 1987, p.270] W=

mv 2 2

(B.184)

La masa m es la masa de la plataforma más la de la carga nominal, m = mT' + CN = 1050 + 1000 = 2050 kg

(B.185)

La velocidad es igual a la nominal del montacargas más 0,2 m/s,

v = vn + 0,2 = 0,5 + 0,2 = 0,7 m/s

(B.186)

52

Anexo B Cálculos II

Por tanto el trabajo de choque es 2050·0,7 2 W= = 502,25 J 2

(B.187)

Tomando un coeficiente de seguridad de 1,25 [UNE-EN 12158-1, 2001, p.20], W ' = 1,25·502,25 = 627,81 J

(B.188)

Consultando el catálogo de amortiguadores, topes y soportes flexibles de la empresa Paulstra [Catálogo Paulstra, 2005, p. 62], se selecciona un tope progresivo Levaflex capaz de disipar el trabajo de choque, referencia 514085/75 (tabla B.7 y figura B.22).

Tabla B.7 Topes flexibles Levaflex Progressive Stops de la empresa Paulstra [Catálogo Paulstra, 2005, p. 62]

Fig. B.22 Amortiguador 514085/75 de la empresa Paulstra

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

53

B.10 Tornillos B.10.1 Tornillos reductor-soporte del reductor Sobre estos tornillos actúan cargas axiales y transversales. Las primeras son debidas al momento creado por el peso del conjunto motor-reductor, al estar éste en voladizo, y las segundas son provocadas por el momento de reacción sobre el piñón (y por tanto sobre el reductor) creado por la cremallera. En los casos de uniones atornilladas en que sólo hay carga transversal, la forma de calcular la seguridad de la unión es obtener, primero, la fuerza de montaje necesaria tal que el contacto entre las piezas unidas quede asegurado y no se produzca deslizamiento de éstas (FMnec). Luego se calcula la fuerza de montaje que se puede conseguir en esa unión después del asentamiento (FMmín’), y se comprueba que sea mayor que FMnec. En este caso, en el que también existe carga axial, no hay que comparar la fuerza que asegura el contacto (FMnec) con la fuerza que queda en las piezas después del asentamiento (FMmín’), sino con la fuerza que queda en las piezas después del asentamiento y de la aplicación de la fuerza separadora axial (Fp’). Además, también se ha calculado que los tornillos resistan la variación de la fuerza separadora axial provocada por la inercia producida al arrancar y frenar el montacargas.

Carga sobre los tornillos Fuerza separadora axial Esta fuerza es consecuencia del momento ejercido por el peso del conjunto motor-reductor, al estar en voladizo (figura B.23).

54

Anexo B Cálculos II

Fig. B.23 Conjunto motor-reductor

El peso del conjunto es igual al peso del motor más el del reductor [Catálogo Bonfiglioli, 2006a, p.183 y 136],

Pmr = Pm + Pr = (128 + 154)·9,8 = 282·9,8 = 2763,6 N

(B.189)

Equilibrando momentos respecto al punto A, R·123,74 + R·123,74 = Pmr ·553,14 R=

553,14·Pmr 553,14·2763,6 = = 6175,89 N 2·123,74 2·123,74

(B.190)

Esta fuerza se divide entre dos tornillos, por tanto, Fs =

R 6175,89 = = 3087,95 N 2 2

(B.191)

Multiplicando por el factor de seguridad del dispositivo de sobrevelocidad [UNE-EN 121581, 2001, p.16] Fs * = 2,5·Fs = 2,5·3087,95 = 7719,86 N

(B.192)

Fuerza transversal Las fuerzas que el reductor ejerce sobre el soporte son (figura B.24)

Fv = Fres = 20090 N Fh = Fv tan 20º = 7312,16 N M = Fv

d

' p

2

= 1567,02 N m

(B.193)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

55

Fig. B.24 Fuerzas ejercidas por el reductor sobre el soporte y reacciones

Y las reacciones son R v = Fv = 20090 N Rh = Fh = 7312,16 N

Ft =

M (D 2 ) 1567,02 (0, 350 2 ) = = 2238,6 N 4 4

(B.194)

Se considera que Rv y Rh quedan equilibradas por el ajuste entre el reductor y el soporte y que M queda equilibrada por los tornillos. Multiplicando por el factor de seguridad del dispositivo de sobrevelocidad [UNE-EN 121581, 2001, p.16] Ft * = 2,5·Ft = 2,5·2238,6 = 5596,5 N

(B.195)

Tornillo necesario para la no obertura de la juntura Se prueba inicialmente con un tornillo M16x50, de longitud roscada 38 mm. Fuerza de compresión necesaria en las piezas La fuerza de compresión que debe permanecer en las piezas unidas después del asentamiento es [Fenollosa, 2000, p.83] ′ F *·c s Fpnec = t n·m·µ

(B.196)

56

Anexo B Cálculos II

donde cs es el coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, igual a 1,25 para máquinas y estructuras [Fenollosa, 2000, p.83], n = 1 es el número de tornillos, m = 1 es el número de superficies de rozamiento y µ = 0,10 es el coeficiente de rozamiento [Fenollosa, 2000, p.83]. Por tanto, Fpnec’ es ′ 5596,5·1,25 Fpnec = = 69956,25 N 1·1·0,10

(B.197)

Parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas Se calcula así Fps = (1 − c′)·Fs *

(B.198)

donde c’ = i·c es la relación de rigideces después de la acción de la fuerza separadora y Fs* es la fuerza separadora axial. a) Nivel de acción de las fuerzas separadoras i El tornillo, inicialmente, comprime las piezas (c). La aplicación de la fuerza separadora provoca una descompresión de una parte de las piezas (d) y una recompresión de otra parte de las piezas (r) (figura B.25).

Fig. B.25 Nivel de acción de las fuerzas separadoras

El factor i, nivel de acción de las fuerzas separadoras, vale i=

4,5 + 11,5 = 0,5 4,5 + 4,5 + 11,5 + 11,5

(B.199)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

57

b) Relación de rigideces - Rigidez del tornillo Es igual a kt =

Et  2l ′ l1 l  l  + + 2 + 3   AT A1 A2 AT 

l’ = 0,4·d = 0,4·16 = 6,4 mm

(B.200)

Fracción del tornillo que participa en la extensión

l1 = 50-38 = 12 mm

Longitud no roscada

l2 = 0 mm

Longitud con estrechamiento de la caña (no hay)

l3 = 20 mm

Parte roscada que no trabaja

AT = 157 mm2

Sección resistente [Fenollosa, 2000, p.23]

2

2

d   16  A1 =   ·π =   ·π = 201,06 mm 2 2 2

Ec = 210000 N/mm2

Módulo de Young del tornillo

Por tanto, kt =

210000 = 781829,18 N/mm 12 20   2·6,4 + +0+   157   157 201,06

(B.201)

- Rigidez de las piezas unidas Las piezas unidas se asemejan a una dolla, de diámetro exterior Dd. El contacto entre la cabeza del tornillo o la tuerca y las piezas se da en un círculo de diámetro de, que en tornillos de cabeza hexagonal es aproximadamente igual a la distancia entrecaras, 24 mm [Fenollosa, 2000, p.24]. Las piezas unidas pueden ser extensas (Dd > de) o semiextensas (de < Dd < 3de), lo que varía la forma de calcular la rigidez.

58

Anexo B Cálculos II

Fig. B.26 Diámetro exterior de la dolla radialmente y circunferencialmente

Circunferencialmente, el diámetro exterior de la dolla es Dd = 145 mm > 3·de = 3·24 = 72 mm, por tanto serían piezas unidas extensas. Radialmente, Dd = 50 mm, mayor que de = 24 pero menor que 3·de = 72 mm, por tanto serían piezas unidas semiextensas (figura B.26). Sin embargo, se consideran extensas porque resulta más desfavorable. La fórmula para calcular la rigidez de las piezas unidas extensas es

π E p 

2  lp   d e +  − d ag2  kp = 4 l p  10   

(B.202)

donde Ep = 210000 N/mm2

Módulo de Young de las piezas

lp = 32 mm

Longitud de las piezas unidas

de = 24 mm

Diámetro exterior del contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza (entrecaras)

dag = 18 mm

Diámetro del agujero (perforación) [Fenollosa, 2000, p.24]

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

59

Por tanto,

kp =

π 210000  4

32

2  32  2 24 +  − 18  = 2143312,32 N/mm  10   

(B.203)

- Relación de rigideces

c=

kt 781829,18 = = 0,27 k p + k t 2143312,32 + 781829,18

(B.204)

La relación de rigideces después de la aplicación de la fuerza separadora es, pues, c′ = i·c = 0,5·0,27 = 0,13

(B.205)

La parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas es Fps = (1 − c ′)Fs * = (1 − 0,13)·7719,86 = 6688,19 N

(B.206)

Fuerza de montaje mínima después del asentamiento ′ ′ FMmín = Fpnec + Fps = 69956,25 + 6688,19 = 76644,44 N

(B.207)

Fuerza de montaje mínima antes del asentamiento Se calcula así ′ FMmín = FMmín + ∆F ,

(B.208)

donde ∆F es la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento, que se calcula así ∆F = δ x ·c·k p

(B.209)

El asentamiento δx es igual al asentamiento en la rosca (δxr = 5 µm) más el asentamiento en las junturas δxj,

δ xj = δ xct -p + δ xp- p + δ xp- t = 4 + 2 + 4 = 10 µm

(B.210)

60

Anexo B Cálculos II

donde δxct-p = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza, δxp-p = 2 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre piezas y δxp-t = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre pieza y tuerca.

El asentamiento total es

δ x = δ xr + δ xj = 5 + 10 = 15 µm

(B.211)

Por tanto, la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento es

∆F = δ x ·c·k p = 15·10 −3 ·0,27·2143312,32 = 8680,41 N

(B.212)

Y la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento ′ FMmín = FMmín + ∆F = 76644,44 + 8680,41 = 85324,85 N

(B.213)

Fuerza de montaje máxima La fuerza de montaje máxima FMmáx se obtiene multiplicando la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento FMmín por el factor de atornillamiento αc, que con la rosca lubricada y utilizando una llave dinamométrica para el atornillado vale αc = 1,4. Por tanto, FMmáx = α c ·FMmín = 1,4·85324,85 = 119454,79 N

(B.214)

Tornillo necesario Con un coeficiente de rozamiento global µG = 0,14 (el más desfavorable, tornillo y tuerca con cincado galvánico, superficies no lubricadas) y métrica nominal M16, es necesario un tornillo clase 12.9 para soportar la fuerza de montaje máxima (tabla B.8).

M16

FMlím [N] µG = 0,10 8.8 10.9 12.9 78500 110000 132000

µG = 0,14 8.8 10.9 73000 102000

12.9 123000

Tabla B.8 Fuerza de montaje límite para un tornillo de métrica nominal M16 [Fenollosa, 2000, p.75]

El momento máximo de montaje correspondiente es MM = 355 N m, y el momento que debe prescribirse en el montaje es MM’ = 0,9·MM = 0,9·355 = 319,5 N m.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

61

Comprobación del tornillo Para asegurarse de que el tornillo soporta la fuerza separadora, se debe cumplir Fts < 0,1·Re AT

(B.215)

donde Fts es la parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo, AT es la sección resistente y Re es el límite elástico del tornillo. - Parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo Fts = c′·Fs * = 0,13·7719,86 = 1031,86 N

(B.216)

- Sección resistente AT = 157 mm2 [Fenollosa, 2000, p.23]. - Límite elástico del tornillo Re = 1080 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.26]. Por tanto, Fts 1031,86 = = 6,57 N/mm 2 < 0,1·Re = 0,1·1080 = 108 N/mm 2 AT 157

(B.217)

el tornillo aguanta la acción de la fuerza separadora.

Comprobación a fatiga del tornillo Debido a la inercia producida al arrancar y al frenar, la fuerza que tracciona los tornillos provocada por el peso del conjunto motor-reductor varía a lo largo del tiempo (tabla B.9). aplat [m/s2] Fimr [N] Subida con Arranque 4,39 1237,98 carga nominal Frenada -8,49 -2394,18 Bajada con Arranque -9,56 1,25 veces la Frenada 3,33 carga nominal

Fit [N] 1383,28

Ft [N] 4471,23

-2675,17

412,78

-2695,92

-3012,33

392,03

939,06

1049,27

4137,22

Tabla B.9 Fuerzas sobre los tornillos

62

Anexo B Cálculos II

donde aplat

Aceleración de la plataforma

Fimr = mmr·aplat

Fuerza de inercia sobre el conjunto motor-reductor

mmr = 282 kg

Masa del motor más el reductor

Fit = Fimr ·

Fpt Pmr

Fuerza de inercia sobre una unión atornillada cualquiera

Fpt = 3087,95 N

Fuerza provocada por el peso del motor más el reductor sobre una unión atornillada cualquiera

Pmr = 2763,6 N

Peso del conjunto motor-reductor

Ft = Fpt+Fimr

Fuerza total sobre una unión atornillada cualquiera

La máxima fuerza separadora sobre una cualquiera de las uniones atornilladas se da cuando el montacargas arranca en subida con carga nominal, Fsmáx = 4471,23 N, y la mínima se da cuando arranca en bajada con 1,25 veces la carga nominal, Fsmín = 392,03 N. La componente alternativa de la tensión sobre el tornillo es

σa =

Fts 2A3

(B.218)

donde Fts = Ftmáx-Ftmín

Amplitud de la fuerza sobre el tornillo

Ftmáx = FM+Ftsmáx

Fuerza máxima sobre el tornillo

Ftmín = FM+Ftsmín

Fuerza mínima sobre el tornillo

FM

Fuerza de montaje

Ftsmáx = c’·Fsmáx

Parte de la fuerza separadora máxima que tracciona el tornillo

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

Ftsmín = c’·Fsmín

63

Parte de la fuerza separadora mínima que tracciona el tornillo

A3 = 144 mm3

Sección de núcleo [Fenollosa, 2000, p.23]

Por tanto, Fts F − Ftsmín (FM + Ftsmáx ) − (FM − Ftsmín ) = tsmáx = = 2 A3 2 A3 2 A3 F − Ftsmín c′(Fsmáx − Fsmín ) 0,13(4471,23 − 392,03) = tsmáx = = = 1,84 2 A3 2 A3 2·144

σa =

(B.219)

La resistencia a la fatiga de tornillos con tuerca normal de compresión, rosca tallada y luego bonificada, M16, clase 12.9 es σA = 60 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.79]. Entonces, el coeficiente de seguridad a fatiga es Cs =

σ A 60 = = 32,61 σ a 1,84

(B.220)

B.10.2 Tornillos soporte reductor-bastidor posterior Al igual que en el caso anterior, sobre estos tornillos actúan cargas axiales provocadas por el hecho de que el conjunto motor-reductor se halla en voladizo, y cargas transversales provocadas por el momento creado sobre el piñón motor (y por tanto sobre el reductor y a su vez sobre el soporte del reductor) por la cremallera.

Cargas sobre los tornillos Fuerza separadora axial La máxima fuerza axial sobre uno de los tornillos que unen el soporte del reductor al reductor es Fs = 1687,26 N. Multiplicando por el factor del dispositivo de sobrevelocidad, queda Fs* = 2,5·1687,26 = 4218,15 N (ver apartado A.3.1 Cargas sobre el bastidor posterior. Peso del motor, del reductor y del soporte del reductor) (figura B.27).

64

Anexo B Cálculos II

Fig. B.27 Diagrama de cuerpo libre del conjunto motor-reductor-soporte del reductor

Fuerza transversal Se considera que los tornillos absorben el momento creado por la cremallera sobre el piñón motor (figura B.28).

Fig. B.28 Cargas sobre el soporte del reductor y reacciones

El momento M es igual a

M = Fv ·

dp 2

′

= 20090·

0,156 = 1567,02 N m 2

(B.221)

Siendo las distancias de cada tornillo al punto C r1 = 241,8 mm, r2 = r3 = 235,4 mm, r4 = 241,8 mm y r5 = 236,1 mm, M = Ft1 ·r1 + Ft2 ·r2 + Ft3 ·r3 + Ft4 ·r4 + Ft5 ·r5

(B.222)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

65

Suponiendo Ft1 = Ft2 = Ft3 = Ft4 = Ft5 = Ft (para simplificar los cálculos), Ft =

M 1567,02 = = 1316,27 N r1 + r2 + r3 + r4 + r5 (241,8 + 235,4 + 235,4 + 241,8 + 236,1)·10 −3

(B.223)

Multiplicando por el factor del dispositivo de sobrevelocidad, Ft * = 2,5·1316,27 = 3290,68 N

(B.224)

Tornillo necesario para la no obertura de la juntura Se prueba inicialmente con un tornillo M20x130, de longitud roscada 52 mm (figura B.29).

Fig. B.29 Unión atornillada entre el soporte del reductor y el bastidor posterior

Fuerza de compresión necesaria en las piezas La fuerza de compresión que debe permanecer en las piezas unidas después del asentamiento es [Fenollosa, 2000, p.83] ′ F *·c s Fpnec = t n·m·µ

(B.225)

donde cs es el coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, igual a 1,25 para máquinas y estructuras [Fenollosa, 2000, p.83], n = 1 es el número de tornillos, m = 1 es el número de

66

Anexo B Cálculos II

superficies de rozamiento y µ = 0,10 es el coeficiente de rozamiento [Fenollosa, 2000, p.83]. Por tanto, Fpnec’ es ′ 3290,68·1,25 Fpnec = = 41133,44 N 1·1·0,10

(B.226)

Parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas Se calcula así Fps = (1 − c′)·Fs *

(B.227)

donde c’ = i·c es la relación de rigideces después de la acción de la fuerza separadora y Fs* es la fuerza separadora axial. a) Nivel de acción de las fuerzas separadoras i El

tornillo,

inicialmente,

comprime las piezas (c). La aplicación separadora

de

la

fuerza

provoca

una

descompresión de una parte de las piezas (d) y una recompresión de otra parte de las piezas (r) (figura B.30).

Fig. B.30 Nivel de acción de las fuerzas separadoras

El factor i, nivel de acción de las fuerzas separadoras, vale i=

4 + 3 + 1,5 = 0,61 4 + 4 + 3 + 1,5 + 1,5

(B.228)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

67

b) Relación de rigideces - Rigidez del tornillo Es igual a kt =

l’ = 0,4·d = 0,4·20 = 8 mm

Et

 2l ′ l1 l  l  + + 2 + 3   AT A1 A2 AT 

(B.229)

Fracción del tornillo que participa en la extensión

l1 = 130-52 = 78 mm

Longitud no roscada

l2 = 0 mm

Longitud con estrechamiento de la caña (no hay)

l3 = 30 mm

Parte roscada que no trabaja

AT = 245 mm2

Sección resistente [Fenollosa, 2000, p.23]

2

2

d   20  A1 =   ·π =   ·π = 314,16 mm 2 2  2  Ec = 210000 N/mm2

Módulo de Young del tornillo

Por tanto, kt =

210000 = 481611,35 N/mm 78 30   2·8 + +0+   245   245 314,16

(B.230)

- Rigidez de las piezas unidas Las piezas unidas se asemejan a una dolla, de diámetro exterior Dd. El contacto entre la cabeza del tornillo o la tuerca y las piezas se da en un círculo de diámetro de, que en tornillos de cabeza hexagonal es aproximadamente igual a la distancia entre las caras de la cabeza de tornillo, 30 mm [Fenollosa, 2000, p.24]. Las piezas unidas pueden ser extensas (Dd > de) o semiextensas (de < Dd < 3de), lo que varía la forma de calcular la rigidez. Sin embargo, se

68

Anexo B Cálculos II

consideran extensas porque resulta más desfavorable. La fórmula para calcular la rigidez de las piezas unidas extensas es

π E p 

2  lp   d e +  − d ag2  kp = 4 l p  10   

(B.231)

donde Ep = 210000 N/mm2

Módulo de Young de las piezas

lp = 14mm

Longitud de las piezas unidas

de = 30 mm

Diámetro exterior del contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza (entrecaras)

dag = 23 mm

Diámetro del agujero (perforación) [Fenollosa, 2000, p.24]

Por tanto,

kp =

π 210000  4

32

2  14  2  30 +  − 23  = 5383433,17 N/mm 10   

(B.232)

- Relación de rigideces c=

kt 481611,35 = = 0,08 k p + k t 481611,35 + 5383433,17

(B.233)

La relación de rigideces después de la aplicación de la fuerza separadora es, pues, c ′ = i·c = 0,61·0,08 = 0,05

(B.234)

La parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas es Fps = (1 − c ′)Fs * = (1 − 0,05)·4516,58 = 4290,34 N

(B.235)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

69

Fuerza de montaje mínima después del asentamiento ′ ′ FMmín = Fpnec + Fps = 41133,44 + 4290,34 = 45423,78 N

(B.236)

Fuerza de montaje mínima antes del asentamiento Se calcula así ′ FMmín = FMmín + ∆F ,

(B.237)

donde ∆F es la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento, que se calcula así ∆F = δ x ·c·k p

(B.238)

El asentamiento δx es igual al asentamiento en la rosca (δxr = 5 µm) más el asentamiento en las junturas δxj,

δ xj = δ xct -p + δ xp- p + δ xp- t = 4 + 2 + 4 = 10 µm

(B.239)

donde δxct-p = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza, δxp-p = 2 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre piezas y δxp-t = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre pieza y tuerca.

El asentamiento total es

δ x = δ xr + δ xj = 5 + 10 = 15 µm

(B.240)

Por tanto, la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento es

∆F = δ x ·c·k p = 15·10 −3 ·0,08·5383433,17 = 6630,95 N

(B.241)

Y la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento ′ FMmín = FMmín + ∆F = 45423 + 6630,95 = 52054,74 N

(B.242)

70

Anexo B Cálculos II

Fuerza de montaje máxima La fuerza de montaje máxima FMmáx se obtiene multiplicando la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento FMmín por el factor de atornillamiento αc, que con la rosca lubricada y utilizando una llave dinamométrica para el atornillado vale αc = 1,4. Por tanto, FMmáx = α c ·FMmín = 1,4·52054,72 = 72876,61 N

(B.243)

Tornillo necesario Con un coeficiente de rozamiento global µG = 0,14 (el más desfavorable, tornillo y tuerca con cincado galvánico, superficies no lubricadas) y métrica nominal M20, es necesario un tornillo clase 8.8 para soportar la fuerza de montaje máxima (tabla B.10).

M20

FMlím [N] µG = 0,10 8.8 10.9 122000 172000

12.9 206000

µG = 0,14 8.8 114000

10.9 160000

12.9 192000

Tabla B.10 Fuerza de montaje límite para un tornillo de métrica nominal M20 [Fenollosa, 2000, p.75]

El momento máximo de montaje correspondiente es MM = 410 N m, y el momento que debe prescribirse en el montaje es MM’ = 0,9·MM = 0,9·410 = 369 N m.

Comprobación del tornillo Para asegurarse de que el tornillo soporta la fuerza separadora, se debe cumplir Fts < 0,1·Re AT

(B.244)

donde Fts es la parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo, AT es la sección resistente y Re es el límite elástico del tornillo. - Parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo Fts = c ′·Fs * = 0,05·4516,58 = 226,24 N - Sección resistente AT = 245 mm2 [Fenollosa, 2000, p.23].

(B.245)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

71

- Límite elástico del tornillo Re = 640 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.26]. Por tanto,

Fts 226,24 = = 0,92 N/mm 2 < 0,1·Re = 0,1·640 = 64 N/mm 2 AT 245

(B.246)

el tornillo aguanta la acción de la fuerza separadora.

Comprobación a fatiga del tornillo Debido a la inercia producida al arrancar y al frenar, la fuerza que tracciona los tornillos provocada por el peso del conjunto motor-reductor varía a lo largo del tiempo (tabla B.11). aplat [m/s2] Fimr [N] Subida con Arranque 4,39 1237,98 carga nominal Frenada -8,49 -2394,18 Bajada con Arranque -9,56 1,25 veces la Frenada 3,33 carga nominal

Fit [N] 809,30

Ft [N] 2615,93

-1565,13

241,5

-2695,92

-1755,85

50,78

939,06

613,86

2420,49

Tabla B.11 Fuerzas sobre los tornillos

donde aplat

Aceleración de la plataforma

Fimr = mmr·aplat

Fuerza de inercia sobre el conjunto motor-reductor

mmr = 282 kg

Masa del motor más el reductor

Fit = Fimr ·

Fpt Pmr

Fpt = 1806,63 N

Fuerza de inercia sobre una unión atornillada

Fuerza provocada por el peso del motor más el reductor sobre una unión atornillada

Pmr = 2763,6 N

Peso del conjunto motor-reductor

Ft = Fpt+Fimr

Fuerza total sobre una unión atornillada cualquiera

72

Anexo B Cálculos II

La máxima fuerza separadora sobre una de las uniones atornilladas se da cuando el montacargas arranca en subida con carga nominal, Fsmáx = 2615,93N, y la mínima se da cuando arranca en bajada con 1,25 veces la carga nominal, Fsmín = 50,78 N. La componente alternativa de la tensión sobre el tornillo es

σa =

Fts 2A3

(B.247)

donde Fts = Ftmáx-Ftmín

Amplitud de la fuerza sobre el tornillo

Ftmáx = FM+Ftsmáx

Fuerza máxima sobre el tornillo

Ftmín = FM+Ftsmín

Fuerza mínima sobre el tornillo

FM

Fuerza de montaje

Ftsmáx = c’·Fsmáx

Parte de la fuerza separadora máxima que tracciona el tornillo

Ftsmín = c’·Fsmín

Parte de la fuerza separadora mínima que tracciona el tornillo

A3 = 282 mm3

Sección de núcleo [Fenollosa, 2000, p.23]

Por tanto, Fts F − Ftsmín (FM + Ftsmáx ) − (FM − Ftsmín ) = tsmáx = = 2 A3 2 A3 2 A3 F − Ftsmín c ′(Fsmáx − Fsmín ) 0,05(2615,93 − 50,78) = tsmáx = = = 0,23 2 A3 2 A3 2·282

σa =

(B.248)

La resistencia a la fatiga de tornillos con tuerca normal de compresión, rosca tallada y luego bonificada, M20, clase 8.8 es σA = 40 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.79]. Entonces, el coeficiente de seguridad a fatiga es

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

Cs =

73

σA 40 = = 173.91 σ a 0,23

(B.249)

B.10.3 Tornillos motor-reductor Cargas sobre los tornillos Sobre estos tornillos actúan fuerzas axiales, provocadas por el peso del motor, y fuerzas transversales, provocadas por la reacción al momento proporcionado por el motor Fuerza separadora axial La fuerza separadora axial es debida al peso del motor (figura B.31).

Fig. B.31 Diagrama de cuerpo libre del motor

Siendo el peso del motor Pm = 128·9,8 = 1254,4 N, F ·106,07 + F ·106,07 = 314·Pm F=

314·Pm 314·1254,4 = = 1856,71 N 2·106,07 2·106,07

(B.250)

Esta fuerza se reparte entre dos tornillos, por tanto, sobre cada tornillo actúa Fs, Fs =

F 1856,71 = = 928,36 N 2 2

(B.251)

Multiplicando por el factor de seguridad del dispositivo de sobrevelocidad, Fs * = 2,5·Fs = 2,5·928,36 = 2320,9 N

(B.252)

74

Anexo B Cálculos II

Fuerza transversal Los tornillos deben soportar la reacción al par nominal proporcionado por el motor, Mm = 80,38 N m (figura B.32).

Fig. B.32 Diagrama de cuerpo libre del motor

La fuerza transversal sobre cada tornillo es

Ft =

M m 4 80,38 4 = = 133,97 N D2 0,3 2

(B.253)

Multiplicando por el factor del dispositivo de sobrevelocidad, Ft * = 2,5·133,97 = 334,93 N

(B.254)

Tornillo necesario para la no obertura de la juntura Se prueba inicialmente con un tornillo M16x55, de longitud roscada 38 mm (figura B.33).

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

75

Fig. B.33 Unión atornillada entre reductor y el motor

Fuerza de compresión necesaria en las piezas La fuerza de compresión que debe permanecer en las piezas unidas después del asentamiento es [Fenollosa, 2000, p.83] ′ F *·c s Fpnec = t n·m·µ

(B.255)

donde cs es el coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, igual a 1,25 para máquinas y estructuras [Fenollosa, 2000, p.83], n = 1 es el número de tornillos, m = 1 es el número de superficies de rozamiento y µ = 0,10 es el coeficiente de rozamiento [Fenollosa, 2000, p.83]. Por tanto, Fpnec’ es ′ 334,93·1,25 Fpnec = = 4186,63 N 1·1·0,10

(B.256)

Parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas Se calcula así Fps = (1 − c′)·Fs *

(B.257)

donde c’ = i·c es la relación de rigideces después de la acción de la fuerza separadora y Fs* es la fuerza separadora axial.

76

Anexo B Cálculos II

a) Nivel de acción de las fuerzas separadoras i El tornillo, inicialmente, comprime las piezas (c). La aplicación de la fuerza separadora provoca una descompresión de una parte de las piezas (d) y una recompresión de otra parte de las piezas (r) (figura B.34).

Fig. B.34 Nivel de acción de las fuerzas separadoras

El factor i, nivel de acción de las fuerzas separadoras, vale i=

11,5 + 7,5 = 0,5 23 + 15

(B.258)

b) Relación de rigideces - Rigidez del tornillo Es igual a kt =

l’ = 0,4·d = 0,4·16 = 6,4 mm

Et

 2l ′ l1 l  l  + + 2 + 3   AT A1 A2 AT 

(B.259)

Fracción del tornillo que participa en la extensión

l1 = 17 mm

Longitud no roscada

l2 = 0 mm

Longitud con estrechamiento de la caña (no hay)

l3 = 21 mm

Parte roscada que no trabaja

AT = 157 mm2

Sección resistente [Fenollosa, 2000, p.23]

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

2

77

2

d   16  A1 =   ·π =   ·π = 201,06 mm 2 2 2 Ec = 210000 N/mm2

Módulo de Young del tornillo

Por tanto, kt =

210000 = 700377,04 N/mm 17 21   2·6,4 + +0+   157   157 201,06

(B.260)

- Rigidez de las piezas unidas Las piezas unidas se asemejan a una dolla, de diámetro exterior Dd. El contacto entre la cabeza del tornillo o la tuerca y las piezas se da en un círculo de diámetro de, que en tornillos de cabeza hexagonal es aproximadamente igual a la distancia entre las caras de la cabeza de tornillo, 24 mm [Fenollosa, 2000, p.24]. Las piezas unidas pueden ser extensas (Dd > de) o semiextensas (de < Dd < 3de), lo que varía la forma de calcular la rigidez. Sin embargo, se consideran extensas porque resulta más desfavorable. La fórmula para calcular la rigidez de las piezas unidas extensas es

π E p 

2  lp   d e +  − d ag2  kp = 4 l p  10   

(B.261)

donde Ep = 210000 N/mm2

Módulo de Young de las piezas

lp = 23+15 = 38 mm

Longitud de las piezas unidas

de = 24 mm

Diámetro exterior del contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza (entrecaras)

dag = 18 mm

Diámetro del agujero (perforación) [Fenollosa, 2000, p.24]

Por tanto,

78

Anexo B Cálculos II

kp =

π 210000  4

38

2  38  24 + − 18 2  = 1948126,41 N/mm    10   

(B.262)

- Relación de rigideces c=

kt 700377,04 = = 0,26 k p + k t 700377,04 + 1948126,41

(B.263)

La relación de rigideces después de la aplicación de la fuerza separadora es, pues, c ′ = i·c = 0,5·0,26 = 0,13

(B.264)

La parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas es Fps = (1 − c ′)Fs * = (1 − 0,13)·2312,25 = 2011,66 N

(B.265)

Fuerza de montaje mínima después del asentamiento ′ ′ FMmín = Fpnec + Fps = 4186,63 + 2011,66 = 6198,29 N

(B.266)

Fuerza de montaje mínima antes del asentamiento Se calcula así ′ FMmín = FMmín + ∆F ,

(B.267)

donde ∆F es la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento, que se calcula así ∆F = δ x ·c·k p

(B.268)

El asentamiento δx es igual al asentamiento en la rosca (δxr = 5 µm) más el asentamiento en las junturas δxj,

δ xj = δ xct -p + δ xp- p + δ xp- t = 4 + 2 + 4 = 10 µm

(B.269)

donde δxct-p = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza, δxp-p = 2 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre piezas y δxp-t = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre pieza y tuerca.

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

79

El asentamiento total es

δ x = δ xr + δ xj = 5 + 10 = 15 µm

(B.270)

Por tanto, la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento es

∆F = δ x ·c·k p = 15·10 −3 ·0,26·1948126,41 = 7597,69 N

(B.271)

Y la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento ′ FMmín = FMmín + ∆F = 6198,29 + 7597,69 = 13795,98 N

(B.272)

Fuerza de montaje máxima La fuerza de montaje máxima FMmáx se obtiene multiplicando la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento FMmín por el factor de atornillamiento αc, que con la rosca lubricada y utilizando una llave dinamométrica para el atornillado vale αc = 1,4. Por tanto, FMmáx = α c ·FMmín = 1,4·13795,98 = 19314,37 N

(B.273)

Tornillo necesario Con un coeficiente de rozamiento global µG = 0,14 (el más desfavorable, tornillo y tuerca con cincado galvánico, superficies no lubricadas) y métrica nominal M16, es necesario un tornillo clase 8.8 para soportar la fuerza de montaje máxima (tabla B.12).

M20

FMlím [N] µG = 0,10 8.8 10.9 78500 110000

12.9 132000

µG = 0,14 8.8 10.9 73000 102000

12.9 123000

Tabla B.12 Fuerza de montaje límite para un tornillo de métrica nominal M20 [Fenollosa, 2000, p.75]

El momento máximo de montaje correspondiente es MM = 210 N m, y el momento que debe prescribirse en el montaje es MM’ = 0,9·MM = 0,9·210 = 189 N m.

Comprobación del tornillo Para asegurarse de que el tornillo soporta la fuerza separadora, se debe cumplir

80

Anexo B Cálculos II

Fts < 0,1·Re AT

(B.274)

donde Fts es la parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo, AT es la sección resistente y Re es el límite elástico del tornillo. - Parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo Fts = c ′·Fs * = 0,13·2312,25 = 300,59 N

(B.275)

- Sección resistente AT = 157 mm2 [Fenollosa, 2000, p.23]. - Límite elástico del tornillo Re = 640 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.26]. Por tanto,

Fts 300,59 = = 1,91 N/mm 2 < 0,1·Re = 0,1·640 = 64 N/mm 2 AT 157

(B.276)

el tornillo aguanta la acción de la fuerza separadora.

Comprobación a fatiga del tornillo Debido a la inercia producida al arrancar y al frenar, la fuerza que tracciona los tornillos provocada por el peso del conjunto motor-reductor varía a lo largo del tiempo (tabla B.13). aplat [m/s2] Subida con Arranque 4,39 carga nominal Frenada -8,49 Bajada con Arranque -9,56 1,25 veces la Frenada 3,33 carga nominal

Fim [N] 561,92

Fit [N] 414,32

Ft [N] 1339,22

-1086,72

-801,27

123,63

-1223,68

-902,25

22,65

426,24

314,28

1239,18

Tabla B.13 Fuerzas sobre los tornillos

donde aplat

Aceleración de la plataforma

Fim = mm·aplat

Fuerza de inercia sobre el motor

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

mm = 128 kg Fit = Fim ·

Fpt Pm

Fpt = 924,90 N

81

Masa del motor

Fuerza de inercia sobre una unión atornillada

Fuerza provocada por el peso del motor sobre una unión atornillada

Pm = 1254,4 N

Peso del motor

Ft = Fpt+Fim

Fuerza total sobre una unión atornillada cualquiera

La máxima fuerza separadora sobre una de las uniones atornilladas se da cuando el montacargas arranca en subida con carga nominal, Fsmáx = 1339,22 N, y la mínima se da cuando arranca en bajada con 1,25 veces la carga nominal, Fsmín = 22,65 N. La componente alternativa de la tensión sobre el tornillo es

σa =

Fts 2A3

(B.277)

donde Fts = Ftmáx-Ftmín

Amplitud de la fuerza sobre el tornillo

Ftmáx = FM+Ftsmáx

Fuerza máxima sobre el tornillo

Ftmín = FM+Ftsmín

Fuerza mínima sobre el tornillo

FM

Fuerza de montaje

Ftsmáx = c’·Fsmáx

Parte de la fuerza separadora máxima que tracciona el tornillo

Ftsmín = c’·Fsmín

Parte de la fuerza separadora mínima que tracciona el tornillo

A3 = 144 mm3 Por tanto,

Sección de núcleo [Fenollosa, 2000, p.23]

82

Anexo B Cálculos II

Fts F − Ftsmín (FM + Ftsmáx ) − (FM − Ftsmín ) = tsmáx = = 2 A3 2 A3 2 A3 F − Ftsmín c ′(Fsmáx − Fsmín ) 0,13(1339,22 − 22,65) = tsmáx = = = 0,78 2 A3 2 A3 2·144

σa =

(B.278)

La resistencia a la fatiga de tornillos con tuerca normal de compresión, rosca tallada y luego bonificada, M16, clase 8.8 es σA = 50 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.79]. Entonces, el coeficiente de seguridad a fatiga es

Cs =

σA 50 = = 64,10 σ a 0,78

(B.279)

B.10.4 Tornillos freno-plancha del freno Cargas sobre los tornillos Sobre estos tornillos actúan fuerzas axiales, provocadas por el peso del freno, y fuerzas transversales, provocadas por la reacción al momento de frenado de emergencia. Fuerza separadora axial La fuerza separadora axial es debida al peso del freno (figura B.35).

Fig. B.35 Peso del freno y reacciones en las uniones atornilladas

Siendo el peso del freno Pf = 35·9,8 = 343 N, y suponiendo

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

F1 2 F2 2·102,5 = ; F1 = ·F2 102,5 51,19 51,19

83

(B.280)

Equilibrando momentos respecto al punto C,

Pf ·98 = 2·F1 ·102,5 + 2·(F2 ·51,19 + F2 ·51,19 ) Pf ·98 = 2·

2·102,5 ·102,5 + 2·F2 ·51,19 + 2·F2 ·51,19 51,19 1

 102,5 2  Pf ·98 =  4 + 4·51,19 ·F2  51,19  Pf ·98 343·98 F2 = = = 32,77 N  102,5 2   102,5 2   4 + 4·51,19   4 + 4·51,19   51,19   51,19 

(B.281)

Por tanto, F1 es 102,5 102,5 F1 = 2· ·F2 = 2· ·32,77 = 131,23 N 51,19 51,19

(B.282)

Al ser F1 mayor, se calculará el tornillo para que aguante esta fuerza. Multiplicándola por el coeficiente de seguridad del dispositivo de sobrevelocidad, Fs * = 2,5·F1 = 2,5·131,23 = 328,08 N Fuerza transversal Los tornillos deben soportar la reacción al par de frenado de emergencia, Mfe = 2000 N m (figura B.36).

84

Anexo B Cálculos II

Fig. B.36 Par de frenado emergencia y reacciones en uniones atornilladas

de las

La fuerza transversal sobre cada tornillo es

Ft =

M fe 6 2000 6 = = 3252,03 N D2 0,205 2

(B.283)

Tornillo necesario para la no obertura de la juntura Se prueba inicialmente con un tornillo M12x55, de longitud roscada 30 mm (figura B.37).

Fig. B.37 Unión atornillada entre freno y plancha del freno

Fuerza de compresión necesaria en las piezas La fuerza de compresión que debe permanecer en las piezas unidas después del asentamiento es [Fenollosa, 2000, p.83]

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

′ F *·c s Fpnec = t n·m·µ

85

(B.284)

donde cs es el coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, igual a 1,25 para máquinas y estructuras [Fenollosa, 2000, p.83], n = 1 es el número de tornillos, m = 1 es el número de superficies de rozamiento y µ = 0,10 es el coeficiente de rozamiento [Fenollosa, 2000, p.83]. Por tanto, Fpnec’ es ′ 3252,03·1,25 Fpnec = = 40650,38 N 1·1·0,10

(B.285)

Parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas Se calcula así Fps = (1 − c′)·Fs *

(B.286)

donde c’ = i·c es la relación de rigideces después de la acción de la fuerza separadora y Fs* es la fuerza separadora axial. a) Nivel de acción de las fuerzas separadoras i El tornillo, inicialmente, comprime las piezas (c). La aplicación de la fuerza separadora provoca una descompresión de una parte de las piezas (d) y una recompresión de otra parte de las piezas (r) (figura B.38).

Fig. B.38 Nivel de acción de las fuerzas separadoras

El factor i, nivel de acción de las fuerzas separadoras, vale

86

Anexo B Cálculos II

i=

5 + 16 = 0,5 10 + 32

(B.287)

b) Relación de rigideces - Rigidez del tornillo Es igual a kt =

l’ = 0,4·d = 0,4·12 = 4,8 mm

Et

 2l ′ l1 l  l  + + 2 + 3   AT A1 A2 AT 

(B.288)

Fracción del tornillo que participa en la extensión

l1 = 25 mm

Longitud no roscada

l2 = 0 mm

Longitud con estrechamiento de la caña (no hay)

l3 = 17 mm

Parte roscada que no trabaja

AT = 84,3 mm2

Sección resistente [Fenollosa, 2000, p.23]

2

2

d   12  A1 =   ·π =   ·π = 113,10 mm 2 2 2 Ec = 210000 N/mm2

Módulo de Young del tornillo

Por tanto, kt =

210000 = 391365,32 N/mm 25 17   2·4,8 + +0+   84,3   84,3 113,10

(B.289)

- Rigidez de las piezas unidas Las piezas unidas se asemejan a una dolla, de diámetro exterior Dd. El contacto entre la cabeza del tornillo o la tuerca y las piezas se da en un círculo de diámetro de, que en tornillos de cabeza hexagonal es aproximadamente igual a la distancia entre las caras de la cabeza de

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

87

tornillo, 19 mm [Fenollosa, 2000, p.24]. Las piezas unidas pueden ser extensas (Dd > de) o semiextensas (de < Dd < 3de), lo que varía la forma de calcular la rigidez. Sin embargo, se consideran extensas porque resulta más desfavorable. La fórmula para calcular la rigidez de las piezas unidas extensas es

π E p 

2  lp   d e +  − d ag2  kp = 4 l p  10   

(B.290)

donde Ep = 210000 N/mm2

Módulo de Young de las piezas

lp = 10+32 = 42 mm

Longitud de las piezas unidas

de = 19 mm

Diámetro exterior del contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza (entrecaras)

dag = 14 mm

Diámetro del agujero (perforación) [Fenollosa, 2000, p.24]

Por tanto,

kp =

π 210000  4

38

2  42  2 19 +  − 14  = 1343973,34 N/mm 10   

(B.291)

- Relación de rigideces c=

kt 391365,32 = = 0,23 k p + k t 391365,32 + 1343973,34

(B.292)

La relación de rigideces después de la aplicación de la fuerza separadora es, pues, c ′ = i·c = 0,5·0,23 = 0,115

(B.293)

La parte de la fuerza separadora que descomprime las piezas es Fps = (1 − c ′)Fs * = (1 − 0,115)·328,08 = 290,35 N

(B.294)

88

Anexo B Cálculos II

Fuerza de montaje mínima después del asentamiento ′ ′ FMmín = Fpnec + Fps = 40650,38 + 290,35 = 40940,73 N

(B.295)

Fuerza de montaje mínima antes del asentamiento Se calcula así ′ FMmín = FMmín + ∆F ,

(B.296)

donde ∆F es la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento, que se calcula así ∆F = δ x ·c·k p

(B.297)

El asentamiento δx es igual al asentamiento en la rosca (δxr = 5 µm) más el asentamiento en las junturas δxj,

δ xj = δ xct -p + δ xp- p + δ xp- t = 4 + 2 + 4 = 10 µm

(B.298)

donde δxct-p = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre la cabeza del tornillo y la pieza, δxp-p = 2 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre piezas y δxp-t = 4 µm es el asentamiento en la superficie de contacto entre pieza y tuerca.

El asentamiento total es

δ x = δ xr + δ xj = 5 + 10 = 15 µm

(B.299)

Por tanto, la disminución de la fuerza de montaje por el asentamiento es

∆F = δ x ·c·k p = 15·10 −3 ·0,26·1343973,34 = 4546,50 N

(B.300)

Y la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento ′ FMmín = FMmín + ∆F = 40940,73 + 4546,50 = 45487,95 N

(B.301)

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

89

Fuerza de montaje máxima La fuerza de montaje máxima FMmáx se obtiene multiplicando la fuerza de montaje mínima antes del asentamiento FMmín por el factor de atornillamiento αc, que con la rosca lubricada y utilizando una llave dinamométrica para el atornillado vale αc = 1,4. Por tanto, FMmáx = α c ·FMmín = 1,4·45487,95 = 63683,13 N

(B.302)

Tornillo necesario Con un coeficiente de rozamiento global µG = 0,14 (el más desfavorable, tornillo y tuerca con cincado galvánico, superficies no lubricadas) y métrica nominal M12, es necesario un tornillo clase 12.9 para soportar la fuerza de montaje máxima (tabla B.14).

M12

FMlím [N] µG = 0,10 8.8 10.9 41500 58500

12.9 70000

µG = 0,14 8.8 38300

10.9 54000

12.9 64500

Tabla B.14 Fuerza de montaje límite para un tornillo de métrica nominal M12 [Fenollosa, 2000, p.75]

El momento máximo de montaje correspondiente es MM = 145 N m, y el momento que debe prescribirse en el montaje es MM’ = 0,9·MM = 0,9·145 = 130,5 N m.

Comprobación del tornillo Para asegurarse de que el tornillo soporta la fuerza separadora, se debe cumplir Fts < 0,1·Re AT

(B.303)

donde Fts es la parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo, AT es la sección resistente y Re es el límite elástico del tornillo. - Parte de la fuerza separadora que tracciona el tornillo Fts = c ′·Fs * = 0,115·328,08 = 37,73 N - Sección resistente AT = 84,3 mm2 [Fenollosa, 2000, p.23].

(B.304)

90

Anexo B Cálculos II

- Límite elástico del tornillo Re = 1080 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.26]. Por tanto,

Fts 37,73 = = 0,45 N/mm 2 < 0,1·Re = 0,1·1080 = 108 N/mm 2 AT 84,3

(B.305)

el tornillo aguanta la acción de la fuerza separadora.

Comprobación a fatiga del tornillo Debido a la inercia producida al arrancar y al frenar, la fuerza que tracciona los tornillos provocada por el peso del freno de emergencia varía a lo largo del tiempo (tabla B.15). aplat [m/s2] Subida con Arranque 4,39 carga nominal Frenada -8,49 Bajada con Arranque -9,56 1,25 veces la Frenada 3,33 carga nominal

Fif [N] 153,65

Fit [N] 58,79

Ft [N] 190,02

-297,15

-113,69

17,54

-334,6

-128,02

3,21

116,55

44,59

175,82

Tabla B.15 Fuerzas sobre los tornillos

donde aplat

Aceleración de la plataforma

Fif = mf·aplat

Fuerza de inercia sobre el freno

mf = 35 kg

Masa del freno

Fit = Fif ·

Fpt Pf

Fpt = 131,23 N

Fuerza de inercia sobre una unión atornillada

Fuerza provocada por el peso del freno sobre una unión atornillada

Pf = 35·9,8 = 343 N

Peso del freno

Ft = Fpt+Fit

Fuerza total sobre una unión atornillada cualquiera

Montacargas a cremallera de 1000 kg de carga nominal

91

La máxima fuerza separadora sobre una de las uniones atornilladas se da cuando el montacargas arranca en subida con carga nominal, Fsmáx = 190,02 N, y la mínima se da cuando arranca en bajada con 1,25 veces la carga nominal, Fsmín = 3,21 N. La componente alternativa de la tensión sobre el tornillo es

σa =

Fts 2A3

(B.306)

donde Fts = Ftmáx-Ftmín

Amplitud de la fuerza sobre el tornillo

Ftmáx = FM+Ftsmáx

Fuerza máxima sobre el tornillo

Ftmín = FM+Ftsmín

Fuerza mínima sobre el tornillo

FM

Fuerza de montaje

Ftsmáx = c’·Fsmáx

Parte de la fuerza separadora máxima que tracciona el tornillo

Ftsmín = c’·Fsmín

Parte de la fuerza separadora mínima que tracciona el tornillo

A3 = 76,2 mm3

Sección de núcleo [Fenollosa, 2000, p.23]

Por tanto, Fts F − Ftsmín (FM + Ftsmáx ) − (FM − Ftsmín ) = tsmáx = = 2 A3 2 A3 2 A3 F − Ftsmín c ′(Fsmáx − Fsmín ) 0,115(190,02 − 3,21) = tsmáx = = = 0,14 N/mm 2 2 A3 2 A3 2·76,2

σa =

(B.307)

La resistencia a la fatiga de tornillos con tuerca normal de compresión, rosca tallada y luego bonificada, M12, clase 12.9 es σA = 60 N/mm2 [Fenollosa, 2000, p.79]. Entonces, el coeficiente de seguridad a fatiga es

92

Anexo B Cálculos II

Cs =

σA 60 = = 428,57 σ a 0,14

(B.308)