Semana Multiplicación y división de polinomios Semana 44 Multiplicación y división de polinomios ¡Empecemos! En esta sesión daremos continuidad al estudio de las operaciones de polinomios, la multiplicación y división. Para avanzar satisfactoriamente en este tópico debes recordar la propiedad distributiva y la propiedad de las potencias, temas vistos en semestres anteriores. Al finalizar esta semana estarás en la capacidad de efectuar operaciones de multiplicación y división de polinomios.

¿Qué sabes de...? 1. ¿Cuáles son los elementos de una división? ¿Cuándo una división es exacta?, ¿cuándo es inexacta? 2. Aplica las propiedades de potencia que corresponda en cada caso: z6 x7 x3 a) 5 · 52 · 53= b) y8 · y4 · y3= c) 9 = d) -9 = z x

El reto es... Resuelve el siguiente problema: una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de 12 cm de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas y los lados se doblan hacia arriba. Encuentra el volumen de la caja; esto lo puedes hacer empleando tus conocimientos de álgebra y geometría. Luego de finalizada la lectura de esta semana retoma esta situación y expresa el volumen de la caja en términos de un polinomio (desarrolla la multiplicación de los polinomios).

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Multiplicación y división de polinomios

Semana 4

Vamos al grano Veamos un ejemplo donde observes los distintos casos que se presentan en la multiplicación de polinomios. Consideremos el producto de los polinomios R(x)=7x3+4x2-9 y S(x)=3x4+5x32x-3 (nótese que los polinomios están ordenados). En el cuadro de abajo, tomaremos al polinomio R(x) como operador, esto es, el que multiplicará a S(x) (polinomio multiplicado). Colocamos en cada fila del operador los términos de R(x) y a su lado colocamos a S(x). De esta manera garantizamos que se multipliquen todos los términos, como se indica en la primera fila mediante colores y líneas para ilustrar el procedimiento. En la columna del producto vemos la operación que se realiza término a término, estos resultados se colocan en la cuarta columna como un polinomio ordenado. Finalmente se realiza la suma de los resultados de cada fila para obtener el producto R(x) · S(x). Opera- Polinomio Producto Suma de términos dor multiplicado 7x3(3x4) +7x3(5x3) 3x4+5x3-2x-3 21x7 +35x6 -14x4 -21x3 7x3 +7x3(-2x) +7x3(-3) 4x2(3x4) +4x2(5x3) 12x6 +20x5 +4x2 3x4+5x3-2x-3 -8x3 -12x2 +4x2(-2x) +4x2(-3) -9(3x4) -9(5x3) -27x4 -45x3 -9 3x4+5x3-2x-3 +18x +27 -9(-2x) -9(-3) 21x7+47x6+20x5-41x4-74x3-12x2+18x+27 Si analizamos mejor el cuadro “intuimos” que se pueden presentar varios casos: 1. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son monomios: multiplicamos los coeficientes con sus signos y las variables. Sería el caso de los números en rojo en el cuadro. Si P(x)= 7x3 y Q(x)= 3x4, P(x) · Q(x)= 7x3(3x4)= 21x7 2. Si el operador es un monomio y el polinomio multiplicado es un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio (propiedad distributiva). Es el caso de cada una de las filas del cuadro anterior, consideradas separadamente. Si N(x)= 4x2 y S(x)= 3x4+5x32x-3, N(x)·S(x)= 4x2(3x4)+4x2(5x3)+4x2(-2x)+4x2(-3)= 12x6+20x5-8x3-12x2

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Multiplicación y división de polinomios

3. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son polinomios, se sigue todo el procedimiento presentado en el cuadro. En general, en la multiplicación de polinomios, los coeficientes se multiplican entre ellos; considerando los signos y las variables siguen la regla del producto de potencias de igual base.

Responde: el producto de dos binomios es 2x2+5x+2. Si uno de los binomios es (x+2), ¿cuál es el otro binomio? Para hallar el otro binomio tienes (esto es una de las maneras) que hacer uso de la división de polinomios. En el siguiente apartado verás cómo hacerlo.

División de polinomios En la división de polinomios también se mantiene la relación entre los elementos de la división usual: Dividendo= divisor x cociente + residuo. El propósito de esta operación es, dado un polinomio dividendo y un polinomio divisor, conocer el cociente y residuo que verifica la igualdad anterior. El procedimiento es similar al aplicado para dividir números, teniendo en cuenta, además, el trabajo con los signos y las potencias. Vamos a estudiar el caso en el que el Dividendo y divisor son monomios, para posteriormente extender el estudio al caso de los polinomios. Veamos algunos ejemplos. Dados Q(x)=66x5 y R(x)=-4x3, hallar Q(x)÷ R(x). Se dividen los coeficientes con sus respectivos signos.

66 -4

=-

Se divide la variable teniendo en cuenta la división de potencia de igual base.

x5 x3

= x2

El resultado de dividir los monomios 180

Q(x) =R(x)

33 2

33 2

= x2

Sigamos ejercitando, para que desarrolles habilidades en las operaciones de polinomios. Halla el cociente de los siguientes monomios:

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Multiplicación y división de polinomios -6z10 b) 6 20z

18x7 a) 4 6x

a) 18x7 = 6x7-4 6x4

b) -6z10 -3 10-6 = z 20z6 10 = 6x3

=-

5w7 d) 2w9

8·0y9 c) 8 2y

-3 4 z 10

c) 0·8y9 = 0·4y9-8 2y8

d) 5w7 =? 2w9

= 0·4y

El resultado del problema d), ¿es un polinomio? Veamos mediante un ejemplo cómo se realiza la división de polinomios. Dados P(x)=5x+4x3+2x2+6y Q(x)=x2-x+3, hallar P(x)÷Q(x) Se ordenan los polinomios en forma decreciente y si el polinomio está incompleto puedes completarlo con 0x o dejar un espacio en el término que falte. 1. Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo así el primer término del cociente. 4x3 x2-x+3 = 4x 4x3+2x2+5x+6 x2 4x 2. Multiplicamos ese término por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Bajamos después el siguiente término del dividendo. 4x3+2x2+5x+6 -4x3+4x2-12x

x2-x+3 4x · (x2-x+3) = 4x3 - 4x2 +12x 4x

+6x2-7x+6

Su opuesto es -4x3+ 4x2 -12x

3. Volvemos a dividir el primer término (6x2) del resto parcial entre el primer término del divisor, obteniendo así el segundo término del cociente. Repetimos el proceso del paso 2. 4x3+2x2+5x+6 -4x3+4x2-12x

x2-x+3 4x +6

0x3+6x2-7x+6 6x2+6x-18 -x-12

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Multiplicación y división de polinomios

Como el grado del resto (-x-12) es menor que el grado del divisor, no se puede continuar dividiendo y 4x+6 es el cociente. Como puedes ver, esta división es inexacta porque su resto es distinto de cero. Comprueba si el resultado es correcto empleando la igualdad: Dividendo= divisor x cociente + residuo. Al comprobar su veracidad por medio de esta relación estas ejercitando la multiplicación y suma de polinomios. ¡Hazlo!

Para saber más… Consulta las siguientes direcciones web para profundizar en la división de polinomios: http://li.co.ve/r3w

http://goo.gl/iZ4Dc

Aplica tus saberes En el problema inicial observa que si le quitas 2 veces la longitud de x a cada lado, queda 12-2x, el área de la base es (12-2x)· (12-2x), la altura de la caja viene expresada por la longitud de x. El volumen de la caja será el producto del área de la base por su altura: V= (12-2x).(12-2x) · x= 4x3-48x2+144x. Verifica tu resultado. Se puede obtener otras interrogantes: ¿para qué valor entero positivo de x el volumen de la caja es mayor?, ¿qué ocurre con el volumen de la caja si el valor de x es 6?

Comprobemos y demostremos que… 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de polinomios. a) P(x)= 9x4-8x+3/5x6 y Q(x)= 5x3-8x5+6x2+2x b) R(z)= 6z4-2z7+8z y S(z)= 3z2+z-6 2. Divide los siguientes polinomios y clasifica la división obtenida en exacta o inexacta. a) (6z2-z3+2z5-3z)÷(z4-z) b) (8x2-9x5+x4-3)÷(x2-3) c) (x2+2x+6x4-4) ÷(x-2) 182

d) (x4-y4)÷(x+y)

Nunca se ha logrado nada sin entusiasmo. Emerson