MULTIPLICAR FRACCIONES CON UN MODELO DE ÁREA

5.1.1, 5.1.4, 5.2.2

La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones.

Ejemplo 1 1⋅5 2 8

(es decir, 12  de  58 )

Paso 1:

Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y márquelas como 58 .

Paso 2:

Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 1  de  5 y márquelo. 2 8

Paso 3:

Escriba una oración en números.

1⋅5 2 8

5 = 16

La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.1.4 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más información y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 7A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 2 a.

2 ⋅ 2   ⇒   2 ⋅ 2   ⇒   4 3 7 3 ⋅  7 21

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b.

3 ⋅ 6   ⇒   3 ⋅ 6   ⇒   18   ⇒   9 4 7 4  ⋅  7 28 14

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta. 1.

1⋅1 3 6

2.

1⋅3 4 5

3.

2⋅5 3 9

Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible. 4.

1⋅2 3 5

5.

2⋅2 3 7

6.

9.

5⋅2 6 3

10.

4⋅3 5 4

11.

14.

2⋅3 9 5

15.

3 5 10 ⋅ 7

16.

19.

5 3 12 ⋅ 5

20.

7 5 9 ⋅ 14

·

3 1 4⋅5

7.

2⋅2 5 3

8.

2⋅1 3 4

2 1 15 ⋅ 2

12.

3 1 7⋅2

13.

3 4 8⋅5

5 6 11 ⋅ 7

17.

5⋅ 3 6 10

18.

10 ⋅ 3 11 5

Respuestas 1.

1 18

4.

2 15

10.

12 20

16.

30 77

=

3 5

2.

3 20

6.

3 20

7.

4 15

13.

12 40

19.

15 60

5.

4 21

11.

2 30

1 = 15

12.

3 14

17.

15 60

=

18.

30 55

1 4

6 = 11

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3.

10 27

8.

2 12

=

3 = 10

14.

6 45

2 = 15

=

20.

35 126

1 4

1 6

9.

10 18

=

15.

15 70

= 143

5 9

5 = 18

Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON DECIMALES

5.2.1

MULTIPLICAR DECIMALES Y PORCENTAJES Entender cuántos lugares decimales se debe mover a un punto decimal al multiplicar está conectado a la multiplicación de fracciones y el valor del lugar. Las computaciones que se calculan “al porcentaje de un número” son simplificados por medio de cambiar el porcentaje a un decimal.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Multiplique (0.2) ⋅ (0.3). 2 ⋅ 3 ⇒ 6 . En fracciones esto es 10 10 100 Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.

Multiplique (1.7) ⋅ (0.03). 3 51 En fracciones esto significa 17 10 ⋅ 100 ⇒ 1000 . Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.

(décimo)(décimo) = centésimo Por esto, muévalo dos lugares.

0.2 × 0.3 0. 06

(décimo)(centésimo) = milésimo Por esto muévalos tres lugares.

1.7 × 0.03 0.051

Ejemplo 3 Calcule 17% de 32.5 sin usar una calculadora. Ya que 17% =

17 100

= 0.17,

17% de 32.5 ⇒ (0.17) ⋅ (32.5) ⇒ 5.525

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32.5 × 0.17 2275 3250 5.525

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Identifique el número de lugares que va a mover el punto decimal hacia la izquierda del producto. No debes calcular el producto. 1.

(0.3) ⋅ (0.5)

2.

(1.5) ⋅ (0.12)

3.

(1.23) ⋅ (2.6)

4.

(0.126) ⋅ (3.4)

5.

17 ⋅ (32.016)

6.

(4.32) ⋅ (3.1416)

(3.2) ⋅ (0.3)

9.

(1.75) ⋅ (0.09)

Calcule sin usar una calculadora. 7.

(0.8) ⋅ (0.03)

8.

10.

(4.5) ⋅ (3.2)

11.

(1.8) ⋅ (0.032)

12.

(7.89) ⋅ (6.3)

13.

8% de 540

14.

70% de 478

15.

37% de 4.7

16.

17% de 96

17.

15% de 4.75

18.

130% de 42

Respuestas 1.

2

2.

3

3.

3

4.

4

5.

3

6.

6

7.

0.024

8.

0.96

9.

0.1575

10.

14.4

11.

0.0576

12.

49.707

13.

43.2

14.

334.6

15.

1.739

16.

16.32

17.

0.7125

18.

54.6

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE POLÍGONOS

5.3.1 – 5.3.4

El área es el número de unidades cuadradas no superpuestas necesarios para cubrir la región interior de una figura bidimensional o el área de superficie de una figura tridimensional. Por ejemplo, el área es la región que está cubierta por azulejos de piso (bidimensional) o pintura en una caja o un balón (tridimensional). Para más información acerca de las formas específicas, consulte los siguientes recuadros.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO Para hallar el área de un rectángulo, siga los siguientes pasos. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura para encontrar el área en unidades cuadradas: A = bh.

Un cuadrado es un rectángulo en el que la base y la altura son de igual longitud. Halle el área de un cuadrado multiplicando la base por la misma base: A = b2.

Ejemplo base = 8 unidades 4

32 unidades cuadradas 8

altura = 4 units A = 8 ⋅ 4 = 32 unidades cuadradadas

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Halle las áreas de los rectángulos (figuras 1-8) y los cuadrados (figuras 9-12) a continuación. 1.

2.

3.

2 mi

5 cm

4 mi

4.

6 cm

3 plg

7. 3 unidades

6. 5.5 millas

5.

8m

7 plg

2 millas

2m

8. 6.8 cm

7.25 millas

8.7 unidades 3.5 cm

2.2 millas

9.

10.

11.

12. 8.61 pies 1.5 pies

8 cm

2.2 cm

Respuestas 1.

8 millas2

2.

30 cm2

3.

21 pulgadas2

4.

16 m2

5.

11 millas2

6.

26.1 pies2

7.

23.8 cm2

8.

15.95 millas2

9.

64 cm2

10.

4.84 cm2

11.

2.25 pies2

12.

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73.96 pies2

Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO Un paralelogramo se cambia fácilmente a un rectángulo mediante la separación de un triángulo a partir de un extremo del paralelogramo y moviéndolo hasta el otro extremo como se muestra en las tres figuras siguientes. Para más información vea el recuadro de Apuntes de Matemáticas de la Lección 5.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 1. base

base

base

altura

altura

altura

base

base

base

paralelogramo Paso 1

mover el triángulo Paso 2

rectángulo Paso 3

Para hallar el área de un paralelogramo, multiplique la base por la altura como lo hizo con el rectángulo: A = bh.

Ejemplo base = 9 cm 6 cm

altura = 6 cm A = 9 ⋅ 6 = 54 cm cuadrados

9 cm

Problemas Halle el área de cada paralelogramo a continuación. 1.

2.

3. 8 cm

6 pies

4m

10 cm

8 pies

4.

5. 3 cm

11 m

6. 7.5 plg

11.2 pies

13 cm 12 plg

7.

15 pies

8. 9.8 cm

8.4 cm

11.3 cm

15.7 cm

Respuestas 1.

48 pies2

2.

80 cm2

3.

44 m2

4.

39 cm2

5.

90 plg2

6.

168 pies2

7.

110.74 cm2

8.

131.88 cm2

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

altura

altura

altura

altura

El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo. Este hecho puede demostrarse fácilmente mediante la reducción de un paralelogramo en el medio a lo largo de una diagonal (ver más abajo). Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.3.4 del texto Core Connections en español, Curso 1. base

base paralelogramo

base dibuje una diagonal

Paso 1

Paso 2

base Empareje triángulos cortanto o doblando Paso 3

Mientras empareje los triángulos cortanto el paralelogramo o plegando a lo largo de la diagonal, el resultado es de dos triángulos congruentes (del mismo tamaño y forma). Por lo tanto, el área de un triángulo tiene la mitad del area del paralelogramo que puede ser creado de dos copias del triángulo. Para hallar el área de un triángulo, siga los pasos a continuación. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura.

4.

Divida el producto de la base por la altura por 2: A =

Ejemplo 1

A=

16⋅8 2

=

128 2

o

1 2

bh

Ejemplo 2

8 cm

base = 16 cm altura = 8 cm

bh 2

16 cm

= 64 cm2

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base = 7 cm

4 cm

altura = 4 cm A=

7⋅4 2

=

28 2

7 cm

= 14 cm2

Core Connections en español, Curso 1

Problemas 1.

2. 6 cm

3. 12 pies 13 cm 14 pies

8 cm

6 cm

4.

5.

6.

8 plg

1.5 m

5 pies

17 plg

7 pies

7.

5m

8. 2.5 pies

9 cm 7 pies

21 cm

Respuestas 1.

24 cm2

2.

84 pies2

3.

39 cm2

4.

68 pulgadas2

5.

17.5 pies2

6.

3.75 m2

7.

94.5 cm2

8.

8.75 pies2

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN TRAPECIO Un trapecio es otra forma que se puede transformar en un paralelogramo. Cambie un trapecio en un paralelogramo siguiendo los tres pasos siguientes.

base (b)

base (b)

altura

altura base (b)

tapa (t)

altura

base (b) altura

tapa (t)

altura

tapa (t)

tapa (t)

base (b)

tapa (t)

Trapecio

duplique el trapecio y gire

ponga los dos trapecios juntos para formar un paralelogramo

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Para encontrar el área de un trapecio, multiplique la base del paralelogramo grande en el Paso 3 (base y tapa) por la altura y luego tome la mitad del total del área. Recuerde sumar las longitudes de la base y la tapa del trapecio antes de multiplicar por la altura. Tenga en cuenta que algunos textos llaman la longitud superior la base superior y la base la base inferior. A=

1 2

(b + t)h

o A=

b+t 2

⋅h

Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo

8 plg

tapa = 8 pulgadas 4 plg

base = 12 pulgadas altura = 4 pulgadas

12 plg

A=

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8+12 ⋅ 4 2

=

20 2

⋅ 4 = 10 ⋅ 4 = 40 pulgadas2

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Halle las áreas de los trapecios a continuación. 1.

2.

3 cm

3.

10 plg

2 pies

1 cm 4 pies

8 plg

5 cm

5 pies 15 plg

4.

5. 11 cm

6.

7 plg

8 cm

5 plg

11 m

8m

15 cm 10 plg

8m

7.

8.

7 cm

4 cm

8.4 cm

3 cm 10.5 cm

6.5 cm

Respuestas 1.

4 cm2

2.

100 pulgadas2

3.

14 pies2

4.

104 cm2

5.

42.5 pulgadas2

6.

76 m2

7.

35 cm2

8.

22.35 cm2

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Core Connections en español, Curso 1