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Universidad de Concepción Facultad de Educación Postítulo de Especialización en Primer Ciclo 2009
CAMPO DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS (*) Operaciones Aritméticas Milton Sepúlveda Ahumada (*) Adaptado desde “El campo de los problemas multiplicativos en los programas de estudio” del equipo LEM Matemática UDEC
El campo p de problemas p multiplicativos p
El campo multiplicativos se puede p de problemas p p p clasificar como sigue: Problemas de P bl d proporcionalidad directa
• Iteración de una medida It ió d did • De reparto equitativo • Agrupamiento en base a una medida
Problemas de Producto Cartesiano
• Arreglo Bidimensional • Combinación
Problemas de Comparación
• Comparación por cuociente CLASIFICACIÓN PROPUESTA POR LORENA ESPINOZA (2006)
El campo p de problemas p multiplicativos p
Problemas de p proporcionalidad p directa. Por
el contrario de lo que se pudiera pensar, no son problemas que se resuelven a través de proporciones, sino i que son problemas bl cuyos datos d t presentan t una relación proporcional. Esto permite resolverlos mediante una multiplicación o división. Son problemas en los que se relacionan tres tipos de magnitudes Cantidad
de elementos Cantidad de grupos Cantidad de elementos por grupo (medida del grupo)
El campo p de problemas p multiplicativos p
El campo p de problemas p multiplicativos p
Los problemas de producto cartesiano se refieren a problemas en los que ha que determinar el cardinal de una colección ordenada. Arreglo
bidimensional: objetos ordenados en filas y columnas (ej: el número de butacas de una sala de cine) Combinación: es una combinación ordenada de objetos (ej para hacer máscaras, (ej: máscaras se disponen de 2 tipos de narices y 3 tipos de pelucas, ¿cuántos tipos de máscaras se p pueden realizar?))
El campo p de problemas p multiplicativos p
Los problemas de comparación por cuociente permiten relacionar cantidades de igual magnitud. ¿ ¿Cómo
cuantificar cuánto más grande g es Júpiter p que q la
Tierra? “Júpiter tiene un diámetro 130.000 km más grande que el de la Tierra” “Júpiter tiene un diámetro 11 veces más grande que el d la de l Tierra”. Ti ”
Concepto p de multiplicación p
Es posible determinar, sin contar, la cantidad de objetos que se reparten en total, cuando a cada grupo g p se le da la misma cantidad de objetos. j La multiplicación es la operación matemática que permite anticipar p p la cantidad total de objetos j que q se repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada grupo, y de la cantidad de grupos.
Concepto p de división
Es posible anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada grupo que participa en un reparto equitativo, q , antes de realizarlo. La división es la operación matemática que permite anticipar p la cantidad de objetos j que q le tocará a cada grupo en un reparto equitativo de objetos.
Concepto p de división
Es posible determinar, sin necesidad de contar, la cantidad de grupos que se pueden formar, cuando se conoce la cantidad total de objetos j con los q que hay que formar grupos y la cantidad de objetos que tiene cada grupo (medida del grupo). La división es la operación que permite determinar, sin necesidad de formar los grupos, la cantidad de grupos que se pueden formar, conocida la cantidad total de objetos y la medida del grupo.
Concepto p de división
La división de un número a por un número b, que se anota a : b, se define como la cantidad de veces que a contiene a b. Para calcular el resultado,, se q resta reiteradamente b al valor a, o bien múltiplos de b al valor a, hasta que sea posible. El resultado de la división es la cantidad de veces que se resta b al valor a hasta obtener 0 o un valor menor que b. El valor a se denomina dividendo, b se denomina divisor y al resultado de la división se d denomina i cociente. i t
Reversibilidad entre multiplicación y di i ió división
Debido a que la división y multiplicación son operaciones inversas entre sí, podemos obtener un cuociente p pensándolo como el factor que q multiplicado por el divisor, da como resultado el dividendo. Asimismo, esta reversibilidad permite formular problemas inversos entre sí.
Por ello, la multiplicación y la división se parecen en que, para realizar los cálculos, en ambos casos hay que hacer multiplicaciones. q p Se diferencian en que, cuando multiplicamos dos números, sumamos repetidas p veces un mismo número, y el resultado es mayor que cualquiera de los dos factores. En cambio, cuando dividimos un número entre otro (dividendo entre divisor), restamos reiteradas veces el divisor al dividendo, o bi restamos bien t un múltiplo últi l d dell divisor, di i y ell resultado lt d es menor que el número que se está dividiendo.
Técnicas de cálculo para la multiplicación lti li ió
Técnicas de cálculo para la multiplicación lti li ió
Técnicas de cálculo p para la división
Técnicas de cálculo p para la división
P Programas de d EEstudio di de d NB2 Presencia dell campo d de problemas P i d bl multiplicativos y las técnicas de cálculo para la multiplicación y la división. división
1er semestre NB2
1er semestre NB2
En este semestre, se asocia la multiplicación a problemas en los que aparezca una relación de proporcionalidad, en particular, a problemas de iteración de una medida. Esto permite emplear a la adición reiterada como la primera técnica para el cálculo de productos. En este semestre se asocia además a la división con problemas de reparto equitativo. No se espera que en este semestre los alumnos dominen las técnicas de cálculo de divisiones.
2do semestre NB2
2do semestre NB2
Al finalizar fi li ell 2d 2do semestre t de d 3 3er año, ñ se espera que los alumnos resuelvan problemas de agrupamiento g p en base a una medida,, y aplican p las primeras técnicas para cálculo de cuocientes. Se espera que los alumnos profundicen en el conocimiento de las operaciones, reconociendo las acciones asociadas y a los significados de los datos involucrados. involucrados Además, los alumnos deberán comprender que estas operaciones tienen una relación de reversibilidad.
3er semestre NB2
3er semestre NB2
Una vez concluido este semestre, se espera que los alumnos sean capaces de resolver nuevos tipos de problemas multiplicativos: de arreglo bidimensional, y de comparación por cuociente. Estos dos tipos de problemas son relevantes para contenidos del programa de estudios del 2do ciclo básico, tales como área de superficies f planas, y razones.
4to semestre NB2
4to semestre NB2
Los aprendizajes esperados para este semestre se centran en las técnicas escritas y mentales de cálculo de productos y cuocientes. Es decir, los programas oficiales esperan que los niños dominen estas técnicas al finalizar su 1er ciclo básico.
Presencia en los p programas g de estudio
Lo anterior se traduce en que la enseñanza de las operaciones se debe iniciar a partir de la resolución de p problemas,, asociando a la multiplicación y división a acciones o situaciones específicas. Esto permite que los niños ensayen estrategias que les permitan resolver multiplicaciones y divisiones, con material concreto primero, y de forma mental y escrita, posteriormente. Esta evolución, debe observarse también en el aprendizaje de las distintas técnicas de cálculo.